資源簡介

(共48張PPT)
15.1 樣本空間和隨機事件
探究點一 確定性現象和隨機現象
探究點二 試驗的樣本空間與基本事件
探究點三 隨機事件的表示
探究點四 事件之間的關系和運算
【學習目標】
1.結合具體實例理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與
樣本點的關系.
2.了解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.
3.結合具體實例,了解隨機事件的并、交的含義.
4.能結合實例用事件的并、交運算表達隨機事件.
知識點一 樣本空間
1.現象
（1）確定性現象：在一定條件下，事先就能斷定發生或不發生某種
結果，這種現象就是確定性現象.
（2） 隨機現象：在一定條件下，某種結果可能發生，也可能不發
生，事先不能斷定出現哪種結果，這種現象就是隨機現象.
2.隨機試驗的概念與特點
（1）隨機試驗的概念
對某隨機現象進行的實驗、觀察稱為隨機試驗，簡稱______.
試驗
（2）隨機試驗的特點
①試驗可以在相同的條件下__________;
②試驗的所有可能結果是明確的,并且不止______;
③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的______,但事先不能確定
出現________結果.
重復進行
一個
一個
哪一個
3.樣本點與樣本空間
（1）我們把隨機試驗的每一個可能結果稱為________，用 表示；
（2）所有樣本點組成的集合稱為__________.用 表示；
（3）如果樣本空間 是一個有限集合，則稱樣本空間為____________.
樣本點
樣本空間
有限樣本空間
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）某試驗的樣本空間中可能含有多個樣本點.( )
√
（2）拋擲一枚硬幣,觀察它落地時哪一面朝上,該試驗的樣本空間中
含有兩個樣本點.( )
√
2.有下列現象:①連續兩次拋擲同一顆骰子，兩次都出現2點；②走到
十字路口，遇到紅燈；③異性電荷相互吸引；④拋一石塊，下落.其
中是隨機現象的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由隨機現象的概念可知①②是隨機現象，③④是確定性現象.
故選B.
√
知識點二 隨機事件
事件類型 定義（表示）
隨機事件
基本事件 一個事件僅包含單一樣本點
必然事件
不可能事件
【診斷分析】 判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）連續兩周,每周的周五都下雨,可以斷定第三周的周五還要下雨.
( )
×
（2）在體育彩票搖號試驗中,搖出“球的號碼為奇數”是隨機事件.( )
√
知識點三 隨機事件的關系及運算
定義 符號表示 圖示
包事件 _______________________________________________
并事件 （或和 事件） ______________________________________________
定義 符號表示 圖示
交事件 （或積 事件） ______________________________________________
續表
【診斷分析】 判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）拋擲一顆骰子，記向上的點數為，“”為事件，“ ”
為事件，則事件包含于事件 .( )
√
（2）如果某事件發生當且僅當事件發生且事件 發生,那么稱此事
件為事件與事件的交事件（或積事件）,記作 .( )
√
（3）在擲骰子試驗中,“出現5點”和“出現6點”的和事件是“出現大于
或等于5點”.( )
√
探究點一 確定性現象和隨機現象
例1（1） 下列現象是確定性現象的是( )
A.一天中進入某超市的顧客人數 B.一顧客在超市中購買的商品數
C.一顆麥穗上長著的麥粒數 D.早晨太陽從東方升起
[解析] 一天中進入某超市的顧客人數不確定，故A錯誤；
一顧客在超市中購買的商品數不確定，故B錯誤；
一顆麥穗上長著的麥粒數是隨機的，故C錯誤；
早晨太陽從東方升起是確定的，故D正確.故選D.
√
（2）[2024·上海寶山區吳淞中學月考] 下列現象中，屬于隨機現象
的序號是______.
①明天是陰天；
②方程 有兩個不相等的實數根；
③明天吳淞口的最高水位是4.5米；
④三角形中，大角對大邊.
①③
[解析] 對于①③，明天的事是未來才發生的事，具有不確定性，故
①③屬于隨機現象；
對于②，由，得 ，顯然在實數域內方程無解，
故②屬于確定性現象；
對于④，在三角形中，由正弦定理易知大角對大邊，故④屬于確定性現象.
故填①③.
變式 判斷下列現象哪些是確定性現象，哪些是隨機現象.
（1）水在標準大氣壓下加熱到 就沸騰；
解：水在標準大氣壓下加熱到 就沸騰，是確定性現象.
（2）某種型號電視機的壽命；
解：某種型號電視機的壽命是隨機的，是隨機現象.
（3）一個口袋中有十只完全相同的白球，從中任取一只為白球；
解：一個口袋中有十只完全相同的白球，從中任取一只必然為白球，
是確定性現象.
