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(共31張PPT)
13.2 基本圖形位置關系
13.2.2 空間兩條直線的位置關系
第2課時 異面直線
探究點一 異面直線的判斷
探究點二 異面直線所成的角
【學習目標】
1.理解異面直線的概念,并能正確畫出兩條異面直線.
2.掌握異面直線所成的角.
知識點一 異面直線的判斷
1.定理
過平面內一點與平面外一點的直線,和這個平面內不經過該點的直線
是異面直線.
2.判斷異面直線的方法
方法 內容
定義法 不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線
定理法 過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不
經過該點的直線是異面直線
反證法 判定兩條直線既不平行也不相交，那么這兩條直線就
是異面直線
知識點二 異面直線所成的角
1.定義：如圖，與是異面直線,經過空間任意一點，作直線 ,
,我們把直線與所成的________________叫作異面直線，
所成的角或夾角.
銳角（或直角）
2.求異面直線所成角的一般步驟
（1）構造：根據異面直線的定義，用平移法（常用三角形的中位線
定理、平行四邊形的性質）作出異面直線所成的角或其補角.
（2）證明：證明作出的角或其補角就是要求的角.
（3）計算：求角度，常利用三角形的邊角關系，通過解三角形求解.
（4）結論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成
的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.
探究點一 異面直線的判斷
例1（1） 在四棱錐 中，各棱所在的直線為異面直線的有
___對.
8
[解析] 與直線異面的有直線和 ，同理，底面的各條邊所在
直線均與兩條側棱所在直線異面，故異面直線共有 （對）.
（2）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原
成正方體，那么，，， 這四條線段所
在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？
解：還原的正方體如圖所示.由圖可知， ，
， 這四條線段所在直線中，是異面直線的
有三對，分別為與，與，與 .
變式 如圖所示，在三棱錐中，， 是
棱上異于，的不同兩點，，是棱 上
異于， 的不同兩點，給出下列說法：
①與 為異面直線；
②與， 均為異面直線；
③與 為異面直線；
④與 為異面直線.
其中正確的說法是__________.（填序號）
①②③④
[解析] 因為直線平面,直線平面,點 平面,
點直線,所以由異面直線的判定定理可知, 與 為異面直線,
故①正確；同理,②③④正確.
［素養小結］
判定異面直線的方法
（1）定義法：利用異面直線的定義，說明兩條直線不平行，也不相
交，即不可能同在同一個平面內.
（2）利用異面直線的判定定理.
（3）反證法：假設兩條直線不是異面直線，根據空間兩條直線的位置
關系，這兩條直線一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.
探究點二 異面直線所成的角
例2 [2024·江陰四校高一期中]在正方體中， 為
的中點，則異面直線與 所成的角為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如圖,連接,,設與 交于點,連接,
在正方體 中,易知,,
又, 分別為,的中點,所以 ,,
則四邊形 為平行四邊形,所以,
所以異面直線與 所成的角就是或其補角.
設正方體的棱長為2,可得 ,,,在 中,
由余弦定理得 ,
由,得 ,所以異面直線與所成的角是 .
故選C.
變式1（1） [2024·菏澤一中高一月考]如圖，在三
棱錐中，為等邊三角形，, 分別
為,的中點，則異面直線與 所成的角為
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為,分別為, 的中點，
所以，則或其補角是異面直線與所成的角.
因為為等邊三角形，所以，
故異面直線 與所成的角為 .故選A.
√
（2）在三棱柱中,,,,, 分別是
和的中點,則異面直線與 所成的角為____.
[解析] 如圖,取的中點,連接,,
, 分別為,的中點,,
則 （或其補角）為異面直線與 所成的角.
取的中點,連接,,則 且,
又且, 四邊形為平行四邊形,.
在 中,由,, ,
得,則 ,
,, ,
,,則,
可得,即異面直線與所成的角為.
變式2 如圖所示,在空間四邊形中,, ,
的中點分別是,,,且, ,
,證明: .
證明：,,分別為,,的中點,
,, 或其補角是異面直線與所成的角.
,, , ,,
異面直線與所成的角為 , .
［素養小結］
求異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉化為
兩條相交直線所成的角.將空間問題向平面問題轉化，這是我們學習
立體幾何的一條重要的思維途徑.
1.求解異面直線所成的角問題的解題思路:把空間兩條異面直線所成
的角通過平移轉化為平面內相交直線所成的角,再求出該角.
2.兩條直線垂直,既包括相交垂直,也包括異面垂直.
