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14.4 用樣本估計(jì)總體
14.4.4 百分位數(shù)
探究點(diǎn)一 百分位數(shù)的概念
探究點(diǎn)二 由樣本數(shù)據(jù)求百分位數(shù)
探究點(diǎn)三 百分位數(shù)的綜合應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合具體實(shí)例,理解百分位數(shù)的含義,并用樣本百分位數(shù)估計(jì)總體百
分位數(shù),提高學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)意義的理解程度.
2.在樣本估計(jì)總體的過(guò)程中,逐步形成統(tǒng)計(jì)思維,提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析能
力和數(shù)據(jù)表達(dá)能力,逐步樹立用數(shù)據(jù)分析問(wèn)題、解釋生活現(xiàn)象的意識(shí).
知識(shí)點(diǎn)一 百分位數(shù)
1.一般地,一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)是這樣一個(gè)值 ,它使得這組數(shù)據(jù)中
至少有的數(shù)據(jù)______或______ ,且至少有____________的數(shù)據(jù)大
于或等于 .
小于
等于
2.計(jì)算有個(gè)數(shù)據(jù)的大樣本的 百分位數(shù)的步驟:
第1步,將所有數(shù)值按從________的順序排列；
第2步,計(jì)算_______；
第3步,如果結(jié)果為整數(shù)，那么 百分位數(shù)位于第_______位和下一位
數(shù)之間，通常取這兩個(gè)位置上數(shù)值的________為 百分位數(shù)；
第4步，如果_______不是整數(shù)，那么將其向上取整（即其整數(shù)部分
加上1），在該位置上的數(shù)值即為 百分位數(shù).
小到大
平均數(shù)
【診斷分析】判斷正誤.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）
（1）1至10排列的10個(gè)整數(shù)中,35百分位數(shù)是4.( )
√
（2）1至10排列的10個(gè)整數(shù)中,60百分位數(shù)是6.( )
×
（3）1至100排列的100個(gè)整數(shù)中，50百分位數(shù)是50.5.( )
√
知識(shí)點(diǎn)二 四分位數(shù)
1.中位數(shù)即為____百分位數(shù).我們把中位數(shù)、25百分位數(shù)和75百分位
數(shù)稱為__________.
2.25百分位數(shù)也稱為____________,75百分位數(shù)也稱為____________.
50
四分位數(shù)
下四分位數(shù)
上四分位數(shù)
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）
（1）中位數(shù)不一定是所給數(shù)據(jù)中的數(shù)．( )
√
（2）1至100排列的100個(gè)整數(shù)中，上四分位數(shù)是75.5.( )
√
2.（1）1至100排列的100個(gè)整數(shù)中，中位數(shù)是_____.
（2）1至100排列的100個(gè)整數(shù)中，25百分位數(shù)是_____.
50.5
25.5
探究點(diǎn)一 百分位數(shù)的概念
例1（1） 下列說(shuō)法不正確的是( )
A.50百分位數(shù)就是總體的中位數(shù)
B.一個(gè)總體的四分位數(shù)有3個(gè)
C.對(duì)于考試成績(jī)的統(tǒng)計(jì)，如果成績(jī)處在95百分位數(shù)上，那么就是答
對(duì)了 的試題
D.樣本容量越大，估計(jì)總體百分位數(shù)就越準(zhǔn)確
√
[解析] 95百分位數(shù)是指數(shù)據(jù)從小到大排序，至少有 的數(shù)據(jù)小于
或等于這個(gè)數(shù)，至少有 的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)數(shù)，故C中說(shuō)法不
正確.故選C.
（2）下列關(guān)于百分位數(shù)的說(shuō)法中，正確的是( )
A.百分位數(shù)一定是數(shù)據(jù)中的某一項(xiàng)
B.恰好有的數(shù)據(jù)比 百分位數(shù)小
C.某樣本的百分位數(shù)一定是總體的 百分位數(shù)
D.一組數(shù)據(jù)中不同的百分位數(shù)可能相等
√
[解析] 對(duì)于A，百分位數(shù)的計(jì)算結(jié)果可能是數(shù)據(jù)中的某一項(xiàng)，也可
能是某兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤；
由百分位數(shù)的定義易知B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，樣本的百分位數(shù)的計(jì)算結(jié)果和總體的 百分位數(shù)的計(jì)算結(jié)
果不一定是同一個(gè)數(shù)據(jù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，一組數(shù)據(jù)中不同的百分位數(shù)可能相等，故D正確.故選D.
