資源簡介

湖南省長沙市長郡教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)。）
1．下列方程中，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x-xy+3y2=0 B．a(chǎn)x2+bx+c=0 C．x2-2=0 D．x2+=0
2．下列函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，且y隨x的增大而減小的是（　　）
A．y=2x-1 B．y=x+2 C．y=-x+2 D．y=-2x
3．在全國少年乒乓球錦標(biāo)賽的準(zhǔn)備階段，甲、乙、丙、丁四名選手各進(jìn)行了10次訓(xùn)練測試，他們的平均得分相同，方差分別是=1.5，=2.3，=1.8，=0.8，則這四名選手中成績最穩(wěn)定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．拋物線y=x2-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（0，-4） B．（-2，0） C．（0，4） D．（2，0）
5．某校八年級（一）、（二）兩班的同學(xué)期末數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）統(tǒng)計(jì)如下：
班級 人數(shù) 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差
（一）班 50 85.4 82 84 26
（二）班 50 85.4 83 82 25
下列關(guān)于兩班成績的分析不正確的是（　　）
A．兩班的平均成績相同
B．若83分以上為優(yōu)秀，則（二）班優(yōu)秀人數(shù)不少于（一）班
C．（一）班成績比（二）班成績穩(wěn)定
D．從眾數(shù)來看，（一）班成績比（二）班成績好
6．隨著環(huán)保意識的增強(qiáng)和技術(shù)的革新，新能源汽車逐漸成為消費(fèi)者的熱門選擇，某品牌新能源汽車今年3月份的銷量為1200輛·由于國補(bǔ)政策的連月升溫，5月份的銷量為3500輛，設(shè)每個(gè)月銷量的平均增長率為x，則下列方程正確的是（　　）
A．1200（1+2x）=3500 B．1200（1+x）2=3500
C．3500（1-2x）=1200 D．3500（1-x）2=1200
7．某班對一小組7名男生一分鐘墊排球的個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)26，27，2，31，32，38，39中第三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字被涂污看不消楚了，則下列統(tǒng)計(jì)量中與被涂污數(shù)字無關(guān)的是（　　）
A．平均數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．眾數(shù)
8．將拋物線y=2x2+3向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后得到的拋物線的解析式為（　　）
A．y=2x2+5 B．y=2（x+1）2+5
C．y=2（x+1）2+1 D．y=2（x-1）2+1
9． 已知二次函數(shù) 的圖像過點(diǎn) A（-3， y1），B（-1， y2），C（2， y3），則 ，， 的大小關(guān)系為（　　）
A． B． C． D．
10． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 的對稱軸為 ，與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)位于 （-2，0），（-3，0） 兩點(diǎn)之間. 下列結(jié)論：①；②；③ 若 ， 為方程 的兩個(gè)根，則 ；④ 若拋物線與 x 軸的兩交點(diǎn)和其頂點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形，則 . 其中正確的有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．方程的兩根為，，則的值為　 　．
12．長沙市擬實(shí)施“人才引進(jìn)”招聘考試，招聘考試分筆試和面試，其中筆試和面試成績按6：4計(jì)入總成績.如果小維筆試成績?yōu)?0分、面試成績?yōu)?5分，那么總成績?yōu)椤? 　分.
13．如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），根據(jù)圖象得kx+b>0的解集為　 　.
14．如果方程x2+4x+n=0可以配方成（x+2）2=3，那么n=　 　.
15．飛機(jī)著陸時(shí)速度快，通常借助直道滑行一段距離來保持飛機(jī)穩(wěn)定。據(jù)統(tǒng)計(jì)某飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時(shí)間t （單位：s）的函數(shù)解析式是s=80t-2t2，那么飛機(jī)著陸后滑行　 　s才能停下來.
16．如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP和CP，則當(dāng)AP+CP的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 　.
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、20、21、22、23題每題8分，第18、19每題6分，第24、25題每題10分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．解方程：
（1）（x-2）2 =9；
（2）x（x-1）=3（x-1）.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過（1，1）和（3，-3）兩點(diǎn).
（1）求該一次函數(shù)的解析式；
（2）求直線y=kx+b與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積
19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-k-3=0（k為常數(shù)）.
