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(共53張PPT)
13.3 空間圖形的表面積和體積
13.3.2 空間圖形的體積
探究點(diǎn)一 柱體、錐體、臺(tái)體的體積
探究點(diǎn)二 球的表面積與體積
探究點(diǎn)三 球的截面問題
探究點(diǎn)四 簡單組合體的體積
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.知道棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積計(jì)算公式.
2.知道球的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式計(jì)算一些簡單的
與球有關(guān)的幾何體的表面積和體積.
3.能用公式計(jì)算一些簡單幾何體及組合體的體積.
4.能用公式解決簡單的實(shí)際問題.
知識(shí)點(diǎn)一 柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式
1.柱體的體積公式____（為底面積， 為高）.
2.錐體的體積公式_____（為底面積， 為高）.
3.臺(tái)體的體積公式_________________（， 分別為上、下底面
面積， 為高）.
4.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系
.
【診斷分析】 判斷正誤.（正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”）
（1）底面面積相等、高相等的一個(gè)三棱柱與一個(gè)四棱柱的體積不相
等.( )
×
[解析] 底面面積相等、高相等的所有棱柱的體積均相等.
（2）錐體的體積是等底面面積、等高的柱體的體積的三分之一.( )
√
（3）兩個(gè)正方體的體積之比為 ,則這兩個(gè)正方體的棱長之比為
.( )
√
（4）圓錐的底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍,高縮小為原來的 ,它的體積
不變.( )
×
[解析] 由圓錐的體積公式知圓錐的底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍,
高縮小為原來的 ,它的體積變?yōu)樵瓉眢w積的2倍.
（5）圓臺(tái)的上底面半徑為2,下底面半徑為3,高為6,則此圓臺(tái)的體積為
.( )
√
知識(shí)點(diǎn)二 球的表面積和體積公式
1.球的體積公式 ______.
2.球的表面積公式______（ 為球的半徑）.
【診斷分析】 判斷正誤.（正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”）
（1）若球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍,則它的表面積擴(kuò)大為原來的3倍.
( )
×
[解析] 由球的表面積公式知,若球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍,
則它的表面積擴(kuò)大為原來的9倍.
（2）若三個(gè)球的半徑之比為 ,則最大球的體積與最小球的體積
之和是另一個(gè)球的體積的2倍.( )
×
[解析] 設(shè)三個(gè)球的半徑分別為,,,
則它們的體積分別為 , , ,
所以最大球的體積與最小球的體積之和為,
它是另一個(gè)球的體積的 倍.
知識(shí)點(diǎn)三 球體的截面的特點(diǎn)
1.球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均
為圓.
2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把
空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.
探究點(diǎn)一 柱體、錐體、臺(tái)體的體積
例1（1） [2024·江蘇淮安高一期末]已知某圓錐的側(cè)面積為 ，
母線長為2，則該圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)圓錐的底面半徑為,高為,母線長為,
則 ,由題得,解得 ,
則 ,
則該圓錐的體積 .故選B.
√
（2）[2024·山西忻州高一期末]已知圓柱的母線長比底面半徑長多
,表面積為 ，則該圓柱的體積為( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)圓柱底面圓的半徑為,則圓柱的母線長為 ,
由圓柱的表面積為,得,可得 ,
所以該圓柱的體積為 .故選C.
√
（3）[2024·江蘇南通高一期中]已知正四棱臺(tái) 的上、
下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面所成的角為 ，
則該正四棱臺(tái)的體積為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 記正四棱臺(tái) 的上、
下底面的中心分別為,,連接,, ,
在平面中過作平行于,交于 ,
如圖所示,易知底面,所以底面,
所以 為側(cè)棱與底面所成的角,即 .
因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長分別為2和4,
所以 ,,則 ,
故,即正四棱臺(tái) 的高為 ,
所以該正四棱臺(tái)的體積為 .故選C.
變式（1） 長方體共頂點(diǎn)三個(gè)面的面積分別是,, ，則長方體
的體積等于( )
A.6 B. C. D.36
[解析] 設(shè)長方體共頂點(diǎn)的三條邊的邊長分別為,,，則
可得，則長方體的體積 .故選B.
√
（2）已知圓臺(tái)下底面的半徑為，高為，母線長為 ，
則圓臺(tái)的體積為______ .
[解析] 設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為 ,軸截面如圖所示,
過作,垂足為,則有 ,,
, .