變式 15百分位數(shù)的含義是( )
A.總體中任何一個(gè)數(shù)小于它的可能性是
B.總體中任何一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是
C.總體中任何一個(gè)數(shù)大于它的可能性是
D.總體中任何一個(gè)數(shù)大于或等于它的可能性是
[解析] 根據(jù)百分位數(shù)的定義可知B正確.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
百分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的量度，但它所衡量的不一定是中
心位置.百分位數(shù)提供了有關(guān)各數(shù)據(jù)如何在最小值與最大值之間分布
的信息.
探究點(diǎn)二 由樣本數(shù)據(jù)求百分位數(shù)
例2（1） 從某果樹上隨機(jī)摘下11個(gè)水果，其直徑為12，13，14，14，
16，20，21，20，22，23，25（單位： ），則這組數(shù)據(jù)的60百分位
數(shù)為____.
20
[解析] 由 ，可知60百分位數(shù)是將這組數(shù)據(jù)從小到大
排列后的第7個(gè)數(shù)，為20.
（2）求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù).
13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.
解：把這12個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,可得12,13,15,18,19,20,22,
24,27,28,30,31.
因?yàn)?, ,
所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)（即25百分位數(shù)）為 ,中位數(shù)
（即50百分位數(shù)）為 ,上四分位數(shù)（即75百分位數(shù)）為
.
變式（1） 下表記錄了某地區(qū)一年之內(nèi)的月降水量.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)表,該地區(qū)月降水量的80百分位數(shù)是____.
64
[解析] 把表中數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為46,48,51,53,53,56,56,
56,58,64,66,71,因?yàn)?,所以80百分位數(shù)是第10個(gè)數(shù)據(jù),即
為64.
（2）5名學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)分別為98,120,105,110, ,若這5
名學(xué)生成績(jī)的60百分位數(shù)為111,則 _____.
[解析] 由 ，將成績(jī)按照從小到大的順序排列，得60百分
位數(shù)為第3個(gè)成績(jī)和第4個(gè)成績(jī)的平均數(shù)，所以 ，解得
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
設(shè)一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后為，， ，，計(jì)算
的值，如果不是整數(shù)，設(shè)為大于的最小整數(shù)，取為
百分位數(shù)；如果是整數(shù)，取為百分位數(shù).
探究點(diǎn)三 百分位數(shù)的綜合應(yīng)用
例3 我國(guó)是一個(gè)嚴(yán)重缺水的國(guó)家,城市
缺水問(wèn)題較為突出.某市政府為了節(jié)約
生活用水,計(jì)劃在本市實(shí)行居民生活用
水定額管理,即確定一個(gè)居民用水量標(biāo)
準(zhǔn)噸,使得 的居民生活用水不超
過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn).在本市居民中隨機(jī)抽取了100戶家庭,統(tǒng)計(jì)其某年的月均用水
量（單位:噸）,通過(guò)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
解：由頻率分布直方圖
得
,解得 .
由頻率分布直方圖得月均用水量在 內(nèi)的頻率為 .
計(jì)劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理, 即確定一個(gè)居民用水量標(biāo)準(zhǔn)噸,使得 的居民生活用水不超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn), 估計(jì) 的值為3.
（1）求的值,并估計(jì) 的值;
（2）如果我們稱 為這組數(shù)據(jù)的86百分
位數(shù),估計(jì)這組數(shù)據(jù)的50百分位數(shù).
解：由頻率分布直方圖知,
數(shù)據(jù)在 內(nèi)的頻率為 ,
在內(nèi)的頻率為,
估計(jì)這組數(shù)據(jù)的50百分位數(shù)是 .
變式 某企業(yè)成立的黨史學(xué)習(xí)教育督查組為調(diào)研本單位的黨史學(xué)習(xí)情
況,采用分層抽樣的方法從該企業(yè)抽取一個(gè)容量為100的樣本,經(jīng)過(guò)數(shù)
據(jù)搜集與處理,得到如下頻數(shù)分布表:
周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間 （單位:分鐘）
高層管理人員數(shù) 0 0 1 0 2
中層管理人員數(shù) 1 0 2 2 4
普通員工數(shù) 9 12 45 20 2
（1）已知該企業(yè)的中、高層管理人員共有120人,求該企業(yè)普通員工
的人數(shù);
解：設(shè)該企業(yè)普通員工的人數(shù)為 ,因?yàn)闃颖局衅胀▎T工有
（人）,高層管理人員和中層管理人員共
有 （人）,
所以,解得 ,
所以該企業(yè)普通員工的人數(shù)為880.
