資源簡介

(共51張PPT)
13.2 基本圖形位置關系
13.2.3 直線與平面的位置關系
第2課時 直線與平面垂直
探究點一 直線與平面垂直概念的理解
探究點二 直線與平面垂直的判定定理的
應用
探究點三 線面垂直的性質定理及應用
探究點四 點面距離與線面距離
【學習目標】
1.掌握直線與平面垂直的判定定理和性質定理.
2.能夠運用線面垂直的判定定理證明一些空間位置關系的簡單命
題.了解平行垂直間的轉化關系.
知識點一 直線與平面垂直
定義
記法 ______
有關概念
圖示 _________________________________
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平
行四邊形的一邊垂直
任意一條
垂線
垂面
垂足
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）如果一條直線與一個平面內無數條直線都垂直,那么它與該平面
垂直.( )
×
[解析] 由圖①可知與 內無數條平行直線垂直，
但它與該平面不垂直，故錯誤.
（2）如果一條直線與一個平面不垂直,那么它與平面內任何一條直線
都不垂直.( )
×
[解析] 由圖②可知與不垂直，但它可能與 內
無數條平行直線垂直，故錯誤.
（3）如果一條直線與一個平面垂直,那么它與平面內所有的直線都垂
直.( )
√
[解析] 由直線與平面垂直的定義知正確.
2.在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子,隨著時間的
變化,其影子的位置在移動.隨著時間的變化旗桿所在的直線與其影子
所在的直線的夾角是否發生變化 若不變,夾角為多少
解：由直線與平面垂直的定義知,隨著時間的變化,旗桿所在的直線與
其影子所在的直線的夾角不變,為 .
知識點二 直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內的______________直線垂
直，那么該直線與此平面垂直
符號語言
圖形語言 ________________________________________________
兩條相交直線
【診斷分析】 判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）在線面垂直的判定定理中,平面內兩條相交直線和已知直線 必
須有公共點.( )
×
[解析] 它們可以有公共點,也可以沒有公共點.
（2）如果一條直線與一個平面內的兩條直線垂直,那么該直線與此平
面垂直.( )
×
[解析] 在線面垂直的判定定理中,要求平面內的兩條直線必須相交.
（3）若一條直線與一個三角形的兩條邊垂直,則此直線與該三角形所
在平面垂直.( )
√
[解析] 因為三角形的任意兩條邊都相交,所以根據直線與平面垂直的
判定定理知,此直線與該三角形所在平面垂直.
知識點三 直線和平面垂直的性質定理
1.性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線______
符號語言
圖形語言 _____________________________________________
平行
2.兩種距離
（1）點到平面的距離：從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足
間的距離，叫作這個點到這個平面的距離.
（2） 直線和平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上
任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離.
【診斷分析】
（1）過一點有幾條直線與已知平面垂直
解：一條.假設過一點有兩條直線與已知平面垂直，由直線與平面垂
直的性質定理可得這兩條直線平行，即無公共點，與這兩條直線過
同一點矛盾，故過一點只有一條直線與已知平面垂直.
（2）兩條異面直線中有一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也
垂直于這個平面嗎
解：不垂直.假設另一條直線也垂直于這個平面，則根據直線與平面
垂直的性質定理知，這兩條直線互相平行，與這兩條直線是異面直
線矛盾，故另一條直線不垂直于這個平面.
知識點四 幾種特殊的棱柱
1.直棱柱：________________的棱柱.
2.斜棱柱：__________________的棱柱.
3.正棱柱：________________的直棱柱.
4.平行六面體：__________________的四棱柱.
5.直平行六面體：________________的平行六面體.
6.長方體：____________的直平行六面體.
7.正方體：__________的長方體.
側棱垂直于底面
側棱不垂直于底面
底面是正多邊形
底面是平行四邊形
側棱與底面垂直
底面是矩形
棱長相等
探究點一 直線與平面垂直概念的理解
例1 在下列條件中,能判定一條直線與一個平面垂直的是( )
A.這條直線垂直于該平面內的一條直線
B.這條直線垂直于該平面內的兩條直線
C.這條直線垂直于該平面內的任意兩條直線
D.這條直線垂直于該平面內的無數條直線
√
[解析] 由線面垂直的判定定理可得,一條直線與一個平面垂直的
條件是這條直線垂直于平面內的兩條相交直線.
