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滾動習(xí)題(八)
1.C　[解析] 設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則2πr=10π,解得r=5,由題得圓錐的母線長為13,故圓錐的高為=12,故該圓錐的體積為×π×52×12=100π.故選C.
2.A　[解析] 因為正三棱錐的底面邊長等于a,三條側(cè)棱兩兩垂直,所以三棱錐的側(cè)棱長為a,則它的側(cè)面積為3××a×a=a2.故選A.
3.C　[解析] 由正六棱柱的底面邊長為2,得B1E1=4,又BE1=2,所以BB1==2,則正六棱柱的表面積為2×6××2×2×sin+6×2×2=12+24.故選C.
4.B　[解析] 如圖,連接AC,取AC的中點H,連接PH,則PH⊥平面ABCD,則正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在PH上,連接OA,取BC的中點E,連接PE,HE,∵PB=PC,∴PE⊥BC,CE=BE=BC=1,HE=1,則PE=,PH=,AH=.設(shè)正四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為R,在Rt△OAH中,OA2=OH2+AH2,即R2=(-R)2+()2,解得R=,則外接球的表面積為4πR2=8π.故選B.
5.A　[解析] 依題意,圓臺的母線長l=r1+r2,而π(r1+r2)l=25π,因此=25,所以r1+r2=5.故選A.
6.C　[解析] 用一個完全相同的五面體HIJ-LMN與五面體ABC-DEF組合在一起,使得D與L重合,E與M重合,F與N重合,因為AD∥BE∥CF,且兩兩之間的距離為1,AD=1,BE=2,CF=3,所以構(gòu)成的新組合體為一個三棱柱,該三棱柱的與側(cè)棱垂直的截面(與三條側(cè)棱都相交)是邊長為1的等邊三角形,側(cè)棱長為1+3=2+2=3+1=4,則VABC-DEF=VABC-HIJ=××1×1××4=.故選C.
7.ABD　[解析] 對于A,因為圓臺的上、下底面半徑分別為1和3,母線長為2,所以圓臺的高為=2,則圓臺的母線與底面所成的角為45°,A正確;對于B,圓臺的側(cè)面積為π×(1+3)×2=8π,B正確;對于C,圓臺的體積為π(12+1×3+32)×2=π,C錯誤;對于D,由題意可知球心在下底面下方,設(shè)球的半徑為R,球心到下底面的距離為d,由勾股定理得9+d2=1+(2+d)2=R2,解得d=1,則R=,所以該球的表面積S=4πR2=40π,D正確.故選ABD.
8.BD　[解析] 如圖,取EF的中點M,連接AM,SM,過S作SO⊥AM,垂足為O,過O作ON⊥AF,垂足為N,連接SN,OE,OF,由題知AE=AF=,∴AM⊥EF,∵SE=SF=1,∴SM⊥EF,∴∠SMA為二面角A-EF-S的平面角,又SM∩AM=M,SM,AM 平面SAM,∴EF⊥平面ASM,又SO 平面ASM,∴EF⊥SO,又SO⊥AM,AM∩EF=M,AM,EF 平面AEF,∴SO⊥平面AEF,∴SO為四面體S-AEF的高,∴O為S在平面AEF上的射影.對于A,∵AF 平面AEF,SO⊥平面AEF,∴SO⊥AF,∵ON⊥AF,SO∩NO=O,SO,NO 平面SNO,∴AF⊥平面SON,又SN 平面SON,∴SN⊥AF,∴∠SNO為二面角S-AF-E的平面角,顯然∠SNO為銳角,∴平面AEF與平面SAF不垂直,故A錯誤.對于B,由題知AS⊥SE,AS⊥SF,SE∩SF=S,SE,SF 平面SEF,∴AS⊥平面SEF,∴四面體S-AEF的體積V=S△SEF×AS=××1×1×2=,故B正確.在直角三角形ASM中,SM=,
則tan∠SMA===2,故C錯誤.∵AM==,SO===,OM==,AO=AM-OM=,OE==,∴cos∠EOF==-,cos∠EOA==-,·=·(-)=||||cos∠EOF-||||cos∠EOA=××-××=-+=0,∴OE⊥AF,同理得OF⊥AE,又AM⊥EF,∴O為△AEF的垂心,故D正確.故選BD.
9.6　[解析] 設(shè)棱臺的高為h,則棱臺的體積V=h(42+62+4×6)=152,解得h=6.
