資源簡介

(共52張PPT)
13.3 空間圖形的表面積和體積
13.3.1 空間圖形的表面積
探究點一 多面體的側面積和表面積
探究點二 旋轉體的側面積與表面積
探究點三 簡單組合體的表面積
【學習目標】
1.知道棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的表面積的計算公式.
2.能用公式計算一些簡單幾何體的表面積.
3.能用公式計算一些簡單組合體的表面積.
4.能用公式解決簡單的實際問題.
知識點一 多面體的表面積
1.多面體的表面積:我們一般把多面體展開成__________得到這個多
面體的展開圖，通過計算展開圖的面積求多面體的表面積.
平面圖形
2.幾個特殊的空間圖形的定義
（1）直棱柱：側棱和底面______的棱柱；直棱柱的________就是直
棱柱的____.
正棱柱:底面為__________的____棱柱.
垂直
側棱長
高
正多邊形
直
（2）正棱錐：底面是__________，并且頂點在底面的射影是______
_____.
正棱錐的________都相等,側面均為全等的____________.
正多邊形
底面中心
側棱長
等腰三角形
（3）正棱臺:正棱錐被________底面的平面所截，截面和底面之間
的部分叫作正棱臺.
正棱臺的________都相等,側面均為全等的__________.
平行于
側棱長
等腰梯形
3.特殊多面體的表面積
多 面 體 圖形 表面積公式
直 棱 柱 _______________________________________________________________________________________________
多 面 體 圖形 表面積公式
正 棱 錐 __________________________________________________________________________________
續表
多 面 體 圖形 表面積公式
正 棱 臺 ________________________________________________________________________________________
續表
4.正棱柱、正棱錐和正棱臺的側面積公式之間的關系：
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）五棱錐的表面積等于五個側面面積之和.( )
×
[解析] 五棱錐的表面積等于五個側面面積與一個底面面積之和.
（2）沿不同的棱將多面體展開，得到的展開圖相同，表面積相等.
( )
×
[解析] 沿不同的棱將多面體展開，得到的展開圖可能不同，但表面
積相等.
（3）如果一個正方體的每條棱都增加 ,它的表面積擴大為原來
的4倍,那么擴大后的正方體的棱長為 .( )
×
[解析] 設原來正方體的棱長為,則 ,
可得,所以擴大后的正方體的棱長為 .
2.已知正六棱柱的高為6,底面邊長為4,則它的兩底面面積之和為
_______,側面積為_____,表面積為____________.
144
[解析] 由題知兩底面面積之和為 ,
側面積為,則該正六棱柱的表面積為 .
知識點二 圓柱、圓錐、圓臺的表面積
1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式
圖形 面積公式
旋轉 體 圓 柱
圖形 面積公式
旋轉 體 圓 錐
續表
圖形 面積公式
旋轉 體 圓 臺
續表
2.圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的關系
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”,錯誤的打“×”）
（1）圓柱的側面積等于底面圓的面積與高的積.( )
×
[解析] 圓柱的側面積等于底面圓的周長與高的積.
（2）圓錐的底面半徑擴大為原來的2倍,母線長縮小為原來的 ,它的
表面積不變.( )
×
[解析] 當圓錐的底面半徑擴大為原來的2倍,母線長縮小為原來的 時,
它的底面積擴大為原來的4倍,而側面積不變,所以它的表面積發生了變化.
（3）圓柱、圓錐、圓臺的展開圖分別是一個矩形、一個扇形、一個
扇環.( )
×
[解析] 圓柱、圓錐、圓臺的展開圖分別是一個矩形和兩個相等的圓、
一個扇形和一個圓、一個扇環和兩個不相等的圓.
2.已知圓錐的底面半徑為,高為 ,則這個圓錐的底面積為
_____,側面積為_____,表面積為_____ .
[解析] 因為圓錐的底面半徑為,所以底面積為 .
由勾股定理得,圓錐的母線長為 ,
所以圓錐的側面積為,
故表面積為 .
探究點一 多面體的側面積和表面積
例1 正四棱臺的兩底面邊長分別為和 .
（1）若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為
，求正四棱臺的側面積；
解：如圖所示,連接,,分別取, 的中點,,
則, 分別為上、下底面的中心,連接,
過作于,過作于 ,連接,
則 為正四棱臺的斜高.
由題意知 , .
在中, ,又 ,
,
.
（2）若正四棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求正四棱臺的高.
解：設正四棱臺的高為，斜高為 ，
由題意得， ，
又， .
變式（1） [2024·江蘇灌云一中高一期末] 已知直
三棱柱的側棱長為3，直三棱柱底面的直觀圖是一
個等腰直角三角形（如圖），斜邊 ，
則該直三棱柱的側面積為_______________.