3.要證兩條異面直線垂直,只需證這兩條異面直線所成的角是直角.
1.判定或證明異面直線的方法有兩種
（1）定義法:由定義法判定兩直線不可能在同一平面內,常用反證法.
（2）判定定理:過平面內一點與平面外一點的直線,和這個平面內不
經過該點的直線是異面直線.
例1 如圖所示,在四面體中,,分別是棱, 上的
點,且.求證:直線與 是異面直線.
證明：設為上靠近的三等分點,連接 ,如圖,
則,故 ,所以,,, 四點共面.
因為平面,平面,所以 平面,
又平面, ,所以直線與 是異面直線.
2.求異面直線所成的角的基本步驟:作（找）、證、求、答.
例2（1） 如圖，在正方體
中，，分別為和 的中點，則異面直
線與 所成角的正弦值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中點,的中點,
連接,, ,如圖.
因為,分別為,的中點,
所以, ,
則四邊形為平行四邊形,所以.
同理可得 ,
則或其補角為異面直線與所成的角.
設正方體的棱長為 ,
則,
,
,,
所以 ,
可得,故異面直線與所成角的正弦值為 .故選B.
（2）如圖，在邊長為4的正三角形中， ，
，分別為,,的中點，，分別為 ，
的中點，將沿，， 折成四面體
，,,重合于 ，則在此四面體中，異
面直線與 所成的角的余弦值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 連接,設的中點為,連接 ,,如圖.
因為,分別為, 的中點,所以,
則 或其補角即為異面直線與 所成的角.
由題意知,四面體 的各棱長均為2,
因為為的中點,所以, ,
則,.
在 中,, ,
，
故 ，
故異面直線與所成的角的余弦值為 .故選B.第2課時　異面直線
【課前預習】
知識點二
1.銳角(或直角)
【課中探究】
探究點一
例1　(1)8　[解析] 與直線AB異面的有直線PD和PC,同理,底面的各條邊所在直線均與兩條側棱所在直線異面,故異面直線共有4×2=8(對).
(2)解:還原的正方體如圖所示.由圖可知AB,CD,EF,GH這四條線段所在直線中,是異面直線的有三對,分別為AB與CD,AB與GH,EF與GH.
變式　①②③④　[解析] 因為直線DC 平面BCD,直線AB 平面BCD,點B∈平面BCD,點B 直線DC,所以由異面直線的判定定理可知,AB與CD為異面直線,故①正確;同理,②③④正確.
探究點二
例2　C　[解析] 如圖,連接AC,BD,設AC與BD交于點Q,連接B1Q,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知BD∥B1D1,BD=B1D1,又P,Q分別為B1D1,BD的中點,所以PB1∥DQ,PB1=DQ,則四邊形DQB1P為平行四邊形,所以DP∥QB1,所以異面直線DP與B1C所成的角就是∠QB1C或其補角.設正方體的棱長為2,可得B1C=2,QC=,QB1=,在△B1QC中,由余弦定理得cos∠QB1C
====,由∠QB1C∈(0,π),得∠QB1C=,所以異面直線DP與B1C所成的角是.故選C.
變式1　(1)A　(2)30°　[解析] (1)因為M,N分別為PA,PB的中點,所以MN∥AB,則∠BAC或其補角是異面直線MN與AC所成的角.因為△ABC為等邊三角形,所以∠BAC=,故異面直線MN與AC所成的角為.故選A.
(2)如圖,取AB1的中點F,連接EF,DF,∵D,F分別為AC1,AB1 的中點,∴DF∥B1C1,則∠FDE(或其補角)為異面直線B1C1與DE所成的角.取AC的中點O,連接BO,DO,則DO∥CC1且DO=CC1,又BE∥CC1且BE=CC1,∴四邊形DOBE為平行四邊形,∴DE=BO.在△ABC中,由AB=1,AC=2,BC=,得AB2+BC2=AC2,則AB⊥BC,∴OB=AC=1.∵DF=B1C1=BC=,EF=AB=,DE=OB=1,∴DF2+EF2=DE2,∴∠DFE=90°,則sin∠FDE==,可得∠FDE=30°,即異面直線B1C1與DE所成的角為30°.
變式2　證明:∵P,Q,R分別為AB,BC,CD的中點,∴PQ∥AC,QR∥BD,∴∠PQR或其補角是異面直線AC與BD所成的角.∵PQ=2,QR=,PR=3,∴PQ2+QR2=PR2,
∴∠PQR=90°,∴異面直線AC與BD所成的角為90°,
∴AC⊥BD.第2課時　異面直線
1.C　[解析] 如圖所示,正方體一共有12條棱,其中棱CC1,DD1,A1D1,B1C1所在直線都與棱AB所在直線異面.故選C.
