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(共36張PPT)
14.2 抽樣
14.2.2 分層抽樣
探究點(diǎn)一 分層抽樣的概念
探究點(diǎn)二 分層抽樣的應(yīng)用
探究點(diǎn)三 抽樣的綜合應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
通過具體實(shí)際問題體會分層抽樣的必要性及特點(diǎn),了解分層抽樣
的特點(diǎn)和使用范圍,掌握各層樣本量比例分配的方法.
知識點(diǎn)一 分層抽樣
1.分層抽樣的概念
一般地,當(dāng)總體由__________的幾個(gè)部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀
地反映總體情況，我們常常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分成層次
比較分明的幾個(gè)部分，然后按各個(gè)部分__________________實(shí)施抽
樣，這種抽樣方法叫作分層抽樣.所分成的各個(gè)部分稱為____.
差異明顯
在總體中所占的比
層
2.分層抽樣的步驟
（1）將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)______；
（2）計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與______的個(gè)體數(shù)的比；
（3）按各層的個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的______
_____；
（4）在每一層進(jìn)行抽樣（可用簡單隨機(jī)抽樣）.
分層
總體
樣本容量
3.分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)
（1）在個(gè)體之間差異較大的情形下,只要選取的分層變量合適,使得
各層間差異明顯、層內(nèi)差異不大,分層抽樣的效果一般會好于簡單隨
機(jī)抽樣,也好于很多其他抽樣方法.
（2）分層抽樣的組織實(shí)施也比簡單隨機(jī)抽樣方便,而且除了能得到總
體的估計(jì)外,還能得到每層的估計(jì).
【診斷分析】判斷正誤.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）
（1）分層抽樣中每層抽取的個(gè)體數(shù)與該層個(gè)體數(shù)占總體中個(gè)體數(shù)的
比有關(guān).( )
√
[解析] 分層抽樣中按各層的個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)
抽取的樣本容量.
（2）分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會是相等的.( )
√
[解析] 分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會是相等的.
（3）分層抽樣中各層中的個(gè)體被抽到的機(jī)會是不同的.( )
×
[解析] 分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會是相等的.
知識點(diǎn)二 簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣
1.簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣的比較
類別 特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 共同點(diǎn)
簡單隨 機(jī)抽樣 從總體中逐個(gè)抽 取 總體中的個(gè) 體數(shù)較少 抽樣過程
中每個(gè)個(gè)
體被抽到
的可能性
相同
分層抽 樣 將總體分成幾 層，按各層的個(gè) 體數(shù)之比抽取 各層抽樣 時(shí)，可以采 用簡單隨機(jī) 抽樣 總體由差異 明顯的幾部 分組成 2.抽樣方法的選取
（1）看總體是否由差異明顯的幾部分組成，若是，則選用分層抽樣；
否則，考慮用簡單隨機(jī)抽樣或其他抽樣方法；
（2）總體中個(gè)體差異不明顯時(shí)，看總體容量與樣本容量的大小，若總
體容量較小，采用抽簽法；當(dāng)總體容量較大時(shí)可以考慮用隨機(jī)數(shù)表法.
【診斷分析】判斷正誤.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）
（1）某學(xué)校高一年級有12名女運(yùn)動員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)
擔(dān)情況，用簡單隨機(jī)抽樣法抽樣.( )
√
[解析] 由于總體中個(gè)體數(shù)較小，且抽取的人數(shù)較少，故采用簡單隨
機(jī)抽樣法抽樣.
（2）為了了解某校高一、高二、高三三個(gè)年級3000名學(xué)生的身高情
況，可采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為100的樣本進(jìn)行研究.
( )
×
[解析] 由于三個(gè)年級學(xué)生的身高差異較大，并且學(xué)生人數(shù)較多，故
應(yīng)采用分層抽樣.
（3）分層抽樣中每一層中抽取樣本可以采用簡單隨機(jī)抽樣.( )
√
[解析] 分層抽樣中每一層抽取樣本可以采用簡單隨機(jī)抽樣.
探究點(diǎn)一 分層抽樣的概念
例1（1） 為了保證分層抽樣中每個(gè)個(gè)體等可能地被抽取,必須要求
( )
A.每層不等可能抽樣
B.每層抽取的個(gè)體數(shù)相等
C.每層抽取的個(gè)體可以不一樣多,但必須滿足抽取
個(gè)個(gè)體（其中是層數(shù),是抽取的樣本量,
是第層中個(gè)體的個(gè)數(shù), 是總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)）
D.只要抽取的樣本容量一定,每層抽取的個(gè)體數(shù)沒有限制
√
[解析] 易知A,D不正確;
對于B,由于每層中的個(gè)體數(shù)不一定相等,若每層抽取同樣多的個(gè)體數(shù),
則從總體來看,各層之間的個(gè)體被抽取的可能性就不一樣了,故B不正確;
對于C,符合分層抽樣的特點(diǎn),能夠保證每個(gè)個(gè)體等可能地被抽取,
故C正確.故選C.