因?yàn)椋?br/>所以，解得或 （舍去），
所以圓臺(tái)的體積為 .
（3）[2024·江蘇南通高一期末] 以棱長為2的正方體的六個(gè)面為底面，
分別向外作形狀相同的正四棱錐，得到一個(gè)多面體，已知正四棱錐
的側(cè)面與底面所成的角為 ，則該多面體的體積為____，其面數(shù)為
____.
[解析] 畫出以正方形 為底面的正四棱錐,如圖所示.
取正方形的中心 ,的中點(diǎn),連接,,.
因?yàn)? 平面 平面,所以,
又 ,且,,平面,
所以 平面,則 ,所以,
則該多面體的體積 .
該多面體的面數(shù)為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）常見的求幾何體體積的方法
①公式法:直接代入公式求解.
②等積法:如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積
和高都易求的形式即可.
③分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
（2）求幾何體體積時(shí)需注意的問題
柱、錐、臺(tái)體的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分
利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算.
拓展 如圖，在六面體 中，
平面平面，四邊形
與四邊形 是兩個(gè)全等的矩形，
，， 平面
A.288 B.376 C.448 D.600
，，， ，則六面體
的體積為( )
√
[解析] 根據(jù)題意可得
.故選B.
探究點(diǎn)二 球的表面積與體積
例2（1） 已知球的直徑為 ,求它的表面積和體積；
解：由題得球的半徑 ,
, .
（2）已知球的表面積為 ,求它的體積；
解：設(shè)球的半徑為, ,
,即 , .
（3）已知球的體積為 ,求它的表面積.
解：設(shè)球的半徑為, ,
,即 , .
變式（1） 已知正方體的內(nèi)切球的體積是 ，則正方體的棱長為
( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)該內(nèi)切球的半徑為，則，
解得 ，所以正方體的棱長為 .故選A.
√
（2）已知小球與大球的表面積之比為 ,則小球與大球的體積之比
為______.
[解析] 設(shè)小球的半徑為,表面積為,體積為,大球的半徑為 ,
表面積為,體積為,則,
所以 , 故 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
公式是計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件.
探究點(diǎn)三 球的截面問題
例3 已知球的半徑為，若它的一個(gè)截面圓的面積為 ，
求球心與截面圓圓心之間的距離.
解：如圖,設(shè)截面圓的半徑為 ,
球心與截面圓圓心之間的距離為,球的半徑為 .
由圖易得 與截面圓垂直,由,可得,
又 , 所以 ,
即球心與截面圓圓心之間的距離為 .
變式 過球面上,, 三點(diǎn)的截面和球心之間的距離是球的半徑的一
半,且 ,則球的體積為( )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)?所以的外接圓半徑 .
設(shè)球的半徑為,則,所以 ,
所以球的體積 .故選D.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）有關(guān)球的截面問題,常畫出過球心的截面圓,將問題轉(zhuǎn)化為平面
中圓的問題.
（2）解題時(shí)要注意借助球的半徑,截面圓的半徑 ,球心到截面的距
離構(gòu)成的直角三角形,即 .
探究點(diǎn)四 簡單組合體的體積
例4 [2024·江蘇南京高一期中] 在平面四邊形 中，
， ，，， ，以
直線 為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，該幾何
體的體積為_____.
[解析] 如圖，延長，過點(diǎn)作 ，
垂足為，則點(diǎn)到所在直線的距離為 .
因?yàn)?，
所以 ， .
以直線 為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體可以由以直
線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺(tái)，挖去圓錐后得到.
設(shè), 分別為圓臺(tái)上、下底面的面積，則該幾何體的體積
.
變式 十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖①中的故
宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱
交疊而成的幾何體（如圖②）.這兩個(gè)三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面 .
在底面中，若， ，則該幾何體的體
積為( )
①
②
A. B. C.27 D.
√
[解析] 該幾何體可看作直三棱柱與
三棱錐 和三棱錐的組合體.
由題得，，， 是全等的等腰三角形，
且底邊長為，面積為，四邊形 是邊長為 的正方形，
則該幾何體的體積 .故選C.
［素養(yǎng)小結(jié)］
計(jì)算組合體的體積時(shí)，應(yīng)考慮將其轉(zhuǎn)化為計(jì)算柱、臺(tái)、球等簡單圖
形的體積.
1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式
（1）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式中的高為幾何體的高,即為頂點(diǎn)到
底面或兩底面之間的距離.