（2）為激勵(lì)先進(jìn)、鞭策后進(jìn),督查組擬公布該企業(yè)全體人員的周學(xué)習(xí)
黨史時(shí)間的平均數(shù) （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代
表）、25百分位數(shù)及75百分位數(shù),試求,, 的估計(jì)值
（精確到 ）.
解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)可得頻數(shù)分布表如下:
周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間 （單位:分鐘）
企業(yè)人員數(shù) 10 12 48 22 8
所以估計(jì)周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
.
因?yàn)?,所以周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)
的25百分位數(shù)在區(qū)間 內(nèi),由 ,可估計(jì)周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)約為61.9.
因?yàn)?,所以周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的
樣本數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)在區(qū)間 內(nèi),
由 ,可估計(jì)周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的75百
分位數(shù)約為96.8.
用樣本估計(jì)總體,可知的估計(jì)值為,的估計(jì)值約為, 的估
計(jì)值約為96.8.
［素養(yǎng)小結(jié)］
根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù),首先要理解頻率分布
直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算,其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組,再利用方
程的思想方法,設(shè)出百分位數(shù),解方程即可.
1.百分位數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語(yǔ),如果一組數(shù)據(jù)按從小到大排序,并計(jì)算相應(yīng)
的累計(jì)百分位,則某一百分位所對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百
分位數(shù).可以表示為:一組個(gè)觀測(cè)值按數(shù)值大小排列,處于 位置的
值被稱為 百分位數(shù).
2.分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的度量,但它所衡量的不一定是中心
位置.百分位數(shù)提供了有關(guān)數(shù)據(jù)項(xiàng)如何在最小值與最大值之間分布的
信息.對(duì)于無(wú)大量重復(fù)的數(shù)據(jù),百分位數(shù)將它分為兩部分,至少有
的數(shù)據(jù)項(xiàng)的值小于或等于百分位數(shù),至少有 的數(shù)據(jù)項(xiàng)的
值大于或等于 百分位數(shù).
任意一組數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖表中百分位數(shù)的計(jì)算
1.計(jì)算個(gè)數(shù)據(jù)的 百分位數(shù)要注意兩點(diǎn):一是將數(shù)據(jù)按從小到大重新
排序;二是計(jì)算出為整數(shù)時(shí),百分位數(shù)為第項(xiàng)與第 項(xiàng)數(shù)據(jù)的平
均數(shù),而不是第 項(xiàng)數(shù)據(jù).
2.利用頻率分布直方圖求百分位數(shù)
百分位數(shù)對(duì)應(yīng)左側(cè)小矩形的面積之和等于對(duì)應(yīng)的百分位.首先確定所
求百分位數(shù)在哪個(gè)區(qū)間,然后從左到右計(jì)算左側(cè)所有的小矩形的面積
和,百分位數(shù)所在區(qū)間需按照對(duì)應(yīng)比例計(jì)算面積.
例1（1） 某地有8個(gè)快遞收件點(diǎn)，在某天接收到的快遞件數(shù)分別為
360，284，290，300，188，240，260，288，則這組數(shù)據(jù)的75百分
位數(shù)為( )
A.290 B.295 C.300 D.330
[解析] 將數(shù)據(jù)從小到大排列為188，240，260，284，288，290，300，
360，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為
.故選B.
√
（2）[2024·江蘇部分學(xué)校期末]數(shù)據(jù)1，1，2，3，3，5，5，7，7，
的分位數(shù)為，則 可以是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 已知數(shù)據(jù)有10個(gè)，由，可知已知數(shù)據(jù)的 分
位數(shù)為從小到大排列的第4個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)的平均數(shù)，
又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，則 應(yīng)為小于或等于2的數(shù)，
結(jié)合選項(xiàng)可知， .故選A.
√
例2 某中學(xué)從高一年級(jí)抽取了30名男生,測(cè)量其體重（單位: ）,所
得結(jié)果如下:
62 60 59 59 59 58 58 57 57 57
56 56 56 56 56 56 55 55 55 54
54 54 53 53 52 52 51 50 49 48
（1）求這30名男生體重的分位數(shù)和 分位數(shù);
解：將所給數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為
48,49,50,51,52,52,53,53,54,54,54,55,55,55,56,56,56,56,56,56,57,57,57,58,
58,59,59,59,60,62.
因?yàn)?,
所以這30名男生體重的 分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)據(jù),即為53.
因?yàn)?,
所以這30名男生體重的 分位數(shù)為第23個(gè)數(shù)據(jù),即為57.
（2）估計(jì)本校高一年級(jí)男生體重的 分位數(shù).