（2）下列問題中，最適合用分層抽樣法抽樣的是( )
A.某報(bào)告廳有32排，每排有40個(gè)座位，每排座位號是 ，有一次
報(bào)告會坐滿了聽眾，報(bào)告會結(jié)束以后為聽取意見，要留下32名聽眾
進(jìn)行座談
B.從10臺冰箱中抽出3臺進(jìn)行質(zhì)量檢查
C.某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8000畝，丘陵12 000畝，平地24 000畝，洼地
4000畝，現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計(jì)全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量
D.從50個(gè)零件中抽取5個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
√
[解析] A中的個(gè)體沒有呈現(xiàn)出較大差異，不適合用分層抽樣法；
B和D中的總體容量較小，用簡單隨機(jī)抽樣法比較方便；
C中總體容量較大，且各類田地的差別很大，適合采用分層抽樣方法.
故選C.
［素養(yǎng)小結(jié)］
用分層抽樣應(yīng)遵循的原則
（1）將相似的個(gè)體歸入一類,即為一層,分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互
不交叉,即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則;
（2）為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣,需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,
每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.
探究點(diǎn)二 分層抽樣的應(yīng)用
例2 一個(gè)單位的職工有500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49
歲的有280人，50歲以上的有95人，為了了解這個(gè)單位職工與身體狀
況有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這
項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽取？
解：由題意可得用分層抽樣的方法抽取樣本，步驟如下：
（1）按年齡將職工分成三層：不到35歲的職工，35歲到49歲的職工，
50歲以上的職工；
（2）確定每層應(yīng)抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)，抽樣比為 ，則在不到35歲
的職工中抽取 （人），在35歲到49歲的職工中抽取
（人），在50歲以上的職工中抽取 （人）;
（3）在各層中均按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本；
（4）綜合每層抽樣，組成樣本.
變式 [2024·山東聊城一中高一月考] 某校舉辦科技節(jié)活動，開設(shè)
，兩個(gè)會場，其中每名學(xué)生只能去一個(gè)會場且的學(xué)生去 會
場，剩下的學(xué)生去會場.已知， 會場學(xué)生的年級及各年級比例情
況如下表所示：
高一年級 高二年級 高三年級
A會場
B會場
記該校高一、高二、高三年級學(xué)生所占總?cè)藬?shù)的比例分別為，， ，
利用分層抽樣的方法從參加活動的全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為 的樣本.
（1）求 的值；
解：設(shè)該校高一、高二、高三年級的人數(shù)分別為，， ，
則去會場的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，去 會場的學(xué)生總?cè)藬?shù)
為 ，
則各年級去, 會場的人數(shù)如下表所示：
高一 高二 高三
A會場
B會場
則
.
（2）若抽到的會場的高二年級的學(xué)生有150人，求 的值以及抽到
的 會場高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù).
解：依題意，，解得，則抽到的 會場
的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100，
所以抽到的 會場的高一年級人數(shù)為，
高二年級人數(shù)為 ，高三年級人數(shù)為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
用分層抽樣的方法抽取樣本的一般步驟:
探究點(diǎn)三 抽樣的綜合應(yīng)用
例3（1） 某地區(qū)的高一新生中，來自東部平原地區(qū)的學(xué)生有2400人，
中部丘陵地區(qū)的學(xué)生有1600人，西部山區(qū)的學(xué)生有1000人.計(jì)劃從中
選取100人調(diào)查學(xué)生的視力情況，現(xiàn)已了解到來自東部、中部、西部
三個(gè)地區(qū)學(xué)生的視力情況有較大差異，而這三個(gè)地區(qū)男女生視力情
況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是( )
A.簡單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣
C.隨機(jī)數(shù)表法 D.按地區(qū)分層抽樣
√
[解析] 由于來自東部、中部、西部三個(gè)地區(qū)學(xué)生的視力情況有較大
差異，故按地區(qū)分層抽樣.故選D.
（2）某中學(xué)高二年級的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組擬完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：
①從某社區(qū)430戶高收入家庭，980戶中等收入家庭，290戶低收入家
庭中任意選出170戶調(diào)查社會購買力的某項(xiàng)指標(biāo)；
②從本年級12名體育特長生中隨機(jī)選出5人調(diào)查其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況.