（2）棱臺(tái)的體積公式,當(dāng)時(shí),為棱柱的體積公式,當(dāng) 時(shí),為
棱錐的體積公式.
.
2.空間幾何體的體積公式
（1）柱體、錐體、臺(tái)體體積公式中的高為幾何體的高,即為點(diǎn)到面或
面到面的距離.
（2）對(duì)于臺(tái)體的體積公式,當(dāng)時(shí),為柱體的體積公式,當(dāng) 時(shí),
為錐體的體積公式.
（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系
.
3.求幾何體體積的常用方法:公式法、等積法、補(bǔ)形法、分割法.求組
合體的體積要先辨認(rèn)清楚幾何體的組成.
1.求簡單幾何體的體積,一要掌握這些幾何體的體積的計(jì)算公式,二要
分清要求的是哪類的幾何體,或者是由哪些簡單幾何體組成的,然后再
用公式求其體積.
2.體積變換包括體積割補(bǔ)和等積變換,體積割補(bǔ)的目的是應(yīng)用公式計(jì)
算體積,等積變換的目的是以體積為中間媒介,計(jì)算相關(guān)元素.特別對(duì)于
棱錐,它可補(bǔ)成棱柱,可置換底面、置換頂點(diǎn),有較大的靈活性,若技巧
運(yùn)用得當(dāng),則可使解題過程簡化.
3.“割補(bǔ)法”是求不規(guī)則幾何體體積的基本方法,通過割補(bǔ)使不規(guī)則幾
何體成為規(guī)則幾何體,利用規(guī)則幾何體的體積公式求出其體積,然后再
加上或減去“割”或“補(bǔ)”的那一部分體積即得原幾何體的體積,“割補(bǔ)法”
也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在立體幾何中的應(yīng)用.
例1（1） 如圖,某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息,
這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的,
如果正方體的棱長是 ,那么石凳的體積是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由題意可知,截去的八個(gè)四面體是一樣的正三棱錐,
這八個(gè)正三棱錐的體積之和是 ,
正方體的體積為 ,
則石凳的體積是 .故選B.
（2）已知三棱柱的體積為120,點(diǎn),分別在側(cè)棱 ,
上,且,則三棱錐 的體積為( )
A.20 B.30 C.40 D.60
√
[解析] 如圖,連接,,, , 且點(diǎn)到平面
的距離等于點(diǎn)B到平面 的距離, ,
又 , ,
,
可得.
又,且與 到平面 的距離相等,
,
又三棱柱 的體積為120,
.故選C.
（3）[2024·河北邢臺(tái)高一期中] 所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多
面體叫作擬柱體.在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面,其余各
面叫作擬柱體的側(cè)面,兩底面之間的垂直距離叫作擬柱體的高.現(xiàn)有一
擬柱體,上、下底面均為正六邊形,且下底面邊長為 ,上底面各頂點(diǎn)
在下底面的射影為下底面各邊的中點(diǎn),高為3,則該擬柱體的體積為
_______.
[解析] 過上底面的頂點(diǎn)向下底面作垂線,可得
該擬柱體的體積為中間正六棱柱的體積與外側(cè)
6個(gè)四棱錐的體積之和,如圖, ,
所以 ,
所以正六棱柱的體積為.
取的中點(diǎn) ,連接,則平面,且 , ,故四棱錐的體積為 ,從而擬柱體的體積為 .
例2 如圖,在梯形中,, ,
, ,過點(diǎn)作,以 為
軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.
（1）求此旋轉(zhuǎn)體的體積;
解：旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒放的與圓柱等高的圓錐.
由圖可知, ,
圓錐的底面半徑 ,
圓柱的底面半徑,
圓柱與圓錐的高均為 ,
所以圓柱的體積 ,
圓錐的體積 ,
故旋轉(zhuǎn)體的體積 .
（2）求此旋轉(zhuǎn)體的表面積.
解：圓柱的側(cè)面積 ,
圓錐的側(cè)面積 ,
圓柱的下底面面積 ,
圓錐的底面積 ,
則此旋轉(zhuǎn)體上底面的面積 ,
故此旋轉(zhuǎn)體的表面積為 .
4.球的截面問題
設(shè)球的截面圓上一點(diǎn),球心為,截面圓的圓心為,則 是以
為直角的直角三角形,解答球的截面問題時(shí),常用該直角三角形
求解,并常用過球心和截面圓心的軸截面.