2.A　[解析] 兩條異面直線指的是不同在任何一個平面內的兩條直線,故A正確;在空間中不相交的兩條直線可以平行或異面,故B錯誤;分別位于兩個不同平面內的兩條直線可以平行、相交或異面,故C錯誤;某一個平面內的一條直線和這個平面外的一條直線可以平行、相交或異面,故D錯誤.故選A.
3.D　[解析] 兩條異面直線在一個平面上的射影可以是兩條相交直線、兩條平行直線或一條直線和一個點.故選D.
4.B　[解析] 連接A1C1,A1B,如圖.因為A1C1∥AC,所以異面直線AC與BC1所成的角就是A1C1與BC1所成的角,即為∠BC1A1或其補角,又易知△BC1A1是等邊三角形,所以
∠BC1A1=60°,所以異面直線AC與BC1所成的角為60°.故選B.
5.A　[解析] 因為a,b為兩條異面直線且a α,b β,α∩β=l,所以a與l共面,b與l共面,假設l與a,b都不相交,則a∥l,b∥l,所以a∥b,與a,b異面矛盾,故A正確;當a,b在如圖所示的位置時,可知l與a,b都相交,故B,C,D錯誤.故選A.
6.A　[解析] 如圖,過點P作直線a',b',使a'∥a,b'∥b,則a'與b'的夾角為70°,不妨設a'與b'的夾角為∠APB,其補角為∠APC,則∠APB=70°,∠APC=110°,所以與a',b'的夾角相等的直線在a',b'所在平面上的射影與∠APB或∠APC的平分線所在直線重合.因為∠APB的平分線所在直線與a',b'的夾角均為35°,所以其他在a',b'所在平面上的射影與∠APB的平分線所在直線重合的直線與a',b'的夾角都大于35°.因為∠APC的平分線所在直線與a',b'的夾角均為55°,所以其他在a',b'所在平面上的射影與∠APC的平分線所在直線重合的直線與a',b'的夾角都大于55°.所以只有1條直線與a',b'的夾角均為35°,即只有1條直線與a,b的夾角均為35°.故選A.
7.D　[解析] 記AB的中點為F,連接EF,A1F,如圖,因為E為棱AC的中點,所以EF∥BC,易知EF=2,A1E=A1F==2,所以△A1EF為等腰三角形,∠A1EF為銳角,所以∠A1EF即為異面直線A1E與BC所成的角.記EF的中點為D,連接A1D,所以A1D⊥EF,則cos∠A1EF===,即異面直線A1E與BC所成角的余弦值為.故選D.
8.ABC　[解析] 在選項A,B,C中的兩直線均可能平行、相交、異面,故A,B,C中說法均錯誤;由異面直線的定義可知,D中說法正確.故選ABC.
9.BCD　[解析] 將展開圖還原為正方體,如圖.對于A選項,直線EF和直線CD平行,不是異面直線;對于B選項,直線AB和直線HG是異面直線;對于C選項,直線EF和直線HG是異面直線;對于D選項,直線AB和直線CD是異面直線.故選BCD.
10.異面　[解析] ∵E 平面BCD,D∈平面BCD,BF 平面BCD,D BF,∴直線DE與BF是異面直線.
11.無數　[解析] 如圖所示,過點P作直線l'使l'∥l,則易知以l'為軸且軸截面為等邊三角形的圓錐的所有母線所在直線都與l成30°角.
12.或　[解析] 取BC的中點E,連接EM,EN,如圖.∵M,E分別為AB,BC的中點,∴ME∥AC且ME=AC=1,同理可得EN∥BD且EN=BD=,∴∠MEN或其補角為異面直線AC與BD所成的角,則∠MEN=45°或∠MEN=135°.在△MEN中,ME=1,EN=,若∠MEN=45°,則由余弦定理可得MN===;若∠MEN=135°,則由余弦定理可得MN===.綜上所述,線段MN的長為或.
13.解:如圖,過點A作AN∥OM,交圓O于點N,連接ON,PN,
則∠PAN或其補角即為異面直線OM與AP所成的角,
設 AO=ON=1,可知∠OAN=∠ONA,又∠AOM=∠OAN=30°,所以∠ONA=30°,則AN=.