[解析] 由題意知 ，由斜二測畫法知，
直三棱柱的底面周長為 ，又直三棱柱的側棱長為3，
故其側面積為 .
（2）[2024·江蘇連云港高一期末] 用油漆涂一個正四棱錐形鐵皮做
的冷水塔塔頂（鐵皮的正反面都要涂漆），其高是1米，底面的邊長
是1.5米，已知每平方米需用油漆150克，則大約需用油漆____千克.
（精確到0.1千克）
1.2
[解析] 如圖,正四棱錐 表示冷水塔塔頂,
為底面中心,是高,是斜高,則 米,
底面的邊長是1.5米.
在 中,由勾股定 理得 (米),
所以 (平方米).
因為鐵皮的正反面都要涂漆,所以共需用油漆 (克),
由精確到0.1千克,實際問題向上取整,可得大約需用油漆1.2千克.
（3）[2024·無錫江陰兩校高一期中] 若正三棱臺上底面的邊長為1，
下底面的邊長為2，側棱長為1，則它的表面積為_ ___.
[解析] 根據題意，正三棱臺的上、下底面均為等邊三角形，
且上底面的邊長為1，下底面的邊長為2，側面為等腰梯形，
則斜高 ，所以它的表面積為
.
［素養小結］
求解正棱臺的表面積時注意棱臺的四個基本量:底面邊長、高、斜高、
側棱.
拓展 已知正四棱臺（上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面
的射影是下底面的中心）上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，
則它的表面積為______________．
[解析] 方法一：如圖,設,分別是, 的中點,
, 分別是下、上底面正方形的中心,連接,
則為正四棱臺的高,且 .
連接,,則 , .
過作,垂足為,則 ,,
所以.連接 ,在中,
,所以 .
所以 ,
所以 .
方法二：如圖,將正四棱臺的側棱延長后交于一點 .
分別取,的中點,,連接,則 的延長線必過點.
設,分別是正方形 與正方形的中心,
連接,, ,則有, ,
所以,即 ,所以.
在 中,,所以.
在 中, ,所以 ,
所以.
所以 ，所以 .
探究點二 旋轉體的側面積與表面積
例2（1） [2024·南京高一期末]已知圓錐的母線長為2，軸截面為等
邊三角形，則該圓錐的表面積為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為圓錐的母線長為2,軸截面為等邊三角形,所以圓錐的底面
半徑為1,則該圓錐的側面積,底面積
,所以該圓錐的表面積 .故選A.
√
（2）一個圓錐被截成圓臺,已知圓臺的上、下底面半徑的比是 ,截
去小圓錐的母線長為,則圓臺的母線長為___ .
9
[解析] 設圓臺的母線長為 ,因為圓臺的上、下底面半徑的比是
,所以可設圓臺的上、下底面半徑分別是, ,根據相似三
角形的性質得,解得,故圓臺的母線長為 .
（3）已知圓柱的底面半徑為2,高為3,垂直于圓柱底面
的平面截圓柱所得截面為矩形 ,剩余部分如圖所
示.若弦所對的圓心角為 ,則剩余部分的表面積為
______________.
[解析] 因為弦所對的圓心角為 ,
所以剩余部分的底面面積為 ,
側面積為 ，
所以剩余部分的表面積為 .
變式（1） [2024·江蘇無錫堰橋高級中學高一期中]已知圓錐的側面
積為 ，它的側面展開圖是圓心角為 的扇形，則此圓錐的高為
( )
A. B. C. D.2
[解析] 設圓錐的底面半徑為，母線長為，因為圓錐的側面積為 ，
它的側面展開圖是圓心角為的扇形，所以 可得
所以圓錐的高 .故選B.
√
（2）[2024·江蘇連云港高一期末]用油漆涂100個圓臺形水桶
（桶內外側都要涂），桶口直徑為30厘米，桶底直徑為25厘米，母
線長是27.5厘米.已知每平方米需用油漆120克，則大約需用油漆
（ 取 ，結果精確到0.1千克）( )
A.6.7千克 B.6.8千克 C.6.9千克 D.7.0千克
√
[解析] 30厘米米,25厘米米,
27.5厘米米, 克 千克，
水桶的側面積 （平方米）,
桶底的面積 （平方米）,
故一個水桶需要涂漆的面積 （平方米）,
故100個水桶共需用油漆 （千克）.
故選C.
［素養小結］
（1）求圓柱、圓錐和圓臺的側面積和表面積，只需求出上、下底面
的半徑和母線長，求半徑和母線長時常借助軸截面.
（2）解答旋轉體的側面積與表面積問題可先把空間問題轉化為平面
問題，即在展開圖內求母線的長，再進一步代入側面積公式求出側
面積，進而求出表面積.
