資源簡介

(共68張PPT)
13.2 基本圖形位置關(guān)系
13.2.4 平面與平面的位置關(guān)系
第1課時 兩平面平行
探究點一 平面與平面的位置關(guān)系
探究點二 兩個平面平行的判定定理
探究點三 兩個平面平行的性質(zhì)定理
探究點四 面面距離
探究點五 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握平面與平面的位置關(guān)系的分類與表示.
2.掌握平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.
3.能夠運用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的
簡單命題，明確線面、線線平行的轉(zhuǎn)化.
知識點一 兩個平面的位置關(guān)系
1.定義：
兩個平面互相平行：如果兩個平面______公共點，那么稱這兩個平
面互相______.
兩個平面相交：如果兩個平面________公共點，那么由基本事實3可
知，它們相交于經(jīng)過________的一條直線，此時稱這兩個平面______.
沒有
平行
有一個
這個點
相交
2.兩個平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點
平面 與平面 平行 _______________________________________________ ______ 沒有公共點
平面 與平面 相交 ______________________________________________________ __________ 有一條公共直
線
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線平行.( )
×
[解析] 這兩條直線沒有公共點,所以它們平行或異面.
（2）若兩個平面有無數(shù)個公共點,則這兩個平面為同一平面.( )
×
[解析] 當(dāng)兩個平面相交時,它們也有無數(shù)個公共點.
知識點二 平面與平面平行的判定定理
1.判定定理
定理 圖形表示 文字表示 符號表示
兩個平面 平行的判 定定理 ______________________________ 如果一個平面內(nèi)的 __________直線與 另一個平面平行， 那么這兩個平面平 行 ________________________________________________
兩條相交
2.利用判定定理證明兩個平面平行必須具備的條件：
（1）一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面;
（2）這兩條直線必須相交.
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）如果一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面
平行. ( )
×
[解析] 一個平面內(nèi)必須有兩條相交直線與另一個平面平行,這兩個平
面才平行.
（2）若平面內(nèi)的兩條不平行直線都平行于平面,則平面 與平面
平行. ( )
√
（3）如果一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面,那么這兩
個平面平行.( )
√
知識點三 平面與平面平行的性質(zhì)定理
定理 圖形表示 文字表示 符號表示
兩個平面 平行的性 質(zhì)定理 _______________________________ 兩個平面平行，如果另 一個平面與這兩個平面 ______，那么兩條交線 ______ ，
，
______
相交
平行
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）如果兩個平面均平行于第三個平面,那么這兩個平面平行. ( )
√
（2）若兩個平面平行,則分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線互相平行.
( )
×
[解析] 因為兩個平面平行,所以分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線無公共
點,它們平行或異面.
（3）若兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.
( )
√
2.若夾在兩個平面間的三條線段平行且相等,試判斷這兩個平面的位
置關(guān)系.
解：如圖所示,兩種情況均滿足且 ,
故這兩個平面的位置關(guān)系為平行或相交.
知識點四 兩個平行平面間的距離
相關(guān)概念：與兩個平行平面都______的直線，叫作這兩個平行平面
的________，它夾在這兩個平行平面間的______，叫作這兩個平行
平面的__________.兩個平行平面的公垂線段都相等，我們把_______
____的長度叫作______________________.
垂直
公垂線
線段
公垂線段
公垂線段
兩個平行平面間的距離
探究點一 平面與平面的位置關(guān)系
例1（1） （多選題）下列說法中正確的是( )
A.在平面內(nèi)有兩條直線和平面 平行,那么這兩個平面平行
B.在平面內(nèi)有無數(shù)條直線和平面 平行,那么這兩個平面平行
C.平面內(nèi)的的三個頂點在平面的同一側(cè)且到平面 的距
離相等且不為0,那么平面與 平行
D.平面內(nèi)有無數(shù)個點到平面 的距離相等且不為0,那么這兩個平
面平行或相交
√
√
[解析] 對于A,這兩個平面平行或相交,故A錯誤;
對于B,平面 內(nèi)的任意一條直線都和平面 平行,
這兩個平面才平行,故B錯誤;
對于C,因為平面內(nèi)的的三個頂點在平面的同一側(cè)
且到平面 的距離相等且不為0,所以平面與平行,故C正確;
對于D,平面 內(nèi)有無數(shù)個點到平面的距離相等且不為0,
那么這兩個平面平行或相交,故D正確.故選 .
（2）若點,,,則平面與平面 的位置關(guān)系是
______.
相交
[解析] 點,,,平面與平面 有公共點,
但不重合,平面與平面 的位置關(guān)系是相交.
變式1 [2024·浙江杭州二中高一期中] 以下說法正確的是( )
A.是平面外的一條直線，則過且與 平行的平面有且只有一個
B.若夾在兩個平面間的三條平行線段長度相等，則這兩個平面平行
C.平面內(nèi)不共線的三點到平面的距離相等，則
D.空間中,, 三點構(gòu)成邊長為2的正三角形，則與這三點距離均為1
的平面恰有兩個
√
[解析] 對于A,當(dāng)與相交時,不存在過且與 平行的平面,故A錯誤；
對于B,當(dāng)三條平行線段共面時,兩平面可能相交也可能平行,
當(dāng)三條平行線段不共面時,兩平面一定平行,故B錯誤；
對于C,當(dāng)與相交時,平面內(nèi)也存在不共線的三點到
平面 的距離相等,故C錯誤；
對于D,空間中A,B,C三點構(gòu)成邊長為2的正三角形,
則與這三點距離均為1的平面恰有兩個,
且這兩個平面在 的兩側(cè),故D正確.故選D.