（4）測量某物理量（長度、直徑等）的誤差.
解：測量某物理量（長度、直徑等）的誤差是隨機的，是隨機現象.
［素養小結］
判斷是確定性現象還是隨機現象，關鍵是看給定條件下事件是否能
判斷結果.若能判斷出結果，則為確定性現象；若不能判斷出結果，
則為隨機現象.
探究點二 試驗的樣本空間與基本事件
例2 寫出下列隨機試驗的樣本空間.
（1）擲一枚骰子,記錄出現的點數;
解：記“擲一枚骰子，出現的點數是”為 ,則該試
驗的樣本空間,,,,, .
（2）從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個的袋子中任取1個小球，
記下顏色后放回，連續取兩次；
解：該試驗的樣本空間 （紅球，紅球），（紅球，白球），
（紅球，黑球），（白球，白球），（白球，紅球），（白球，黑
球），（黑球，黑球），（黑球，白球），（黑球，紅球）}.
（3）一個口袋中有5只外形完全相同的球,編號分別為1,2,3,4,5,從中
同時取出3只球,觀察其編號.
解：一個口袋中有5只外形完全相同的球,編號分別為1,2,3,4,5,從中同
時取出3只球,觀察其編號,
該試驗的樣本空間,,,,, ,
,,, .
變式 寫出下列試驗的樣本空間：
（1）連續拋擲一枚硬幣2次，觀察正面、反面出現的情況；
解：連續拋擲一枚硬幣2次，觀察正面、反面出現的情況，該試驗的
樣本空間（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） .
（2）甲、乙、丙、丁四位同學參加演講比賽，通過抽簽確定演講的
順序，記錄抽簽的結果；
解：甲、乙、丙、丁四位同學參加演講比賽，記錄抽簽確定的演講
順序的結果，該試驗的樣本空間 （甲，乙，丙，丁），
（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），
（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），
（乙，甲，丁，丙），（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），
（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），（丙，甲，乙，丁），
（丙，甲，丁，乙），（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），
（丙，丁，甲，乙），（丙，丁，乙，甲），（丁，甲，乙，丙），
（丁，甲，丙，乙），（丁，乙，甲，丙），（丁，乙，丙，甲），
（丁，丙，甲，乙），（丁，丙，乙，甲） .
（3）連續拋擲一枚骰子2次，觀察擲出的點數之和；
解：連續拋擲一枚骰子2次，觀察2次擲出的點數之和，該試驗的樣
本空間，3，4，5，6，7，8，9，10，11， .
（4）設袋中裝有4個白球和6個黑球，從中不放回地逐個取出，直至
白球全部取出為止，記錄取球的次數.
解：從裝有4個白球和6個黑球的袋子中，不放回地逐個取球，直至
白球全部取出為止，記錄取球的次數，該試驗的樣本空間 ，5，
6，7，8，9， .
［素養小結］
寫隨機試驗的樣本空間時，要按照一定的順序，特別注意題目的關
鍵字，如“先后”“依次”“順序”“放回”“不放回”等.
探究點三 隨機事件的表示
例3 袋中有大小和質地完全相同的紅球、白球各一個，每次任意摸
出一個，有放回地摸三次.
（1）寫出試驗的樣本空間.
解：樣本空間 （紅，紅，紅），（紅，紅，白），（紅，白，
紅），（白，紅，紅），（紅，白，白），（白，紅，白），
（白，白，紅），（白，白，白） .
（2）用集合表示下列事件：
①事件 為“三次顏色恰有兩次同色”；
解： （紅，紅，白），（紅，白，紅），（白，紅，紅），
（紅，白，白），（白，紅，白），（白，白，紅） .
②事件 為“三次顏色全相同”；
解：（紅，紅，紅），（白，白，白） .
③事件 為“三次摸到的紅球多于白球”.
解： （紅，紅，紅），（紅，紅，白），（紅，白，紅）
（白，紅，紅） .
變式 [2024·廊坊期末] 同時擲紅、藍兩顆質地均勻的正方體骰子，
用表示結果，其中表示紅色骰子向上一面的點數， 表示藍色
骰子向上一面的點數.
（1）寫出該試驗的樣本空間；
解：該試驗的樣本空間，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，， .
（2）指出，，，，， 所表示的事件；
解：由題意可知，，，，，， 所表示
的事件為“擲紅、藍兩顆骰子，擲出的點數相同”.
（3）試寫出事件“點數之和不超過5”所包含的樣本點.
解：事件“點數之和不超過5”所包含的樣本點有， ，
，，，，，，， .