探究點三 簡單組合體的表面積
例3 [2024·湖北華師大一附中高一月考]氈帳是蒙古族牧民
居住的一種房子，內部木架結構，外部毛氈圍攏，建造和
搬遷都很方便，適合牧業和游牧生活.如圖所示，某氈帳可
視作一個圓錐與一個圓柱的組合體，下半部分圓柱的高為
2.5米，上半部分圓錐的母線長為 米，其軸截面（過圓
錐軸的截面）是面積為 平方米的等腰鈍角三角形，則
建造該氈帳（不含底面）需要毛氈( )
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米
√
[解析] 根據題意,該組合體上半部分為圓錐,其母線長為 米,軸截面
是面積為平方米的等腰鈍角三角形,設其高為 米,底面半徑為米,
則有所以
則上半部分圓錐的側面積 (平方米).
又下半部分圓柱的側面積 (平方米)，
所以該組合體的表面積(不含底面)為 (平方米).
故選A.
變式 [2024·重慶楊家坪中學高一月考] 某廣場設置了一些石凳
（如圖①）供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相同的四面
體得到的（如圖②），若被截正方體的棱長是 ,那么該幾何體的
表面積是____________ .
[解析] 因為截去的八個四面體是相同的,所以該幾何體是由邊長為
的六個正方形和八個正三角形圍成的,所以該幾何體的表面積
為 .
［素養小結］
（1）組合體的側面積和表面積問題，首先要弄清楚它由哪些簡單空
間圖形組成,然后再根據條件求各個空間圖形的基本量，注意方程思
想的應用.
（2）在實際問題中,常通過計算物體的表面積來研究如何合理地用料，
如何節省原材料等，在求解時應結合實際,明確實際物體究竟是哪種
空間圖形，哪些面計算在內,哪些面在實際中沒有.
1.多面體的表面積就是多面體各個面的面積的和.
2.棱柱、棱錐、棱臺的側面積公式中的高為幾何體的斜高（側面的高）.
3.說明:圓臺 及其側面展開圖如圖所示,側面
展開圖是扇環,內弧長等于圓臺上底面周長,外
弧長等于圓臺下底面周長.
由,解得 .
,
所以, .
1.計算棱柱、棱錐、棱臺的表面積多采用面積累加的方式求解.
2.求簡單幾何體的表面積,一要掌握這些幾何體的表面積的計算公式,
二要分清要求的是哪類的幾何體,或者是由哪些簡單幾何體組成的,然
后再用公式求其表面積.
3.解決求旋轉體的表面積問題時,要利用好旋轉體的軸截面及側面展
開圖,借助平面幾何知識,求得所需的幾何要素,代入公式求解即可.
例 如圖,在直角梯形中,, ,
,,以 邊所在的直線為軸,其余三
邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體.
（1）求該幾何體的表面積;
解：由題知,該幾何體是一個上底面半徑 ,
下底面半徑,母線長 的圓臺, 表面積
.
（2）一只螞蟻在該幾何體上從點 繞著幾何體的側面爬行一周回到
點 ,求螞蟻爬行的最短距離.
解：將圓臺的側面沿母線 剪開,展開得到如圖所示的一個扇環,
設的延長線與 的延長線交于點 .
,的長等于的長的2倍,
,又,, .
設 ,則的長 , .
連接,取線段的中點,連接,則 ,
在中,易得 , ,
易知螞蟻從點 繞著圓臺的側面爬行一周回到點的最短距離即為
線段 的長, , 螞蟻爬行的最短距離為 .13.3　空間圖形的表面積和體積
13.3.1　空間圖形的表面積
【課前預習】
知識點一
1.平面圖形
2.(1)垂直　側棱長　高　正多邊形　直
(2)正多邊形　底面中心　側棱長　等腰三角形
(3)平行于　側棱長　等腰梯形
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)五棱錐的表面積等于五個側面面積與一個底面面積之和.
(2)沿不同的棱將多面體展開,得到的展開圖可能不同,但表面積相等.
(3)設原來正方體的棱長為x cm,則6(x+1)2=4×6x2,可得x=1,所以擴大后的正方體的棱長為2 cm.
2.48　144　144+48　[解析] 由題知兩底面面積之和為2××42×6=48,側面積為6×6×4=144,則該正六棱柱的表面積為144+48.
知識點二
1.πr2　2πrl　2πr(r+l)　πr2　πrl　πr(r+l)　πr'2　πr2　π(r'l+rl)　π(r2+r'2+rl+r'l)
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)圓柱的側面積等于底面圓的周長與高的積.
(2)當圓錐的底面半徑擴大為原來的2倍,母線長縮小為原來的時,它的底面積擴大為原來的4倍,而側面積不變,所以它的表面積發生了變化.
(3)圓柱、圓錐、圓臺的展開圖分別是一個矩形和兩個相等的圓、一個扇形和一個圓、一個扇環和兩個不相等的圓.