（1）若方程的一個(gè)根為2，求方程的另一個(gè)根；
（2）求證：不論k為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
20．在“悅讀青春，書香筑夢”主題活動(dòng)中，求真中學(xué)不僅在校內(nèi)開設(shè)閱讀課程，同時(shí)倡導(dǎo)親子共讀，校內(nèi)外共同營造書香氛圍，為了解本校八年級學(xué)生親子共讀的開展情況，隨機(jī)調(diào)查了該校八年級a名學(xué)生每周親子共讀的時(shí)間（單位：h），根據(jù)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，繪制出如圖1、圖2所示的兩幅統(tǒng)計(jì)圖。
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（1）填空：a的值為　 　， m的值為　 　，統(tǒng)計(jì)這組學(xué)生每周親子共讀的時(shí)間的眾數(shù)和中位數(shù)分別為　 　 h和　 　h.
（2）求統(tǒng)計(jì)的這組學(xué)生每周親子共讀的平均時(shí)長；
（3）若求真中學(xué)八年級共有學(xué)生700人，現(xiàn)為親子共讀時(shí)長達(dá)到10小時(shí)的學(xué)生投了“書香達(dá)人”稱號，請估計(jì)該校八年級學(xué)生能獲得“書香達(dá)人”稱號的人數(shù).
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=- x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn) B（0，4），頂點(diǎn)為C.
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)y>4時(shí)，求自變量的取值范圍.
22．為迎接即將到來的暑假旅游高峰，長沙文旅計(jì)劃在五一廣場打造一個(gè)“湖南特色食品展”，如圖，若使用34米長的擋板，一面利用墻（墻的最大可用長度為20米）圍成展示區(qū)矩形ABCD，與墻平行的BC邊上預(yù)留一個(gè)2米寬的人口方便游客出人.
（1）如果要圍成面積為144平方米的展示區(qū)，那么AB的長為多少米
（2）為盡可能容納更多的游客，展示區(qū)面積能否拓展為180平方米？若能，請求出AB的長；若不能，請說明理由。
23．某直播平臺為備戰(zhàn)“618”，準(zhǔn)備代銷進(jìn)價(jià)為10元/本的精美手賬本，根據(jù)品牌方要求，銷售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)、且不高于進(jìn)價(jià)的2倍，試銷期間的數(shù)據(jù)顯示：若剛好以進(jìn)價(jià)出售，日銷量為60本，當(dāng)價(jià)格每提升1元時(shí)，日銷量則下降2本.
（1）直接寫出日銷量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)解析式；
（2）手賬本銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤最大？最大利潤是多少
24．若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線l都經(jīng)過y軸上的一點(diǎn)P，且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“長郡培粹”關(guān)系。此時(shí)，直線l叫做拋物線L的“郡線”拋物線L叫作直線l的“粹線”。
（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x2+4x+n具有“長郡培粹”關(guān)系，求m，n的值；
（2）若某“粹線”L的頂點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，它的“郡線”l的解析式為y=3x-4，求此“粹線”L的解析式；
（3）當(dāng)常數(shù)k滿足≤k≤3時(shí)，求拋物線L：y=ax2+（7k2-4k+1）x+k的“郡線”與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍。
25．如圖，直線 交 y 軸于點(diǎn) A，交 x 軸于點(diǎn) C，拋物線 經(jīng)過點(diǎn) A， C，且交 x 軸于另一點(diǎn) B.
（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）將線段OA繞x軸上的動(dòng)點(diǎn)P（m，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段O'A'，若線段O'A'與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，請結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍.
湖南省長沙市長郡教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
參考答案
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)。）
1．下列方程中，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x-xy+3y2=0 B．a(chǎn)x2+bx+c=0 C．x2-2=0 D．x2+=0
解：根據(jù)一元二次方程的定義可得 x2-2=0 是一元二次方程.
故答案為：C.
2．下列函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，且y隨x的增大而減小的是（　　）
A．y=2x-1 B．y=x+2 C．y=-x+2 D．y=-2x
解：設(shè)y=kx+b，
函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，且y隨x的增大而減小，
.
故答案為：D.
3．在全國少年乒乓球錦標(biāo)賽的準(zhǔn)備階段，甲、乙、丙、丁四名選手各進(jìn)行了10次訓(xùn)練測試，他們的平均得分相同，方差分別是=1.5，=2.3，=1.8，=0.8，則這四名選手中成績最穩(wěn)定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：=1.5，=2.3，=1.8，=0.8，
>>>.
故答案為：D.
4．拋物線y=x2-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（0，-4） B．（-2，0） C．（0，4） D．（2，0）
解：y=x2-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-4).
故答案為：A.