［素養小結］
對于隨機事件的表示，應先列出所有的樣本點，然后確定隨機事件
中含有哪些樣本點.
探究點四 事件之間的關系和運算
例4 連續拋擲兩枚骰子，觀察落地時的點數.記事件 為兩次出現的
點數相同，事件為兩次出現的點數之和為4，事件 為兩次出現的
點數之差的絕對值為4，事件 為兩次出現的點數之和為6.
（1）用樣本點表示事件， ；
解：由題意得，,,,,,， ,
,，,,,，,, ,
, .
則,，,,,,, ,
, .
（2）若,,,,,,，則事件 與已
知事件是什么運算關系？
解：因為,,,,,, ，所以
.
變式 在投擲骰子的試驗中，根據向上的點數可以定義許多事件，例
如“擲一顆骰子，出現的點數為”為事件 ，“擲一
顆骰子，出現的點數不大于1”為事件 ，“擲一顆骰子，出現的點數
小于7”為事件，“擲一顆骰子，出現的點數為奇數”為事件 ，“擲一
顆骰子，出現的點數為偶數”為事件 .
請根據上述定義的事件，回答下列問題.
（1）請找出與事件 相等的事件；
解：因為事件等價于“擲一顆骰子，出現的點數為1”，所以 .
（2）判斷事件，， 的包含關系.
解：事件發生，則事件發生，所以.事件發生，則事件 發
生，所以 .
［素養小結］
事件間的運算方法:
（1）利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現的
結果,分析并利用這些結果進行事件間的運算.
（2）利用 圖.借鑒集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗
所有可能出現的結果,把這些結果在圖中列出,進行運算.
1.對隨機試驗的理解
對于隨機事件,知道它發生的可能性的大小是非常重要的,要了解隨機
事件發生的可能性的大小,最直接的方法就是試驗.一個試驗如果滿足
下述條件:
（1）試驗可以在相同條件下重復進行;
（2）試驗的所有可能結果是明確可知的,并且不止一個;
（3）每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個,但在一次試驗之
前卻不能確定這次試驗會出現哪一個結果.
那么像這樣的試驗就是一個隨機試驗.
如擲硬幣這個試驗中,試驗可以重復進行,每擲一次,就是進行了一次試
驗,試驗結果“正面向上”“反面向上”是明確可知的,每次試驗之前不能
確定出現哪個結果,但一定會出現這兩個結果中的一個.
2.樣本空間與樣本點
隨機試驗的所有可能結果組成的集合稱為的樣本空間,記為 .樣
本空間的元素,即試驗 的每一個結果,稱為樣本點.
3.隨機試驗與樣本空間的關系
（1）試驗不同,對應的樣本空間也不同.
（2）同一試驗,若試驗目的不同,則對應的樣本空間也不同.
（3）建立樣本空間,事實上就是建立隨機現象的數學模型.因此,一個
樣本空間可以概括許多內容大不相同的實際問題.
4.必然事件與不可能事件不具有隨機性,為了方便統一處理,將必然事
件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形.這樣,每個事件都是樣
本空間 的一個子集.
利用集合表示事件
利用集合表示事件的目的是把樣本點表示出來,表示樣本點的方法有
列舉法、列表法、坐標系法和樹狀圖法.
例1 甲、乙兩人做出拳游戲（錘、剪、布）,用表示結果,其中
表示甲出的拳, 表示乙出的拳.
（1）寫出樣本空間;
解：樣本空間 （錘,剪）,（錘,布）,（錘,錘）,（剪,錘）,
（剪,剪）,（剪,布）,（布,錘）,布,剪）,（布,布）}.
（2）用集合表示事件“甲贏”;
解：記“甲贏”為事件,則 （錘,剪）,（剪,布）,（布,錘）}.
（3）用集合表示事件“平局”.
解：記“平局”為事件,則 （錘,錘）,（剪,剪）,（布,布）}.
例2 如圖,一個電路中有,, 三個電器元件,每個元件可能正常,也可
能失效,把這個電路是否為通路看成是一個隨機現象,觀察這個電路中
各元件是否正常.
（1）寫出試驗的樣本空間.
解：分別用,和表示元件,和 的可能
狀態,則這個電路的工作狀態可用
表示,進一步地,用1表示元件的“正常”狀態,用0表示“失效”狀態.
樣本空間,,,, ,, ,
.
（2）用集合表示下列事件:事件 為“恰好兩個元
件正常”;事件為“電路是通路”;事件 為“電路是
斷路”.
解：“恰好兩個元件正常”等價于 ,且,, 中恰有兩
個為1,所以,, .