變式2 如果3個平面把空間分成4部分,那么這3個平面有怎樣的位置
關(guān)系 如果3個平面把空間分成6部分,那么這3個平面有怎樣的位置關(guān)
系 畫圖說明.
解：若3個平面把空間分成4部分,則這3個平面平行（如圖①）.
若3個平面把空間分成6部分,則這3個平面相交于同一條直線（如圖②）
或其中2個平面平行,第3個平面與這2個平面均相交（如圖③）.
探究點二 兩個平面平行的判定定理
例2 如圖所示，在三棱柱中，，
分別是與的中點.求證：平面 平面
.
證明：由棱柱的性質(zhì)知,, ,
因為,分別為, 的中點,所以,,
所以四邊形 為平行四邊形,所以,
又平面 ,平面,所以平面 .
連接,易知,,
所以四邊形 為平行四邊形,則, .
因為,,所以, ,
所以四邊形為平行四邊形,所以 .
因為平面, 平面 ,所以平面 ,
又,所以平面平面 .
變式1 如圖，在正方體中， ，
，，分別是，，， 的中點.求
證：平面平面 .
證明：如圖,連接,,,, 分別是,,的中點,
,又平面,
平面, 平面 .
連接,則, ,
又, ,, ,
四邊形是平行四邊形, .
平面,平面 ,平面 .
,都在平面內(nèi),且, 平面平面 .
變式2 [2024·重慶育才學(xué)校高一月考] 如圖，在直三
棱柱中，點，分別為棱， 的
中點，點在棱上.試確定點 的位置，使得平面
平面 ，并證明.
解：當(dāng)點為棱的中點時，平面平面 .
證明如下：由點,分別為, 的中點，
可得，因為平面，
平面 ，所以平面 .
因為,，
所以四邊形 是平行四邊形，所以 .
因為平面，平面，所以平面 ，
又，且平面, 平面 ，
所以平面平面 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線
平行于另一個平面.
（2）判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原
則，即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找
不到再作輔助線.
探究點三 兩個平面平行的性質(zhì)定理
例3 如圖，直四棱柱被平面 所截，
截面為四邊形，且，證明： .
證明：因為在直四棱柱 中，
平面平面，平面 ，
平面，所以 ，
又且， ，
所以且 ，
則四邊形是平行四邊形，所以 ，
又，，所以 .
變式 如圖所示，平面，，， ，，
直線與交于，若， ，，
求 的長．
解：設(shè)直線與確定的平面為 ，
因為，，且 ，所以，
所以，所以 ，即，所以 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
應(yīng)用平面與平面平行的性質(zhì)定理的一般步驟
拓展 如圖所示，平面平面， ，
分別在，內(nèi)，線段，，
交于點，在平面和平面之間，
若 ，， ，
，則 的面積為_ ___．
[解析] 因為，相交于，
所以， 確定的平面與平面，
平面的交線分別為， ，
又，所以，且 ，
同理可得，，
所以， 面積的比為，
又的面積為，所以 的面積為 .
探究點四 面面距離
例4 如圖所示，在長方體 中,
,,,分別過和 的兩
個平行平面（平面A'EFD'和平面BE'F'C,其中
E,F,E',F'分別在AB,CD,A'B',C'D'上）將長方體分
為體積相等的三部分，求這兩個平行平面之間的距離.
解：長方體夾在兩個平行平面之間的部分是一
個棱柱，它以四邊形為底面， 為高.
根據(jù)題意得 ，
即 ， .
作，為垂足，平面，
平面 ， .
又，平面，
即 的長度是所求兩個平行平面之間的距離.
在 中， ，
即這兩個平行平面之間的距離為 .
探究點五 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
例5 如圖,在正方體中,是的中點,,, 分別
是,, 的中點.
（1）求證:直線平面 ;
證明:如圖,連接,由為的中位線,可得,
又 平面,平面,所以平面 .
（2）求證:平面平面 ;
證明:由題意知,又 平面,
平面,所以 平面 .
由（1）可得平面 ,又,平面,
平面,所以平面平面 .
（3）若正方體的棱長為1,過,, 三點作正方體的截面,畫出截面與
正方體的交線,并求出截面的面積.
解：如圖,取的中點,連接,, ,可得, .
取的中點,連接,, ,可得, ,
所以, ,所以四邊形 為平行四邊形.
易知平行四邊形為過點,, 的截面,
且 ,
所以平行四邊形 為菱形.
連接,,易得, ,
所以截面的面積為 .
變式 [2024·三明一中高一期中] 如圖，已知四棱錐 中，
底面是平行四邊形，為側(cè)棱 的中點.
（1）求證：平面 ；
證明：連接,設(shè)，連接 ，如圖，
因為四邊形是平行四邊形，所以 ，
又為側(cè)棱的中點，所以 .
又 平面， 平面，
所以 平面 .
（2）若為棱的中點，求證：平面 ；
證明： 連接,如圖,因為為棱的中點,
,所以 .
因為平面,平面 ,所以平面 .
又,平面,平面 ,所以平面 .
又,平面,平面 ,
所以平面平面 ,又平面,所以平面 .