例3 如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,
12,13,當(dāng)球與上底面的三條棱都相切時(shí),球心到下底
面的距離為8,則球的體積為_ ______.
[解析] 直三棱柱的底面邊長分別是5,12,13,
底面為直角三角形,設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為 ,
則,解得 .
又直三棱柱的高為4,且球心到下底面的距離為8,
球心到上底面的距離為4,則球的半徑為,
球的體積 .13.3.2　空間圖形的體積
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.Sh　2.Sh　3.h(S'++S)
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　[解析] (1)底面面積相等、高相等的所有棱柱的體積均相等.
(4)由圓錐的體積公式知圓錐的底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍,高縮小為原來的,它的體積變?yōu)樵瓉眢w積的2倍.
知識(shí)點(diǎn)二
1.πR3　2.4πR2
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)由球的表面積公式知,若球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍,則它的表面積擴(kuò)大為原來的9倍.
(2)設(shè)三個(gè)球的半徑分別為r,2r,3r,則它們的體積分別為πr3,πr3,πr3,所以最大球的體積與最小球的體積之和為 πr3+πr3=πr3,它是另一個(gè)球的體積的倍.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)B　(2)C　(3)C　[解析] (1)設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,母線長為l,則l=2,由題得×2πr×l=2π,解得r=,則h===,則該圓錐的體積V=πr2h=π×()2×=.故選B.
(2)設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,則圓柱的母線長為r+2,由圓柱的表面積為24π,得2πr2+2πr(r+2)=24π,可得r=2,所以該圓柱的體積為πr2(r+2)=16π(cm3).故選C.
(3)記正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面的中心分別為O1,O,連接OO1,AC,A1C1,在平面ACC1A1中過A1作A1E平行于OO1,交AC于E,如圖所示,易知OO1⊥底面ABCD,所以A1E⊥底面ABCD,所以∠A1AE為側(cè)棱AA1與底面ABCD所成的角,即∠A1AE=60°.因?yàn)檎睦馀_(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面邊長分別為2和4,所以A1C1=2,AC=4,則AE=×(4-2)=,
故A1E=AE·tan 60°=×=,即正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高為,所以該正四棱臺(tái)的體積為×(22++42)×=.故選C.
變式　(1)B　(2)π　(3)16　12　[解析] (1)設(shè)長方體共頂點(diǎn)的三條邊的邊長分別為a,b,c,則可得a2b2c2=6,則長方體的體積V=abc=.故選B.
(2)設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r(r<4),軸截面如圖所示,過B作BE⊥DC,垂足為E,則有AB=r,DC=4,AD=BE=4,BC=2.因?yàn)锽C2=BE2+CE2,所以(2)2=42+(4-r)2,解得r=2或r=6(舍去),所以圓臺(tái)的體積為×(π×22+π×2×4+π×42)×4=π(cm3).
(3)畫出以正方形ABCD為底面的正四棱錐P-ABCD,如圖所示.取正方形ABCD的中心O,CD的中點(diǎn)E,連接PO,OE,PE.因?yàn)镻O⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以CD⊥PO,又CD⊥PE,且PO∩PE=P,PO,PE 平面POE,所以CD⊥平面POE,則∠PEO=,所以PO=1,則該多面體的體積V=2×2×2+6××2×2×1=16.該多面體的面數(shù)為=12.
拓展　B　[解析] 根據(jù)題意可得=++=+++=+++=++=++=××10+×10×6×6+×××6=376.故選B.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)由題得球的半徑R=3 cm,
∴S球=4πR2=36π(cm2),V球=πR3=36π(cm3).
(2)設(shè)球的半徑為R,∵S球=4πR2=64π,∴R2=16,即R=4,∴V球=πR3=π×43=π.
(3)設(shè)球的半徑為R,∵V球=πR3=π,∴R3=125,即R=5,∴S球=4πR2=100π.
變式　(1)A　(2)1∶27　[解析] (1)設(shè)該內(nèi)切球的半徑為r,則π=πr3,解得r=,所以正方體的棱長為2r=2.故選A.
(2)設(shè)小球的半徑為R1,表面積為S1,體積為V1,大球的半徑為R2,表面積為S2,體積為V2,則S1∶S2=4π∶4π=1∶9,所以R1∶R2=1∶3,故V1∶V2=∶=1∶27.