“電路是通路”等價于 ,,且, 中至少有一個是
1,所以,, .
“電路是斷路”等價于 ,且或, ，
所以,,,, .第15章　概率
15.1　樣本空間和隨機事件
【課前預習】
知識點一
2.(1)試驗　(2)重復進行　一個　一個　哪一個
3.(1)樣本點　(2)樣本空間　(3)有限樣本空間
診斷分析
1.(1)√　(2)√
2.B　[解析] 由隨機現象的概念可知①②是隨機現象,③④是確定性現象.故選B.
知識點二
診斷分析
(1)×　(2)√
知識點三
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√
【課中探究】
探究點一
例1　(1)D　(2)①③　[解析] (1)一天中進入某超市的顧客人數不確定,故A錯誤;一顧客在超市中購買的商品數不確定,故B錯誤;一顆麥穗上長著的麥粒數是隨機的,故C錯誤;早晨太陽從東方升起是確定的,故D正確.故選D.
(2)對于①③,明天的事是未來才發生的事,具有不確定性,故①③屬于隨機現象;對于②,由x2+1=0,得x2=-1,顯然在實數域內方程無解,故②屬于確定性現象;對于④,在三角形中,由正弦定理易知大角對大邊,故④屬于確定性現象.故填①③.
變式　解:(1)水在標準大氣壓下加熱到100 ℃就沸騰,是確定性現象.
(2)某種型號電視機的壽命是隨機的,是隨機現象.
(3)一個口袋中有十只完全相同的白球,從中任取一只必然為白球,是確定性現象.
(4)測量某物理量(長度、直徑等)的誤差是隨機的,是隨機現象.
探究點二
例2　解:(1)記“擲一枚骰子,出現的點數是k”為ωk(k=1,2,3,4,5,6),則該試驗的樣本空間Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}.
(2)該試驗的樣本空間Ω={(紅球,紅球),(紅球,白球),(紅球,黑球),(白球,白球),(白球,紅球),(白球,黑球),(黑球,黑球),(黑球,白球),(黑球,紅球)}.
(3)一個口袋中有5只外形完全相同的球,編號分別為1,2,3,4,5,從中同時取出3只球,觀察其編號,
該試驗的樣本空間Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}.
變式　解:(1)連續拋擲一枚硬幣2次,觀察正面、反面出現的情況,該試驗的樣本空間Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.
(2)甲、乙、丙、丁四位同學參加演講比賽,記錄抽簽確定的演講順序的結果,該試驗的樣本空間Ω={(甲,乙,丙,丁),(甲,乙,丁,丙),(甲,丙,乙,丁),(甲,丙,丁,乙),(甲,丁,乙,丙),(甲,丁,丙,乙),(乙,甲,丙,丁),(乙,甲,丁,丙),(乙,丙,甲,丁),(乙,丙,丁,甲),(乙,丁,甲,丙),(乙,丁,丙,甲),(丙,甲,乙,丁),(丙,甲,丁,乙),(丙,乙,甲,丁),(丙,乙,丁,甲),(丙,丁,甲,乙),(丙,丁,乙,甲),(丁,甲,乙,丙),(丁,甲,丙,乙),(丁,乙,甲,丙),(丁,乙,丙,甲),(丁,丙,甲,乙),(丁,丙,乙,甲)}.
(3)連續拋擲一枚骰子2次,觀察2次擲出的點數之和,該試驗的樣本空間Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(4)從裝有4個白球和6個黑球的袋子中,不放回地逐個取球,直至白球全部取出為止,記錄取球的次數,該試驗的樣本空間Ω={4,5,6,7,8,9,10}.
探究點三
例3　解:(1)樣本空間Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,白),(紅,白,紅),(白,紅,紅),(紅,白,白),(白,紅,白),(白,白,紅),(白,白,白)}.
(2)① A={(紅,紅,白),(紅,白,紅),(白,紅,紅),(紅,白,白),(白,紅,白),(白,白,紅)}.
②B={(紅,紅,紅),(白,白,白)}.
③C={(紅,紅,紅),(紅,紅,白),(紅,白,紅) (白,紅,紅)}.
變式　解:(1)該試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(2)由題意可知,{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}所表示的事件為“擲紅、藍兩顆骰子,擲出的點數相同”.
(3)事件“點數之和不超過5”所包含的樣本點有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1).
探究點四
例4　解:(1)由題意得,A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},B={(1,3),(2,2),(3,1)},C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
則C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)因為E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},所以E=B∪C.
變式　解:(1)因為事件D等價于“擲一顆骰子,出現的點數為1”,所以D=C1.