（3）設(shè)平面 平面 ，求證： .
證明： 因為，平面，
平面 ，所以平面 ，
又平面平面，平面 ，所以 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行,
這三種平行關(guān)系不是孤立的,而是相互聯(lián)系,并且可以相互轉(zhuǎn)化的.
（2）解決平行關(guān)系的綜合問題一般通過平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化實現(xiàn).
拓展 如圖,在正方體中,, 分別是棱和
棱 的中點.
（1）求證:平面平面 .
證明：連接 ,如圖.,分別是棱和棱的中點,
,且 ,
四邊形 為平行四邊形, 則 .
又平面, 平面 ,平面 .
,且 , 四邊形為平行四邊形,則 .
又平面,平面,平面 .
,平面,平面 ,
平面平面 .
（2）試問平面 截正方體所得的截面是什么圖形 并說明理由.
解：方法一:如圖,取棱的中點,
連接,,可得 且,
由（1）知,且,則
且 ,可得四邊形為平行四邊形,
易知四邊形為平面 截正方體所得的圖形.
,四邊形為菱形,
即平面 截正方體所得的截面是菱形.
方法二:如圖,設(shè)平面與棱交于點 ,
連接, ,
平面平面,
平面 平面,
平面平面 , ,
同理有,四邊形 為平行四邊形,
又易得,四邊形為菱形,
即平面 截正方體所得的截面是菱形.
1.面面平行的判定定理解讀
（1）面面平行的判定定理可簡述為“若線面平行,則面面平行”.
（2）面面平行的判定定理包含三個條件“一內(nèi)一交一平行”,這三個條
件缺一不可.
2.（1）平面與平面平行的性質(zhì)定理解讀:平面與平面平行的性質(zhì)定理
可簡述為“若面面平行,則線線平行”.
（2）夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等.
（3）經(jīng)過平面外一點,有且僅有一個平面和已知平面平行.
（4）若兩個平面平行于第三個平面,則這兩個平面互相平行.
1.要證明面面平行,依據(jù)判定定理找出一個平面內(nèi)的兩條相交直線分
別平行于另一個平面即可.常進行如下轉(zhuǎn)化:線線平行線面平行
面面平行.
例1 如圖，已知三棱柱中，為
上一點，為的中點，且平面 .
求證：平面平面 .
證明：連接,設(shè)與交于點,連接 ,因為平面 ，
平面 ,平面平面 ,所以 .
因為為 的中點,所以為的中點,即 .
因為為的中點,即,, ,
所以, ,所以四邊形 為平行四邊形,
所以 ,又平面,平面 ,
所以平面 ,又平面,,
平面,平面 ,所以平面平面 .
2.利用面面平行的性質(zhì)定理解題的一般步驟:①先找兩個平面,使這兩
個平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條;②判定這兩個平面平行
（此條件有時題目會直接給出）;③再找一個平面,使這兩條直線都在
這個平面上;④由定理得出結(jié)論.
例2 如圖,在棱長為的正方體 中,
,分別是, 的中點.
（1）若平面與直線交于點,求 的值;
解：如圖所示,連接, .
因為平面平面 ,
且平面 平面,
平面 平面 ,所以 ,
根據(jù)等角定理可知, ,則 ,
又,,,
所以 ,即,則,所以 .
（2）設(shè)為棱上一點且,若平面,求 的值.
解：如圖,取的中點,則由（1）知 為的中點,
連接,,則 ,又平面,平面,
所以 平面 .
設(shè) 平面,連接, ,因為平面平面,
平面平面,平面 平面,
所以,又,所以四邊形 為平行四邊形,
同理得四邊形 也是平行四邊形,所以 ,
所以 .
因為平面,,
平面 且,所以平面平面 .
例3 如圖,已知四棱錐中,底面為平行四邊形,點,,
分別在,, 上.
（1）若,求證:平面平面 .
證明:如圖,, .
四邊形為平行四邊形,, .
平面,平面,平面,
, ,
又平面,平面,平面 .
,,平面, 平面平面 .
（2）若點滿足,則點滿足什么條件時, 平面
并證明你的結(jié)論.
解：當(dāng)為的中點時,平面 .
證明如下:設(shè),取的中點,連接 , , ,如圖所示.
四邊形為平行四邊形,為 的中點.
為的中點,,為的中點, .
平面, 平面,平面 .
,分別為,的中點, ,
又 平面, 平面,平面 .
,,平面,
平面 平面 ,又平面,平面 .13.2.4　平面與平面的位置關(guān)系
第1課時　兩平面平行
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
1.沒有　平行　有一個　這個點　相交
2.α∥β　α∩β=a
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)這兩條直線沒有公共點,所以它們平行或異面.
(2)當(dāng)兩個平面相交時,它們也有無數(shù)個公共點.
知識點二
1.兩條相交　a∩b=A
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)一個平面內(nèi)必須有兩條相交直線與另一個平面平行,這兩個平面才平行.
知識點三
相交　平行　a∥b
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (2)因為兩個平面平行,所以分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線無公共點,它們平行或異面.
2.解:如圖所示,兩種情況均滿足AA1=BB1=CC1且AA1∥BB1∥CC1,故這兩個平面的位置關(guān)系為平行或相交.