2.16π　24π　40π　[解析] 因為圓錐的底面半徑為4 cm,所以底面積為16π cm2.由勾股定理得,圓錐的母線長為=6(cm),所以圓錐的側面積為π×4×6=24π(cm2),故表面積為16π+24π=40π(cm2).
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)如圖所示,連接A1C1,AC,分別取A1C1,AC的中點O1,O,則O1,O分別為上、下底面的中心,連接O1O,過C1作C1E⊥AC于E,過E作EF⊥BC于F,連接C1F,則C1F為正四棱臺的斜高.
由題意知∠C1CO=45°,CE=CO-EO=CO-C1O1=(b-a).在Rt△C1CE中,C1E=CE=(b-a),
又EF=CE·sin 45°=(b-a),∴C1F===(b-a),
∴S側=(4a+4b)×(b-a)=(b2-a2).
(2)設正四棱臺的高為h,斜高為h斜,
由題意得(4a+4b)·h斜=a2+b2,∴h斜=,
又EF=,∴h==.
變式　(1)3(1++)　(2)1.2　(3)　[解析] (1)由題意知O'A'= ,由斜二測畫法知,直三棱柱的底面周長為1++ ,又直三棱柱的側棱長為3,故其側面積為 3(1++) .
(2)如圖,正四棱錐S-ABCD表示冷水塔塔頂,O為底面中心,SO是高,SE是斜高,則SO=1米,底面的邊長是1.5米.在Rt△SOE中,由勾股定理得SE==1.25(米),所以S正四棱錐側=×(1.5×4)×1.25=3.75(平方米).因為鐵皮的正反面都要涂漆,所以共需用油漆3.75×2×150=1125(克),由精確到0.1千克,實際問題向上取整,可得大約需用油漆1.2千克.
(3)根據題意,正三棱臺的上、下底面均為等邊三角形,且上底面的邊長為1,下底面的邊長為2,側面為等腰梯形,則斜高h'==,所以它的表面積為×1×1×+×2×2×+3×=.
拓展　108+180　[解析] 方法一:如圖,設E,E1分別是BC,B1C1的中點,O,O1分別是下、上底面正方形的中心,連接OO1,則O1O為正四棱臺的高,且O1O=12.連接OE,O1E1,則OE=AB=×12=6,O1E1=A1B1=3.過E1作E1H⊥OE,垂足為H,則E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,所以HE=OE-OH=6-3=3.連接EE1,在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=153,所以E1E=3.所以S側=4××(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×3=108,所以S表=108+62+122=108+180.
方法二:如圖,將正四棱臺的側棱延長后交于一點P.分別取B1C1,BC的中點E1,E,連接EE1,則EE1的延長線必過P點.設O1,O分別是正方形A1B1C1D1與正方形ABCD的中心,連接PO,O1E1,OE,則有O1E1=A1B1=3,OE=AB=6,所以==,即=,所以PO1=O1O=12.在Rt△PO1E1中,P=P+O1=122+32=153,所以PE1=3.在Rt△POE中,PE2=PO2+OE2=242+62=612,所以PE=6,所以E1E=PE-PE1=6-3=3.
所以S側=4××(BC+B1C1)×E1E=2×(12+6)×3=108,
所以S表=108+62+122=108+180.
探究點二
例2　(1)A　(2)9　(3)π+2+6　[解析] (1)因為圓錐的母線長為2,軸截面為等邊三角形,所以圓錐的底面半徑為1,則該圓錐的側面積S側=×(2π×1)×2=2π,底面積S底=π×12=π,所以該圓錐的表面積S表=S側+S底=3π.故選A.
(2)設圓臺的母線長為y cm,因為圓臺的上、下底面半徑的比是1∶4,所以可設圓臺的上、下底面半徑分別是x cm,4x cm,根據相似三角形的性質得=,解得y=9,故圓臺的母線長為9 cm.
(3)因為弦AB所對的圓心角為,所以剩余部分的底面面積為××22+×22×sin=+,側面積為π×2×3+2×3=10π+6,所以剩余部分的表面積為×2+10π+6=π+2+6.
變式　(1)B　(2)C　[解析] (1)設圓錐的底面半徑為r,母線長為l,因為圓錐的側面積為3π,它的側面展開圖是圓心角為的扇形,所以可得所以圓錐的高h==2.故選B.
(2)30厘米=0.3米,25厘米=0.25米,27.5厘米=0.275米,120克=0.12千克,水桶的側面積S側=π×0.275×=0.275×0.275π(平方米),桶底的面積S底=π×=0.125×0.125π(平方米),故一個水桶需要涂漆的面積S=2(S側+S底)=0.182 5π(平方米),故100個水桶共需用油漆100×0.12×0.182 5π=6.876 6≈6.9(千克).故選C.