(2)事件F發生,則事件E發生,所以F E.事件G發生,則事件E發生,所以G E.第15章　概率
15.1　樣本空間和隨機事件
1.B　[解析] ①拋擲2枚硬幣,其中1枚正面朝上,1枚正面朝下為隨機現象;②在標準大氣壓下,水在4 ℃結冰為確定性現象;③從標有1,2,3,4的4張號簽中任取一張,恰好抽到1號簽為隨機現象;④若x∈R,則|x|的值不小于0為確定性現象.故選B.
2.D　[解析] 易知3枚硬幣落地時正面向上的個數可能是0,1,2,3中的任意一個,所以Ω={0,1,2,3}.故選D.
3.C　[解析] 易知A={2,4},B={1,3,5},則A∪B={2,4}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5},故選C.
4.C　[解析] 同時拋擲兩枚硬幣,樣本空間為Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A B.故選C.
5.C　[解析] 試驗E的樣本空間為Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},其中事件A中所包含的樣本點為(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4個,事件B中所包含的樣本點為(1,3),(2,4),共2個,所以事件A∪B中所包含的樣本點為(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5個,事件A∩B中所包含的樣本點為(2,4),共1個.故選C.
6.C　[解析] 把白球和黑球摸完則一定能摸到紅球,∵白球與黑球的個數之和為8+7=15,∴k>15,又k∈N*,∴k的最小值為16.故選C.
7.D　[解析] 由題意知樣本點共有15個,為(紅1,紅2),(紅1,白1),(紅1,白2),(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,白1),(紅2,白2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白2,黑1),(白2,黑2),(黑1,黑2).其中,恰好有2個紅色的變形金剛包含的樣本點為(紅1,紅2),恰好有2個黑色的變形金剛包含的樣本點為(黑1,黑2),恰好有2個白色的變形金剛包含的樣本點為(白1,白2),而至少有1個紅色的變形金剛包含的樣本點不唯一,則D不是基本事件.故選D.
8.AB　[解析] 對于A,“5件都是正品”可能發生,也可能不發生,該事件是隨機事件;對于B,“至少有1件次品”可能發生,也可能不發生,該事件是隨機事件;對于C,25件同類產品中,有2件次品,則“有3件次品”不會發生,是不可能事件;對于D,25件同類產品中,有2件次品,從中任取5件產品,“至少有3件正品”一定發生,故“至少有3件正品”是必然事件.故選AB.
9.ABD　[解析] 事件A為“兩次都投中”,事件B為“兩次都未投中”,事件C為“恰有一次投中”,事件D為“至少有一次投中”,即“兩次都投中”或“恰有一次投中”.對于A,事件A為“兩次都投中”,事件D為“至少有一次投中”,則A D,故A正確;對于B,事件B和事件D不可能同時發生,則B∩D= ,故B正確;對于C,事件A∪B為“兩次都投中”或“兩次都未投中”,而事件B∪D表示“兩次都未投中”“兩次都投中”或“恰有一次投中”,故C錯誤;對于D,事件A∪C表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”,則A∪C=D,故D正確.故選ABD.
10.(1) 　(2) 　(3) 　(4)=　(5)H　(6)I　[解析] 因為事件A,B,C,D發生時,事件H必然發生,所以B H.同理D J,E I.易知事件A與事件G相等,即A=G.因為A={1},B={2},C={3},D={4},H={1,2,3,4},所以A+B+C+D=H.同理A+C+E=I.
11.取出的兩件產品都是正品　取出的兩件產品中恰有一件次品
12.10　4　[解析] 從1,2,3,4,5中隨機取三個不同的數,包含的樣本點有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10個,其中樣本點(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三個數字之和為奇數.
13.解:(1)事件A表示兩次都摸到白球.
(2)事件B表示摸到的球一黑一白.
(3)事件C表示第一次摸到白球,第二次摸到黑球.
14.解:(1)設3雙手套為a1,a2,b1,b2,c1,c2,其中a1,b1,c1分別代表左手的3只手套,a2,b2,c2分別代表右手的3只手套,a1,a2為第一雙手套,b1,b2為第二雙手套,c1,c2為第三雙手套.
試驗E的樣本空間Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2)},樣本點的個數為15.
(2)隨機事件A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2)},樣本點的個數為12.
隨機事件B={(a1,b1),(a1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b1,c1),(b2,c2)},樣本點的個數為6.
隨機事件C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},樣本點的個數為6.
(3)A∩B={(a1,b1),(a1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b1,c1),(b2,c2)},B∩C= ,A∩C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},B∪C={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2)}.
15.6　[解析] 由題意可知,樣本空間Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)},共15個樣本點,
函數f(x)有零點,則b2-4a≥0,符合條件的樣本點為(1,2),(1,4),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),共6個.