則該研究性學(xué)習(xí)小組宜采用的抽樣方法分別是( )
A.①用簡單隨機(jī)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣
B.①用簡單隨機(jī)抽樣，②用分層抽樣
C.①用分層抽樣，②用分層抽樣
D.①用分層抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣
√
[解析] ①中的總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層抽樣；
②中的總體個(gè)體數(shù)較少，應(yīng)選用簡單隨機(jī)抽樣.故選D.
變式（1） 某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)氣候不同的地區(qū)分別有150
個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需
從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；
在丙地區(qū)有10個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)銷售點(diǎn)調(diào)查其銷售收
入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②.則完成①宜采用的抽樣方法
為__________，完成②宜采用的抽樣方法為______________.
分層抽樣
簡單隨機(jī)抽樣
[解析] 調(diào)查①中個(gè)體差異明顯，故宜用分層抽樣；
調(diào)查②中個(gè)體數(shù)較少，且個(gè)體沒有明顯差異，故宜用簡單隨機(jī)抽樣.
（2）對一個(gè)個(gè)體數(shù)為的總體抽取容量為 的樣本，利用抽簽法、
隨機(jī)數(shù)表法和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體
被抽中的概率分別為,, ，則( )
A. B.
C. D.
[解析] 利用抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法和分層抽樣三種方法抽取樣本時(shí)，
每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均相等，所以 .故選D.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
簡單隨機(jī)抽樣：（1）從總體中逐個(gè)不放回地抽取；（2）總體中的
個(gè)體數(shù)較少.
分層抽樣：（1）總體由差異明顯的幾部分組成；（2）按比例分層
抽取.
1.簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣的區(qū)別和聯(lián)系
區(qū)別:簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)抽取樣本;分層抽樣則首先將總體
分成幾層,然后在各層中抽取樣本.
聯(lián)系:（1）抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等;（2）每次抽出
個(gè)體后不再將它放回,即不放回抽樣.
2.分層抽樣的一般步驟:
第一步,按某種特征將總體分成若干部分（層）.
第二步,計(jì)算抽樣比,抽樣比 .
第三步,計(jì)算各層抽取的個(gè)體數(shù),各層抽取的個(gè)體數(shù) 各層總的個(gè)體數(shù)
×抽樣比.
第四步,依各層抽取的個(gè)體數(shù),按簡單隨機(jī)抽樣從各層抽取樣本.
第五步,綜合每層抽樣,組成樣本.
例1 [2024·江蘇無錫高一期中]為了慶祝中國共產(chǎn)黨第二十次全國代
表大會，學(xué)校采用分層抽樣的方法從高一年級1002人，高二年級
1002人，高三年級1503人中抽取126人觀看“中國共產(chǎn)黨第二十次全
國代表大會”直播，那么高三年級被抽取的人數(shù)為( )
A.36 B.42 C.50 D.54
[解析] 根據(jù)分層抽樣的方法，抽樣比為 ，所以
高三年級被抽取的人數(shù)為 .故選D.
√
例2 根據(jù)以下不同的情況選擇合適的抽樣方法抽樣,寫出抽樣過程.
（1）有甲廠生產(chǎn)的兩箱籃球共30個(gè),其中一箱21個(gè),另一箱9個(gè),抽取10
個(gè)入樣;
解：總體容量較小,且無明顯差異,可用抽簽法.
①將30個(gè)籃球編號,號碼為00,01, ,29;
②將以上30個(gè)號碼分別寫在完全一樣的小紙條上,揉成小球,制成號簽;
③把號簽放入一個(gè)不透明的袋子中,充分?jǐn)嚢?
④從袋子中逐個(gè)不放回地抽取10個(gè)號簽,并記錄上面的號碼;
⑤找出與所得號碼對應(yīng)的籃球即可得到樣本.
（2）有30個(gè)籃球,其中甲廠生產(chǎn)的有21個(gè),乙廠生產(chǎn)的有9個(gè),抽取10個(gè)
入樣.
解：總體由差異明顯的兩層組成,用分層抽樣.
①確定各層抽取的個(gè)數(shù).因?yàn)?,所以應(yīng)從甲廠生產(chǎn)的籃球中抽取
（個(gè)）,從乙廠生產(chǎn)的籃球中抽取 （個(gè)）.
②用抽簽法從甲廠生產(chǎn)的籃球中抽取7個(gè),從乙廠生產(chǎn)的籃球中抽取3
個(gè),這些籃球便組成了我們要抽取的樣本.14.2.2　分層抽樣
【課前預(yù)習(xí)】
知識點(diǎn)一
1.差異明顯　在總體中所占的比　層
2.(1)分層　(2)總體　(3)樣本容量
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (1)分層抽樣中按各層的個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量.
(2)分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會是相等的.
(3)分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會是相等的.