探究點三
例3　A　[解析] 根據題意,該組合體上半部分為圓錐,其母線長為2米,軸截面是面積為3平方米的等腰鈍角三角形,設其高為h米,底面半徑為r米,則有所以則上半部分圓錐的側面積S1=π×3×2=6π(平方米).又下半部分圓柱的側面積S2=2π×3×2.5=15π(平方米),所以該組合體的表面積(不含底面)為S1+S2=(6+15)π(平方米).故選A.
變式　36(3+)　[解析] 因為截去的八個四面體是相同的,
所以該幾何體是由邊長為3 dm的六個正方形和八個正三角形圍成的,所以該幾何體的表面積為6×(3)2+8××(3)2=36(3+)(dm2).13.3　空間圖形的表面積和體積
13.3.1　空間圖形的表面積
1.B　[解析] 根據題意,圓錐的母線長l==,代入S側=πrl得S側=π×1×=π.故選B.
2.A　[解析] 設上底面半徑為r,因為圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,所以另一個底面的半徑為3r,又圓臺的母線長為3,圓臺的側面積為84π,所以π(r+3r)l=84π,解得r=7,所以圓臺較小底面的半徑為7.故選A.
3.B　[解析] 如圖所示,在正四棱錐P-ABCD中,底面ABCD的邊長為2,設點P在底面ABCD上的射影為點O,連接AC,BD,且AC∩BD=O,則四棱錐P-ABCD的高PO=,O為AC的中點,則AO=AC=AB=,PB=PA==,取AB的中點E,連接PE,則PE⊥AB,且PE==2,所以S△PAB=AB·PE=2,所以正四棱錐P-ABCD的表面積S=4×2+22=12.故選B.
4.A　[解析] 設圓柱的底面半徑為r,高為h,則圓柱的表面積為2πr2+2πrh,新幾何體的表面積為2πr2+2πrh+2rh,故2rh=10,故圓柱的側面積為2πrh=10π.故選A.
5.A　[解析] 因為S圓柱側=2π××2=6π(cm2),S組合體圓臺側=π××+π××=(36+12)π(cm2),所以該青銅器的表面積S=π×+π×+(36+12)π+6π=(cm2).故選A.
6.A　[解析] 設正三棱錐的底面邊長為a,側棱長為b,則底面積S1=a2,側面積S2=3×a×.表面積是底面積的5倍,則側面積是底面積的4倍,即4S1=S2,化簡可得=a,即=,所以==.故選A.
7.C　[解析] 圓錐的軸截面如圖所示,設圓柱的底面半徑為r,OO'=x,由O'A∥OB可知,=,即=,所以r=,故被挖去的圓柱的側面積S=2πrx=2πx×=πx(12-x)≤π×=36π,當且僅當x=6時取等號,所以該圓錐的內接圓柱的側面積的最大值為36π.故選C.
8.AB　[解析] 若繞直角邊所在直線旋轉,則得到的幾何體為底面半徑為1,高為1的圓錐,母線長為,故圓錐的表面積為π×12+π×1×=(1+)π;若繞斜邊所在直線旋轉,則得到的幾何體為同底的兩個圓錐的組合體,每個圓錐的底面半徑和高都是,母線長為1,故組合體的表面積為π××1×2=π.故選AB.
9.ACD　[解析] 如圖,在正六棱臺ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,因為A1B1=2 cm,AB=6 cm,AA1=5 cm,所以側面梯形ABB1A1的高即正六棱臺的斜高為=(cm),所以梯形ABB1A1的面積S=×(2+6)×=4(cm2),故正六棱臺的側面積為6S=6×4=24(cm2),故B錯誤;由圖可知該正六棱臺的上底面面積為6個邊長為2的等邊三角形的面積和,所以該正六棱臺的上底面面積S1=6××2×2×sin 60°
=6(cm2),故A正確;同理得下底面面積S2=6××6×6×sin 60°=54(cm2),所以該正六棱臺的表面積是6S+S1+S2=(60+24)cm2,故C正確;正六棱臺的高為OO1==3(cm),故D正確.故選ACD.
10.60 cm2　[解析] 設正四棱柱的底面邊長為a cm,由題意得a2+a2+25=43,可得a=3,∴側面積為4a×5=60(cm2).
11.6+4　[解析] 由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為2,側棱長為,可得矩形BB1D1D的面積S1=BD·BB1=2×=4,△A1B1D1的面積S2=A1B1·A1D1=×2×2=2,△A1B1B的面積S3=A1B1·BB1=×2×=,△A1D1D的面積S4=S3=,△A1BD中,因為A1B=A1D=,BD=2,則BD邊上的高h==2,所以△A1BD的面積S5=×2×2=2,所以四棱錐A1-BB1D1D的表面積為S1+S2+S3+S4+S5=6+4.