16.解:(1)點M在y軸上,則a=0,由題意知b的可能取值為6,7,8,9,所以集合A={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9)}.
(2)由題知a2+(b-6)2≤9.
當a=0時,b=6,7,8,9滿足a2+(b-6)2≤9;
當a=1時,b=6,7,8滿足a2+(b-6)2≤9;
當a=2時,b=6,7,8滿足a2+(b-6)2≤9;
當a=3時,b=6滿足a2+(b-6)2≤9.
故B={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8),(3,6)}.第15章　概率
15.1　樣本空間和隨機事件
【學習目標】
　　1.結合具體實例理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣本點的關系.
　　2.了解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.
　　3.結合具體實例,了解隨機事件的并、交的含義.
　　4.能結合實例用事件的并、交運算表達隨機事件.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知識點一　樣本空間
1.現象
(1)確定性現象:在一定條件下,事先就能斷定發生或不發生某種結果,這種現象就是確定性現象.
(2) 隨機現象:在一定條件下,某種結果可能發生,也可能不發生,事先不能斷定出現哪種結果,這種現象就是隨機現象.
2.隨機試驗的概念與特點
(1)隨機試驗的概念
對某隨機現象進行的實驗、觀察稱為隨機試驗,簡稱　　　　.
(2)隨機試驗的特點
①試驗可以在相同的條件下　　　　;
②試驗的所有可能結果是明確的,并且不止　　　　;
③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的　　　　,但事先不能確定出現　　　　結果.
3.樣本點與樣本空間
(1)我們把隨機試驗的每一個可能結果稱為　　　　,用ω表示;
(2)所有樣本點組成的集合稱為　　　　.用Ω表示;
(3)如果樣本空間Ω是一個有限集合,則稱樣本空間為　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)某試驗的樣本空間中可能含有多個樣本點. (　 )
(2)拋擲一枚硬幣,觀察它落地時哪一面朝上,該試驗的樣本空間中含有兩個樣本點. (　 )
2.有下列現象:①連續兩次拋擲同一顆骰子,兩次都出現2點;②走到十字路口,遇到紅燈;③異性電荷相互吸引;④拋一石塊,下落.其中是隨機現象的個數是 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
◆ 知識點二　隨機事件
事件類型 定義(表示)
隨機事件 樣本空間的子集,簡稱事件.表示:用A,B,C等大寫英文字母
基本事件 一個事件僅包含單一樣本點
必然事件 Ω(全集)
不可能事件 (空集)
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)連續兩周,每周的周五都下雨,可以斷定第三周的周五還要下雨. (　 )
(2)在體育彩票搖號試驗中,搖出“球的號碼為奇數”是隨機事件. (　 )
◆ 知識點三　隨機事件的關系及運算
定義 符號表示 圖示
包事件 事件B發生必導致事件A發生 A B(或B A)
并事件 (或和 事件) 事件A與事件B至少有一個發生即為事件C發生,這時,我們稱C是A與B的并,也稱C是A與B的和 C=A∪B (或C=A+B)
(續表)
定義 符號表示 圖示
交事件 (或積 事件) 事件A與事件B同時發生即為事件C發生,這時,我們稱C是A與B的交,也稱C是A與B的積 C=A∩B (或C=AB)
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)拋擲一顆骰子,記向上的點數為x,“x>5”為事件B,“x>2”為事件A,則事件B包含于事件A. (　 )
(2)如果某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生,那么稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件),記作AB. (　 )
(3)在擲骰子試驗中,“出現5點”和“出現6點”的和事件是“出現大于或等于5點”. (　 )
◆ 探究點一　確定性現象和隨機現象
例1 (1)下列現象是確定性現象的是 (　 )
A.一天中進入某超市的顧客人數
B.一顧客在超市中購買的商品數
C.一顆麥穗上長著的麥粒數
D.早晨太陽從東方升起
(2)[2024·上海寶山區吳淞中學月考] 下列現象中,屬于隨機現象的序號是　　　　.
①明天是陰天;
②方程x2+1=0有兩個不相等的實數根;
③明天吳淞口的最高水位是4.5米;
④三角形中,大角對大邊.
變式 判斷下列現象哪些是確定性現象,哪些是隨機現象.
(1)水在標準大氣壓下加熱到100 ℃就沸騰;
(2)某種型號電視機的壽命;
(3)一個口袋中有十只完全相同的白球,從中任取一只為白球;
(4)測量某物理量(長度、直徑等)的誤差.