知識點四
垂直　公垂線　線段　公垂線段　公垂線段　兩個平行平面間的距離
【課中探究】
探究點一
例1　(1)CD　(2)相交　[解析] (1)對于A,這兩個平面平行或相交,故A錯誤;對于B,平面α內(nèi)的任意一條直線都和平面β平行,這兩個平面才平行,故B錯誤;對于C,因為平面α內(nèi)的△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0,所以平面α與β平行,故C正確;對于D,平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個平面平行或相交,故D正確.故選CD.
(2)∵點A∈α,B α,C α,∴平面ABC與平面α有公共點,但不重合,∴平面ABC與平面α的位置關(guān)系是相交.
變式1　D　[解析] 對于A,當(dāng)a與α相交時,不存在過a且與α平行的平面,故A錯誤;對于B,當(dāng)三條平行線段共面時,兩平面可能相交也可能平行,當(dāng)三條平行線段不共面時,兩平面一定平行,故B錯誤;對于C,當(dāng)α與β相交時,平面α內(nèi)也存在不共線的三點到平面β的距離相等,故C錯誤;對于D,空間中A,B,C三點構(gòu)成邊長為2的正三角形,則與這三點距離均為1的平面恰有兩個,且這兩個平面在△ABC的兩側(cè),故D正確.故選D.
變式2　解:若3個平面把空間分成4部分,則這3個平面平行(如圖①).若3個平面把空間分成6部分,則這3個平面相交于同一條直線(如圖②)或其中2個平面平行,第3個平面與這2個平面均相交(如圖③).
探究點二
例2　證明:由棱柱的性質(zhì)知,B1C1∥BC,B1C1=BC,
因為D,E分別為BC,B1C1的中點,
所以C1E∥DB,C1E=DB,所以四邊形C1DBE為平行四邊形,所以EB∥C1D,又C1D 平面ADC1,EB 平面ADC1,所以EB∥平面ADC1.
連接DE,易知EB1∥BD,EB1=BD,所以四邊形EDBB1為平行四邊形,則ED∥B1B,ED=B1B.
因為A1A∥B1B,A1A=B1B,所以A1A∥ED,A1A=ED,
所以四邊形A1ADE為平行四邊形,所以A1E∥AD.
因為AD 平面ADC1,A1E 平面ADC1,
所以A1E∥平面ADC1,
又A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC1.
變式1　證明:如圖,連接B1D1,∵M,E,F,N分別是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點,∴MN∥D1B1∥EF,
又MN 平面EFDB,EF 平面EFDB,∴MN∥平面EFDB.
連接NE,則NE∥A1B1,NE=A1B1,
又A1B1∥AB,A1B1=AB,
∴NE∥AB,NE=AB,
∴四邊形NEBA是平行四邊形,∴AN∥BE.
∵AN 平面EFDB,BE 平面EFDB,
∴AN∥平面EFDB.
∵AN,MN都在平面AMN內(nèi),且AN∩MN=N,∴平面AMN∥平面EFDB.
變式2　解:當(dāng)點F為棱CC1的中點時,平面AB1F∥平面CDE.
證明如下:由點D,E分別為AB,BB1的中點,可得DE∥AB1,因為AB1 平面CDE,DE 平面CDE,所以AB1∥平面CDE.
因為CF=B1E,CF∥B1E,所以四邊形CFB1E是平行四邊形,所以B1F∥CE.
因為FB1 平面CDE,CE 平面CDE,所以FB1∥平面CDE,又AB1∩FB1=B1,且AB1 平面AB1F,FB1 平面AB1F,所以平面AB1F∥平面CDE.
探究點三
例3　證明:因為在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩α=CD,平面A1B1C1D1∩α=EF,所以EF∥CD,
又C1D1∥CD且C1D1=CD,EF=CD,
所以C1D1∥EF且C1D1=EF,
則四邊形EFC1D1是平行四邊形,所以A1D1∥B1C1,
又A1D1∥AD,BC∥B1C1,所以AD∥BC.
變式　解:設(shè)直線AB與CD確定的平面為γ,
因為γ∩α=AC,γ∩β=BD,且α∥β,
所以AC∥BD,所以△SAC∽△SBD,所以=,
即=,所以SC=272.
拓展　　[解析] 因為AA',BB'相交于O,所以AA',BB'確定的平面與平面α,平面β的交線分別為AB,A'B',又α∥β,所以AB∥A'B',且==,同理可得=,=,所以△ABC,△A'B'C'面積的比為9∶4,又△ABC的面積為,所以△A'B'C'的面積為.
探究點四
例4　解:長方體夾在兩個平行平面之間的部分是一個棱柱,它以四邊形A'EBE'為底面,A'D'為高.
根據(jù)題意得S四邊形A'EBE'·A'D'=V長方體,即A'E'·AA'·A'D'=AB·BC·AA',∴A'E'=AB=4.
作E'H⊥A'E,H為垂足,∵A'D'⊥平面ABB'A',E'H 平面ABB'A',∴E'H⊥A'D'.
又A'E∩A'D'=A',∴E'H⊥平面A'EFD',即E'H的長度是所求兩個平行平面之間的距離.在Rt△A'HE'中,E'H=A'E'·sin∠E'A'H=4sin∠B'E'B=4×==,即這兩個平行平面之間的距離為.
探究點五
例5　解:(1)證明:如圖,連接SB,由EG為△CSB的中位線,可得EG∥SB,又EG 平面BDD1B1,SB 平面BDD1B1,所以EG∥平面BDD1B1.