只有C選項滿足題意,因為當這條直線垂直于該平面內的任意兩條
直線時,這條直線也垂直于該平面內的兩條相交直線.故選C.
變式 已知直線,和平面,且在 內,不在 內,則下列說法錯誤
的是( )
A.若,則存在無數條直線,使得
B.若,則存在無數條直線,使得
C.若存在無數條直線,使得,則
D.若存在無數條直線,使得,則
√
[解析] 對于A,若 ,則內存在無數條直線與 平行,故A中說法正確;
對于B,若,則垂直于 內的任意直線,故B中說法正確;
對于C,因為,,,所以 ,故C中說法正確;
對于D,若存在無數條直線,使得,則與 平行或相交（含垂直）,
故D中說法錯誤.故選D.
［素養小結］
（1）直線和平面垂直的定義是描述性定義,對直線的任意性要
注意理解.實際上,“任意一條”與“所有”表達相同的含義.當直線
與平面垂直時,該直線就垂直于這個平面內的任何直線.由此可知,
如果一條直線與一個平面內的一條直線不垂直,那么這條直線就
一定不與這個平面垂直.
（2）由定義可得線面垂直線線垂直,即若, ,則 .
探究點二 直線與平面垂直的判定定理的應用
例2 如圖,在三棱錐中,為的中點,, ,
.求證:平面 .
證明：如圖,設是的中點,
連接 ,, .
是的中點,是 的中點,
, ,
又,,平面,
平面,平面 .
平面, ,又,,
平面,平面, 平面 .
變式1 如圖，四棱錐中，底面為菱形， 平面
，，是的中點.求證：平面 .
證明：連接，因為底面 為菱形，
，所以 為正三角形.
因為是的中點，所以 ，
又，所以 .
因為平面，平面 ，
所以 ，又，
,平面 ，所以 平面 .
變式2 如圖,在長方體 中,
,,為棱 的中點.
求證:平面 .
證明：易知平面 ,平面, .
在中,, ,
則有,,即 .
,平面,平面,平面 .
［素養小結］
（1）利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的一般步驟:
①在這個平面內找兩條直線,使它們和已知直線垂直;
②確定這個平面內的兩條直線是相交直線;
③根據判定定理得出結論.
（2）證明線面垂直的常用方法除利用判定定理外,還可用以下結論:
, .
拓展 （多選題）如圖,垂直于圓 所在的平面,
是圓的直徑,是圓上異于,的一點,, 分
別是,上的點,且, ,給出下列
結論,其中正確的有( )
A. 平面 B. 平面
C. D. 平面
√
√
√
[解析] 垂直于圓所在的平面,
在圓 所在的平面內,,
又,, 平面,
平面,平面 ,故A正確.
平面,平面,,
又 ,,平面,
平面,平面 ,故B正確.
平面, 平面,,
又 ,,平面,
平面, 平面 ,
又平面,,故C正確.
平面 ,且過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直,
與平面 不垂直,故D不正確.故選 .
探究點三 線面垂直的性質定理及應用
例3 如圖所示,已知平面 平面 ,
,垂足為, ,垂足為 ,直線
,,則直線與直線 的位置關系是
______.
平行
[解析] 平面平面,,又, .同理
,平面,平面, 平面
,,,又,,
平面,平面,平面, .
變式 如圖,在正方體中,,分別為和 上的點,
且,.求證: .
證明：如圖,連接, .在正方體中, ,
, ,又,,
平面 , 平面 , 平面 .
連接,,易知, ,
又,平面,
平面, 平面 . 平面, .
同理, 平面 ,又 平面, .
, 平面, 平面,
平面, .
［素養小結］
證明線線平行的常用方法
（1）利用線線平行的定義:證明共面且無公共點,
（2）利用基本事實4:證明兩線同時平行于第三條直線.
（3）利用線面平行的性質定理:把證明線線平行轉化為證明線面平行.
（4）利用線面垂直的性質定理:把證明線線平行轉化為證明線面垂直.
探究點四 點面距離與線面距離
例4 在長方體中，,， .
（1）求點到平面 的距離；
解： 如圖.
點到平面的距離為 .
（2）求直線到平面 的距離；
解：平面，平面，
到平面的距離為 .
1.直線與平面垂直概念的理解
（1）定義中強調的是垂直于平面內的任意一條直線（即所有直線）,
而不能用垂直于平面內的無數條直線來代替.