解：因?yàn)?所以估計(jì)本校高一年級(jí)男生體重的 分
位數(shù)為 .
例3 [2024·河南南陽(yáng)高一期末] 我市
某高中對(duì)該校高一年級(jí)學(xué)生某次數(shù)學(xué)
考試的成績(jī)（單位:分）進(jìn)行分析,隨
機(jī)抽取100名學(xué)生,將成績(jī)按照 ,
,,, ,
分成6組,制成了如圖所示的
頻率分布直方圖.
（1）求 的值,并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生該次數(shù)學(xué)考試的平均成績(jī);
解：由
,
解得 ,
所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為
, 在 內(nèi)的頻率為 ,
在內(nèi)的頻率為,在 內(nèi)的頻率為 , 在內(nèi)的頻率為,在 內(nèi)的頻率為 ,
故估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生該次數(shù)學(xué)考試的平均成績(jī)?yōu)?br/>（分）.
（2）估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生該次數(shù)學(xué)考試成
績(jī)的 分位數(shù).
解：由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)低于
110分的頻率為,
低于130分的頻率為 ,
所以分位數(shù)位于內(nèi),則估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的 分位數(shù)為
,
故估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生該次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的 分位數(shù)為115（分）.14.4.4　百分位數(shù)
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.小于　等于　(100-k)%
2.小到大　n·　n·　平均數(shù)　n·
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√
知識(shí)點(diǎn)二
1.50　四分位數(shù)
2.下四分位數(shù)　上四分位數(shù)
診斷分析
1.(1)√　 (2)√
2.(1)50.5　(2)25.5
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)C　(2)D　[解析] (1)95百分位數(shù)是指數(shù)據(jù)從小到大排序,至少有95%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)數(shù),至少有5%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)數(shù),故C中說(shuō)法不正確.故選C.
(2)對(duì)于A,百分位數(shù)的計(jì)算結(jié)果可能是數(shù)據(jù)中的某一項(xiàng),也可能是某兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),故A錯(cuò)誤;由百分位數(shù)的定義易知B錯(cuò)誤;對(duì)于C,樣本的k百分位數(shù)的計(jì)算結(jié)果和總體的k百分位數(shù)的計(jì)算結(jié)果不一定是同一個(gè)數(shù)據(jù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,一組數(shù)據(jù)中不同的百分位數(shù)可能相等,故D正確.故選D.
變式　B　[解析] 根據(jù)百分位數(shù)的定義可知B正確.
探究點(diǎn)二
例2　(1)20　[解析] 由11×60%=6.6,可知60百分位數(shù)是將這組數(shù)據(jù)從小到大排列后的第7個(gè)數(shù),為20.
(2)解:把這12個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,可得12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31.
因?yàn)?2×25%=3,12×50%=6,12×75%=9,
所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)(即25百分位數(shù))為=16.5,中位數(shù)(即50百分位數(shù))為=21,上四分位數(shù)(即75百分位數(shù))為=27.5.
變式　(1)64　(2)112　[解析] (1)把表中數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為46,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,因?yàn)?2×80%=9.6,所以80百分位數(shù)是第10個(gè)數(shù)據(jù),即為64.
(2)由5×60%=3,將成績(jī)按照從小到大的順序排列,得60百分位數(shù)為第3個(gè)成績(jī)和第4個(gè)成績(jī)的平均數(shù),所以=111,解得m=112.
探究點(diǎn)三
例3　解:(1)由頻率分布直方圖得(0.16+0.30+0.40+0.50+0.30+0.16+a+a+a)×0.5=1,解得a=0.06.
由頻率分布直方圖得月均用水量在[0,3)內(nèi)的頻率為1-(0.16+0.06+0.06)×0.5=0.86.
∵計(jì)劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m噸,使得86%的居民生活用水不超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),∴估計(jì)m的值為3.
(2)由頻率分布直方圖知,數(shù)據(jù)在[0,2)內(nèi)的頻率為(0.06+0.16+0.30+0.40)×0.5=0.46,在[2,2.5)內(nèi)的頻率為0.50×0.5=0.25,∴估計(jì)這組數(shù)據(jù)的50百分位數(shù)是2+×0.5=2.08.
變式　解:(1)設(shè)該企業(yè)普通員工的人數(shù)為n,因?yàn)闃颖局衅胀▎T工有9+12+45+20+2=88(人),高層管理人員和中層管理人員共有1+2+1+2+2+4=12(人),
所以=,解得n=880,
所以該企業(yè)普通員工的人數(shù)為880.
