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15.3 互斥事件和獨立事件
第2課時 獨立事件
探究點一 相互獨立事件的判斷
探究點二 相互獨立事件概率的計算
探究點三 相互獨立事件概率的綜合應用
【學習目標】
1.結(jié)合具體實例,了解兩個隨機事件獨立性的含義.
2.在熟悉的情境中,能夠?qū)⒐诺涓判团c事件獨立性相結(jié)合,計算簡單問
題的概率.
知識點一 相互獨立事件
1.一般地，對于兩個隨機事件， ，如果__________________，那
么稱， 為相互獨立事件.
2.事件與事件相互獨立,即事件（或）是否發(fā)生,對事件（或 ）
發(fā)生的概率__________.
沒有影響
【診斷分析】 判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）必然事件 、不可能事件 都與任意事件相互獨立.( )
√
（2）袋內(nèi)有3個白球和2個黑球,從中不放回地摸球,事件 為“第一次
摸得白球”,事件為“第二次摸得白球”,則與 相互獨立.( )
×
知識點二 獨立性的性質(zhì)
1.兩個相互獨立的事件,同時發(fā)生,即事件 發(fā)生的概率為
__________________.這就是說,兩個相互獨立的事件同時發(fā)生的概率
等于每個事件發(fā)生的概率的乘積.
2.如果事件與 相互獨立,那么______, ______,______也都相互獨立.
A與
與
與
3.一般地,如果事件,, ,相互獨立,那么這 個事件同時發(fā)生的
概率等于每個事件發(fā)生的概率的______，即
.
乘積
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）如果事件與相互獨立,那么與 也相互獨立. ( )
√
（2）對于兩個相互獨立的事件與，若, ，則
.( )
√
2.事件相互獨立與事件互斥的區(qū)別是什么
解：事件相互獨立強調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概
率沒有影響,而事件互斥強調(diào)兩個事件不可能同時發(fā)生.
探究點一 相互獨立事件的判斷
例1 判斷下列各對事件是不是相互獨立事件.
（1）甲組有3名男生,2名女生,乙組有2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲、乙兩
組中各選1名同學參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中
選出1名女生”;
解：“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生,對“從乙組中選出1名
女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響,所以它們是相互獨立事件.
（2）容器內(nèi)盛有5個白球和3個黃球,“從8個球中任意取出1個,取出的
是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的是白球”;
解：“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”的概率為 ,若這一事件
發(fā)生,則“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的是白球”的概率為 ,
若前一事件沒有發(fā)生,則后一事件發(fā)生的概率為 ,故前一事件是否發(fā)
生,對后一事件發(fā)生的概率有影響,所以兩者不是相互獨立事件.
（3）擲一枚骰子一次,“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”.
解：該試驗的樣本空間，2，3，4，5，，記事件 為“出現(xiàn)
偶數(shù)點”,事件為“出現(xiàn)3點或6點”,則,, ,
則,, ,
所以,即事件與 相互獨立.
變式（1） （多選題）[2024·江蘇常州期末] 已知事件， 發(fā)生的
概率分別為， ，則下列結(jié)論正確的有( )
A.若與互斥，則
B.若，則
C.若，則與 相互獨立
D.若與相互獨立，則
√
√
√
[解析] 對于A，若A與B互斥，則
，故A正確；
對于B，若，則 ，故B錯誤；
對于C，若 ，則
，所以A與B相互獨立，故C正確；
對于D，若A與B相互獨立，有 ，則
，故D
正確.故選 .
（2）[2024·江蘇淮安期末]拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，每一次拋
擲的結(jié)果要么正面向上要么反面向上，記“第一次正面向上”為事件 ，
“恰有一次正面向上”為事件，“恰有兩次正面向上”為事件 ，“三次
全部正面向上或者全部反面向上”為事件 ，則下列結(jié)論正確的是
( )
A.與互斥 B.與 相互獨立
C.與相互獨立 D.與 對立
√
[解析] 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，樣本空間 （正正正），
（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），
（反正反），（反反反） ，共包含8個樣本點，
事件A包含的樣本點有（正正正），（正正反），（正反正），
（正反反），共4個，
事件B包含的樣本點有（正反反），（反反正），（反正反），共3個，
事件C包含的樣本點有（正正反），（正反正），（反正正），共3個，
事件D包含的樣本點有（正正正），（反反反），共2個.
對于A，事件A與事件B可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；
對于B，， ，
，所以A與D相互獨立，故B正確；
對于C，， ，所以A與C不相互獨立，
故C錯誤；
對于D，C和D互斥但不對立，故D錯誤.故選B.
［素養(yǎng)小結(jié)］
判斷兩事件是否具有獨立性的方法
（1）直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.
（2）檢驗 是否成立.
需要注意的是，不要把相互獨立事件與互斥事件、對立事件的概念
混淆.
探究點二 相互獨立事件概率的計算
例2 甲、乙兩名籃球運動員進行投籃比賽,甲投籃命中的概率為 ,乙
投籃命中的概率為 ,在每次投籃中,甲和乙投籃是否命中相互沒有影響.
（1）求甲、乙各投籃一次,恰好有1人命中的概率;
解：甲、乙各投籃一次,恰好有1人命中的概率為 .
（2）求甲、乙各投籃一次,至少有1人命中的概率.