（2）若一條直線與一個平面內的一條直線不垂直,則這條直線就一定
不與這個平面垂直.
（3）直線與平面垂直的定義既可用作線面垂直的判定,也可作為線面
垂直的性質.
2.直線與平面垂直的判定定理解讀
（1）直線與平面垂直的判定定理可簡述為“若線線垂直,則線面垂直”.
（2）在利用直線與平面垂直的判定定理時,一定要注意這條直線和平
面內的兩條相交直線垂直（一交一內一垂直）.
3.直線與平面垂直的性質定理解讀
（1）直線與平面垂直的性質定理給出了一種證明兩直線平行的方法,
即只需證明兩條直線均與同一個平面垂直,反映了線線平行與線面垂
直邏輯上的相互轉化,即“若線面垂直,則線線平行”.
（2）利用直線與平面垂直的性質定理可構造平行線,即使這些直線都
垂直于同一個平面.
1.證明線面垂直的方法:
（1）由線線垂直證明線面垂直:
①定義法（不常用）;②判定定理（最常用）,要著力尋找平面內的兩
條相交直線（有時需要作輔助線）,使它們與所給直線垂直.
（2）平行轉化法:
, ; , .
在證明中,要關注立體幾何中平面圖形的特點,比如等腰三角形、菱形、
矩形等,也要關注全等、勾股定理等初中幾何知識的運用.
證明：在四棱錐中,底面 是矩形, ,
又,,平面, 平面,
平面 .平面, .
,是棱的中點, ,
又,平面, 平面,平面 .
例1 如圖所示,在四棱錐中,
底面 是矩形,,,
是棱的中點.求證: 平面 .
例2 如圖,四面體中,是的中點,和 均為等邊三
角形,,.求證:平面 .
證明：連接,因為為等邊三角形,
且 為的中點,所以 .
因為和均為等邊三角形,
且為 的中點,,所以 ,
在中,可得 ,
所以,即 .
因為,平面, 平面,所以平面 .
2.線面垂直的性質定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內在聯系,
提供了“垂直”與“平行”關系相互轉化的依據.
例3 如圖,和都垂直于平面,
且,,是 的中點.
（1）求證:平面 ;
證明：因為和都垂直于平面 ,
所以,又平面,平面 ,
所以平面 .
（2）求證:平面 .
證明： 如圖,取的中點,連接, .
在中,,分別為, 的中點,
所以, ,
又, ,所以, ,
所以四邊形 為平行四邊形, 則 .
因為,為 的中點, 所以 .
因為平面,平面 ,所以,
又,平面,平面 ,
所以 平面 ,所以 平面 .
3.線面垂直與線線垂直互相轉化
例4 [2024·江蘇蘇州期中] 如圖，在四棱錐中，底面
為矩形，底面，，為棱的中點.求證：
平面 .
證明：因為底面為矩形,所以 .
因為底面,底面 ,所以 ,
又,,平面 ,所以平面 ,
又平面,所以 .
因為,為的中點,所以 ,
又,,平面,所以平面 .第2課時　直線與平面垂直
【課前預習】
知識點一
任意一條　a⊥α　垂線　垂面　垂足
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　　[解析] (1)由圖①可知l與α內無數條平行直線垂直,但它與該平面不垂直,故錯誤.
(2)由圖②可知l與α不垂直,但它可能與α內無數條平行直線垂直,故錯誤.
(3)由直線與平面垂直的定義知正確.
2.解:由直線與平面垂直的定義知,隨著時間的變化,旗桿所在的直線與其影子所在的直線的夾角不變,為90°.
知識點二
兩條相交直線　m∩n
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)它們可以有公共點,也可以沒有公共點.
(2)在線面垂直的判定定理中,要求平面內的兩條直線必須相交.
(3)因為三角形的任意兩條邊都相交,所以根據直線與平面垂直的判定定理知,此直線與該三角形所在平面垂直.
知識點三
1.平行
診斷分析
解:(1)一條.假設過一點有兩條直線與已知平面垂直,由直線與平面垂直的性質定理可得這兩條直線平行,即無公共點,與這兩條直線過同一點矛盾,故過一點只有一條直線與已知平面垂直.
(2)不垂直.假設另一條直線也垂直于這個平面,則根據直線與平面垂直的性質定理知,這兩條直線互相平行,與這兩條直線是異面直線矛盾,故另一條直線不垂直于這個平面.