[素養小結]
判斷是確定性現象還是隨機現象,關鍵是看給定條件下事件是否能判斷結果.若能判斷出結果,則為確定性現象;若不能判斷出結果,則為隨機現象.
◆ 探究點二　試驗的樣本空間與基本事件
例2 寫出下列隨機試驗的樣本空間.
(1)擲一枚骰子,記錄出現的點數;
(2)從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個的袋子中任取1個小球,記下顏色后放回,連續取兩次;
(3)一個口袋中有5只外形完全相同的球,編號分別為1,2,3,4,5,從中同時取出3只球,觀察其編號.
變式 寫出下列試驗的樣本空間:
(1)連續拋擲一枚硬幣2次,觀察正面、反面出現的情況;
(2)甲、乙、丙、丁四位同學參加演講比賽,通過抽簽確定演講的順序,記錄抽簽的結果;
(3)連續拋擲一枚骰子2次,觀察擲出的點數之和;
(4)設袋中裝有4個白球和6個黑球,從中不放回地逐個取出,直至白球全部取出為止,記錄取球的次數.
[素養小結]
寫隨機試驗的樣本空間時,要按照一定的順序,特別注意題目的關鍵字,如“先后”“依次”“順序”“放回”“不放回”等.
◆ 探究點三　隨機事件的表示
例3 袋中有大小和質地完全相同的紅球、白球各一個,每次任意摸出一個,有放回地摸三次.
(1)寫出試驗的樣本空間.
(2)用集合表示下列事件:
①事件A為“三次顏色恰有兩次同色”;
②事件B為“三次顏色全相同”;
③事件C為“三次摸到的紅球多于白球”.
變式 [2024·廊坊期末] 同時擲紅、藍兩顆質地均勻的正方體骰子,用(x,y)表示結果,其中x表示紅色骰子向上一面的點數,y表示藍色骰子向上一面的點數.
(1)寫出該試驗的樣本空間;
(2)指出{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}所表示的事件;
(3)試寫出事件“點數之和不超過5”所包含的樣本點.
[素養小結]
對于隨機事件的表示,應先列出所有的樣本點,然后確定隨機事件中含有哪些樣本點.
◆ 探究點四　事件之間的關系和運算
例4 連續拋擲兩枚骰子,觀察落地時的點數.記事件A為兩次出現的點數相同,事件B為兩次出現的點數之和為4,事件C為兩次出現的點數之差的絕對值為4,事件D為兩次出現的點數之和為6.
(1)用樣本點表示事件C∩D,A∪B;
(2)若E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},則事件E與已知事件是什么運算關系
變式 在投擲骰子的試驗中,根據向上的點數可以定義許多事件,例如“擲一顆骰子,出現的點數為k”為事件Ck(k=1,2,3,4,5,6),“擲一顆骰子,出現的點數不大于1”為事件D,“擲一顆骰子,出現的點數小于7”為事件E,“擲一顆骰子,出現的點數為奇數”為事件F,“擲一顆骰子,出現的點數為偶數”為事件G.
請根據上述定義的事件,回答下列問題.
(1)請找出與事件D相等的事件;
(2)判斷事件E,F,G的包含關系.
[素養小結]
事件間的運算方法:
(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果,分析并利用這些結果進行事件間的運算.
(2)利用Venn圖.借鑒集合間運算的思想,分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果,把這些結果在圖中列出,進行運算.第15章　概率
15.1　樣本空間和隨機事件
一、選擇題
1.下列屬于隨機現象的個數為 (　 )
①拋擲2枚硬幣,其中1枚正面朝上,1枚正面朝下;
②在標準大氣壓下,水在4 ℃結冰;
③從標有1,2,3,4的4張號簽中任取一張,恰好抽到1號簽;
④若x∈R,則|x|的值不小于0.　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.2
C.3 D.4
2.同時拋擲3枚硬幣,觀察它們落地時正面向上的個數,則這個試驗的樣本空間為 (　 )
A.Ω={3} B.Ω={4}
C.Ω={1,2,3} D.Ω={0,1,2,3}
3.拋擲一顆骰子,觀察其朝上面的點數,若事件A表示“點數為2或4”,事件B表示“點數為奇數”,則事件A與事件B的并事件用集合表示為 (　 )
A.{2,4} B.{1,3,5}
C.{1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5,6}
4.[2024·河南信陽期末] 同時拋擲兩枚硬幣,“向上的面都是正面”記為事件A,“向上的面至少有一枚是正面”記為事件B,則有 (　 )
A.A=B