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)可得頻數(shù)分布表如下:
周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間 (單位:分鐘) [0, 30) [30, 60) [60, 90) [90, 120) [120, 150]
企業(yè)人員數(shù) 10 12 48 22 8
所以估計(jì)周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(15×10+45×12+75×48+105×22+135×8)=×7680=76.8.
因?yàn)?0+12<25<10+12+48,所以周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)在區(qū)間[60,90)內(nèi),
由60+30×≈61.9,可估計(jì)周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)約為61.9.
因?yàn)?0+12+48<75<10+12+48+22,所以周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)在區(qū)間[90,120)內(nèi),
由90+30×≈96.8,可估計(jì)周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)約為96.8.
用樣本估計(jì)總體,可知P的估計(jì)值為76.8,M的估計(jì)值約為61.9,N的估計(jì)值約為96.8.14.4.4　百分位數(shù)
1.C　[解析] 這組數(shù)據(jù)一共有8個(gè),已知從小到大排列,因?yàn)?×=6,所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是從小到大排列的第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),為=23.故選C.
2.B　[解析] 所給數(shù)據(jù)從小到大排列,依次為30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,因?yàn)?0×64%=6.4,所以這組數(shù)據(jù)的64百分位數(shù)為從小到大排列的第七個(gè)數(shù)據(jù)48,故選B.
3.D　[解析] 因?yàn)閿?shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,m,12,14,21,所以該組數(shù)據(jù)的極差為21-1=20,則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是20×=12,數(shù)據(jù)共6個(gè),故中位數(shù)為=12,解得m=12.因?yàn)?×45%=2.7,所以該組數(shù)據(jù)的45百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)12.故選D.
4.C　[解析] 因?yàn)?0%×10=4,該組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為22,所以=22,解得a=21.故選C.
5.D　[解析] 該隊(duì)員的得分從小到大排列為3,3,6,7,7,10,10,11,13,30.對(duì)于A,該隊(duì)員得分的平均數(shù)為×(3×2+6+7×2+10×2+11+13+30)=10,A中說(shuō)法正確;對(duì)于B,該隊(duì)員得分的極差是30-3=27,B中說(shuō)法正確;對(duì)于C,10×40%=4,則該隊(duì)員得分的40百分位數(shù)是×(7+7)=7,C中說(shuō)法正確;對(duì)于D,該隊(duì)員得分的方差為×[2×(3-10)2+(6-10)2+2×(7-10)2+2×(10-10)2+(11-10)2+(13-10)2+(30-10)2]=54.2,D中說(shuō)法錯(cuò)誤.故選D.
6.D　[解析] 所給數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,4,4,5,共5個(gè),若1,2,4,4,5的p百分位數(shù)是4,則5×p%∈(2,4),所以p∈(40,80).故選D.
7.C　[解析] 易知10a+0.020×10+0.050×10+0.025×10=1,解得a=0.005,所以A錯(cuò)誤;由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在[80,90)內(nèi),則估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為85,所以B錯(cuò)誤;由頻率分布直方圖可知前兩組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.005×10+0.020×10=0.25,前三組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.005×10+0.020×10+0.050×10=0.75,故這組數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)落在區(qū)間[80,90)內(nèi),設(shè)60百分位數(shù)為x,則0.25+(x-80)×0.050=0.60,解得x=87,所以C正確;成績(jī)低于80分的頻率為0.005×10+0.020×10=0.25,所以成績(jī)低于80分的有1000×0.25=250(人),故D錯(cuò)誤.故選C.
8.AB　[解析] 這10個(gè)數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是31,由10×0.75=7.5,可知把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后,第8個(gè)數(shù)為31,故選項(xiàng)A,B正確,C,D錯(cuò)誤.故選AB.
9.ABD　[解析] 對(duì)于A,甲的眾數(shù)為20,乙的眾數(shù)為9,故甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù),A正確;對(duì)于B,甲的平均數(shù)=×(18+20+22+13+20+27+10+21+19+30)=20,乙的平均數(shù)=×(3+10+20+9+24+27+13+28+9+17)=16,故B正確;對(duì)于C,甲的極差為30-10=20,乙的極差為28-3=25,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,把甲的得分按從小到大順序排列為10,13,18,19,20,20,21,22,27,30,由10×60%=6知甲的60百分位數(shù)為=20.5,把乙的得分按從小到大順序排列為3,9,9,10,13,17,20,24,27,28,則乙的60百分位數(shù)為=18.5,故D正確.故選ABD.