10.π　[解析] 蛋黃體積最大時可看成棱長為6 cm的正四面體ABCD的內(nèi)切球,設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心為O,球的半徑為r,正四面體的表面積為S,體積為V,因為正四面體ABCD的棱長為6,所以正四面體的高h(yuǎn)==2,正四面體的表面積S=4××62=36,因為Sr=S△ABC·h,所以×36r=××62×2,解得r=,所以蛋黃的最大體積為π×=π(cm3).
11.　[解析] 如圖,連接A1B,A1C,設(shè)點A1到平面ABC的距離為d,則d即三棱柱ABC-A1B1C1的高.因為AB=1,AA1=,∠BAA1=90°, D是AA1的中點,所以BD==,AB1=,由側(cè)面ABB1A1為矩形易得△AOD∽△B1OB,可得===,則OB=BD=,AO=AB1=,OC=OA=,因為CO⊥平面ABB1A1,OB,AO 平面ABB1A1,所以CO⊥AO,CO⊥BO,故AC==1, BC==,則S△ABC=××=,=×1×=,由=可得××CO=×S△ABC×d,解得d=,即三棱柱ABC-A1B1C1的高為.
12.解:由題意知,所求幾何體的表面積由三部分組成:圓臺下底面、側(cè)面和一半球面,S半球=8π cm2,S圓臺側(cè)=35π cm2,S圓臺底=25π cm2,故所求幾何體的表面積為68π cm2.
因為V圓臺=×[π×22++π×52]×4=52π(cm3),V半球=π×23×=π(cm3),所以所求幾何體的體積為V圓臺-V半球=52π-π=π(cm3).
13.解:(1)由題得A'B=A'C'=A'D=BC'=BD=C'D=a,
所以三棱錐A'-BC'D的表面積為4××a×a×=2a2.
正方體的表面積為6a2,故三棱錐A'-BC'D的表面積與正方體表面積的比值為=.
(2)三棱錐A'-ABD,三棱錐C'-BCD,三棱錐D-A'D'C',三棱錐B-A'B'C'是完全一樣的,故V三棱錐A'-BC'D=V正方體-4V三棱錐A'-ABD=a3-4××a2×a=.
14.解:(1)證明:在圓臺OO1中,平面ADE∥平面BFC,
因為平面BEDF∩平面ADE=DE,平面BEDF∩平面BFC=BF,所以BF∥DE.
(2)①將圓臺OO1的母線延長交于一點P,連接PE,延長PE交下底面于點Q,連接BQ,CQ,
在圓臺OO1中,平面ADE∥平面BFC,
因為平面PCQ∩平面ADE=DE,平面PCQ∩平面BFC=CQ,所以ED∥CQ,
又由(1)可知BF∥ED,所以BF∥CQ,
又CF⊥BF,BQ⊥CQ,BF,CF,BQ,CQ 平面BFC,
所以BQ∥CF,所以四邊形BFCQ為平行四邊形,
所以BF=CQ.
在圓臺OO1中,AD=2,BC=4,
所以==,所以==,
所以S△BDF=2S△BDE,所以VD-BFC=VC-BDF=VC-BEDF=2,
連接AC交BD于點T,所以==,
所以A,C到平面BEDF的距離之比為,
所以VB-ADE=VA-BDE=VC-BED=VC-BDF=.
②在等腰梯形ABCD中,過點D作BC的垂線DG,垂足為G,
在平面BFC中過點G作CF的平行線GH交BF于點H,連接DH,如圖,
易得DG∥OO1,因為OO1⊥平面BFC,所以DG⊥平面BFC,
所以∠DCG為母線與下底面所成的角,
因為AD=2,BC=4,所以CG=1,所以tan∠DCG=DG,
要使∠DCG最小,只要DG最小即可.
因為VD-BFC=2,所以VD-BFC=S△BFC·DG=2,所以DG=,
設(shè)∠CBF=θ,因為BC為圓O1的直徑,所以BF⊥FC,
所以FC=4sin θ,FB=4cos θ,
所以S△BFC=FC·FB=4sin 2θ≤4,
當(dāng)且僅當(dāng)θ=,即CF=BF=2時取等號,
所以DG的最小值為.