因為軸截面PAB為等腰直角三角形,所以PA=PN=,
在△APN中,由余弦定理得,cos∠PAN===,所以異面直線OM與AP所成角的余弦值為.
14.證明:如圖,取CC'的中點F,連接EF,BF,
∵E為AC的中點,F為CC'的中點,
∴EF∥AC',EF=AC'.
在正三棱柱ABC-A'B'C'中,AC'=2,則EF=,在等邊三角形ABC中,BE==,
在Rt△BCF中,BF==.
在△BEF中,∵BE2+EF2=BF2,
∴BE⊥EF,∴BE⊥AC'.
15.B　[解析] 對于選項A,在翻折過程中,BE與AE的夾角∠BEA=80°,始終不變,故A錯誤;對于選項B,∵AD∥EC,∴轉化為判斷BE和EC是否會垂直,易知翻折過程中BE和EC夾角的變化范圍是(20°,180°),故存在某個位置使得BE⊥AD,故B正確;對于選項C,易知翻折過程中AB和AC夾角的變化范圍是(20°,60°),故不存在某個位置使得AB⊥AC,故C錯誤;對于選項D,由于CD平行于翻折前的AB,故只需考慮翻折過程中AB'與翻折前的AB夾角的變化范圍,又易知翻折過程中AB與翻折前的AB夾角的變化范圍是(0°,80°),所以不存在某個位置使得AB⊥CD,故D錯誤.故選B.
16.解:(1)證明:∵△ABD為等邊三角形,O為BD的中點,
∴AO⊥BD.
在△BCD中,∵O為BD的中點,BC⊥CD,
∴OC=BD=1.
在Rt△AOD中,AD=2,OD=1,∴AO=.
在△AOC中,AO=,OC=1,AC=2,則AO2+OC2=AC2,∴AO⊥OC.
(2)取AD,AC的中點分別為E,F,連接OF,EF,OE,如圖.
①由(1)得OF=AC=1,AB=BD=2,
在△ACD,△ABD中,∵E,F,O分別為AD,AC,BD的中點,
∴OE∥AB,EF∥CD且OE=AB=1,EF=CD,
故異面直線AB與CD所成的角即為∠OEF或其補角,
在△BCD中,BC=CD,BD=2,BC⊥CD,則CD=,
∴EF=CD=.
在△OEF中,cos ∠OEF==,
故異面直線AB與CD所成角的余弦值為.
②∵異面直線AB與CD所成角的余弦值為,
∴由①可知|cos∠OEF|==,OE=1,OF=1,∴EF=,故CD=1.
在△BCD中,CD=1,BD=2,BC⊥CD,
∴BC=,故=.第2課時　異面直線
【學習目標】
　　1.理解異面直線的概念,并能正確畫出兩條異面直線.
　　2.掌握異面直線所成的角.
◆ 知識點一　異面直線的判斷
1.定理
過平面內一點與平面外一點的直線,和這個平面內不經過該點的直線是異面直線.
2.判斷異面直線的方法
方法 內容
定義法 不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線
定理法 過平面內一點與平面外一點的直線,和這個平面內不經過該點的直線是異面直線
反證法 判定兩條直線既不平行也不相交,那么這兩條直線就是異面直線
◆ 知識點二　異面直線所成的角
1.定義:如圖,a與b是異面直線,經過空間任意一點O,作直線a'∥a,b'∥b,我們把直線a'與b'所成的　　　　　　叫作異面直線a,b所成的角或夾角.
2.求異面直線所成角的一般步驟
(1)構造:根據異面直線的定義,用平移法(常用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質)作出異面直線所成的角或其補角.
(2)證明:證明作出的角或其補角就是要求的角.
(3)計算:求角度,常利用三角形的邊角關系,通過解三角形求解.
(4)結論:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補角就是所求異面直線所成的角.
◆ 探究點一　異面直線的判斷
例1 (1)在四棱錐P-ABCD中,各棱所在的直線為異面直線的有　　　　對.
(2)如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原成正方體,那么AB,CD,EF,GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對 分別是哪幾對
變式 如圖所示,在三棱錐A-BCD中,E,F是棱AD上異于A,D的不同兩點,G,H是棱BC上異于B,C的不同兩點,給出下列說法:
①AB與CD為異面直線;
②FH與DC,DB均為異面直線;
③EG與FH為異面直線;
④EG與AB為異面直線.
