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滾動習題(七)
1.C　[解析] 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或互補.因為AB∥A'B',AC∥A'C',所以∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°,
又∠BAC=40°,所以∠B'A'C'=40°或140°.故選C.
2.C　[解析] 當空間中三點共線時能確定一條直線而不能確定一個平面,故A不正確;當空間中的兩條直線異面時,不能確定一個平面,故B不正確;空間中的兩條平行直線可以確定一個平面,故C正確;當這個點在這條直線上時,過這條直線的平面有無數個,故D不正確.故選C.
3.C　[解析] 當l與平面α相交時,在α內不存在直線與直線l平行,故①是假命題,其余均是真命題.故選C.
4.A　[解析] 如圖,連接DM,取DM的中點P,連接NP,CP,又N為AD的中點,所以NP∥AM,故直線AM和CN的夾角即為直線NP和CN的夾角.CN=AM=DM=×2=,PN=AM=,CP===
=,則cos∠CNP==,故直線AM和CN夾角的余弦值為.故選A.
5.D　[解析] 如圖,取AB的中點D,連接PD,QD,PQ,設PQ交平面ABC于點O,連接OD.由該雙三棱錐的特征易知O為△ABC的中心,且PD⊥AB,DQ⊥AB,故∠PDQ為二面角P-AB-Q的平面角.設三棱錐的側棱長為2,易得AB=2,PD=DQ=,OD=AB=,則PQ=2PO=2×=.在△PDQ中,由余弦定理得cos∠PDQ==-.故選D.
6.D　[解析] 如圖,分別取AB,CD的中點E,F,連接PE,PF,EF,則PE⊥AB,EF⊥AB,又PE∩EF=E,PE,EF 平面PEF,所以AB⊥平面PEF,又AB 平面ABCD,所以平面PEF⊥平面ABCD.過P作EF的垂線,垂足為O,即PO⊥EF.因為平面PEF⊥平面ABCD,平面PEF∩平面ABCD=EF,PO 平面PEF,PO⊥EF,所以PO⊥平面ABCD.由題意可得PE=2,PF=2,EF=4,則PE2+PF2=EF2,即PE⊥PF,則PE·PF=PO·EF,可得PO==,所以該四棱錐的高為.故選D.
7.BC　[解析] 對于A,若m⊥l,n⊥l,則m,n可能相交,可能異面,可能平行,故A錯誤;對于B,由線面平行的性質定理可知若m∥α,m β,α∩β=n,則m∥n,故B正確;對于C,若m⊥α,n⊥β,α∥β,則m∥n,故C正確;對于D,若α∥β,m α,n β,則m,n異面或者平行,故D錯誤.故選BC.
8.BCD　[解析] 對于A,因為AB是半圓O的直徑,C是半圓周上不同于A,B的任意一點,所以AC⊥BC,所以OC與AC不垂直,因為AC 平面VAC,所以OC與平面VAC不可能垂直,所以A錯誤;對于B,因為M,N分別為VA,VC的中點,所以MN∥AC,又因為MN 平面ABC,AC 平面ABC,所以MN∥平面ABC,所以B正確;對于C,由選項B可知MN∥AC,所以∠ACB為MN與BC所成的角,因為AC⊥BC,所以MN與BC所成的角為90°,所以C正確;對于D,因為VA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以VA⊥BC,又因為AC⊥BC,VA∩AC=A,VA,AC 平面VAC,所以BC⊥平面VAC,又因為BC 平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,所以D正確.故選BCD.
9.若a⊥α,b∥α,則a⊥b　[解析] 過b作平面β,使得β∩α=c,∵b∥α,b β,β∩α=c,∴b∥c,又a⊥α,c α,∴a⊥c,又b∥c,∴a⊥b.
10.　[解析] ∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°,即PA⊥AC,PA 平面PAC,∴PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB==.
11.π　[解析] 因為A1B1⊥平面BB1C1C,且A1P=,所以點P的軌跡是圓心為B1,半徑r===的圓在△BCC1內的部分.如圖①,取BC1的中點E,連接B1E,則B1E⊥BC1,且B1E=BC1=,設圓弧交BC1于M,N兩點,連接B1M,B1N,如圖②,則sin∠B1ME==×=,所以∠B1ME=,又因為B1M=B1N,所以△B1MN為等邊三角形,所以∠MB1N=,故點P的軌跡的長度是r=×=π.
12.證明:(1)連接AC交BD于O,連接OG,如圖,
因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以AC,BD互相平分,
又G為FC的中點,所以OG為三角形ACF的中位線,所以AF∥OG.
因為OG 平面BDG,AF 平面BDG,
所以AF∥平面BDG.
(2)因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以AB∥CD,
又因為CD 平面CDEF,AB 平面CDEF,
所以AB∥平面CDEF.
因為AB 平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF,所以AB∥EF.
13.證明:(1)連接DE,如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B1C1,AA1∥BB1,AA1=BB1,又因為E是B1C1的中點,D是BC的中點,
所以EC1∥BD,EC1=BD,B1E∥BD,B1E=BD,
所以四邊形EC1DB,四邊形B1EDB均為平行四邊形,
所以BE∥C1D,BB1∥DE,BB1=DE,
所以AA1∥DE,AA1=DE,
所以四邊形AA1ED是平行四邊形,所以A1E∥AD.