(2)證明:由題意知EF∥DB,又EF 平面BDD1B1,DB 平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.
由(1)可得EG∥平面BDD1B1,又EF∩EG=E,EF 平面EFG,EG 平面EFG,所以平面EFG∥平面BDD1B1.
(3)如圖,取B1C1的中點N,連接A1N,NE,AE,可得AE∥A1N,AE=A1N.
取A1D1的中點M,連接MC1,AM,C1E,
可得MC1=A1N,MC1∥A1N,
所以MC1∥AE,MC1=AE,
所以四邊形AEC1M為平行四邊形.
易知平行四邊形AEC1M為過點A,E,C1的截面,且AE=EC1=AM=MC1==,
所以平行四邊形AEC1M為菱形.
連接AC1,ME,易得AC1=,ME=,所以截面的面積為×AC1×ME=××=.
變式　證明:(1)連接AC,設(shè)AC∩BD=O,連接OE,如圖,因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AO=OC,
又E為側(cè)棱SC的中點,所以SA∥EO.
又SA 平面EDB,EO 平面EDB,所以SA∥平面EDB.
(2)連接OF,如圖,因為F為棱AB的中點,DO=BO,所以AD∥FO.
因為FO 平面SAD,AD 平面SAD,
所以FO∥平面SAD.
又SA∥EO,EO 平面SAD,SA 平面SAD,
所以EO∥平面SAD.
又EO∩FO=O,EO 平面EOF,FO 平面EOF,所以平面EOF∥平面SAD,
又EF 平面EOF,所以EF∥平面SAD.
(3)因為AB∥CD,AB 平面SCD,CD 平面SCD,
所以AB∥平面SCD,
又平面SAB∩平面SCD=l,AB 平面SAB,所以AB∥l.
拓展　解:(1)證明:連接EF,如圖.
∵E,F分別是棱BB1和棱CC1的中點,∴EF∥BC∥AD,且EF=BC=AD,
∴四邊形AEFD為平行四邊形,
則AE∥DF.
又AE 平面ACE,DF 平面ACE,
∴DF∥平面ACE.
∵B1E∥CF,且B1E=CF,
∴四邊形B1ECF為平行四邊形,則CE∥B1F.
又B1F 平面ACE,CE 平面ACE,∴ B1F∥平面ACE.
∵DF∩B1F=F,DF 平面B1DF,B1F 平面B1DF,
∴平面B1DF∥平面ACE.
(2)方法一:如圖,取棱AA1 的中點G,連接DG,B1G,可得B1G∥AE且B1G=AE,由(1)知,DF∥AE且DF=AE,則B1G∥DF且B1G=DF,可得四邊形DGB1F為平行四邊形,易知四邊形DGB1F為平面B1DF截正方體所得的圖形.
∵B1G=B1F,∴四邊形DGB1F為菱形,即平面B1DF截正方體所得的截面是菱形.
方法二:如圖,設(shè)平面B1DF與棱AA1交于點G,連接DG,B1G,
∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面B1DF=DG,平面BCC1B1∩平面B1DF=B1F,∴DG∥B1F,同理有DF∥B1G,∴四邊形DGB1F為平行四邊形,
又易得B1F=DF,∴四邊形DGB1F為菱形,即平面B1DF截正方體所得的截面是菱形.13.2.4　平面與平面的位置關(guān)系
第1課時　兩平面平行
1.B　[解析] 因為l∥α,m∥α,l∩m=P,l β,m β,所以β∥α.故選B.
2.A　[解析] 平面與平面平行,則兩個平面沒有公共點,所以在一個平面內(nèi)的直線和另一個平面沒有公共點,所以這條直線與另一個平面平行.故選A.
3.A　[解析] ∵直線l⊥平面α,直線n∥平面β,∴由α∥β可得l⊥β,∴l(xiāng)⊥n;若l⊥n,則l不一定垂直于β,∴α與β不一定平行.∴“α∥β”是“l(fā)⊥n”的充分不必要條件.故選A.
4.C　[解析] 若a∥b,b α,則a∥α或a α,故A錯誤;若a∥α,b α,則a∥b或a與b異面,故B錯誤;若α∥γ,β∥γ,則由平行的傳遞性可知α∥β,故C正確;若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β或α,β相交,故D錯誤.故選C.
5.A　[解析] 因為=,所以EF∥A1D1,所以EF∥B1C1,又EF 平面BB1C1C,B1C1 平面BB1C1C,所以EF∥平面BB1C1C.因為EH∥B1B,EH 平面BB1C1C,B1B 平面BB1C1C,所以EH∥平面BB1C1C,又EF∩EH=E,EF 平面EFH,EH 平面EFH,所以平面EFH∥平面BB1C1C.故選A.
6.A　[解析] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,因為平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥GH,同理可證EH∥FG,所以四邊形EFGH的形狀為平行四邊形.故選A.
7.A　[解析] 如圖所示,取DG的中點M,連接AM,FM,∵EF∥DG,EF=DG,∴EF DM,∴四邊形DEFM是平行四邊形,∴DE∥FM且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四邊形ABFM是平行四邊形,∴BF∥AM.∵BF 平面ACGD,AM 平面ACGD,∴BF∥平面ACGD,故A正確.∵無法判斷點C的位置,∴CF不一定平行于平面ABED,BC不一定平行于FG,故B,C錯誤.易知平面ABED與平面CGF相交,故D錯誤.故選A.