探究點(diǎn)三
例3　解:如圖,設(shè)截面圓的半徑為r,球心與截面圓圓心之間的距離為d,球的半徑為R.
由圖易得OO'與截面圓垂直,
由πr2=36π可得r=6 cm,又R=10 cm,
所以d==8(cm),即球心與截面圓圓心之間的距離為8 cm.
變式　D　[解析] 因?yàn)锳B=BC=CA=2,所以△ABC的外接圓半徑r=. 設(shè)球的半徑為R,則R2-=,所以R=,所以球的體積V=πR3=.故選D.
探究點(diǎn)四
例4　25π　[解析] 如圖,延長AD,過點(diǎn)C作CE⊥AD,垂足為E,則點(diǎn)C到AD所在直線的距離為CE.因?yàn)閟in(180°-∠ADC)=sin 60°=,
所以CE=CD·sin 60°=2×=,DE=CD=1.以直線AD為軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體可以由以直線AE為軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺(tái)AE,挖去圓錐DE后得到.設(shè)S1,S2分別為圓臺(tái)上、下底面的面積,則該幾何體的體積V=V圓臺(tái)AE-
V圓錐DE=(S1+S2+)·AE-S1·DE=×(3π+27π+)×2-×3π×1=26π-π=25π.
變式　C　[解析] 該幾何體可看作直三棱柱BCE-ADF與三棱錐S-MAB和三棱錐S-NCD的組合體.由題得△BCE,△ADF,△MAB,△NCD是全等的等腰三角形,且底邊長為3,面積為,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,則該幾何體的體積V=V三棱柱BCE-ADF+V三棱錐S-MAB+V三棱錐S-NCD=×3+××+××=27.故選C.13.3.2　空間圖形的體積
1.C　[解析] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,所以S△ABC=×2×2×sin 60°=,則=S△ABC·AA1=×2=2.故選C.
2.C　[解析] 根據(jù)題意可得截面圓的半徑為1,又O到平面α的距離為1,所以球O的半徑為=,則球O的表面積為8π.故選C.
3.D　[解析] 設(shè)正四棱臺(tái)的高為h cm,則V=×(400+900+600)h=19 000,解得h=30.故選D.
4.B　[解析] 如圖,在正三棱錐S-ABC中,取AB的中點(diǎn)D,連接CD, 則S在平面ABC上的射影O在CD上,且O為△ABC的中心.∵正三角形ABC的周長為9,∴AB=3,∴CD=,∴CO=,又SC=2,∴正三棱錐S-ABC的高SO==1,∴VS-ABC=S△ABC×SO=××3××1=.故選B.
5.C　[解析] 設(shè)圓柱底面半徑為r,由正弦定理得2r=,解得r=,則圓柱的高h(yuǎn)===,所以圓柱的體積V=πr2h=π××=.故選C.
6.B　[解析] 設(shè)四棱錐P - ABCD的高為h,底面ABCD的面積為S,則V2=VP-ABD=×Sh=Sh.因?yàn)镃E=2EP,所以PE=PC,所以V1=VP-EBD=VE-PBD=VC-PBD=VP-BCD=×Sh=Sh,所以==.故選B.
7.A　[解析] 設(shè)AB=a,CD=b,AD=c,BC=d,且a>b,則S1=πc2+2πcb+πcd,V1=πc2b+πc2(a-b),S2=πc2+2πca+πcd,V2=πc2a-πc2(a-b),所以S2-S1=2πc(a-b)>0,V2-V1=πc2(a-b)-πc2(a-b)=πc2(a-b)>0,即 S18.B 　[解析] 該燈籠去掉圓柱部分的高為40-8=32(cm),則R-h==16(cm).又圓柱的底面圓直徑為24 cm,所以(R-h)2+122=R2,即162+122=R2,可得R=20 cm,則h=4 cm,故該燈籠的體積V=2V圓柱+V球-2V球缺=2×4×122×π+×π×203-2×(60-4)×42≈3456+32 000-1792=33 664(cm3).故選B.
9.ACD　[解析] 對(duì)于A,==×CC1×S△ABC=×4××2×3=4,故A正確;對(duì)于B,====×4=2,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,=-==××2×3×4=8,故C正確;對(duì)于D,由題可知,AC=,AC1=,BC1=5,所以AB2+B=A,所以△ABC1是直角三角形,AB⊥BC1,所以三棱錐C1-ABC的表面積為S△ABC+++=×2×3+×3×4+××4+×2×5=14+2,故D正確.故選ACD.