知識點四
1.側棱垂直于底面　2. 側棱不垂直于底面
3.底面是正多邊形　4.底面是平行四邊形
5.側棱與底面垂直　6.底面是矩形　7.棱長相等
【課中探究】
探究點一
例1　C　[解析] 由線面垂直的判定定理可得,一條直線與一個平面垂直的條件是這條直線垂直于平面內的兩條相交直線.只有C選項滿足題意,因為當這條直線垂直于該平面內的任意兩條直線時,這條直線也垂直于該平面內的兩條相交直線.故選C.
變式　D　[解析] 對于A,若a∥α,則α內存在無數條直線與a平行,故A中說法正確;對于B,若a⊥α,則a垂直于α內的任意直線,故B中說法正確;對于C,因為a∥b,a α,b α,所以a∥α,故C中說法正確;對于D,若存在無數條直線b,使得a⊥b,則a與α平行或相交(含垂直),故D中說法錯誤.故選D.
探究點二
例2　證明:如圖,設D是AB的中點,連接ED,∵EB=EA,∴ED⊥AB.
∵E是PB的中點,D是AB的中點,
∴ED∥PA,∴PA⊥AB,
又PA⊥AC,AB∩AC=A,AB 平面ABC,AC 平面ABC,∴PA⊥平面ABC.
∵BC 平面ABC,∴PA⊥BC,
又PC⊥BC,PA∩PC=P,PA 平面PAC,PC 平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
變式1　證明:連接AC,因為底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,所以△ABC為正三角形.
因為E是BC的中點,所以AE⊥BC,
又AD∥BC,所以AE⊥AD.
因為PA⊥平面ABCD,AE 平面ABCD,所以PA⊥AE,
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以AE⊥平面PAD.
變式2　證明:易知BC⊥平面CDD1C1,
∵DE 平面CDD1C1,∴DE⊥BC.
在△CDE中,CD=2a,CE=DE=a,
則有CE2+DE2=CD2,∴∠DEC=90°,即DE⊥EC.
∵BC∩EC=C,BC 平面BCE,EC 平面BCE,∴DE⊥平面BCE.
拓展　ABC　[解析] ∵PA垂直于圓O所在的平面,BC在圓O所在的平面內,∴PA⊥BC,又BC⊥AC,AC∩PA=A,AC 平面PAC,PA 平面PAC,∴BC⊥平面PAC,故A正確.∵AF 平面PAC,BC⊥平面PAC,∴AF⊥BC,又AF⊥PC,PC∩BC=C,PC 平面PCB,BC 平面PCB,∴AF⊥平面PCB,故B正確.∵AF⊥平面PCB,PB 平面PCB,∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,AE 平面AEF,AF 平面AEF,∴PB⊥平面AEF,又EF 平面AEF,∴EF⊥PB,故C正確.∵AF⊥平面PCB,且過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直,∴AE與平面PCB不垂直,故D不正確.故選ABC.
探究點三
例3　平行　[解析] ∵平面α∩平面β=l,∴l α,又∵EA⊥α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.∵EA∩EB=E,EA 平面EAB,EB 平面EAB,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a β,∴EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,EB 平面EAB,AB 平面EAB,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.
變式　證明:如圖,連接AB1,B1C.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D∥B1C,∵EF⊥A1D,∴EF⊥B1C,
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC 平面AB1C,B1C 平面AB1C,
∴EF⊥平面AB1C.
連接A1B,C1B,易知B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,
又BC1∩D1C1=C1,BC1 平面BC1D1,D1C1 平面BC1D1,∴B1C⊥平面BC1D1.
∵BD1 平面BC1D1,∴B1C⊥BD1.
同理,B1A⊥平面BA1D1,
又BD1 平面BA1D1,∴B1A⊥BD1.
∵B1A∩B1C=B1,B1A 平面AB1C,B1C 平面AB1C,∴BD1⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
探究點四
例4　解:如圖.
(1)點A到平面BCC1B1的距離為AB=4.
(2)∵AB∥平面A1B1C1D1,AA1⊥平面A1B1C1D1,∴AB到平面A1B1C1D1的距離為AA1=2.第2課時　直線與平面垂直
1.C　[解析] ∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.故選C.