12.π(R2-l2)　[解析] 題圖中的幾何體的軸截面如圖所示,因為OA=AB=R,所以△AOB是等腰直角三角形.又CD∥OA,所以CD=BC.設O1D=x,則CD=R-x.又BC=R-l,所以x=l,所以所求截面面積S=πR2-πl2=π(R2-l2).
13.解:(1)由題意BE=EC=1,DE=AE=2×sin 60°=,
根據正三棱柱得CC1⊥平面ABC,
又BC 平面ABC,所以CC1⊥BC,
可得在Rt△ECD中,CD===,
又D是CC1的中點,所以側棱長為2.
(2)底面積S1=2S△ABC=2×2××=2,側面積S2=3=3×2×2=12.
所以棱柱的表面積S=S1+S2=12+2.
14.解:(1)在△AOB中,由AO⊥OB,∠OBA=60°,OB=,得AB=2.
∴圓錐的底面積S1=π×()2=3π,
圓錐的側面積S2=π××2=6π,
∴圓錐的表面積S=S1+S2=9π.
(2)當正方體的外接球在圓錐內,且與圓錐相切時a最大,
球心G在AO上,作GH⊥AB于H,如圖,
設球的半徑為R,由已知可得,OA==3,
在Rt△AGH中,可得R=(3-R),解得R=1,則2R=a,解得a=,∴a的最大值為.
15.C　[解析] 設D,D1分別是BC,B1C1的中點,連接AD,A1D1,DD1,設O,O1分別是正三角形ABC和正三角形A1B1C1的中心,連接OO1,則O∈AD,O1∈A1D1,且O1D1=A1D1=,OD=AD=.因為OO1⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以OO1⊥BC,又AD⊥BC,AD∩OO1=O,AD,OO1 平面ADD1A1,所以BC⊥平面ADD1A1,又DD1 平面ADD1A1,所以BC⊥DD1,所以∠D1DA是棱臺的側面與底面所成的二面角的平面角,所以∠D1DA=60°,過D1作D1E⊥AD,垂足為E,則DE=OD-O1D1=,所以DD1=,所以三棱臺的表面積為×22×sin 60°+×42×sin 60°+××3=11.故選C.
16.解:(1)∵O是正六棱錐底面的中心,
∴PO是棱錐的高,如圖,連接OC,可知OC=2,
在Rt△POC中,PO==2,即棱錐的高為2,
設BC的中點為M,連接PM,由△PBC是等腰三角形可知, PM⊥BC,
因此PM是斜高,從而PM==,即棱錐的斜高為.
∵△PBC的面積為×BC×PM=×2×=,∴棱錐的側面積為6,又底面正六邊形ABCDEF的底面積S底=6××22=6,
∴棱錐的表面積為S底+S側=6+6.
(2)設圓柱的高h=x(0易知PO=2,OM=,
設圓柱的底面半徑為r,則=,即r=(2-x),
則圓柱的側面積S=2πr·x=2π·(2-x)·x≤π=π.
當且僅當(2-x)=x,即x=1時,S取得最大值π.此時,圓柱的底面半徑r=.13.3　空間圖形的表面積和體積
13.3.1　空間圖形的表面積
【學習目標】
　　1.知道棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的表面積的計算公式.
　　2.能用公式計算一些簡單幾何體的表面積.
　　3.能用公式計算一些簡單組合體的表面積.
　　4.能用公式解決簡單的實際問題.
◆ 知識點一　多面體的表面積
1.多面體的表面積:我們一般把多面體展開成　　　　得到這個多面體的展開圖,通過計算展開圖的面積求多面體的表面積.
2.幾個特殊的空間圖形的定義
(1)直棱柱:側棱和底面　　　　的棱柱;直棱柱的　　　　就是直棱柱的　　　　.
正棱柱:底面為　　　　的　　　　棱柱.
(2)正棱錐:底面是　　　　,并且頂點在底面的射影是　　　　.
正棱錐的　　　　都相等,側面均為全等的　　　　.
(3)正棱臺:正棱錐被　　　　底面的平面所截,截面和底面之間的部分叫作正棱臺.
正棱臺的　　　　都相等,側面均為全等的　　　　.
3.特殊多面體的表面積
多面體 圖形 表面積公式
直棱柱 S直棱柱側=ch(c為直棱柱的底面周長,h為直棱柱的高). S表=S側+2S底
正棱錐 S正棱錐側=ch'(c為正棱錐的底面周長,h'為斜高(即側面等腰三角形底邊上的高)). S表=S側+S底
正棱臺 S正棱臺側=(c+c')h'(c',c分別為正棱臺的上、下底面的周長,h'為斜高). S表=S側+S上底+S下底
4.正棱柱、正棱錐和正棱臺的側面積公式之間的關系:
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)五棱錐的表面積等于五個側面面積之和. (　 )
(2)沿不同的棱將多面體展開,得到的展開圖相同,表面積相等. (　 )
(3)如果一個正方體的每條棱都增加1 cm,它的表面積擴大為原來的4倍,那么擴大后的正方體的棱長為4 cm. (　 )
2.已知正六棱柱的高為6,底面邊長為4,則它的兩底面面積之和為　　　　,側面積為　　　　,表面積為　　　　.