5．某校八年級（一）、（二）兩班的同學(xué)期末數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）統(tǒng)計(jì)如下：
班級 人數(shù) 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差
（一）班 50 85.4 82 84 26
（二）班 50 85.4 83 82 25
下列關(guān)于兩班成績的分析不正確的是（　　）
A．兩班的平均成績相同
B．若83分以上為優(yōu)秀，則（二）班優(yōu)秀人數(shù)不少于（一）班
C．（一）班成績比（二）班成績穩(wěn)定
D．從眾數(shù)來看，（一）班成績比（二）班成績好
解：A、由表格中的數(shù)據(jù)可得兩班的平均成績相同，A正確；
B、由中位數(shù)可得（二）班優(yōu)秀人數(shù)不少于（一）班，B正確；
C、由方差可得（二）班成績比（一）班成績穩(wěn)定，C不正確；
D、從眾數(shù)來看，（一）班成績比（二）班成績好，D正確.
故答案為：C.
6．隨著環(huán)保意識的增強(qiáng)和技術(shù)的革新，新能源汽車逐漸成為消費(fèi)者的熱門選擇，某品牌新能源汽車今年3月份的銷量為1200輛·由于國補(bǔ)政策的連月升溫，5月份的銷量為3500輛，設(shè)每個(gè)月銷量的平均增長率為x，則下列方程正確的是（　　）
A．1200（1+2x）=3500 B．1200（1+x）2=3500
C．3500（1-2x）=1200 D．3500（1-x）2=1200
解：設(shè)每個(gè)月銷量的平均增長率為x，則1200（1+x）2=3500.
故答案為：B.
7．某班對一小組7名男生一分鐘墊排球的個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)26，27，2，31，32，38，39中第三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字被涂污看不消楚了，則下列統(tǒng)計(jì)量中與被涂污數(shù)字無關(guān)的是（　　）
A．平均數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．眾數(shù)
解：根據(jù)題意可得7個(gè)數(shù)據(jù)中的中位數(shù)為31，與被涂污數(shù)字無關(guān).
故答案為：C.
8．將拋物線y=2x2+3向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后得到的拋物線的解析式為（　　）
A．y=2x2+5 B．y=2（x+1）2+5
C．y=2（x+1）2+1 D．y=2（x-1）2+1
解：平移后的拋物線的解析式為y=2（x+1）2+1
故答案為：C.
9． 已知二次函數(shù) 的圖像過點(diǎn) A（-3， y1），B（-1， y2），C（2， y3），則 ，， 的大小關(guān)系為（　　）
A． B． C． D．
解：，
當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值-4，
，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減少，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，
，
.
故答案為：A.
10． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 的對稱軸為 ，與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)位于 （-2，0），（-3，0） 兩點(diǎn)之間. 下列結(jié)論：①；②；③ 若 ， 為方程 的兩個(gè)根，則 ；④ 若拋物線與 x 軸的兩交點(diǎn)和其頂點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形，則 . 其中正確的有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
解：觀察圖象可得a<0，b<0，c>0， ① 正確；
觀察圖象可得拋物線的對稱軸為直線，故， ② 錯(cuò)誤；
觀察圖象可得，故，且，可得， ③ 正確；
拋物線與 x 軸的兩交點(diǎn)和其頂點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形，
設(shè)，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
拋物線解析式為，
，解得，
， ④ 正確.
故答案為：C.
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．方程的兩根為，，則的值為　 　．
解：∵ 方程的兩根為，，
∴.
故答案為：3.
12．長沙市擬實(shí)施“人才引進(jìn)”招聘考試，招聘考試分筆試和面試，其中筆試和面試成績按6：4計(jì)入總成績.如果小維筆試成績?yōu)?0分、面試成績?yōu)?5分，那么總成績?yōu)椤? 　分.
解：（分）.
故答案為：88.
13．如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），根據(jù)圖象得kx+b>0的解集為　 　.
解： y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0），
當(dāng)x=1時(shí)，y=0，
當(dāng)y=kx+b>0時(shí)，x<1.
故答案為：x<1.
14．如果方程x2+4x+n=0可以配方成（x+2）2=3，那么n=　 　.
解：，
，
，
.
故答案為：1.
15．飛機(jī)著陸時(shí)速度快，通常借助直道滑行一段距離來保持飛機(jī)穩(wěn)定。據(jù)統(tǒng)計(jì)某飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時(shí)間t （單位：s）的函數(shù)解析式是s=80t-2t2，那么飛機(jī)著陸后滑行　 　s才能停下來.
解：，
飛機(jī)著陸后滑行20s才能停下來.
故答案為：20.
16．如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP和CP，則當(dāng)AP+CP的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 　.
解：，
，
設(shè)直線BC解析式為，
，解得，
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=1對稱，
當(dāng) AP+CP的值最小時(shí)，點(diǎn)P為BC與直線x=1的交點(diǎn)，
.