2.B　[解析] 若l⊥α,m α,則l⊥m一定成立,即必要性成立.若l⊥m,m α,則l⊥α不一定成立,只有當l垂直于平面α內的兩條相交直線時,該結論才成立,故充分性不成立.綜上所述,“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分條件.故選B.
3.B　[解析] 如圖,a不與α垂直,A是a上一點,C是a與α的交點,AB⊥α,B∈α,c α,故AB⊥c.若c⊥BC,則由AB∩BC=B,可得c⊥平面ABC,又a 平面ABC,所以c⊥a,故在平面α內與c平行的直線均與a垂直,這樣的直線有無數條.故選B.
4.A　[解析] 如圖,取A1B1的中點F,連接C1F,易得C1F⊥平面ABB1A1.設FB1的中點為H,連接EH,則EH∥C1F,∴EH⊥平面ABB1A1,∴E到平面ABB1A1的距離為EH=C1F=.故選A.
5.B　[解析] 在A中,若m α,n α,l⊥m,l⊥n,則l與α相交或l∥α或l α,故A錯誤;在B中,若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥α,故B正確;在C中,若l∥m,m⊥α,n⊥α,則l∥n,故C錯誤;在D中,若m α,n⊥α,l⊥n,則l與m相交、平行或異面,故D錯誤.故選B.
6.B　[解析] 連接AC,若MA⊥BD,因為MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以MC⊥BD,又MA∩MC=M,MA,MC 平面MAC,故BD⊥平面MAC,又因為AC 平面MAC,所以BD⊥AC,故當BD⊥AC時,可推出MA⊥BD.所以MA與BD垂直的一個充分條件是“四邊形ABCD為菱形”.故選B.
7.A　[解析] 如圖,過O作PQ的平行線OG,點G在上底面圓周上,在上底面所在平面上過O作OG⊥CD,點C,D均在上底面圓周上,過C,D分別作圓柱的母線CF,DE,連接EF.易知OG⊥ED,且ED∩CD=D,所以OG⊥平面CDEF,則PQ⊥平面CDEF.由題意得AB不在平面CDEF內,則當PQ⊥AB時,AB∥平面CDEF,結合旋轉過程分析可知,有2次(當AB在圖中A1B1或A2B2位置時)使得PQ⊥AB.故選A.
8.ABC　[解析] 對于A,AB為體對角線,M,N,Q分別為所在棱的中點,由中位線定理可得,MN,MQ分別平行于所在面的一條對角線,作出它們所在面的另一條對角線,如圖①,連接BQ,易得MN⊥平面ABQ,故AB⊥MN,同理得AB⊥MQ,又MN∩MQ=M,故AB⊥平面MNQ,故A中直線AB與平面MNQ垂直;對于B,易得AB⊥MN,AB⊥MQ,又MN∩MQ=M,∴AB⊥平面MNQ,故B中直線AB與平面MNQ垂直;對于C,易得AB⊥MN,AB⊥MQ,又MN∩MQ=M,∴AB⊥平面MNQ,故C中直線AB與平面MNQ垂直;對于D,如圖②,C,D,E為正方體的三個頂點,連接CD,DE,EC,易得△CDE為等邊三角形,可得 AB與MN所成的角為∠CDE=60°,∴直線AB與平面MNQ不垂直,故D中直線AB與平面MNQ不垂直.故選ABC.
9.BD　[解析] 對于A,顯然AD與C1E異面,故A錯誤;對于B,如圖,取A1C1的中點F,連接DF,CF,易證DE∥CF,又DE 平面AA1C1C,CF 平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C,故B正確;對于C,取AB的中點G,連接DG,EG,假設DE⊥A1B1,因為DG⊥A1B1,DG∩DE=D,所以A1B1⊥平面DEG,又EG 平面DEG,所以A1B1⊥EG,所以AB⊥EG,顯然不成立,故C錯誤;對于D,易證△AA1B∽△A1DA,所以A1B⊥AD,又易得C1D⊥平面AA1B1B,且A1B 平面AA1B1B,所以C1D⊥A1B,因為AD∩C1D=D,所以A1B⊥平面AC1D,故D正確.故選BD.
10.垂直　[解析] 桌面所在平面為平面α,由題意知AB⊥BC,AB⊥BE,且BC 平面α,BE 平面α,BC∩BE=B,所以AB⊥平面α.