10.　[解析] 依題意可得正四棱錐的高h(yuǎn)==,所以其體積V=×12×=.
11.47　[解析] 由題意知水深為35×=10(cm),水面直徑為24+2××=28(cm),根據(jù)圓臺(tái)的體積公式得降雨的體積V=×(π×122+π×142+)×10=π(cm3),則降水量為≈≈4.7(cm)=47(mm).
12.　[解析] 設(shè)母線長為l,甲圓錐底面半徑為r1,乙圓錐底面半徑為r2,則===2,所以r1=2r2,又+=2π,則=1,所以r1=l,r2=l,所以甲圓錐的高h(yuǎn)1==l,乙圓錐的高h(yuǎn)2==l,所以===.
13.解:(1)長方體的體積為2×2×6=24,
半圓柱的底面積為π×=π×=,
則半圓柱的體積為×AD=×6=3π,
故該幾何體的體積為24+3π.
(2)長方體去掉上底面后的表面積為2×6+2×2×2+2×6×2=44,由(1)得半圓柱的底面積為,
則半圓柱的側(cè)面積為2π×××6=6π,
所以該幾何體的表面積為44+×2+6π=44+7π.
14.解:(1)過點(diǎn)P作PO⊥底面ABCD于點(diǎn)O,PO交平面A1B1C1D1于點(diǎn)O1,
由正四棱錐及棱臺(tái)的性質(zhì)可知,O為底面ABCD的中心,
則O1O=PO-PO1=×PO1-PO1=PO1=4,
即棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高h(yuǎn)=4,
=×(S四邊形ABCD++)×h=×[(4)2+(2)2+]×4=×56×4=.
(2)連接OA,則AO=AB=×4=4,則AA1=AP=×=2,
作A1M⊥AB于點(diǎn)M,則A1M==3,
故棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的表面積為S正方形ABCD++4=(4)2+(2)2+4××(2+4)×3=32+8+72=112.
15.　[解析] 由題得細(xì)沙全部在上部時(shí),細(xì)沙的高為h,設(shè)圓錐的底面半徑為r,則細(xì)沙形成的圓錐的底面半徑為r,所以細(xì)沙的體積V=π··h=πr2h.細(xì)沙漏入下部后,圓錐形沙堆的底面半徑為r,設(shè)高為h',則V=πr2·h'=πr2h,得h'=h,所以=.
16.解:(1)V四面體=V生成平行六面體.
(2)構(gòu)造該四面體的“生成長方體”,設(shè)長方體共頂點(diǎn)的三條棱的長分別為x,y,z,則有解得故此四面體的體積V=×(3×2×1)=2.13.3.2　空間圖形的體積
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.知道棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積計(jì)算公式.
　　2.知道球的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式計(jì)算一些簡單的與球有關(guān)的幾何體的表面積和體積.
　　3.能用公式計(jì)算一些簡單幾何體及組合體的體積.
　　4.能用公式解決簡單的實(shí)際問題.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式
1.柱體的體積公式V=　　　　(S為底面積,h為高).
2.錐體的體積公式V=　　　　(S為底面積,h為高).
3.臺(tái)體的體積公式V=　　　　(S',S分別為上、下底面面積,h為高).
4.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系
V柱體=ShV臺(tái)體=(S'++S)hV錐體=Sh.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)底面面積相等、高相等的一個(gè)三棱柱與一個(gè)四棱柱的體積不相等. (　 )
(2)錐體的體積是等底面面積、等高的柱體的體積的三分之一. (　 )
(3)兩個(gè)正方體的體積之比為1∶27,則這兩個(gè)正方體的棱長之比為1∶3. (　 )
(4)圓錐的底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍,高縮小為原來的,它的體積不變. (　 )
(5)圓臺(tái)的上底面半徑為2,下底面半徑為3,高為6,則此圓臺(tái)的體積為38π. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　球的表面積和體積公式
1.球的體積公式V=　　　　.
2.球的表面積公式S=　　　　(R為球的半徑).
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍,則它的表面積擴(kuò)大為原來的3倍. (　 )
(2)若三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3,則最大球的體積與最小球的體積之和是另一個(gè)球的體積的2倍. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　球體的截面的特點(diǎn)
1.球既是中心對(duì)稱的幾何體,又是軸對(duì)稱的幾何體,它的任何截面均為圓.
