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單元素養(yǎng)測評卷(五)
1.D　[解析] 平面是無限延展的,而一張紙只是一個有限的平面圖形,A錯誤;若四邊形的四個頂點不共面,則該四邊形不是平面圖形,B錯誤;當(dāng)三點共線時不能確定一個平面,C錯誤;梯形是一個平面圖形,可以確定一個平面,D正確.故選D.
2.C　[解析] 若以長為8 cm的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,則形成的圓柱的底面半徑為6 cm,底面面積為36π cm2;若以長為6 cm的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,則形成的圓柱的底面半徑為8 cm,底面面積為64π cm2.故選C.
3.D　[解析] 原圖形的面積是用斜二測畫法畫出的直觀圖的面積的2倍.因為直觀圖的面積為×(2+4)×1=3,所以原四邊形的面積為3×2=6.故選D.
4.A　[解析] 若直線l⊥平面α,α∥β,則l⊥β,又直線n∥平面β,所以l⊥n,充分性成立.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,記平面ABCD為平面α,平面DCC1D1為平面β,AA1為l,A1B1為n,如圖所示,則滿足直線l⊥平面α,直線n∥平面β,l⊥n,但α與β不平行,必要性不成立.所以“α∥β”是“l(fā)⊥n”的充分不必要條件.故選A.
5.C　[解析] 如圖,連接HG,EF.因為H,G分別為AD,CD的中點,所以HG∥AC.同理可得EF∥AC,則HG∥EF,所以E,F,G,H四點共面,顯然HF與EG相交.故選C.
6.D　[解析] 如圖,連接BD,設(shè)AC,BD,BC的中點分別為E,F,G,連接EF,EG,DE,BE,FG,則FG∥CD,EG∥AB,故∠FGE(或其補角)為異面直線AB與CD的夾角.設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則FG=1,EG=1.因為二面角D-AC-B為直二面角,BE⊥AC,DE⊥AC,所以∠DEB=.在Rt△DEB中,DE=BE=,則DB=2,所以EF=1,則△EFG為等邊三角形,所以∠FGE=,則異面直線AB與CD夾角的正弦值為sin=.故選D.
7.B　[解析] 如圖,取AC的中點M,連接A1M,BM,AB1.因為四邊形ABB1A1是菱形,所以AB1⊥A1B,又因為B1C⊥A1B,AB1,B1C 平面AB1C,AB1∩B1C=B1,所以A1B⊥平面AB1C.因為AC 平面AB1C,所以A1B⊥AC.因為AM=MC,AB=BC,所以BM⊥AC,又因為A1B,BM 平面A1BM,A1B∩BM=B,所以AC⊥平面A1BM.因為A1M 平面A1BM,所以AC⊥A1M,所以A1M==.易知當(dāng)側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC時,三棱柱的體積最大,此時三棱柱的高即為A1M=,所以體積V=S△ABC=××22=3.故選B.
8.C　[解析] 翻折前,在矩形ABCD中,AD=BC=4,因為Q為BC的中點,所以QB=QC=2,則翻折后PQ=2.設(shè)PA=PD=x(x>0),由題意知PQ⊥PD,PQ⊥PA,PA⊥PD,所以AD==x=4,解得x=2,即PA=PD=2.將三棱錐P-ADQ補成長方體PAMD-QNGT,如圖所示,則長方體PAMD-QNGT的外接球即為三棱錐P-QAD的外接球,設(shè)長方體PAMD-QNGT的外接球半徑為R,則2R===2,所以R=,故球O的表面積為4πR2=4π×5=20π.故選C.
9.ABC　[解析] 由題意知,該圓錐的表面積為π×42+π×4×5=36π,所以A正確;該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角α==,所以B正確;連接SO,易得圓錐的高SO==3,故該圓錐的體積V=π×42×3=16π,所以C正確;設(shè)圓錐的軸截面為△ASB,則SA=SB=5,AB=8,由余弦定理得cos ∠ASB==-<0,又0<∠ASB<π,所以∠ASB為鈍角,所以圓錐的軸截面是鈍角三角形,所以D不正確.故選ABC.