故答案為：（1，-2）.
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、20、21、22、23題每題8分，第18、19每題6分，第24、25題每題10分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．解方程：
（1）（x-2）2 =9；
（2）x（x-1）=3（x-1）.
（1）解：直接開方得：x-2=3或x-2=-3，
解得：x1=5，x2=-1.
（2）解：移項(xiàng)，因式分解得：(x-1)(x-3)=0，··
∴x-1=0或x-3=0，
解得：x1=1，x2=3
18．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過（1，1）和（3，-3）兩點(diǎn).
（1）求該一次函數(shù)的解析式；
（2）求直線y=kx+b與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積
（1）解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過（1，1)和（3，-3)兩點(diǎn)，
，
解得
∴該一次函數(shù)的解析式為y=-2x+3.
（2）解：直線y=-2x+3與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，
在y=-2x+3中，令x=0，得y=3，
∴B(0，3)，
∴OB=3，
令y=0，得-2x+3=0，解得x=
∴A(，0)，
∴直線y=-2x十3與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.
19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-k-3=0（k為常數(shù)）.
（1）若方程的一個(gè)根為2，求方程的另一個(gè)根；
（2）求證：不論k為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
（1）解：把代入方程 x2+kx-k-3=0 ，得，∴；
把代入方程 x2+kx-k-3=0 ，得，∴，，即另一個(gè)根為-1.
（2）證明：∵ x2+kx-k-3=0 ，
∴，
∴無論k取何值，，
∴，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
20．在“悅讀青春，書香筑夢”主題活動(dòng)中，求真中學(xué)不僅在校內(nèi)開設(shè)閱讀課程，同時(shí)倡導(dǎo)親子共讀，校內(nèi)外共同營造書香氛圍，為了解本校八年級學(xué)生親子共讀的開展情況，隨機(jī)調(diào)查了該校八年級a名學(xué)生每周親子共讀的時(shí)間（單位：h），根據(jù)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，繪制出如圖1、圖2所示的兩幅統(tǒng)計(jì)圖。
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（1）填空：a的值為　 　， m的值為　 　，統(tǒng)計(jì)這組學(xué)生每周親子共讀的時(shí)間的眾數(shù)和中位數(shù)分別為　 　 h和　 　h.
（2）求統(tǒng)計(jì)的這組學(xué)生每周親子共讀的平均時(shí)長；
（3）若求真中學(xué)八年級共有學(xué)生700人，現(xiàn)為親子共讀時(shí)長達(dá)到10小時(shí)的學(xué)生投了“書香達(dá)人”稱號，請估計(jì)該校八年級學(xué)生能獲得“書香達(dá)人”稱號的人數(shù).
（1）50；34；8；8
（2）解： ，
答：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8.36 h.
（3）解：700×16%=112(人）.
答：估計(jì)該校八年級學(xué)生能獲得“書香達(dá)人”稱號的人數(shù)為112人。
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=- x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn) B（0，4），頂點(diǎn)為C.
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)y>4時(shí)，求自變量的取值范圍.
（1）解：∵點(diǎn)A(-2，0)，B(0，4)在拋物線的圖象上，
∴
解得
∴二次函數(shù)的解析式為.
（2）解：∵對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(0，4).
∴由對稱性可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(4，4)，
∴結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，.
22．為迎接即將到來的暑假旅游高峰，長沙文旅計(jì)劃在五一廣場打造一個(gè)“湖南特色食品展”，如圖，若使用34米長的擋板，一面利用墻（墻的最大可用長度為20米）圍成展示區(qū)矩形ABCD，與墻平行的BC邊上預(yù)留一個(gè)2米寬的人口方便游客出人.
（1）如果要圍成面積為144平方米的展示區(qū)，那么AB的長為多少米
（2）為盡可能容納更多的游客，展示區(qū)面積能否拓展為180平方米？若能，請求出AB的長；若不能，請說明理由。
（1）解：設(shè)AB的長為x米，則BC的長為（34-2x+2）米，
由題意得 x(34-2x+2)=144，
解得：x1=12，x2=6，
當(dāng)x=12時(shí)，BC=36-12×2=12<20米，符合題意；
當(dāng)x=6時(shí).BC=36-6×2=24>20米，不符合題意，舍去；
答：AB的長為12米.
（2）解：不能，理由如下：
設(shè)AB的長為x米，則 BC的長為（34-2x+2)米，
由題意得 x(34-2x+2)=180，
整理得：x2-18x+90=0，
=（-18)2-4×90=-36<0，
∴方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴不能圍成面積為180平方米的展示區(qū).