2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.
◆ 探究點(diǎn)一　柱體、錐體、臺(tái)體的體積
例1 (1)[2024·江蘇淮安高一期末] 已知某圓錐的側(cè)面積為2π,母線長為2,則該圓錐的體積為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.π
(2)[2024·山西忻州高一期末] 已知圓柱的母線長比底面半徑長多2 cm,表面積為24π cm2,則該圓柱的體積為 (　 )
A.12π cm3 B.14π cm3
C.16π cm3 D.18π cm3
(3)[2024·江蘇南通高一期中] 已知正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面邊長分別為2和4,若側(cè)棱AA1與底面ABCD所成的角為60°,則該正四棱臺(tái)的體積為 (　 )
A.28 B.84 C. D.28
變式 (1)長方體共頂點(diǎn)三個(gè)面的面積分別是,,,則長方體的體積等于 (　 )
A.6 B. C.6 D.36
(2)已知圓臺(tái)下底面的半徑為4 cm,高為4 cm,母線長為2 cm,則圓臺(tái)的體積為　　　　cm3.
(3)[2024·江蘇南通高一期末] 以棱長為2的正方體的六個(gè)面為底面,分別向外作形狀相同的正四棱錐,得到一個(gè)多面體,已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為,則該多面體的體積為　　　　,其面數(shù)為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)常見的求幾何體體積的方法
①公式法:直接代入公式求解.
②等積法:如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面,只需選用底面積和高都易求的形式即可.
③分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積.
(2)求幾何體體積時(shí)需注意的問題
柱、錐、臺(tái)體的體積的計(jì)算,一般要找出相應(yīng)的底面和高,要充分利用截面、軸截面,求出所需要的量,最后代入公式計(jì)算.
拓展 如圖,在六面體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1是兩個(gè)全等的矩形,AB∥A1B1,AD∥A1D1,AA1⊥平面ABCD,AB=B1C1=6,BC=A1B1=10,AA1=6,則六面體ABCD-A1B1C1D1的體積為 (　 )
A.288 B.376 C.448 D.600
◆ 探究點(diǎn)二　球的表面積與體積
例2 (1)已知球的直徑為6 cm,求它的表面積和體積;
(2)已知球的表面積為64π,求它的體積;
(3)已知球的體積為π,求它的表面積.
變式 (1)已知正方體的內(nèi)切球的體積是π,則正方體的棱長為 (　 )
A.2 B. C. D.
(2)已知小球與大球的表面積之比為1∶9,則小球與大球的體積之比為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
公式是計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵,半徑與球心是確定球的條件.
◆ 探究點(diǎn)三　球的截面問題
例3 已知球的半徑為10 cm,若它的一個(gè)截面圓的面積為36π cm2,求球心與截面圓圓心之間的距離.
變式 過球面上A,B,C三點(diǎn)的截面和球心之間的距離是球的半徑的一半,且AB=BC=CA=2,則球的體積為 (　 )
A. B.
C. D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)有關(guān)球的截面問題,常畫出過球心的截面圓,將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題.
(2)解題時(shí)要注意借助球的半徑R,截面圓的半徑r,球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形,即R2=d2+r2.
◆ 探究點(diǎn)四　簡單組合體的體積
例4 [2024·江蘇南京高一期中] 在平面四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC
=120°,AB=3,CD=2,AD=1,以直線AD為軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體,該幾何體的體積為　　　　.
變式 十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一,圖①中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱交疊而成的幾何體(如圖②).這兩個(gè)三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面ABCD.在底面BCE中,若BE=CE=3,∠BEC=120°,則該幾何體的體積為 (　 )
A. B. C.27 D.27
[素養(yǎng)小結(jié)]
計(jì)算組合體的體積時(shí),應(yīng)考慮將其轉(zhuǎn)化為計(jì)算柱、臺(tái)、球等簡單圖形的體積.13.3.2　空間圖形的體積
一、選擇題
1.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,則該三棱柱的體積為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.3
C.2 D.