知識點(diǎn)二
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)由于總體中個(gè)體數(shù)較小,且抽取的人數(shù)較少,故采用簡單隨機(jī)抽樣法抽樣.
(2)由于三個(gè)年級學(xué)生的身高差異較大,并且學(xué)生人數(shù)較多,故應(yīng)采用分層抽樣.
(3)分層抽樣中每一層抽取樣本可以采用簡單隨機(jī)抽樣.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)易知A,D不正確;對于B,由于每層中的個(gè)體數(shù)不一定相等,若每層抽取同樣多的個(gè)體數(shù),則從總體來看,各層之間的個(gè)體被抽取的可能性就不一樣了,故B不正確;對于C,符合分層抽樣的特點(diǎn),能夠保證每個(gè)個(gè)體等可能地被抽取,故C正確.故選C.
(2)A中的個(gè)體沒有呈現(xiàn)出較大差異,不適合用分層抽樣法;B和D中的總體容量較小,用簡單隨機(jī)抽樣法比較方便;C中總體容量較大,且各類田地的差別很大,適合采用分層抽樣方法.故選C.
探究點(diǎn)二
例2　解:由題意可得用分層抽樣的方法抽取樣本,步驟如下:
(1)按年齡將職工分成三層:不到35歲的職工,35歲到49歲的職工,50歲以上的職工;
(2)確定每層應(yīng)抽取個(gè)體的個(gè)數(shù),抽樣比為=,則在不到35歲的職工中抽取125×=25(人),在35歲到49歲的職工中抽取280×=56(人),在50歲以上的職工中抽取95×=19(人);
(3)在各層中均按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本;
(4)綜合每層抽樣,組成樣本.
變式　解:(1)設(shè)該校高一、高二、高三年級的人數(shù)分別為a,b,c,
則去A會場的學(xué)生總?cè)藬?shù)為0.25(a+b+c),去B會場的學(xué)生總?cè)藬?shù)為0.75(a+b+c),
則各年級去A,B會場的人數(shù)如下表所示:
高一 高二 高三
A會場 0.125(a+b+c) 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c)
B會場 0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c) 0.075(a+b+c)
則x∶y∶z=0.425(a+b+c)∶0.475(a+b+c)∶0.1(a+b+c)=17∶19∶4.
(2)依題意,n×0.75×0.5=150,解得n=400,則抽到的A會場的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100,所以抽到的A會場的高一年級人數(shù)為100×50%=50,高二年級人數(shù)為100×40%=40,高三年級人數(shù)為100×10%=10.
探究點(diǎn)三
例3　(1)D　(2)D　[解析] (1)由于來自東部、中部、西部三個(gè)地區(qū)學(xué)生的視力情況有較大差異,故按地區(qū)分層抽樣.故選D.
(2)①中的總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成,應(yīng)選用分層抽樣;②中的總體個(gè)體數(shù)較少,應(yīng)選用簡單隨機(jī)抽樣.故選D.
變式　(1)分層抽樣　簡單隨機(jī)抽樣　(2)D　[解析] (1)調(diào)查①中個(gè)體差異明顯,故宜用分層抽樣;調(diào)查②中個(gè)體數(shù)較少,且個(gè)體沒有明顯差異,故宜用簡單隨機(jī)抽樣.
(2)利用抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法和分層抽樣三種方法抽取樣本時(shí),每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均相等,所以p1=p2=p3.故選D.14.2.2　分層抽樣
1.C　[解析] (1)中收入差距較大,采用分層抽樣較合適;(2)中總體中的個(gè)體數(shù)和樣本容量都較小,采用簡單隨機(jī)抽樣較合適.故選C.
2.D　[解析] 依題意,“史政地”組合中選出的學(xué)生人數(shù)為20×=5.故選D.
3.C　[解析] 由題意知=,所以n=70.
4.D　[解析] 在分層抽樣中,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,故每名學(xué)生被抽到的概率相等.故選D.
5.B　[解析] 根據(jù)兩種抽樣的特點(diǎn)知,不論哪種抽樣,總體中每個(gè)個(gè)體入樣的可能性都相等,都是,故①正確,②錯(cuò)誤;因?yàn)榭傮w中有差異較明顯的三個(gè)層(一級品、二級品和三級品),所以方法二抽到的樣本更有代表性,故③正確,④錯(cuò)誤.故①③正確.故選B.
6.C　[解析] 不妨設(shè)行政人員有2x人,后勤人員有3x人,則有=,解得x=15,所以該科研機(jī)構(gòu)后勤人員的人數(shù)是3x=45.故選C.
7.C　[解析] 依題意,高二年級師生應(yīng)分得樹苗的數(shù)量為800×=240(棵),所以高二年級師生應(yīng)分得桂花樹苗的數(shù)量為240×30%=72(棵).故選C.