8.AC　[解析] 對于A,α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行不能推出α∥β,但由α∥β可以推出β平行于α內(nèi)的任意一條直線,故“α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行”是“α∥β”的必要不充分條件;對于B,α內(nèi)有兩條相交直線與β平行能推出α∥β,故“α內(nèi)有兩條相交直線與β平行”是“α∥β”的充分條件;對于C,α,β垂直于同一平面不能推出α∥β,但由α∥β能推出α,β垂直于同一平面,故“α,β垂直于同一平面”是“α∥β”的必要不充分條件;對于D,α,β平行于同一平面能推出α∥β,故“α,β平行于同一平面”是“α∥β”的充分條件.故選AC.
9.ABC　[解析] 由三棱柱的性質(zhì)可知平面ABC∥平面A1B1C1,又平面BCHG∩平面ABC=BC,平面BCHG∩平面A1B1C1=GH,所以由面面平行的性質(zhì)定理可知BC∥GH,又點E,F分別是AB,AC的中點,所以BC∥EF,可得EF∥GH,故A正確;因為EF∥GH,EF 平面A1EF,GH 平面A1EF,所以GH∥平面A1EF,故B正確;因為GH經(jīng)過△A1B1C1的重心,所以==,又=,所以=,故C正確;因為A1,E,B,B1四點共面,且易知A1E與BB1相交,所以平面A1EF與平面BCC1B1相交,故D錯誤.故選ABC.
10.相交或平行　[解析] 若α∥β,則存在a α,b,c β,使得a∥b∥c,滿足條件;若α與β相交,設(shè)交線為l,則存在a α,b,c β,使得b∥c∥l,a∥l,也滿足條件.
11.　[解析] 根據(jù)題意及面面平行的性質(zhì)定理得CD∥AB,所以△PCD∽△PAB,所以=,即=,解得AB=.
12.　[解析] 取BB1的中點P,連接CP,PD1,CD1,如圖所示.因為CD1∥A1B,CD1 平面A1BE,A1B 平面A1BE,所以CD1∥平面A1BE.因為CP∥A1E,CP 平面A1BE,A1E 平面A1BE,所以CP∥平面A1BE.又因為CP,CD1 平面CPD1,CP∩CD1=C,所以平面CPD1∥平面A1BE,因此平面α即為平面CPD1,所以平面α與平面B1BCC1的交線即為CP,所以CP==.
13.證明:(1)因為平面AB1M∥平面BC1N,平面AB1M∩平面ACC1A1=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=NC1,所以NC1∥AM.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC,且A1C1=AC,
因為AC∥A1C1,NC1∥AM,
所以四邊形ANC1M為平行四邊形,
又M是A1C1的中點,
所以AN=C1M=A1C1=AC,
所以N為AC的中點.
14.證明:∵G,H,I分別是EC,FB,FC的中點,
∴HI∥BC,GI∥EF.∵EF∥DB,∴GI∥DB.
∵HI∥BC,BC 平面ABC,HI 平面ABC,
∴HI∥平面ABC.
∵GI∥DB,DB 平面ABC,GI 平面ABC,
∴GI∥平面ABC.
∵HI 平面GHI,GI 平面GHI,HI∩GI=I,
∴平面GHI∥平面ABC.
15.B　[解析] 取AA1的中點E,BB1的中點F,連接C1F,EF,D1E,如圖.因為AE∥BF,AE=BF,所以四邊形ABFE為平行四邊形,所以AB∥EF,又AB⊥平面BCC1B1,所以EF⊥平面BCC1B1,又CN 平面BCC1B1,所以CN⊥EF.因為CC1=C1B1,C1N=B1F,∠CC1N=C1B1F=90°,所以△CC1N≌△C1B1F,所以∠FC1B1=∠NCC1,∠B1FC1=∠C1NC,又∠FC1B1+∠B1FC1=90°,所以∠FC1B1+∠C1NC=90°,所以CN⊥C1F,又CN⊥EF,C1F∩EF=F,C1F,EF 平面C1FED1,所以CN⊥平面C1FED1.取AD的中點T,BC的中點Q,CC1的四等分點R滿足CR=C1C,DD1的四等分點S滿足DS=D1D,連接SR,ST,TQ,RQ,則D1S=C1R,D1S∥C1R,所以四邊形D1SRC1為平行四邊形,所以SR∥D1C1.因為SR 平面C1FED1,D1C1 平面C1FED1,所以SR∥平面C1FED1.由已知有==,∠QCR=∠C1B1F=90°,所以△QCR∽△C1B1F,所以∠FC1B1=∠RQC,
∠B1FC1=∠CRQ,又∠B1C1F+∠B1FC1=90°,∠B1C1F+∠FC1C=90°,所以∠CRQ=
∠FC1C,所以QR∥C1F,又QR 平面C1FED1,C1F 平面C1FED1,所以QR∥平面C1FED1.因為QR 平面QRST,SR 平面QRST,QR∩SR=R,所以平面QRST∥平面C1FED1,所以CN⊥平面QRST,又因為平面QRST經(jīng)過BD的中點M,所以P點軌跡為四邊形QRST的邊界(不包括點M),所以當(dāng)點P與點R重合時,AP取最大值,最大值為=.故選B.