◆ 知識點二　圓柱、圓錐、圓臺的表面積
1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式
圖形 面積公式
旋 轉 體 圓 柱 r為底面半徑, l是母線長 底面積:S底=　　　　; 側面積:S側=　　　　; 表面積:S=　　　
圓 錐 r為底面半徑, l是母線長 底面積:S底=　　　　; 側面積:S側=　　　　; 表面積:S=　　　
圓 臺 r',r分別是上、下底 面半徑,l是母線長 上底面面積:S上底=　 　; 下底面面積:S下底=　 　; 側面積:S側=　　　　; 表面積:S=　　　　
2.圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的關系
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)圓柱的側面積等于底面圓的面積與高的積.(　 )
(2)圓錐的底面半徑擴大為原來的2倍,母線長縮小為原來的,它的表面積不變. (　 )
(3)圓柱、圓錐、圓臺的展開圖分別是一個矩形、一個扇形、一個扇環. (　 )
2.已知圓錐的底面半徑為4 cm,高為2 cm,則這個圓錐的底面積為　　　　cm2,側面積為　　　　cm2,表面積為　　　　cm2.
◆ 探究點一　多面體的側面積和表面積
例1 正四棱臺的兩底面邊長分別為a和b(a(1)若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°,求正四棱臺的側面積;
(2)若正四棱臺的側面積等于兩底面面積之和,求正四棱臺的高.
變式 (1)[2024·江蘇灌云一中高一期末] 已知直三棱柱的側棱長為3,直三棱柱底面的直觀圖是一個等腰直角三角形O'A'B'(如圖),斜邊O'B'=1,則該直三棱柱的側面積為　　　　.
(2)[2024·江蘇連云港高一期末] 用油漆涂一個正四棱錐形鐵皮做的冷水塔塔頂(鐵皮的正反面都要涂漆),其高是1米,底面的邊長是1.5米,已知每平方米需用油漆150克,則大約需用油漆　　　　千克.(精確到0.1千克)
(3)[2024·無錫江陰兩校高一期中] 若正三棱臺上底面的邊長為1,下底面的邊長為2,側棱長為1,則它的表面積為　　　　.
[素養小結]
求解正棱臺的表面積時注意棱臺的四個基本量:底面邊長、高、斜高、側棱.
拓展 已知正四棱臺(上、下底面是正方形,上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心)上底面邊長為6,高和下底面邊長都是12,則它的表面積為　　　　　　　.
◆ 探究點二　旋轉體的側面積與表面積
例2 (1)[2024·南京高一期末] 已知圓錐的母線長為2,軸截面為等邊三角形,則該圓錐的表面積為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3π B.π C.π D.2π
(2)一個圓錐被截成圓臺,已知圓臺的上、下底面半徑的比是1∶4,截去小圓錐的母線長為3 cm,則圓臺的母線長為　　　　cm.
(3)已知圓柱的底面半徑為2,高為3,垂直于圓柱底面的平面截圓柱所得截面為矩形ABCD,剩余部分如圖所示.若弦AB所對的圓心角為,則剩余部分的表面積為　　　　.
變式 (1)[2024·江蘇無錫堰橋高級中學高一期中] 已知圓錐的側面積為3π,它的側面展開圖是圓心角為的扇形,則此圓錐的高為 (　 )
A.π B.2 C.π D.2
(2)[2024·江蘇連云港高一期末] 用油漆涂100個圓臺形水桶(桶內外側都要涂),桶口直徑為30厘米,桶底直徑為25厘米,母線長是27.5厘米.已知每平方米需用油漆120克,則大約需用油漆(π取3.14,結果精確到0.1千克) (　 )
A.6.7千克 B.6.8千克
C.6.9千克 D.7.0千克
[素養小結]
(1)求圓柱、圓錐和圓臺的側面積和表面積,只需求出上、下底面的半徑和母線長,求半徑和母線長時常借助軸截面.
(2)解答旋轉體的側面積與表面積問題可先把空間問題轉化為平面問題,即在展開圖內求母線的長,再進一步代入側面積公式求出側面積,進而求出表面積.