10.BD　[解析] 對于A,若l∥m,m β,則l∥β或l β,故A錯誤.對于B,因為m⊥l,m⊥α,所以l α或l∥α.當(dāng)l α?xí)r,由l⊥β,可得α⊥β.當(dāng)l∥α?xí)r,則存在n α,使得l∥n,因為l⊥β,所以n⊥β,又n α,所以α⊥β,故B正確.對于C,若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l β或l∥β或l與β相交,故C錯誤.對于D,如圖,過直線m作兩個平面,分別與α,β相交于直線s和直線t,因為m∥α,過直線m的平面與平面α的交線為直線s,所以m∥s,同理可得m∥t,則s∥t.因為s 平面β,t 平面β,所以s∥平面β.因為s 平面α,α∩β=l,所以s∥l,又m∥s,所以m∥l,故D正確.故選BD.
11.ABC　[解析] 對于A,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,取CD的中點G,連接EG,BG,如圖所示,易得A1B∥D1C∥EG,則四邊形A1BGE是平面A1BE截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面.分別取C1D1,CC1的中點M,N,連接MN,B1M,B1N,EN,顯然EN∥D1C1∥A1B1,EN=D1C1=A1B1,則四邊形A1B1NE為平行四邊形,則B1N∥A1E,又A1E 平面A1BGE,B1N 平面A1BGE,所以B1N∥平面A1BGE,又MN∥D1C∥EG,EG 平面A1BGE,MN 平面A1BGE,所以MN∥平面A1BGE,又MN∩B1N=N,MN,B1N 平面B1MN,所以平面B1MN∥平面A1BGE.因為B1F∥平面A1BGE,所以B1F 平面B1MN,又F∈平面CDD1C1,平面B1MN∩平面CDD1C1=MN,所以點F的軌跡是線段MN,其長度為,故A正確.對于B,連接ME,如圖,在△EMN中,EN=2,ME=MN=,則ME2+MN2=EN2,則∠EMN=,∠ENM=,又A1B∥MN,所以易知直線A1B與EF所成角的取值范圍是,故B正確.對于C,B1M=B1N=,當(dāng)F為線段MN的中點時,B1F⊥MN,又MN∥CD1,所以B1F⊥CD1,故C正確.對于D,在四邊形A1BGE中,A1E=BG=,A1B=2,EG=,顯然四邊形A1BGE為等腰梯形,該等腰梯形的高h==,則=×=,故D錯誤.故選ABC.
12.　[解析] 由題意知,該正四棱臺上底面的對角線長為2,下底面的對角線長為4,又側(cè)棱長為3,所以該正四棱臺的高為=,故這個正四棱臺的體積為×(4++16)×=.
13.8　[解析] 正方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線有AC1,BD1,B1D,A1C,共4條.以AC1為例,與AC1垂直的“有效垂面”有2個,分別為平面B1CD1和平面A1BD.類似地,其他3條體對角線也各有2個“有效垂面”,故共有8個“有效垂面”.
14.　[解析] 如圖,過點E作EF∥CD,交PD于點F,連接AF,因為AB∥CD,EF∥CD,所以AB∥EF,故A,B,E,F共面.因為BE∥平面PAD,BE 平面ABEF,且平面PAD∩平面ABEF=AF,所以BE∥AF,又EF∥AB,所以四邊形ABEF是平行四邊形,所以EF=AB=2,又CD=4,所以EF為△PDC的中位線,則E為PC的中點.因為PD⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PD⊥CD,在Rt△PCD中,因為PD=2,CD=4,所以PC===2,所以CE=PC=.
15.解:(1)因為OA=1,所以O(shè)M=,則圓M的半徑為==,所以圓M的面積為×π=.
(2)因為圓M的面積為3π,所以圓M的半徑為,
則OA2=+3,即OA2=3,可得OA=2.
16.解:(1)由題知,該三棱柱的側(cè)面展開圖是寬為4,長為9的矩形,所以該三棱柱側(cè)面展開圖的對角線的長為=.
(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB1“剪開”,并使其在同一平面內(nèi),如圖所示.
設(shè)PC的長為x,則MP2=MA2+(AC+x)2,因為MP=,MA=2,AC=3,所以x=2,即PC的長為2.
因為CN∥AM,所以=,即=,所以CN=.
17.證明:(1)因為平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,BA⊥AC,BA 平面ABC,所以BA⊥平面ACD,
又CD 平面ACD,所以AB⊥CD.
(2)連接GE,HF,因為G,E分別為AB,BC的中點,所以GE∥AC,GE=AC.