因為CF⊥BF,CF∥GH,所以GH⊥BF,
因為DG⊥平面BCF,BF 平面BCF,所以DG⊥BF,
因為DG∩HG=G,DG,HG 平面DGH,所以BF⊥平面DGH,又DH 平面DGH,
所以BF⊥DH,因此∠DHG為二面角C-BF-D的平面角,
在△BCF中,因為==,所以HG=,
因為DG⊥平面BFC,HG 平面BFC,所以DG⊥HG,
在Rt△DGH中,由勾股定理得DH=,
所以sin∠DHG==,
所以二面角C-BF-D的正弦值為.滾動習(xí)題(八)
(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.[2024·江蘇連云港高一期末] 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為13,弧長為10π的扇形,則該圓錐的體積為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.300π B.150π
C.100π D.50π
2.若正三棱錐的底面邊長等于a,三條側(cè)棱兩兩垂直,則它的側(cè)面積為 (　 )
A.a2 B.a2
C.a2 D.3a2
3.[2024·哈爾濱九中高一期中] 如圖所示的正六棱柱的底面邊長是2,體對角線BE1=2,則它的表面積為 (　 )
A.3+24 B.12+16
C.12+24 D.3+16
4.[2024·江蘇無錫高一期末] 已知正四棱錐的所有棱長均為2,則其外接球的表面積為 (　 )
A.4π B.8π
C.12π D.16π
5.[2024·江蘇南通高一期中] 如圖,圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,半徑為r的球與圓臺的上、下底面及母線均相切,圓臺的側(cè)面積為25π,則r1+r2= (　 )
A.5 B.5π
C.10 D.10π
6.[2024·天津卷] 一個五面體ABC-DEF如圖所示,已知AD∥BE∥CF,且兩兩之間的距離為1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,則該五面體的體積為 (　 )
A. B.+
C. D.-
二、多項選擇題(本大題共2小題,每小題6分,共12分)
7.[2024·廣東六校高一期中] 已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3,母線長為2,則 (　 )
A.圓臺的母線與底面所成的角為45°
B.圓臺的側(cè)面積為8π
C.圓臺的體積為π
D.若圓臺的兩個底面的圓周在同一個球的球面上,則該球的表面積為40π
8.[2024·海州高級中學(xué)高一期末] 如圖①,在邊長為2的正方形ABCD中,E,F分別為BC,CD的中點,沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個四面體,使得B,C,D三點重合于點S,得到四面體S-AEF(如圖②),則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.平面AEF⊥平面SAF
B.四面體S-AEF的體積為
C.二面角A-EF-S的正切值為
D.頂點S在底面AEF上的射影為△AEF的垂心
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)
9.[2024·江蘇揚州高一期末] 已知一個正四棱臺的體積為152 cm3,上、下底面邊長分別為4 cm和6 cm,則棱臺的高為　　　　cm.
10.[2024·宿遷高一期末] 粽子,古時北方也稱“角黍”,是由粽葉包裹糯米、泰米等餡料蒸煮制成的食品,是中國漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一,端午食粽的風(fēng)俗,千百年來在中國盛行不衰,粽子形狀多樣,餡料種類繁多,南北方風(fēng)味各有不同,某四角蛋黃粽可近似看成一個正四面體,蛋黃可近似看成一個球體,且每個粽子里僅包裹一個蛋黃,若粽子的棱長為6 cm,則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積為　　　　cm3.
11.[2024·江蘇海安高級中學(xué)高一月考] 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=1,AA1=,D是AA1的中點,BD與AB1交于點O,且CO⊥平面ABB1A1.若OC=OA,則三棱柱ABC-A1B1C1的高為　　　　.
四、解答題(本大題共3小題,共43分)
12.(13分)如圖所示(單位:cm),求圖中陰影部分繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.
13.(15分)如圖,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a,連接A'C',A'D,A'B,BD,BC',C'D,得到一個三棱錐A'-BC'D.求:
(1)三棱錐A'-BC'D的表面積與正方體表面積的比值;
(2)三棱錐A'-BC'D的體積.
14.(15分)[2024·南通高一期末] 如圖,等腰梯形ABCD為圓臺OO1的軸截面,E,F分別為上、下底面圓周上的點,且B,E,D,F四點共面.
(1)證明:BF∥DE.
(2)已知AD=2,BC=4,四棱錐C-BEDF的體積為3.
①求三棱錐B-ADE的體積;
②當(dāng)母線與下底面所成的角最小時,求二面角C-BF-D的正弦值.

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