10.　[解析] 因?yàn)?0%×6=2.4,50%×6=3,甲、乙兩組數(shù)據(jù)的40百分位數(shù),50百分位數(shù)分別相等,所以n=39,=,則m=43,所以=.
11.8.6　[解析] 60%×30=18,設(shè)第19個(gè)數(shù)據(jù)為x,則=8.2,解得x=8.6,即第19個(gè)數(shù)據(jù)是8.6.
12.16.6　[解析] 設(shè)成績(jī)的70百分位數(shù)為x,∵測(cè)試結(jié)果(單位:秒)分成5組:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],且各組頻數(shù)之比為1∶3∶7∶5∶4,∴前三組的頻率之和為=0.55,前四組的頻率之和為=0.8,∴x∈[16,17),∴0.55+(x-16)·=0.70,解得x=16.6,則估計(jì)成績(jī)的70百分位數(shù)為16.6秒.
13.解:(1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列,依次為7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,
因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù),所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,
則這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是=8.15,75百分位數(shù)是=8.75,95百分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)9.9.
(2)由(1)可知,樣本數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是8.15, 50百分位數(shù)為8.5, 95百分位數(shù)是9.9,
所以質(zhì)量小于8.15 g的珍珠為次品,質(zhì)量大于或等于8.15 g且小于8.5 g的珍珠為合格品,質(zhì)量大于或等于8.5 g且小于9.9 g的珍珠為優(yōu)等品,質(zhì)量大于或等于9.9 g的珍珠為特優(yōu)品.
14.解:(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),y=0.5x;
當(dāng)200當(dāng)x>400時(shí),y=0.5×200+0.8×200+(x-400)=x-140.
所以y=
(2)由(1)可知,當(dāng)y=260時(shí),x=400,則月用電量不超過(guò)400 kW·h的占80%,結(jié)合頻率分布直方圖可知
解得
(3)設(shè)75百分位數(shù)為m,由題意知月用電量不超過(guò)300 kW·h所占的比例為(0.001+0.002+0.003)×100=60%,月用電量不超過(guò)400 kW·h的占80%,所以75百分位數(shù)m在(300,400]內(nèi),
所以0.6+(m-300)×0.002=0.75,解得m=375,
即月用電量的75百分位數(shù)為375 kW·h.
15.{50,55}　[解析] 由題意得,∈N*,且+5≤<+6,即m∈N*,且50≤m<60,所以m=50或m=55,故m的所有可能取值組成的集合為{50,55}.14.4.4　百分位數(shù)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.結(jié)合具體實(shí)例,理解百分位數(shù)的含義,并用樣本百分位數(shù)估計(jì)總體百分位數(shù),提高學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)意義的理解程度.
　　2.在樣本估計(jì)總體的過(guò)程中,逐步形成統(tǒng)計(jì)思維,提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)據(jù)表達(dá)能力,逐步樹立用數(shù)據(jù)分析問(wèn)題、解釋生活現(xiàn)象的意識(shí).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　百分位數(shù)
1.一般地,一組數(shù)據(jù)的k百分位數(shù)是這樣一個(gè)值pk,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有k%的數(shù)據(jù)
　　　　或　　　　pk,且至少有　　　　的數(shù)據(jù)大于或等于pk.
2.計(jì)算有n個(gè)數(shù)據(jù)的大樣本的k百分位數(shù)的步驟:
第1步,將所有數(shù)值按從　　　　的順序排列;
第2步,計(jì)算　　　　;
第3步,如果結(jié)果為整數(shù),那么k百分位數(shù)位于第　　　　位和下一位數(shù)之間,通常取這兩個(gè)位置上數(shù)值的　　　　為k百分位數(shù);
第4步,如果　　　　不是整數(shù),那么將其向上取整(即其整數(shù)部分加上1),在該位置上的數(shù)值即為k百分位數(shù).
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)1至10排列的10個(gè)整數(shù)中,35百分位數(shù)是4.(　 )
(2)1至10排列的10個(gè)整數(shù)中,60百分位數(shù)是6.(　 )
(3)1至100排列的100個(gè)整數(shù)中,50百分位數(shù)是50.5. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　四分位數(shù)
1.中位數(shù)即為　　　　百分位數(shù).我們把中位數(shù)、25百分位數(shù)和75百分位數(shù)稱為　　　　.
2.25百分位數(shù)也稱為　　　　,75百分位數(shù)也稱為　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)中位數(shù)不一定是所給數(shù)據(jù)中的數(shù). (　 )
(2)1至100排列的100個(gè)整數(shù)中,上四分位數(shù)是75.5. (　 )
2.(1)1至100排列的100個(gè)整數(shù)中,中位數(shù)是　　　　.