2.[2024·天津紅橋區(qū)高一期末] 已知平面α截球O的球面所得圓的面積為π,O到平面α的距離為1,則球O的表面積為 (　 )
A.2π B.4π
C.8π D.16π
3.某正四棱臺(tái)容器上、下底面邊長分別為20 cm和30 cm,容積為19 000 cm3,則它的高為 (　 )
A.20 cm B.24 cm
C.28 cm D.30 cm
4.在側(cè)棱長為2的正三棱錐中,若其底面周長為9,則該正三棱錐的體積是 (　 )
A. B.
C. D.
5.[2024·浙江三鋒聯(lián)盟高一期中] 如圖,四面體各個(gè)面都是邊長為2的正三角形,其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上,另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心,則圓柱的體積是 (　 )
A.π B.π
C.π D.π
6.如圖,四棱錐P - ABCD的底面ABCD為平行四邊形,CE=2EP,若三棱錐P - EBD的體積為V1,三棱錐P - ABD的體積為V2,則的值為 (　 )
A. B.
C. D.
7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,∠ADC=90°.以AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體的表面積和體積分別記為S1,V1,以CD所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體的表面積和體積分別記為S2,V2,則 (　 )
A.S1V2
C.S1>S2,V1>V2 D.S1>S2,V18.如圖①,某球形燈籠的輪廓由三部分組成,上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面,中間是球面的一部分(除去兩個(gè)球缺).如圖②,球缺是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分,截得的圓面叫作球缺的底,垂直于截面的直徑被截得的一段叫作球缺的高.已知球缺的體積公式為V=(3R-h)h2,其中R是球的半徑,h是球缺的高.若該燈籠的高為40 cm,圓柱的高為4 cm,圓柱的底面圓直徑為24 cm,則該燈籠的體積約為(取π=3) (　 )
A.32 000 cm3 B.33 664 cm3
C.33 792 cm3 D.35 456 cm3
9.(多選題)[2024·安徽銅陵高一期中] 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BC=3,CC1=4,且AB⊥BC,P為BC1的中點(diǎn),則 (　 )
A.三棱錐A-BCC1的體積為4
B.三棱錐C-APC1的體積為
C.四棱錐C1-ABB1A1的體積為8
D.三棱錐C1-ABC的表面積為14+2
二、填空題
10.已知正四棱錐的所有棱長都為1,則該正四棱錐的體積是　　　　.
11.[2024·長郡中學(xué)高一期中] 降水量是指一定時(shí)間內(nèi),從天空降落到地面上的液態(tài)或固態(tài)(經(jīng)融化后)水,未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失,而在水平面上積聚的深度,用下底面(上口)直徑為38 cm,上底面直徑為24 cm,深度為35 cm的圓臺(tái)形水桶(軸截面如圖所示)來測(cè)量降水量,若在一次降雨過程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,則本次降雨的降水量約為
　　　　mm(π≈3.14,精確到1 mm) .
12.將一個(gè)圓形紙片裁成兩個(gè)扇形,再分別卷成甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面,甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙.若=2,則=　　　　.
三、解答題
13.如圖,該幾何體由一個(gè)半圓柱和一個(gè)長方體組合而成,其中AB=AA1=2,AD=6.
(1)求該幾何體的體積;
(2)求該幾何體的表面積.
14.[2024·合肥一中高一期中] 如圖所示,底面邊長為4的正四棱錐P-ABCD被平行于其底面的平面所截,截去一個(gè)底面邊長為2,高為4的正四棱錐P-A1B1C1D1.
(1)求棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的體積;
(2)求棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的表面積.
15.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置,它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中,利用細(xì)沙全部流到下部容器所需要的時(shí)間進(jìn)行計(jì)時(shí).某沙漏由上、下兩個(gè)高為h的圓錐組成,這兩個(gè)圓錐的底面直徑相等,細(xì)沙全部在上部時(shí),其高度為圓錐高度的(細(xì)管長度忽略不計(jì)).假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,這個(gè)沙堆的高與圓錐的高的比值為　　　　.
16.求一個(gè)棱長為的正四面體的體積,有如下解法:
構(gòu)造一個(gè)棱長為1的正方體,我們稱之為該四面體的“生成正方體”,如圖①,四面體ACB1D1即為棱長是的正四面體,則=V正方體----=.
(1)對(duì)一個(gè)已知四面體,構(gòu)造它的“生成平行六面體”,記兩者的體積依次為V四面體和
V生成平行六面體,試給出這兩個(gè)體積之間的關(guān)系,不必證明;
(2)如圖②,一個(gè)相對(duì)棱長都相等的四面體(通常稱之為等腰四面體),其三組棱長分別為,,,類比上述中的方法或結(jié)論,求此四面體的體積.

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