8.ACD　[解析] 因?yàn)槿N型號轎車的產(chǎn)量具有明顯的差異性,所以應(yīng)采用分層抽樣抽取,故A正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)槿N型號轎車的產(chǎn)量之比為1500∶6000∶2000=3∶12∶4,所以三種型號的轎車依次應(yīng)抽取57×=9(輛),57×=36(輛),57×=12(輛),故C正確;根據(jù)隨機(jī)抽樣可知,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均相等,即每一輛轎車被抽到的概率都是相等的,故D正確.故選ACD.
9.ABC　[解析] 對于A,從中隨機(jī)抽取30人,則樣本容量為30,故A正確;對于B,設(shè)120名社團(tuán)成員中有男生n人,因?yàn)榘葱詣e分層抽樣時(shí)男生抽取18人,所以=,解得n=72,所以120名社團(tuán)成員中有男生72人,故B正確;對于C,設(shè)高二與高三年級的社團(tuán)成員共有m人,因?yàn)榘瓷鐖F(tuán)中高一、高二、高三年級的成員人數(shù)分層抽樣時(shí)高一年級抽取10人,所以=,解得m=80,所以高二與高三年級的社團(tuán)成員共有80人,故C正確;對于D,根據(jù)選項(xiàng)C可知高一年級的社團(tuán)成員有120-80=40(人),故高一年級的社團(tuán)成員中女生最多有40人,故D錯(cuò)誤.故選ABC.
10.分層抽樣　24　26　[解析] 因?yàn)椴煌詣e學(xué)生的身高差異較大,所以先采用分層抽樣的方法求出不同性別的抽樣人數(shù),然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣.設(shè)n1,n2分別為抽取男生和女生的人數(shù),根據(jù)分層抽樣原理,得==,解得n1=24,n2=26,即男生抽取24人,女生抽取26人.
11.1320　[解析] 依題意可得×=12,解得n=1320.
12.45　[解析] 由題意可知全校參加跑步比賽的人數(shù)為2000×=1500,則a+b+c=1500,又因?yàn)閍∶b∶c=2∶5∶3,所以c=1500×=450,按分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為200的樣本,故應(yīng)從高三年級參加跑步比賽的學(xué)生中抽取450×=45(人).
13.解:(1)用分層抽樣法,并按老年職工4人,中年職工12人,青年職工24人抽取.
(2)用分層抽樣法,并按管理崗位2人,技術(shù)開發(fā)崗位4人,營銷崗位6人,生產(chǎn)崗位13人抽取.
14.解:(1)∵072,則從B高校中只可能抽取2人,
即從A高校中抽取1人,從C高校中抽取3人,
∴==,故m=36,n=108.
(2)∵從B高校中抽取的教授人數(shù)是從A和C兩所高校中抽取的教授總?cè)藬?shù)的,
∴(m+n)=72,解得m+n=108,
∴A,B,C三所高校的教授的總?cè)藬?shù)為m+n+72=180.
15.240　[解析] 采用分層抽樣的方法從這四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中抽取容量為n的樣本,因?yàn)闃颖局屑奏l(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)比乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)多20,所以n×-n×=20,解得n=240.14.2.2　分層抽樣
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　通過具體實(shí)際問題體會分層抽樣的必要性及特點(diǎn),了解分層抽樣的特點(diǎn)和使用范圍,掌握各層樣本量比例分配的方法.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知識點(diǎn)一　分層抽樣
1.分層抽樣的概念
一般地,當(dāng)總體由　　　　的幾個(gè)部分組成時(shí),為了使樣本更客觀地反映總體情況,我們常常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾個(gè)部分,然后按各個(gè)部分
　　　　　　　　實(shí)施抽樣,這種抽樣方法叫作分層抽樣.所分成的各個(gè)部分稱為　　　　.
2.分層抽樣的步驟
(1)將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)　　　　;
(2)計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與　　　的個(gè)體數(shù)的比;
(3)按各層的個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的　　　　;
(4)在每一層進(jìn)行抽樣(可用簡單隨機(jī)抽樣).
3.分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)
(1)在個(gè)體之間差異較大的情形下,只要選取的分層變量合適,使得各層間差異明顯、層內(nèi)差異不大,分層抽樣的效果一般會好于簡單隨機(jī)抽樣,也好于很多其他抽樣方法.
(2)分層抽樣的組織實(shí)施也比簡單隨機(jī)抽樣方便,而且除了能得到總體的估計(jì)外,還能得到每層的估計(jì).