因為DF∶FC=DH∶HA=1∶2,所以HF∥AC,HF=AC,
所以HF∥GE,且HF≠GE,則四邊形EFHG為梯形,所以GH與EF相交于一點,設(shè)為P,則P∈GH,P∈EF.
因為EF 平面BCD,GH 平面ABD,所以P∈平面BCD,P∈平面ABD,所以P在平面BCD與平面ABD的交線上,
又平面BCD∩平面ABD=BD,所以P∈BD,
則直線EF,GH,BD相交于一點.
18.解:(1)證明:如圖,連接A1C,交AC1于點O,連接OD,則O是A1C的中點,
因為D是BC的中點,所以O(shè)D∥A1B,
又OD 平面ADC1,A1B 平面ADC1,
所以A1B∥平面ADC1.
(2)證明:因為△ABC為等邊三角形,且D是BC的中點,所以AD⊥BC.
由正三棱柱的性質(zhì)知,BB1⊥平面ABC,
因為AD 平面ABC,所以BB1⊥AD,
又BC∩BB1=B,BC,BB1 平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1.
因為AD 平面ADC1,所以平面ADC1⊥平面BCC1B1.
(3)由(1)知A1B∥平面ADC1,
則直線A1B到平面ADC1的距離等于點B到平面ADC1的距離.
由(2)知AD⊥平面BCC1B1,
所以點A到平面BDC1的距離為AD,
連接BC1,則=AD·DC1=×2×=2,
=BD·CC1=×2×4=4.
設(shè)點B到平面ADC1的距離為d,因為=,
所以·d·=·AD·,即·d·2=×2×4,解得d=,所以直線A1B到平面ADC1的距離為.
19.解:(1)如圖,過M作MG∥AC,交AB于G,連接B1G,
則∠B1MG為異面直線AC與B1M所成的角或其補角.
因為AB=2,BC=2,AB⊥BC,所以AC=4.
設(shè)BM=x,0由△BMG∽△BCA,得==,
則BG=,MG=x.
又BB1=AA1=2,BB1⊥平面ABC,
所以B1M=,B1G=.
在△B1MG中,cos∠B1MG===,因為02,
則∈,即cos∠B1MG∈,
所以異面直線AC與B1M所成角的余弦值的取值范圍為.
(2)由AB⊥BC,AB=2,BC=2,得∠ACB=30°,∠BAC=60°,
如圖,將面ABC沿AC旋轉(zhuǎn)到與面ACC1A1在同一平面內(nèi),過A1作A1E'⊥BC于E',交AC于M',
則M'E'=M'C,易知A1M+MC的最小值為A1E'.
顯然A1M'∥AB,設(shè)AM'=a(a>0),則A1M'=2a,M'C=AC-a=4-a,M'E'=M'C=2-a,
從而A1E'=A1M'+M'E'=2a+=2+a,E'C=(4-a),
連接A1C,在Rt△A1E'C中,A1E'2+E'C2=A1C2,
即+(4-a)2=28,
化簡得3a2+16=28,可得a=2,所以A1E'=5,
所以A1M+MC的最小值為5.
(3)存在,x0=,對稱中心為.
如圖,由△BMN∽△BAC,得=,
因為S△BAC=×2×2=2,所以S△BMN=x2.
因為MB=x,MB+BQ=2,所以BQ=2-x,
則V(x)=·x2·(2-x)=x2(2-x)(0設(shè)y=V(x)的圖象的對稱中心為(a,b),則y=V(x+a)-b為奇函數(shù),
所以y=(x+a)2(2-x-a)-b=-x3+(2-3a)x2+(4a-3a2)x+(2a2-a3)-b為奇函數(shù),
則解得
所以對稱中心為,由對稱性可得x0=.單元素養(yǎng)測評卷(五)
第13章
(時間:120分鐘　分值:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.下列說法中正確的是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.鋪的很平的一張紙是一個平面
B.四邊形一定是平面圖形
C.三點確定一個平面
D.梯形可以確定一個平面
2.以長為8 cm,寬為6 cm的矩形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓柱的底面面積為 (　　)
A.64π cm2 B.36π cm2
C.64π cm2或36π cm2 D.48π cm2
3.如圖是一個水平放置的平面四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖,該直觀圖是上底為2,下底為4,高為1的等腰梯形,則原四邊形的面積為 (　　)
A.4 B.4 C.6 D.6
4.[2024·江蘇揚州新華中學(xué)高一月考] 已知直線l⊥平面α,直線n∥平面β,則“α∥β”是“l(fā)⊥n”的 (　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.設(shè)E,F,G,H分別是三棱錐D-ABC的棱AB,BC,CD,DA的中點,則EG,FH的位置關(guān)系是 (　　)
A.異面 B.平行
C.相交 D.重合
6.[2023·南昌十九中高一月考] 將正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角,則異面直線AB與CD夾角的正弦值是 (　　)