(2)1至100排列的100個(gè)整數(shù)中,25百分位數(shù)是　　　　.
◆ 探究點(diǎn)一　百分位數(shù)的概念
例1 (1)下列說(shuō)法不正確的是 (　 )
A.50百分位數(shù)就是總體的中位數(shù)
B.一個(gè)總體的四分位數(shù)有3個(gè)
C.對(duì)于考試成績(jī)的統(tǒng)計(jì),如果成績(jī)處在95百分位數(shù)上,那么就是答對(duì)了95%的試題
D.樣本容量越大,估計(jì)總體百分位數(shù)就越準(zhǔn)確
(2)下列關(guān)于百分位數(shù)的說(shuō)法中,正確的是 (　 )
A.百分位數(shù)一定是數(shù)據(jù)中的某一項(xiàng)
B.恰好有k%的數(shù)據(jù)比k百分位數(shù)小
C.某樣本的k百分位數(shù)一定是總體的k百分位數(shù)
D.一組數(shù)據(jù)中不同的百分位數(shù)可能相等
變式 15百分位數(shù)的含義是 (　 )
A.總體中任何一個(gè)數(shù)小于它的可能性是15%
B.總體中任何一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是15%
C.總體中任何一個(gè)數(shù)大于它的可能性是15%
D.總體中任何一個(gè)數(shù)大于或等于它的可能性是15%
[素養(yǎng)小結(jié)]
百分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的量度,但它所衡量的不一定是中心位置.百分位數(shù)提供了有關(guān)各數(shù)據(jù)如何在最小值與最大值之間分布的信息.
◆ 探究點(diǎn)二　由樣本數(shù)據(jù)求百分位數(shù)
例2 (1)從某果樹上隨機(jī)摘下11個(gè)水果,其直徑為12,13,14,14,16,20,21,20,22,23,25(單位:cm),則這組數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)為　　　　.
(2)求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù).
13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.
變式 (1)下表記錄了某地區(qū)一年之內(nèi)的月降水量.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)表,該地區(qū)月降水量的80百分位數(shù)是　　　　.
(2)5名學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)分別為98,120,105,110,m,若這5名學(xué)生成績(jī)的60百分位數(shù)為111,則m=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
設(shè)一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后為x1,x2,…,xn,計(jì)算i=n×p%的值,如果i不是整數(shù),設(shè)i0為大于i的最小整數(shù),取為p百分位數(shù);如果i是整數(shù),取為p百分位數(shù).
◆ 探究點(diǎn)三　百分位數(shù)的綜合應(yīng)用
例3 我國(guó)是一個(gè)嚴(yán)重缺水的國(guó)家,城市缺水問(wèn)題較為突出.某市政府為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m噸,使得86%的居民生活用水不超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn).在本市居民中隨機(jī)抽取了100戶家庭,統(tǒng)計(jì)其某年的月均用水量(單位:噸),通過(guò)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值,并估計(jì)m的值;
(2)如果我們稱m為這組數(shù)據(jù)的86百分位數(shù),估計(jì)這組數(shù)據(jù)的50百分位數(shù).
變式 某企業(yè)成立的黨史學(xué)習(xí)教育督查組為調(diào)研本單位的黨史學(xué)習(xí)情況,采用分層抽樣的方法從該企業(yè)抽取一個(gè)容量為100的樣本,經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)搜集與處理,得到如下頻數(shù)分布表:
周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間(單位:分鐘) [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]
高層管理人員數(shù) 0 0 1 0 2
中層管理人員數(shù) 1 0 2 2 4
普通員工數(shù) 9 12 45 20 2
(1)已知該企業(yè)的中、高層管理人員共有120人,求該企業(yè)普通員工的人數(shù);
(2)為激勵(lì)先進(jìn)、鞭策后進(jìn),督查組擬公布該企業(yè)全體人員的周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的平均數(shù)P(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)、25百分位數(shù)M及75百分位數(shù)N,試求P,M,N的估計(jì)值(精確到0.1).