答：展示區(qū)面積不能拓展為180平方米。
23．某直播平臺為備戰(zhàn)“618”，準(zhǔn)備代銷進(jìn)價(jià)為10元/本的精美手賬本，根據(jù)品牌方要求，銷售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)、且不高于進(jìn)價(jià)的2倍，試銷期間的數(shù)據(jù)顯示：若剛好以進(jìn)價(jià)出售，日銷量為60本，當(dāng)價(jià)格每提升1元時(shí)，日銷量則下降2本.
（1）直接寫出日銷量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)解析式；
（2）手賬本銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤最大？最大利潤是多少
（1）解：根據(jù)題意可得，，其中，
即.
（2）解：設(shè)利潤為w元，則，
當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大，
故當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值是400.
答：手賬本單價(jià)為20元/本時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是400元.
24．若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線l都經(jīng)過y軸上的一點(diǎn)P，且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“長郡培粹”關(guān)系。此時(shí)，直線l叫做拋物線L的“郡線”拋物線L叫作直線l的“粹線”。
（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x2+4x+n具有“長郡培粹”關(guān)系，求m，n的值；
（2）若某“粹線”L的頂點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，它的“郡線”l的解析式為y=3x-4，求此“粹線”L的解析式；
（3）當(dāng)常數(shù)k滿足≤k≤3時(shí)，求拋物線L：y=ax2+（7k2-4k+1）x+k的“郡線”與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍。
（1）解：令直線y=mx+1中x=0，則y=1，
即直線與y軸的交點(diǎn)為(0，1)，
將(0，1)代入拋物線y=x2-4x+n中，得n=1，
∴拋物線的解析式為y=x2-4x+1=(x-2)2-3，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-3)，
將點(diǎn)(2，-3)代入到直線y-mx+1中，
得：-3=2m+1，解得：m=-2，
故m的值為-2，n的值為1.
（2）解：將y=3x-4分別代入到y(tǒng)=-x，y=x中，
解得：x1=1，x2=2，
∴該“粹線”L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-1)或(2，2)，
令“郡線”l：y=3x-4中x=0，得y=-4，
∴“粹線”L的圖象過點(diǎn)(0，-4)，
設(shè)該“粹線”L的解析式為y=a1(x-1)2-1或y=a2(x-2)2+2，
由題意得：-4=a1 (0-1)2-1或-4=a2(0-2)2+2，
解得： ， ，
∴此“粹線”L的解析式為或.
（3）解：如果“粹線”L的表達(dá)式為 ，則頂點(diǎn) ，點(diǎn)P(0，c)，設(shè)它的“郡線”l的解析式為 ，將點(diǎn)P，點(diǎn)Q的坐標(biāo)依次代入可得
從而
所以“郡線”l的解析式為 ，設(shè)它與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，易求得點(diǎn) ，所以“郡線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積 ，
∴本題中“郡線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積 ，
∵，∴，
又∵恒成立)，
∴，
當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為 ，
當(dāng)時(shí)，S有最小值，最小值為，
故拋物線 L 的“郡線”l 與 x 軸， y 軸所圍成的三角形面積的取值范圍為.
25．如圖，直線 交 y 軸于點(diǎn) A，交 x 軸于點(diǎn) C，拋物線 經(jīng)過點(diǎn) A， C，且交 x 軸于另一點(diǎn) B.
（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）將線段OA繞x軸上的動(dòng)點(diǎn)P（m，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段O'A'，若線段O'A'與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，請結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍.
（1）解：令，得，
，
令，得，解得，，
，
把A，C兩點(diǎn)代入
得，解得
拋物線的解析式為，
令，得，解得，或，
（2）解：如圖1，過 M 點(diǎn)作 軸，與 AC 交于點(diǎn) N，
設(shè) ，則 ，，
∴，
∴，
∴，
∴ 當(dāng) 時(shí)，四邊形 ABCM 的面積最大，其最大值為18，
此時(shí) M的坐標(biāo)為（3，3）
（3）解：如圖 2，
∵ 將線段 OA 繞 x 軸上的動(dòng)點(diǎn) P(m，0) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到線段 O'A'，
∴，，
∴，，
當(dāng) 在拋物線上時(shí)，有 ，
解得，，
當(dāng)點(diǎn) O'(m，m) 在拋物線上時(shí)，有 ，
解得， 或 3，
∴ 當(dāng) 或 時(shí)，線段 O'A'與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).

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