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)分層抽樣中每層抽取的個(gè)體數(shù)與該層個(gè)體數(shù)占總體中個(gè)體數(shù)的比有關(guān). (　 )
(2)分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會是相等的.(　 )
(3)分層抽樣中各層中的個(gè)體被抽到的機(jī)會是不同的. (　 )
◆ 知識點(diǎn)二　簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣
1.簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣的比較
類別 特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 共同點(diǎn)
簡單隨 機(jī)抽樣 從總體中逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)體數(shù)較少 抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同
分層 抽樣 將總體分成幾層,按各層的個(gè)體數(shù)之比抽取 各層抽樣時(shí),可以采用簡單隨機(jī)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成
2.抽樣方法的選取
(1)看總體是否由差異明顯的幾部分組成,若是,則選用分層抽樣;否則,考慮用簡單隨機(jī)抽樣或其他抽樣方法;
(2)總體中個(gè)體差異不明顯時(shí),看總體容量與樣本容量的大小,若總體容量較小,采用抽簽法;當(dāng)總體容量較大時(shí)可以考慮用隨機(jī)數(shù)表法.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)某學(xué)校高一年級有12名女運(yùn)動員,要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況,用簡單隨機(jī)抽樣法抽樣. (　 )
(2)為了了解某校高一、高二、高三三個(gè)年級3000名學(xué)生的身高情況,可采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為100的樣本進(jìn)行研究. (　 )
(3)分層抽樣中每一層中抽取樣本可以采用簡單隨機(jī)抽樣. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　分層抽樣的概念
例1 (1)為了保證分層抽樣中每個(gè)個(gè)體等可能地被抽取,必須要求 (　 )
A.每層不等可能抽樣
B.每層抽取的個(gè)體數(shù)相等
C.每層抽取的個(gè)體可以不一樣多,但必須滿足抽取ni=n·(i=1,2,…,k)個(gè)個(gè)體(其中k是層數(shù),n是抽取的樣本量,Ni是第i層中個(gè)體的個(gè)數(shù),N是總體中個(gè)體的個(gè)數(shù))
D.只要抽取的樣本容量一定,每層抽取的個(gè)體數(shù)沒有限制
(2)下列問題中,最適合用分層抽樣法抽樣的是 (　 )
A.某報(bào)告廳有32排,每排有40個(gè)座位,每排座位號是1~40,有一次報(bào)告會坐滿了聽眾,報(bào)告會結(jié)束以后為聽取意見,要留下32名聽眾進(jìn)行座談
B.從10臺冰箱中抽出3臺進(jìn)行質(zhì)量檢查
C.某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8000畝,丘陵12 000畝,平地24 000畝,洼地4000畝,現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計(jì)全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量
D.從50個(gè)零件中抽取5個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
[素養(yǎng)小結(jié)]
用分層抽樣應(yīng)遵循的原則
(1)將相似的個(gè)體歸入一類,即為一層,分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉,即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則;
(2)為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣,需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.
◆ 探究點(diǎn)二　分層抽樣的應(yīng)用
例2 一個(gè)單位的職工有500人,其中不到35歲的有125人,35歲至49歲的有280人,50歲以上的有95人,為了了解這個(gè)單位職工與身體狀況有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo),要從中抽取100名職工作為樣本,職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān),應(yīng)該怎樣抽取
變式 [2024·山東聊城一中高一月考] 某校舉辦科技節(jié)活動,開設(shè)A,B兩個(gè)會場,其中每名學(xué)生只能去一個(gè)會場且25%的學(xué)生去A會場,剩下的學(xué)生去B會場.已知A,B會場學(xué)生的年級及各年級比例情況如下表所示:
高一年級 高二年級 高三年級
A會場 50% 40% 10%
B會場 40% 50% 10%
記該校高一、高二、高三年級學(xué)生所占總?cè)藬?shù)的比例分別為x,y,z,利用分層抽樣的方法從參加活動的全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本.
(1)求x∶y∶z的值;
(2)若抽到的B會場的高二年級的學(xué)生有150人,求n的值以及抽到的A會場高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù).
[素養(yǎng)小結(jié)]
用分層抽樣的方法抽取樣本的一般步驟:
◆ 探究點(diǎn)三　抽樣的綜合應(yīng)用
例3 (1)某地區(qū)的高一新生中,來自東部平原地區(qū)的學(xué)生有2400人,中部丘陵地區(qū)的學(xué)生有1600人,西部山區(qū)的學(xué)生有1000人.計(jì)劃從中選取100人調(diào)查學(xué)生的視力情況,現(xiàn)已了解到來自東部、中部、西部三個(gè)地區(qū)學(xué)生的視力情況有較大差異,而這三個(gè)地區(qū)男女生視力情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是 (　 )
A.簡單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣
C.隨機(jī)數(shù)表法 D.按地區(qū)分層抽樣
(2)某中學(xué)高二年級的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組擬完成下列兩項(xiàng)調(diào)查:
①從某社區(qū)430戶高收入家庭,980戶中等收入家庭,290戶低收入家庭中任意選出170戶調(diào)查社會購買力的某項(xiàng)指標(biāo);
②從本年級12名體育特長生中隨機(jī)選出5人調(diào)查其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況.