因為A1E 平面AC1D,AD 平面AC1D,
所以A1E∥平面AC1D.
同理可得BE∥平面AC1D.
因為A1E∩BE=E,A1E 平面A1BE,BE 平面A1BE,
所以平面AC1D∥平面A1BE.
(2)因為三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC,△ABC為正三角形.
因為AD 平面ABC,所以CC1⊥AD,
又因為AD⊥C1D,且CC1∩C1D=C1,CC1,C1D 平面BB1C1C,所以AD⊥平面BB1C1C.
因為BC 平面BB1C1C,所以AD⊥BC,
又因為△ABC為正三角形,所以D是BC的中點.
14.解:(1)取AB的中點N,連接EN,CN,如圖①,
因為EN∥AA1,EN=AA1,AA1 CC1,F為CC1的中點,所以EN∥CF,EN=CF,
所以四邊形CFEN為平行四邊形,所以EF∥CN.
又EF 平面ABCD,CN 平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD.
(2)連接CO,C1O,如圖①,設正方體的棱長為1,
由正方體的性質可得BD⊥CO.
因為CC1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以BD⊥CC1,因為CO∩CC1=C,CO,CC1 平面COC1,所以BD⊥平面COC1.
又C1O 平面COC1,則BD⊥C1O,
所以∠COC1為二面角C1-BD-C的平面角.
在Rt△COC1中,tan∠COC1===,
即二面角C1-BD-C的正切值為.
(3)證明:如圖②所示,
連接A1C1,MO,C1M,AC,則O是AC的中點,
設正方體的棱長為1,則AC=A1C1=,AO=CO=.
因為M是AA1的中點,
所以AM=A1M=,又A1M⊥A1C1,AM⊥AO,所以C1M==,MO==.
因為CC1⊥OC,所以C1O==,
所以MO2+C1O2=C1M2,即C1O⊥MO.
因為C1B=C1D=,O為BD的中點,所以C1O⊥BD.
又MO∩BD=O,MO,BD 平面MBD,所以C1O⊥平面MBD,又C1O 平面OC1D1,
所以平面MBD⊥平面OC1D1.滾動習題(七)
(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.已知∠BAC=40°,AB∥A'B',AC∥A'C',則∠B'A'C'= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.40° B.140°
C.40°或140° D.大小無法確定
2.下面四個條件中,能確定一個平面的是 (　 )
A.空間中的任意三點
B.空間中的兩條直線
C.空間中的兩條平行直線
D.空間中的一條直線和一個點
3.已知l是平面α外的一條直線,給出下列命題:
①在α內存在無數條直線與直線l平行;
②在α內存在無數條直線與直線l垂直;
③在α內存在無數條直線與直線l異面;
④一定存在過直線l且與α垂直的平面β.
其中真命題的個數是 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.[2024·江蘇新海高級中學期中] 在各棱長均為2的四面體ABCD中,M,N分別為BC,AD的中點,則直線AM和CN夾角的余弦值是 (　 )
A. B.
C.- D.
5.將兩個相同的棱錐(側棱均相等,底面為正三角形)的底面重疊組成的幾何體稱為“雙棱錐”.如圖,在雙三棱錐P-ABC-Q中,PA,PB,PC兩兩互相垂直,則二面角P-AB-Q的余弦值為 (　 )
A.- B.-
C.- D.-
6.[2024·北京卷] 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,PA=PB=4,PC=PD=2,則該四棱錐的高為 (　 )
A.1 B.2
C. D.
二、多項選擇題(本大題共2小題,每小題6分,共12分)
7.[2024·江蘇鎮江期末] 已知α,β是不同的平面,m,n,l是不同的直線,則“m∥n”的充分條件可以是 (　 )
A.m⊥l,n⊥l
B.m∥α,m β,α∩β=n
C.m⊥α,n⊥β,α∥β
D.α∥β,m α,n β
8.[2024·江蘇南京期末] 如圖所示,AB是半圓O的直徑,VA垂直于半圓O所在的平面,點C是半圓周上不同于A,B的任意一點,M,N分別為VA,VC的中點,則下列結論正確的是 (　 )
A.OC⊥平面VAC
B.MN∥平面ABC
C.MN與BC所成的角為90°
D.平面VAC⊥平面VBC
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)
9.已知a,b是兩條不同的直線,α是一個平面,給出下列三個論斷:①a⊥b;②a⊥α;③b∥α.
以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出一個真命題: 　　　　.
10.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,側面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,則PB=　　　　.
11.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點P在三棱錐C1-BCD的側面C1CB上運動,且A1P=,則點P的軌跡的長度是　　　　.
四、解答題(本大題共3小題,共43分)
12.(13分)如圖,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為平行四邊形,G為FC的中點,平面ABFE∩平面CDEF=EF.
(1)證明:AF∥平面BDG;
(2)證明:AB∥EF.
13.(15分)[2024·江蘇南通海門中學月考] 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1(底面為正三角形的直棱柱)中,E是B1C1的中點,D是BC上一點.
(1)若D是BC的中點,求證:平面AC1D∥平面A1BE;
(2)若AD⊥C1D,求證:D是BC的中點.
14.(15分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為BD的中點.
(1)若E,F分別為A1B和CC1的中點,求證:EF∥平面ABCD.
(2)求二面角C1-BD-C的正切值.
(3)若M為棱AA1的中點,求證:平面MBD⊥平面OC1D1.

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