其中正確的說法是　　　　.(填序號)
[素養小結]
判定異面直線的方法
(1)定義法:利用異面直線的定義,說明兩條直線不平行,也不相交,即不可能同在同一個平面內.
(2)利用異面直線的判定定理.
(3)反證法:假設兩條直線不是異面直線,根據空間兩條直線的位置關系,這兩條直線一定共面,即可能相交或平行,然后推出矛盾即可.　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 探究點二　異面直線所成的角
例2 [2024·江陰四校高一期中] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則異面直線DP與B1C所成的角為 (　 )
A. B. C. D.
變式1 (1)[2024·菏澤一中高一月考] 如圖,在三棱錐P-ABC中,△ABC為等邊三角形,M,N分別為PA,PB的中點,則異面直線MN與AC所成的角為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分別是AC1和BB1的中點,則異面直線B1C1與DE所成的角為　　　　.
變式2 如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD的中點分別是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,證明:AC⊥BD.
[素養小結]
求異面直線所成角的大小時,通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角.將空間問題向平面問題轉化,這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑.第2課時　異面直線
一、選擇題
1.正方體ABCD-A1B1C1D1中,與棱AB所在直線異面的棱所在直線有 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.8條 B.6條
C.4條 D.3條
2.兩條異面直線指的是 (　 )
A.不同在任何一個平面內的兩條直線
B.在空間中不相交的兩條直線
C.分別位于兩個不同平面內的直線
D.某一個平面內的一條直線和這個平面外的一條直線
3.兩條異面直線在一個平面上的射影是 (　 )
A.兩條相交直線
B.兩條平行直線
C.一條直線和一個點
D.以上都有可能
4.[2024·江蘇泰州期末] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BC1所成的角為 (　 )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
5.若a,b為兩條異面直線,α,β為兩個不同的平面,a α,b β,α∩β=l,則下列結論中正確的是 (　 )
A.l至少與a,b中一條相交
B.l至多與a,b中一條相交
C.l至少與a,b中一條平行
D.l必與a,b中一條相交,與另一條平行
6.[2024·江蘇南京外國語學校期末] 異面直線a,b的夾角為70°,過空間一點P作直線l,使l與a,b的夾角均為35°,這樣的直線條數為 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.[2024·江蘇鹽城五校聯考] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=4,E為棱AC的中點,則異面直線A1E與BC所成角的余弦值為 (　 )
A.- B.-
C. D.
8.(多選題)下列關于異面直線的說法錯誤的是(　 )
A.若a α,b β,則a與b是異面直線
B.若a與b異面,b與c異面,則a與c異面
C.若a,b不同在平面α內,則a與b異面
D.若a,b不同在任何一個平面內,則a與b異面
9.(多選題)[2024·江蘇連云港高級中學月考] 如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,那么下列各組直線中是異面直線的是 (　 )
A.直線EF和直線CD
B.直線AB和直線HG
C.直線EF和直線HG
D.直線AB和直線CD
二、填空題
10.[2024·北京海淀區期末] 如圖,已知E,F分別為三棱錐D-ABC的棱AB,DC的中點,則直線DE與BF的位置關系是　　　　(填“平行”“異面”或“相交”).
11.設P是直線l外一定點,過點P且與l成30°角的異面直線有　　　　條.
12.[2024·杭州外國語高一月考] 如圖,在四面體A-BCD中,AC=2,BD=,AC與BD所成的角為45°,M,N分別為AB,CD的中點,則線段MN的長為　　　　.
三、解答題
13.在圓錐PO中,軸截面PAB為等腰直角三角形,M為底面圓O上一點,∠AOM=30°,求異面直線OM與AP所成角的余弦值.
14.如圖,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,E為棱AC的中點,AB=BB'=2.求證:BE⊥AC'.
15.如圖①,在菱形ABCD中,AC,BD是其對角線,E是邊BC上一點,且∠BAE=∠BAD=40°,將△BAE沿直線AE翻折,形成四棱錐B-AECD(如圖②),則在翻折過程中,下列結論中正確的是 (　 )
A.存在某個位置使得BE⊥AE
B.存在某個位置使得BE⊥AD
C.存在某個位置使得AB⊥AC
D.存在某個位置使得AB⊥CD
16.如圖,在三棱錐A-BCD中,△ABD為等邊三角形,BD=AC,BC⊥CD,O為BD的中點,BD=2.
(1)證明:AO⊥OC;
(2)①當BC=CD時,求異面直線AB與CD所成角的余弦值;
②當異面直線AB與CD所成角的余弦值為時,求的值.

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