16.解:(1)證明:如圖,取AD的中點F,連接NF,MF,
因為M,F分別為PD,AD的中點,所以MF∥PA,
又因為MF 平面PAB,PA 平面PAB,所以MF∥平面PAB.
由題意知四邊形ABCD為平行四邊形.
因為F,N分別為AD,BC的中點,所以NF∥AB,
又因為NF 平面PAB,AB 平面PAB,
所以NF∥平面PAB.
因為MF∩NF=F,且MF,NF 平面MNF,
所以平面MNF∥平面PAB,
又因為MN 平面MNF,所以MN∥平面PAB.
(2)當(dāng)E,F'分別為PC,AD的中點時,平面EMF'N∥平面PAB.
證明如下:取PC的中點E,連接ME,NE,
由(1)知F'與F重合,在△PCD中,因為M,E分別為PD,PC的中點,所以ME∥CD,
又因為F,N分別為AD,BC的中點,所以NF∥CD,所以ME∥NF,所以點E,M,F,N四點共面.
由(1)知平面MNF∥平面PAB,
即平面EMFN∥平面PAB.
所以過直線MN作一平面與平面PAB平行,且分別交PC,AD于點E,F',
則E,F'分別為PC,AD的中點.13.2.4　平面與平面的位置關(guān)系
第1課時　兩平面平行
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.掌握平面與平面的位置關(guān)系的分類與表示.
　　2.掌握平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.
　　3.能夠運用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題,明確線面、線線平行的轉(zhuǎn)化.
◆ 知識點一　兩個平面的位置關(guān)系
1.定義:
兩個平面互相平行:如果兩個平面　　　　公共點,那么稱這兩個平面互相　　　　.
兩個平面相交:如果兩個平面　　　　公共點,那么由基本事實3可知,它們相交于經(jīng)過
　　　　的一條直線,此時稱這兩個平面　　　　.
2.兩個平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 公共點
平面α與 平面β平行 　　　 沒有 公共點
平面α與 平面β相交 　　　 有一條公 共直線
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線平行.(　 )
(2)若兩個平面有無數(shù)個公共點,則這兩個平面為同一平面. (　 )
◆ 知識點二　平面與平面平行的判定定理
1.判定定理
定理 圖形表示 文字表示 符號表示
兩個平面 平行的 判定定理 如果一個平面內(nèi)的　　　　直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行 α∥β
2.利用判定定理證明兩個平面平行必須具備的條件:
(1)一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面;
(2)這兩條直線必須相交.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行. (　 )
(2)若平面α內(nèi)的兩條不平行直線都平行于平面β,則平面α與平面β平行. (　 )
(3)如果一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行. (　 )
◆ 知識點三　平面與平面平行的性質(zhì)定理
定理 圖形表示 文字表示 符號表示
兩個平面 平行的 性質(zhì)定理 兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面　　　　,那么兩條交線　　　　 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b 　　　
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果兩個平面均平行于第三個平面,那么這兩個平面平行. (　 )
(2)若兩個平面平行,則分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線互相平行. (　 )
(3)若兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面. (　 )
2.若夾在兩個平面間的三條線段平行且相等,試判斷這兩個平面的位置關(guān)系.
◆ 知識點四　兩個平行平面間的距離
相關(guān)概念:與兩個平行平面都　　　　的直線,叫作這兩個平行平面的　　　　,它夾在這兩個平行平面間的　　　　,叫作這兩個平行平面的　　　　.兩個平行平面的公垂線段都相等,我們把　　　　的長度叫作　　　　　　　　.
◆ 探究點一　平面與平面的位置關(guān)系
例1 (1)(多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行,那么這兩個平面平行
B.在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行,那么這兩個平面平行
C.平面α內(nèi)的△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0,那么平面α與β平行
D.平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個平面平行或相交
(2)若點A∈α,B α,C α,則平面ABC與平面α的位置關(guān)系是 　　　
變式1 [2024·浙江杭州二中高一期中] 以下說法正確的是 (　 )
A.a是平面α外的一條直線,則過a且與α平行的平面有且只有一個
B.若夾在兩個平面間的三條平行線段長度相等,則這兩個平面平行
C.平面α內(nèi)不共線的三點到平面β的距離相等,則α∥β
D.空間中A,B,C三點構(gòu)成邊長為2的正三角形,則與這三點距離均為1的平面恰有兩個
變式2 如果3個平面把空間分成4部分,那么這3個平面有怎樣的位置關(guān)系 如果3個平面把空間分成6部分,那么這3個平面有怎樣的位置關(guān)系 畫圖說明.
◆ 探究點二　兩個平面平行的判定定理
例2 如圖所示,在三棱柱ABC - A1B1C1中,D,E分別是BC與B1C1的中點.求證:平面A1EB∥平面ADC1.
變式1 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分別是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點.求證:平面AMN∥平面EFDB.
變式2 [2024·重慶育才學(xué)校高一月考] 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,E分別為棱AB,BB1的中點,點F在棱CC1上.試確定點F的位置,使得平面AB1F∥平面CDE,并證明.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)要證明兩平面平行,只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個平面.
(2)判定兩個平面平行與判定線面平行一樣,應(yīng)遵循先找后作的原則,即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線.
◆ 探究點三　兩個平面平行的性質(zhì)定理
例3 如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面α所截,截面為四邊形CDEF,且EF=DC,證明:AD∥BC.