11.　[解析] 斜線l與平面α所成的角是,則直線l與平面α內所有直線所成的角中最小的角為,顯然最大的角為,所以所求角的取值范圍為.
12.外　[解析] 連接OA,OB,OC.因為O為P在平面ABC上的射影,所以PO⊥平面ABC,又OA,OB,OC 平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,即∠POA=∠POB=∠POC=.因為PO⊥平面ABC,所以∠PAO,∠PBO,∠PCO分別為PA,PB,PC與平面ABC所成的角.由已知可得∠PAO=∠PBO=∠PCO,又PO=PO=PO,所以△PAO≌△PBO≌△PCO,所以OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心.
13.證明:如圖,取CE的中點G,連接FG,BG,
因為F為CD的中點,
所以FG∥DE,FG=DE,
因為AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE,所以FG∥AB,
又因為AB=DE,所以FG=AB,
所以四邊形GFAB為平行四邊形,所以AF∥BG.
因為AF 平面BCE,BG 平面BCE,
所以AF∥平面BCE.
14.證明:(1)∵底面ABCD為矩形,∴BC⊥AB,
∵PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,∴BC⊥PA,
又∵PA∩AB=A,PA 平面PAB,AB 平面PAB,
∴BC⊥平面PAB,又∵AE 平面PAB,∴AE⊥BC,
又AE⊥PB,PB∩BC=B,PB 平面PBC,BC 平面PBC,∴AE⊥平面PBC.
(2)∵AE⊥平面PBC,PC 平面PBC,∴AE⊥PC,
又AF⊥PC,AE∩AF=A,AE 平面AEFG,AF 平面AEFG,∴PC⊥平面AEFG,
又AG 平面AEFG,∴PC⊥AG.
∵底面ABCD為矩形,∴CD⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,∴CD⊥PA,
∵AD∩PA=A,AD 平面PAD,PA 平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,又AG 平面PAD,∴CD⊥AG.
∵PC∩CD=C,PC 平面PCD,CD 平面PCD,
∴AG⊥平面PCD,又PD 平面PCD,∴AG⊥PD.
15.AC　[解析] 由已知,得A1B1=B1C1,又D是A1C1的中點,所以B1D⊥A1C1.因為AA1⊥平面A1B1C1,B1D 平面A1B1C1,所以AA1⊥B1D,因為AA1∩A1C1=A1,所以B1D⊥平面AA1C1C,又CE 平面AA1C1C,所以B1D⊥CE.若CE⊥平面B1DE,則CE⊥DE.設AE=x(0≤x≤3a),則CE2=x2+4a2,DE2=a2+(3a-x)2,連接CD,則CD2=a2+9a2=10a2,由10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或x=2a.故選AC.
16.證明:(1)因為在正方形ABCD中,AP⊥AD,CD⊥CQ,
所以在三棱錐M-PDQ中,MP⊥MD,MD⊥MQ,
因為MP∩MQ=M,MP,MQ 平面MPQ,
所以MD⊥平面MPQ.
(2)設點M在平面PDQ上的射影為O,則MO⊥平面PDQ,又PD,PQ 平面PDQ,所以MO⊥PD,MO⊥PQ.
如圖,連接DO并延長,與PQ交于點F,連接QO并延長,與PD交于點E.
因為在正方形ABCD中,BP⊥BQ,所以MP⊥MQ.
又MD⊥MQ,MD∩MP=M,MD,MP 平面MPD,所以MQ⊥平面MPD,
因為PD 平面MPD,所以MQ⊥PD.
因為MQ∩MO=M,MQ,MO 平面MOQ,所以PD⊥平面MOQ.
又QE 平面MOQ,所以QE⊥DP.
因為MD⊥平面MPQ,PQ 平面MPQ,所以MD⊥PQ,
又MO⊥PQ,MD∩MO=M,MD,MO 平面MDO,
所以PQ⊥平面MDO,
因為DF 平面MDO,所以PQ⊥DF.
故點M在平面PDQ上的射影為△PDQ的垂心.第2課時　直線與平面垂直
【學習目標】
　　1.掌握直線與平面垂直的判定定理和性質定理.
　　2.能夠運用線面垂直的判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題.了解平行垂直間的轉化關系.