[素養(yǎng)小結(jié)]
根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù),首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算,其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組,再利用方程的思想方法,設(shè)出百分位數(shù),解方程即可.14.4.4　百分位數(shù)
一、選擇題
1.[2024·江蘇泰州中學(xué)模擬] 樣本數(shù)據(jù)14,16,18,20,21,22,24,28的75百分位數(shù)為 (　 )
A.16 B.17
C.23 D.24
2.[2024·福建漳州三中月考] 如圖為某市5月1日到10日PM2.5日均值(單位:μg/m3)變化的折線圖,則該組數(shù)據(jù)的64百分位數(shù)為 (　 )
A.45 B.48
C.78 D.80
3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,m,12,14,21,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的,則該組數(shù)據(jù)的45百分位數(shù)是 (　 )
A.4 B.6
C.8 D.12
4.[2024·浙江衢州高一期末] 將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為11,15,17,a,23,26,27,34,37,38,若該組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為22,則a= (　 )
A.19 B.20
C.21 D.22
5.[2024·江蘇無(wú)錫期末] 下面是?；@球隊(duì)某隊(duì)員若干場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù).
每場(chǎng)比賽得分 3 6 7 10 11 13 30
頻數(shù) 2 1 2 2 1 1 1
則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是 (　 )
A.該隊(duì)員得分的平均數(shù)是10
B.該隊(duì)員得分的極差是27
C.該隊(duì)員得分的40百分位數(shù)是7
D.該隊(duì)員得分的方差是48.4
6.[2024·浙江紹興一中期中] 若4,2,1,4,5的p百分位數(shù)是4,則p的取值范圍是 (　 )
A.(40,80] B.[40,80)
C.[40,80] D.(40,80)
7.某校舉辦了數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽,把1000名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)(單位:分,滿分100分,成績(jī)?nèi)≌麛?shù))按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成四組,并整理成如圖所示的頻率分布直方圖,則下列說(shuō)法正確的為 (　 )
A.a的值為0.015
B.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為80
C.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)為87
D.成績(jī)低于80分的有350人
8.(多選題)[2024·衡水一模] 已知10個(gè)數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是31,則下列說(shuō)法正確的是 (　 )
A.這10個(gè)數(shù)據(jù)中至少有8個(gè)數(shù)小于或等于31
B.把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后,第8個(gè)數(shù)據(jù)是31
C.把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后,第7個(gè)與第8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31
D.把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后,第6個(gè)與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31
9.(多選題)[2024·江蘇泰州期中] 甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)10場(chǎng)比賽的得分如表所示,則下列說(shuō)法正確的有 (　 )
場(chǎng)次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 18 20 22 13 20 27 10 21 19 30
乙 3 10 20 9 24 27 13 28 9 17
A.甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù)
B.甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù)
C.甲的極差大于乙的極差
D.甲的60百分位數(shù)大于乙的60百分位數(shù)
二、填空題
10.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)已按從小到大的順序排列,甲:27,28,39,m,49,50;乙:24,27,n,43,48,52.若這兩組數(shù)據(jù)的40百分位數(shù)、50百分位數(shù)分別相等,則=　　　　.
11.已知30個(gè)數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)是8.2,這30個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后第18個(gè)數(shù)據(jù)是7.8,則第19個(gè)數(shù)據(jù)是　　　　.
12.[2024·湖南長(zhǎng)沙師大附中月考] 某年級(jí)120名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,將測(cè)試結(jié)果(單位:秒)分成5組:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],已知各組頻數(shù)之比為1∶3∶7∶5∶4,那么估計(jì)成績(jī)的70百分位數(shù)為　　　　秒.
三、解答題
13.從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中,任意抽取12顆珍珠,得到它們的質(zhì)量(單位:g)為7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的25,75,95百分位數(shù);
(2)若用25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品,依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù),給出該公司珍珠等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn).
14.某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電,實(shí)行“階梯式”電價(jià),將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔:月用電量不超過(guò)200 kW·h的部分按0.5元/(kW·h)收費(fèi),超過(guò)200 kW·h但不超過(guò)400 kW·h的部分按0.8元/(kW·h)收費(fèi),超過(guò)400 kW·h的部分按1.0元/(kW·h)收費(fèi).
(1)求某戶居民的月用電費(fèi)用y(單位:元)關(guān)于月用電量x(單位:kW·h)的函數(shù)解析式.
(2)為了了解居民的用電情況,通過(guò)抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的月用電量(單位:kW·h),按[0,100],(100,200],(200,300],(300,400],(400,500],(500,600]分組后,得到如圖所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中,今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的占80%,求a,b的值.
(3)在(2)的條件下,計(jì)算月用電量的75百分位數(shù).
15.一組沒(méi)有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本按從小到大排列為x1,x2,…,xm(m∈N*),記這m個(gè)數(shù)的k百分位數(shù)為Pk(1≤k≤99,k∈Z).若P80不在這組數(shù)據(jù)中,且在區(qū)間(P80,P90)內(nèi)的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè),則m的所有可能取值組成的集合為　　　　.

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