則該研究性學(xué)習(xí)小組宜采用的抽樣方法分別是(　 )
A.①用簡單隨機(jī)抽樣,②用簡單隨機(jī)抽樣
B.①用簡單隨機(jī)抽樣,②用分層抽樣
C.①用分層抽樣,②用分層抽樣
D.①用分層抽樣,②用簡單隨機(jī)抽樣
變式 (1)某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)氣候不同的地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況,需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本,記這項(xiàng)調(diào)查為①;在丙地區(qū)有10個(gè)特大型銷售點(diǎn),要從中抽取7個(gè)銷售點(diǎn)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況,記這項(xiàng)調(diào)查為②.則完成①宜采用的抽樣方法為　　　　,完成②宜采用的抽樣方法為　　　　.
(2)對一個(gè)個(gè)體數(shù)為N的總體抽取容量為n的樣本,利用抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí),總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1,p2,p3,則 (　 )
A.p1=p2C.p1=p3[素養(yǎng)小結(jié)]
簡單隨機(jī)抽樣:(1)從總體中逐個(gè)不放回地抽取;(2)總體中的個(gè)體數(shù)較少.
分層抽樣:(1)總體由差異明顯的幾部分組成;(2)按比例分層抽取.14.2.2　分層抽樣
一、選擇題
1.要完成下列兩項(xiàng)調(diào)查:(1)某社區(qū)有100戶高收入家庭,2100戶中等收入家庭,90戶低收入家庭,從中抽取229戶調(diào)查有關(guān)消費(fèi)購買力的某項(xiàng)指標(biāo);(2)從某中學(xué)高一年級的28名日語學(xué)生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況.應(yīng)采用的抽樣方法分別是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1)用簡單隨機(jī)抽樣,(2)用分層抽樣
B.(1)(2)都用簡單隨機(jī)抽樣
C.(1)用分層抽樣,(2)用簡單隨機(jī)抽樣
D.(1)(2)都用分層抽樣
2.[2024·江蘇常州期末] 某學(xué)校高一年級選擇“物化生”“物化地”“物化政”和“史政地”組合的學(xué)生人數(shù)分別為240,120,90和150.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出20位學(xué)生進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究,則“史政地”組合中選出的學(xué)生人數(shù)為 (　 )
A.8 B.4 C.3 D.5
3.某工廠生產(chǎn)的A,B,C三種不同型號的產(chǎn)品的件數(shù)之比為3∶4∶7,現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本,若樣本中的A型號產(chǎn)品有15件,則n的值為 (　 )
A.50 B.60 C.70 D.80
4.某高級中學(xué)有1100名高一學(xué)生,1000名高二學(xué)生,1200名高三學(xué)生,高一數(shù)學(xué)興趣小組欲采用分層抽樣的方法在全校抽取33名學(xué)生進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查,則下列說法正確的是 (　 )
A.高三每一名學(xué)生被抽到的概率最大
B.高三每一名學(xué)生被抽到的概率最小
C.高一每一名學(xué)生被抽到的概率最大
D.每名學(xué)生被抽到的概率相等
5.在100個(gè)零件中,有一級品20個(gè),二級品30個(gè),三級品50個(gè),從中抽取20個(gè)作為樣本.
方法一:采用簡單隨機(jī)抽樣的方法,將零件編號00,01,02,…,99,用抽簽法抽取20個(gè).
方法二:采用分層抽樣的方法,從一級品中隨機(jī)抽取4個(gè),從二級品中隨機(jī)抽取6個(gè),從三級品中隨機(jī)抽取10個(gè).
給出下列說法:
①不論采用哪種抽樣方法,這100個(gè)零件中每一個(gè)零件被抽到的可能性都是;
②采用不同的方法,這100個(gè)零件中每一個(gè)零件被抽到的可能性各不相同;
③在上述兩種抽樣方法中,方法二抽到的樣本比方法一抽到的樣本更能反映總體特征;
④在上述兩種抽樣方法中,方法一抽到的樣本比方法二抽到的樣本更能反映總體的特征.