◆ 知識點一　直線與平面垂直
定義 如果直線a與平面α內的　　　　直線都垂直,那么稱直線a與平面α垂直
記法 　　　
有關 概念 直線a叫作平面α的　　　　,平面α叫作直線a的　　　　,垂線和平面的交點稱為　　　　
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果一條直線與一個平面內無數條直線都垂直,那么它與該平面垂直. (　 )
(2)如果一條直線與一個平面不垂直,那么它與平面內任何一條直線都不垂直. (　 )
(3)如果一條直線與一個平面垂直,那么它與平面內所有的直線都垂直. (　 )
2.在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子,隨著時間的變化,其影子的位置在移動.隨著時間的變化旗桿所在的直線與其影子所在的直線的夾角是否發生變化 若不變,夾角為多少
◆ 知識點二　直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內的　　　　直線垂直,那么該直線與此平面垂直
符號語言 a⊥m,a⊥n,　　　　=A,m α,n α a⊥α
圖形語言
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在線面垂直的判定定理中,平面內兩條相交直線和已知直線l必須有公共點. (　 )
(2)如果一條直線與一個平面內的兩條直線垂直,那么該直線與此平面垂直. (　 )
(3)若一條直線與一個三角形的兩條邊垂直,則此直線與該三角形所在平面垂直. (　 )
◆ 知識點三　直線和平面垂直的性質定理
1.性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線　　　
符號語言 a∥b
圖形語言
2.兩種距離
(1)點到平面的距離:從平面外一點引平面的垂線,這個點和垂足間的距離,叫作這個點到這個平面的距離.
(2) 直線和平面的距離:一條直線和一個平面平行,這條直線上任意一點到這個平面的距離,叫作這條直線和這個平面的距離.
【診斷分析】 (1)過一點有幾條直線與已知平面垂直
(2)兩條異面直線中有一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面嗎
◆ 知識點四　幾種特殊的棱柱
1.直棱柱:　　　　　　　　的棱柱.
2.斜棱柱:　　　　　　　　的棱柱.
3.正棱柱:　　　　　　　　的直棱柱.
4.平行六面體:　　　　　　　　　　　　　的四棱柱.
5.直平行六面體:　　　　　　　　　　　　　的平行六面體.
6.長方體:　　　　　　　　的直平行六面體.
7.正方體:　　　　　　　　的長方體.
◆ 探究點一　直線與平面垂直概念的理解
例1 在下列條件中,能判定一條直線與一個平面垂直的是 (　 )
A.這條直線垂直于該平面內的一條直線
B.這條直線垂直于該平面內的兩條直線
C.這條直線垂直于該平面內的任意兩條直線
D.這條直線垂直于該平面內的無數條直線
變式 已知直線a,b和平面α,且b在α內,a不在α內,則下列說法錯誤的是 (　 )
A.若a∥α,則存在無數條直線b,使得a∥b
B.若a⊥α,則存在無數條直線b,使得a⊥b
C.若存在無數條直線b,使得a∥b,則a∥α
D.若存在無數條直線b,使得a⊥b,則a⊥α
[素養小結]
(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義,對直線的任意性要注意理解.實際上,“任意一條”與“所有”表達相同的含義.當直線與平面垂直時,該直線就垂直于這個平面內的任何直線.由此可知,如果一條直線與一個平面內的一條直線不垂直,那么這條直線就一定不與這個平面垂直.
(2)由定義可得線面垂直 線線垂直,即若a⊥α,b α,則a⊥b.
◆ 探究點二　直線與平面垂直的判定定理的應用
例2 如圖,在三棱錐P-ABC中,E為PB的中點,EB=EA,PA⊥AC,PC⊥BC.求證:BC⊥平面PAC.
變式1 如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中點.求證:AE⊥平面PAD.
變式2 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AD=a,AB=2a,E為棱C1D1的中點.求證:DE⊥平面BCE.
[素養小結]
(1)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的一般步驟:
①在這個平面內找兩條直線,使它們和已知直線垂直;
②確定這個平面內的兩條直線是相交直線;
③根據判定定理得出結論.
(2)證明線面垂直的常用方法除利用判定定理外,還可用以下結論:a∥b,a⊥α b⊥α.　　　　　 　　　　　 　　　　　
拓展 (多選題)如圖,PA垂直于圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上異于A,B的一點,E,F分別是PB,PC上的點,且AE⊥PB,AF⊥PC,給出下列結論,其中正確的有 (　 )
A.BC⊥平面PAC B.AF⊥平面PCB
C.EF⊥PB D.AE⊥平面PCB
◆ 探究點三　線面垂直的性質定理及應用
例3 如圖所示,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a β,a⊥AB,則直線a與直線l的位置關系是　　　　.