變式 如圖所示,平面α∥β,A,C∈α,B,D∈β,直線AB與CD交于S,若AS=8,BS=9,CD=34,求CS的長.
[素養(yǎng)小結(jié)]
應(yīng)用平面與平面平行的性質(zhì)定理的一般步驟
拓展 如圖所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分別在α,β內(nèi),線段AA',BB',CC'交于點O,O在平面α和平面β之間,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2,則△A'B'C'的面積為　　　　.
◆ 探究點四　面面距離
例4 如圖所示,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=12,BC=6,AA'=5,分別過A'D'和BC的兩個平行平面(平面A'EFD'和平面BE'F'C,其中E,F,E',F'分別在AB,CD,A'B',C'D'上)將長方體分為體積相等的三部分,求這兩個平行平面之間的距離.
◆ 探究點五　平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
例5 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中點,E,F,G分別是BC,DC,SC的中點.
(1)求證:直線EG∥平面BDD1B1;
(2)求證:平面EFG∥平面BDD1B1;
(3)若正方體的棱長為1,過A,E,C1三點作正方體的截面,畫出截面與正方體的交線,并求出截面的面積.
變式 [2024·三明一中高一期中] 如圖,已知四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,E為側(cè)棱SC的中點.
(1)求證:SA∥平面EDB;
(2)若F為棱AB的中點,求證:EF∥平面SAD;
(3)設(shè)平面SAB∩平面SCD=l,求證:AB∥l.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行,這三種平行關(guān)系不是孤立的,而是相互聯(lián)系,并且可以相互轉(zhuǎn)化的.
(2)解決平行關(guān)系的綜合問題一般通過平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化實現(xiàn).
拓展 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱BB1和棱CC1的中點.
(1)求證:平面B1DF∥平面ACE.
(2)試問平面B1DF截正方體所得的截面是什么圖形 并說明理由.13.2.4　平面與平面的位置關(guān)系
第1課時　兩平面平行
一、選擇題
1.若直線l∥平面α,直線m∥平面α,直線l與m相交于點P,且l與m確定的平面為β,則α與β的位置關(guān)系是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.相交但不垂直 B.平行
C.垂直 D.不確定
2.已知α∥β,a α,那么a與β的位置關(guān)系是 (　 )
A.平行 B.相交
C.a在β內(nèi) D.垂直
3.[2024·江蘇南通海門中學(xué)月考] 已知直線l⊥平面α,直線n∥平面β,則“α∥β”是“l(fā)⊥n”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.[2024·江蘇宿遷期末] 已知a,b為兩條不同的直線,α,β,γ為三個不同的平面,則下列說法正確的是 (　 )
A.若a∥b,b α,則a∥α
B.若a∥α,b α,則a∥b
C.若α∥γ,β∥γ,則α∥β
D.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β
5.如圖所示為正方體ABCD-A1B1C1D1,E在B1D1上,F在A1B1上,且=,過E作EH∥B1B交BD于H,則平面EFH與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 (　 )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.以上都有可能
6.[2024·江蘇無錫堰橋高級中學(xué)期中] 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH(如圖)分別交C1D1,A1B1,AB,CD于E,F,G,H,則四邊形EFGH的形狀為 (　 )
A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.梯形
7.如圖,在多面體ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,AB=DE,DG=2EF,則 (　 )
A.BF∥平面ACGD
B.CF∥平面ABED
C.BC∥FG
D.平面ABED∥平面CGF
8.(多選題)設(shè)α,β為兩個平面,則下列條件中是“α∥β”的必要不充分條件的是 (　 )
A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行
B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行
C.α,β垂直于同一平面
D.α,β平行于同一平面
9.(多選題)[2024·廣西南寧期中] 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知點G,H分別在A1B1,A1C1上,且GH經(jīng)過△A1B1C1的重心,點E,F分別是AB,AC的中點,且平面A1EF∥平面BCHG,下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.EF∥GH
B.GH∥平面A1EF
C.=
D.平面A1EF∥平面BCC1B1
二、填空題
10.已知平面α,β是兩個不重合的平面,直線a,b,c是三條不同的直線,若a∥b∥c,a α,b,c β,則α與β的位置關(guān)系是　　　　.
11.如圖,平面α∥平面β,△PAB所在的平面與α,β分別交于CD和AB,若PC=2,CA=3,CD=1,則AB=　　　　.
12.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點E是棱DD1的中點,過點D1作平面α,使得平面α∥平面A1BE,則平面α與平面B1BCC1的交線的長度為　　　　.
三、解答題
13.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中點,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求證:
(1)NC1∥AM;
(2)N為AC的中點.
14.在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點,EF∥DB.已知G,H,I分別是EC,FB和FC的中點,求證:平面GHI∥平面ABC.
15.[2024·江蘇泰興中學(xué)、泰州中學(xué)聯(lián)考] 棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為BD,C1B1的中點,點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上運動,若MP⊥CN,則AP的最大值為 (　 )
A.2 B.
C.3 D.
16.如圖①,在四邊形PBCD中,PD∥BC,A在PD上,且BC=PA=AD.現(xiàn)將△ABP沿AB折起得到四棱錐P-ABCD,如圖②,其中點M是PD的中點,點N是BC的中點.
(1)求證:MN∥平面PAB;
(2)在圖②中,過直線MN作一平面與平面PAB平行,且分別交PC,AD于點E,F',注明E,F'的位置,并證明.

展開更多......

收起↑