其中正確的是 (　 )
A.①② B.①③ C.①④ D.②③
6.某科研機(jī)構(gòu)由科技人員、行政人員和后勤人員3種不同類型的人員組成,現(xiàn)要用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為45的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知科技人員共有60人,抽入樣本的有20人,且行政人員與后勤人員人數(shù)之比為2∶3,則該科研機(jī)構(gòu)后勤人員的人數(shù)是 (　 )
A.15 B.30 C.45 D.135
7.[2024·廣東深圳大學(xué)附中月考] 黨的十八大以來,我國把綠色發(fā)展理念融入城鄉(xiāng)規(guī)劃建設(shè)管理之中,合理布局城市的生產(chǎn)空間、生活空間、生態(tài)空間,持續(xù)推進(jìn)城市園林綠化工作.為踐行生態(tài)文明的理念,某學(xué)校全體師生于3月12日開展植樹活動,購買了樟樹、銀杏樹、桂花樹、梧桐樹四種樹苗共計(jì)800棵,比例如圖所示,高一年級師生、高二年級師生、高三年級師生參加植樹活動的人數(shù)之比為4∶3∶3,若每種樹苗均按各年級師生參加植樹人數(shù)的比例進(jìn)行分配,則高二年級師生應(yīng)分得桂花樹苗的數(shù)量為 (　 )
A.30棵 B.50棵
C.72棵 D.80棵
8.(多選題)某公司生產(chǎn)三種型號的轎車,產(chǎn)量分別為1500輛,6000輛和2000輛.為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量,公司質(zhì)監(jiān)部門要抽取57輛進(jìn)行檢驗(yàn),下列說法正確的是 (　 )
A.應(yīng)采用分層抽樣抽取
B.應(yīng)采用抽簽法抽取
C.三種型號的轎車依次應(yīng)抽取9輛,36輛,12輛
D.這三種型號的轎車,每一輛被抽到的概率都是相等的
9.(多選題)[2024·江西上饒高一期末] 北京時(shí)間2023年10月31日8時(shí)11分,神舟十六號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸,載人飛行任務(wù)取得圓滿成功.某高中學(xué)校在有120名同學(xué)的“航天”社團(tuán)中隨機(jī)抽取30名同學(xué)參加一個(gè)交流會,若按社團(tuán)中高一、高二、高三年級的成員人數(shù)分層抽樣,則高一年級抽取10人;若按性別分層抽樣,則男生抽取18人.則下列結(jié)論正確的有(　 )
A.樣本容量為30
B.120名社團(tuán)成員中有男生72人
C.高二與高三年級的社團(tuán)成員共有80人
D.高一年級的社團(tuán)成員中女生最多有48人
二、填空題
10.[2024·上海中學(xué)期末] 某高二年級共有學(xué)生425人,其中男生204人,女生221人,為了解該校高二年級學(xué)生的身高情況,現(xiàn)從中抽取50名學(xué)生測量身高,應(yīng)當(dāng)采用　　　　的方法求出男、女生分別要抽取　　　　人和　　　　人,然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣.
11.[2024·廣東汕尾期末] 某校有高一學(xué)生n名,其中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為6∶5,為了解學(xué)生的視力情況,現(xiàn)要求按分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本容量為的樣本,若樣本中男生比女生多12人,則n=　　　　.
12.[2024·江蘇南京田家炳高級中學(xué)期中] 某學(xué)校在校學(xué)生有2000人,為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì),學(xué)校舉行了跑步和登山比賽,每人都參加且只參加其中一項(xiàng)比賽.高一、高二、高三年級參加跑步比賽的人數(shù)分別為a,b,c,且a∶b∶c=2∶5∶3,全校參加登山比賽的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.為了了解學(xué)生對本次比賽的滿意程度,按分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查,則應(yīng)從高三年級參加跑步比賽的學(xué)生中抽取　　　　人.
三、解答題
13.某單位有2000名職工,老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)各崗位中的人數(shù)情況如下表所示:
管理 技術(shù)開發(fā) 營銷 生產(chǎn) 合計(jì)
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1200
合計(jì) 160 320 480 1040 2000
(1)若要抽取40人調(diào)查身體狀況,則應(yīng)怎樣抽樣
(2)若要開一個(gè)有25人參與的討論單位發(fā)展與薪金調(diào)整方案的座談會,則應(yīng)怎樣抽選出席人
14.為了對某課題進(jìn)行研究,分別從A,B,C三所高校的m,72,n(0(1)若從A,B兩所高校中共抽取3名教授,從B,C兩所高校中共抽取5名教授,求m,n的值;
(2)若從B高校中抽取的教授人數(shù)是從A和C兩所高校中抽取的教授總?cè)藬?shù)的,求從A,B,C三所高校的教授的總?cè)藬?shù).
15.甲、乙、丙、丁四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口比例為4∶3∶3∶2,為了解某種疾病的感染情況,采用分層抽樣的方法從這四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中抽取容量為n的樣本,已知樣本中甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)比乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)多20,則樣本容量n的值是　　　　.

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