◆ 探究點三　簡單組合體的表面積
例3 [2024·湖北華師大一附中高一月考] 氈帳是蒙古族牧民居住的一種房子,內部木架結構,外部毛氈圍攏,建造和搬遷都很方便,適合牧業和游牧生活.如圖所示,某氈帳可視作一個圓錐與一個圓柱的組合體,下半部分圓柱的高為2.5米,上半部分圓錐的母線長為2米,其軸截面(過圓錐軸的截面)是面積為3平方米的等腰鈍角三角形,則建造該氈帳(不含底面)需要毛氈 (　 )
A.(6+15)π平方米
B.(5+6)π平方米
C.(12+15)π平方米
D.(10+6)π平方米
變式 [2024·重慶楊家坪中學高一月考] 某廣場設置了一些石凳(如圖①)供大家休息,這些石凳是由正方體截去八個相同的四面體得到的(如圖②),若被截正方體的棱長是6 dm,那么該幾何體的表面積是　　　　dm2.
[素養小結]
(1)組合體的側面積和表面積問題,首先要弄清楚它由哪些簡單空間圖形組成,然后再根據條件求各個空間圖形的基本量,注意方程思想的應用.
(2)在實際問題中,常通過計算物體的表面積來研究如何合理地用料,如何節省原材料等,在求解時應結合實際,明確實際物體究竟是哪種空間圖形,哪些面計算在內,哪些面在實際中沒有.13.3　空間圖形的表面積和體積
13.3.1　空間圖形的表面積
一、選擇題
1.[2024·江蘇南通期末] 已知圓錐的底面半徑和高均為1,則該圓錐的側面積為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.π B.π
C.2π D.2π
2.[2024·江蘇湛江期末] 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側面積為84π,則圓臺較小底面的半徑為 (　 )
A.7 B.6
C.5 D.3
3.一個正四棱錐的底面邊長為2,高為,則該正四棱錐的表面積為 (　 )
A.8 B.12
C.16 D.20
4.[2024·揚州一中高一月考] 四等分切割如圖所示的圓柱,再將其重新組合成一個新的幾何體,若新幾何體的表面積比圓柱的表面積增加了10,則圓柱的側面積是 (　 )
A.10π B.20π
C.10 D.20
5.如圖,青銅器的上半部分可以近似看作圓柱,下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體,已知AB=9 cm,CD=3 cm,則該青銅器的表面積為(假設上、下底面圓是封閉的) (　 )
A. cm2 B.(18+58)π cm2
C. cm2 D.(18+36)π cm2
6.[2024·重慶育才中學期中] 正三棱錐P-ABC的表面積是底面積的5倍,則= (　 )
A. B.
C. D.2
7.如圖,圓錐PO的底面直徑和高均為12,過PO上一點O'作平行于底面的截面,以該截面為底面挖去一個圓柱,我們稱該圓柱為圓錐的內接圓柱,則該圓錐的內接圓柱側面積的最大值為 (　 )
A.12π B.24π
C.36π D.72π
8.(多選題)[2024·江蘇江陰期中] 已知一個等腰直角三角形的直角邊長為1,現將該三角形繞其某一邊所在直線旋轉一周,則所形成的幾何體的表面積可以為 (　 )
A.π B.(1+)π
C.2π D.(2+)π
9.(多選題)正六棱臺的上、下底面邊長分別是2 cm和6 cm,側棱長是5 cm,則下列說法正確的是 (　 )
A.該正六棱臺的上底面面積是6cm2
B.該正六棱臺的側面面積是15 cm2
C.該正六棱臺的表面積是(60+24)cm2
D.該正六棱臺的高是3 cm
二、填空題
10.已知正四棱柱的側棱長為5 cm,它的體對角線長為 cm,則這個正四棱柱的側面積為　　　　.
11.如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為2,側棱長為,切割這個正四棱柱,得到四棱錐A1-BB1D1D,則這個四棱錐的表面積為　　　　.
12.從一個底面半徑和高都是R的圓柱中挖去一個以圓柱上底面為底,下底面中心為頂點的圓錐,得到如圖所示的幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離為l,并且平行于底面的平面去截這個幾何體,則截面面積為　　　　.
三、解答題
13.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2,D,E是CC1,BC的中點,AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長;
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.
14.如圖,在△AOB中,AO⊥OB,∠OBA=60°,OB=,現將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉一周得到一個圓錐.
(1)求圓錐的表面積;
(2)若一個棱長為a的正方體木塊可以在這個圓錐內任意轉動,求a的最大值.
15.[2024·廣東深圳寶安中學月考] 已知正三棱臺ABC-A1B1C1的上、下底面的邊長分別為2和4,且棱臺的側面與底面所成的二面角為60°,則此三棱臺的表面積為 (　 )
A.7 B.10
C.11 D.12
16.[2024·鄭州期中] 如圖,底面邊長為2且側棱長為2的正六棱錐P-ABCDEF,O是底面的中心,在其內部有一個高為x的內接圓柱(圓柱的下底面在棱錐的底面上,上底面圓周與棱錐各側面相切).
(1)求棱錐的表面積;
(2)求圓柱側面積的最大值及側面積取得最大值時圓柱底面半徑的值.

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