A. B. C. D.
7.[2024·南京師大附中高一期末] 如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1所有棱的長均為2,滿足A1B⊥B1C,則該三棱柱體積的最大值為 (　　)
A. B.3
C.2 D.4
8.[2023·湖南雅禮中學(xué)高一月考] 很多人的童年都少不了折紙的樂趣,傳統(tǒng)意義上的手工折紙與數(shù)學(xué)聯(lián)系密切.有一張矩形紙片ABCD,BC=4,Q為BC的中點,將△ABQ和△DCQ分別沿AQ,DQ折起,使點B與點C重合于點P,若∠APD=90°,三棱錐P-QAD的所有頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為 (　　)
A.10π B.16π C.20π D.40π
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.如圖,已知圓錐SO的母線長l=5,底面半徑r=4,則下列結(jié)論中正確的有 (　　)
A.該圓錐的表面積為36π
B.該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為
C.該圓錐的體積為16π
D.該圓錐的軸截面是銳角三角形
10.[2024·江蘇南通高一期末] 在空間中,l,m是不重合的直線,α,β是不重合的平面,則下列說法正確的是 (　　)
A.若l∥m,m β,則l∥β
B.若m⊥l,m⊥α,l⊥β,則α⊥β
C.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l⊥β
D.若m∥α,m∥β,α∩β=l,則m∥l
11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E是棱DD1的中點,F是側(cè)面CDD1C1上的動點,且滿足B1F∥平面A1BE,則下列結(jié)論中正確的是 (　　)
A.動點F的軌跡長度為
B.直線A1B與EF所成角的取值范圍是
C.存在點F,使得B1F⊥CD1
D.平面A1BE截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面的面積為9
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.[2023·合肥十中高一期中] 若一個正四棱臺的上底面邊長為2,下底面邊長為4,側(cè)棱長為3,則這個正四棱臺的體積為　　　　.
13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,過8個頂點中的任意3點可作一個平面,其中與某一體對角線垂直的平面稱為“有效垂面”,則這樣的“有效垂面”共有　　　　個.
14.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,PD=AD=AB=2,CD=4,E為棱PC的點,若BE∥平面PAD,則CE=　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知OA為球O的半徑,過OA的中點M且垂直于OA的截面為圓M.
(1)若OA=1,求圓M的面積;
(2)若圓M的面積為3π,求OA的長.
16.(15分)如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M為棱AA1的中點,P是棱BC上一點,且從點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到點M的最短路線的長為,設(shè)這條最短路線與CC1的交點為N.
(1)求該三棱柱側(cè)面展開圖的對角線的長;
(2)分別求PC和NC的長.
17.(15分)[2024·宿遷高一期末] 如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC,∠BAC=90°,G,E分別是AB,BC的中點,H是AD上一點.
(1)若平面ABC⊥平面ACD,求證:AB⊥CD;
(2)若點F在CD上,且滿足DF∶FC=DH∶HA=1∶2,求證:直線EF,GH,BD相交于一點.
18.(17分)[2024·江蘇常州高一期末] 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點D是BC的中點,AB=AA1=4.
(1)求證:A1B∥平面ADC1;
(2)求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1;
(3)求直線A1B到平面ADC1的距離.
19.(17分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=2,BC=AA1=2,點M是平面ABC上的動點.
(1)若點M在棱BC上(不包括端點),求異面直線AC與B1M所成角的余弦值的取值范圍.
(2)若點M在棱AC上,求A1M+MC的最小值.
(3)若點M在棱BA上,過M作MN∥AC,交BC于點N,Q是BB1上一點,滿足MB+BQ=2.設(shè)MB=x,記三棱錐Q-MBN的體積為V(x).我們知道,函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).據(jù)此判斷,函數(shù)y=V(x)在定義域內(nèi)是否存在x0,使得函數(shù)y=V(x)在(0,x0)上的圖象是中心對稱圖形 若存在,求x0及對稱中心;若不存在,說明理由.

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