變式 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AC和A1D上的點,且EF⊥AC,EF⊥A1D.求證:EF∥BD1.
[素養小結]
證明線線平行的常用方法
(1)利用線線平行的定義:證明共面且無公共點,
(2)利用基本事實4:證明兩線同時平行于第三條直線.
(3)利用線面平行的性質定理:把證明線線平行轉化為證明線面平行.
(4)利用線面垂直的性質定理:把證明線線平行轉化為證明線面垂直.
◆ 探究點四　點面距離與線面距離
例4 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2.
(1)求點A到平面BCC1B1的距離;
(2)求直線AB到平面A1B1C1D1的距離;第2課時　直線與平面垂直
一、選擇題
1.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
2.已知兩條不同的直線l,m和平面α,若m α,則“l⊥m”是“l⊥α”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.[2024·鹽城期末] 如果直線a與平面α不垂直,那么在平面α內與直線a垂直的直線 (　 )
A.只有一條
B.有無數條
C.是平面α內的所有直線
D.不存在
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱AA1⊥底面ABC,底面是邊長為2的等邊三角形,點E是B1C1的中點,則E到平面ABB1A1的距離為(　 )
A. B.1 C. D.
5.[2024·南京期末] 設α是空間中的一個平面,l,m,n是三條不同的直線,則 (　 )
A.若m α,n α,l⊥m,l⊥n,則l⊥α
B.若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥α
C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,則l⊥n
D.若m α,n⊥α,l⊥n,則l∥m
6.如圖,在四棱錐M-ABCD中,MC⊥平面ABCD,則MA與BD垂直的一個充分條件是 (　 )
A.四邊形ABCD為矩形
B.四邊形ABCD為菱形
C.四邊形ABCD為平行四邊形
D.四邊形ABCD為梯形
7.如圖所示,一個燈籠由一根提竿PQ、一段連接繩QO和一個圓柱組成,提竿平行于圓柱的底面,O為圓柱上底面圓的圓心,在圓柱上、下底面圓周上分別有一點A,B,直線AB與圓柱的底面不垂直且與QO所在直線無交點,則在圓柱繞著其軸旋轉一周的過程中,直線PQ與直線AB垂直的次數為 (　 )
A.2 B.4
C.6 D.8
8.(多選題)在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q分別為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ垂直的是 (　 )
A B C D
9.(多選題)[2024·江蘇揚州期末] 已知正三棱柱A1B1C1-ABC中,AB=AA1,D,E分別為棱A1B1,BC的中點,則 (　 )
A.AD∥C1E
B.DE∥平面AA1C1C
C.DE⊥A1B1
D.A1B⊥平面AC1D
二、填空題
10.將一本矩形書(厚度忽略不計)打開后豎立在桌面上(如圖),則書頁的連接處AB所在直線與桌面所在平面α的位置關系為　　　　.
11.平面α的斜線l與平面α交于點A,且斜線l與平面α所成的角是,則l與平面α內所有不過點A的直線所成角的取值范圍是　　　　.
12.P為△ABC所在平面外一點,O為P在平面ABC上的射影.若PA,PB,PC與平面ABC所成的角相等,則O是△ABC的　　　　.
三、解答題
13.[2024·江蘇揚州高郵高一月考] 如圖所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,DE=2AB,F為CD的中點.求證:AF∥平面BCE.
14.[2024·湛江期末] 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,AE⊥PB于點E,AF⊥PC于點F.
(1)求證:AE⊥平面PBC;
(2)設平面AEFG交PD于點G,求證:AG⊥PD.
15.(多選題)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a(a>0),BB1=3a,D是A1C1的中點,點E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,則AE的值可能是 (　 )
A.a B.a
C.2a D.a
16.[2024·山東省實驗中學高一月考] 如圖①,在正方形ABCD中,P,Q分別是AB,BC的中點,將△APD,△PBQ,△CDQ分別沿PD,PQ,DQ折起,使A,B,C三點重合于點M(如圖②).
(1)證明:MD⊥平面MPQ;
(2)證明:點M在平面PDQ上的射影為△PDQ的垂心.

展開更多......

收起↑