B.A B
C.A B
D.A與B之間沒有關系
5.試驗E表示“從1,2,3,4這4個數中,任取2個數求和”,事件A為“這2個數的和大于4”,事件B為“這2個數的和為偶數”,則A∪B和A∩B中包含的樣本點的個數分別為 (　 )
A.1,6 B.4,2
C.5,1 D.6,1
6.一袋中裝有10個紅球,8個白球,7個黑球,現在把球隨機地一個一個摸出來,為了保證在第k次或第k次之前一定能摸出紅球,則k的最小值為 (　 )
A.10 B.15 C.16 D.17
7.袋中有2個紅色的變形金剛,2個白色的變形金剛,2個黑色的變形金剛,從里面任意取2個變形金剛,下列事件中不是基本事件的為 (　 )
A.恰好有2個紅色的變形金剛
B.恰好有2個黑色的變形金剛
C.恰好有2個白色的變形金剛
D.至少有1個紅色的變形金剛
8.(多選題)[2024·陜西漢中期末] 在25件同類產品中,有2件次品,從中任取5件產品,其中是隨機事件的是 (　 )
A.5件都是正品 B.至少有1件次品
C.有3件次品 D.至少有3件正品
9.(多選題)[2024·江蘇常州期末] 某籃球運動員進行投籃訓練,連續投籃兩次,設事件A為隨機事件“兩次都投中”,事件B為隨機事件“兩次都未投中”,事件C為隨機事件“恰有一次投中”,事件D為隨機事件“至少有一次投中”,則下列關系正確的是 (　 )
A.A D B.B∩D=
C.A∪B=B∪D D.A∪C=D
二、填空題
10.在擲一顆骰子的試驗中,記“出現1點”為事件A;“出現2點”為事件B;“出現3點”為事件C;“出現4點”為事件D;“出現5點”為事件E;“出現6點”為事件F;“出現的點數不大于1”為事件G;“出現的點數小于5”為事件H;“出現奇數點”為事件I;“出現偶數點”為事件J.請根據這些事件,判斷下列事件的關系:
(1)B　　　　H;
(2)D　　　　J;
(3)E　　　　I;
(4)A　　　　G;
(5)A+B+C+D=　　　　;
(6)A+C+E=　　　　.
11.從含有兩件正品a1,a2和一件次品b1的三件產品中每次任取一件,每次取出后不放回,連續取兩次,則事件A={(a1,a2),(a2,a1)}的含義是　　　　　　　　　　　,事件B={(a1,b1),(b1,a1),(a2,b1),(b1,a2)}的含義是　　　　　　　　　　　　　　　　.
12.從1,2,3,4,5中隨機取三個不同的數,則這一試驗的樣本空間包含的樣本點的總數為　　　　,取出的三個數的和為奇數這一事件包含的樣本點的個數為　　　　.
三、解答題
13.已知試驗E為“袋中有白球3個(編號為1,2,3)、黑球2個(編號為1,2),這5個球除顏色外完全相同,從中不放回地依次摸取2次,每次摸1個,觀察摸出球的情況”.摸到白球的編號為1,2,3分別記為w1,w2,w3,摸到黑球的編號為1,2分別記為b1,b2.指出下列隨機事件的含義:
(1)事件A={w1w2,w1w3,w2w1,w2w3,w3w1,w3w2};
(2)事件B={w1b1,w1b2,w2b1,w2b2,w3b1,w3b2,b1w1,b1w2,b1w3,b2w1,b2w2,b2w3};
(3)事件C={w1b1,w1b2,w2b1,w2b2,w3b1,w3b2}.
14.試驗E為“箱子里有3雙不同的手套,隨機拿出2只”.記隨機事件A為“拿出的手套配不成對”;隨機事件B為“拿出的是同一只手上的手套”;隨機事件C為“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成對”.
(1)寫出試驗E的樣本空間Ω,并指出樣本點的個數;
(2)分別用樣本點表示隨機事件A、隨機事件B、隨機事件C,并指出每個隨機事件的樣本點的個數;
(3)寫出A∩B,B∩C,A∩C,B∪C.
15.已知二次函數f(x)=ax2-bx+1(a≠0),設集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機取一個數a和b得到樣本點(a,b),則使函數f(x)有零點的樣本點的個數為　　　　.
16.將一個質地均勻的正方體(六個面上分別標有數字0,1,2,3,4,5)和一個質地均勻的正四面體(四個面上分別標有數字1,2,3,4)同時拋擲1次,規定:正方體向上的面上的數字為a,正四面體的三個側面上的數字之和為b.設點M的坐標為(a,b).
(1)若集合A={(a,b)|點M在y軸上},用列舉法表示集合A;
(2)記“(a,b)滿足a2+(b-6)2≤9”為事件B,寫出事件B包含的樣本點.

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