解：甲、乙各投籃一次,兩人均沒有命中的概率為 ,所以甲、
乙各投籃一次,至少有1人命中的概率為 .
變式 某校組織全校數(shù)學老師參加解題大賽，對于大賽中的最后一個
解答題，甲得滿分的概率為，乙得滿分的概率為 ，且甲、乙兩
人答題互不影響.記事件為“甲最后一個解答題得滿分”，事件 為
“乙最后一個解答題得滿分”.
（1）求甲、乙兩人最后一個解答題都得滿分的概率；
解：“甲、乙兩人最后一個解答題都得滿分”為事件，且事件，
相互獨立，
由題意可知， ，
所以 .
（2）求甲、乙恰有一人最后一個解答題得滿分的概率.
解：因為“甲、乙恰有一人最后一個解答題得滿分”為事件 ，
且， 互斥，
所以 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
1.準確理解互斥事件、相互獨立事件的含義,靈活利用概率的加法和
乘法公式解題.
2.利用“正難則反”解題,若所求事件的概率正面計算較煩瑣時,可以從
對立面入手求解.
探究點三 相互獨立事件概率的綜合應用
例3 計算機考試分理論考試與實際操作兩部分，每部分考試成績只
記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，其計算機考試“合格”，
并頒發(fā)合格證書.甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為
，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，， ，所有考試
是否合格相互之間沒有影響.
（1）假設甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲
得合格證書的可能性最大？
解：設“甲獲得合格證書”為事件，“乙獲得合格證書”為事件 ，“丙
獲得合格證書”為事件 ，
則，， .
因為 ，所以丙獲得合格證書的可能性最大.
（2）這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格
證書的概率.
解：設“恰有兩人獲得合格證書”為事件 ，則
.
變式 [2024·江蘇常州期末] 為了增添學習生活的樂趣，甲、乙兩人
決定進行一場投籃比賽，每次投一個球.先由其中一人投籃，若投籃
不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當且僅當
出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況時，比賽結(jié)束，且此人獲勝.經(jīng)過
抽簽決定，甲先開始投籃.已知甲每次投籃命中的概率為 ，乙每次投
籃命中的概率為 ，且兩人每次投籃的結(jié)果互不干擾.
（1）求甲、乙投籃總次數(shù)不超過4且乙獲勝的概率；
解：若甲、乙投籃總次數(shù)為2，則乙不可能獲勝；
若甲、乙投籃總次數(shù)為3且乙獲勝，則第1次甲未投中，乙投中第2，
3次，其概率 ；
若甲、乙投籃總次數(shù)為4且乙獲勝，則第1次甲投中、第2次甲未投中，
乙投中第3，4次，其概率 .
記“甲、乙投籃總次數(shù)不超過4且乙獲勝”為事件 ，
則 ，
所以甲、乙投籃總次數(shù)不超過4且乙獲勝的概率為 .
（2）求比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率.
解：若比賽結(jié)束時甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃，則甲連續(xù)投中2
次，其概率 .
若比賽結(jié)束時乙贏得比賽，且甲恰好投了2次籃.
①甲投中第1次，第2次甲未投中，乙投中第3，4次，由（1）知，其
概率 ；
②甲第1次未投中，第2次乙未投中，第3次甲未投中，第4,5次乙投中，
其概率 ；
③甲第1次未投中，第2次乙投中，第3次乙未投中，第4次甲未投中，
第5,6次乙投中，
其概率 .
綜上可得，比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
求較復雜事件的概率的一般步驟：
（1）列出題中涉及的各個事件,并且用適當?shù)姆柋硎?
（2）理清事件之間的關系,列出關系式.
（3）根據(jù)事件之間的關系準確選取概率公式進行計算.
（4）當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時,可先間接地計算其
對立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率.
1.由兩個事件相互獨立的定義,容易驗證必然事件 、不可能事件
都與任意事件相互獨立.這是因為必然事件 總會發(fā)生,不會受任何事
件是否發(fā)生的影響;同樣,不可能事件 總不會發(fā)生,也不受任何事件
是否發(fā)生的影響.當然,它們也不影響其他事件是否發(fā)生.
2.互斥事件與相互獨立事件都描述兩個事件間的關系,但互斥事件強
調(diào)不可能同時發(fā)生,相互獨立事件則強調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一
個事件發(fā)生的概率沒有影響.用表格表示如下:
相互獨立事件 互斥事件
判斷方 法 一個事件的發(fā)生與否對另一 個事件發(fā)生的概率沒有影響
概率公 式
生活中相互獨立事件的概率
概率問題來源于生活,又服務于生活.在生活中概率問題無處不在,這就
需要學生能夠具備獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力,適
應數(shù)字化學習的需要,積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關聯(lián)和規(guī)律的活
動經(jīng)驗.
例1 如圖,已知電路中有5個開關,開關 閉合
的概率為,其他開關閉合的概率都是 ,且各開
關是否閉合是相互獨立的,則燈亮的概率為__.
[解析] 燈亮的對立事件是,至少有一個斷開,且,, 同時斷開,
所以燈亮的概率 .
例2 [2024·長沙雅禮中學高一月考] 某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽,
按比賽規(guī)則,進入淘汰賽的兩支球隊如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負,那
么需進行點球大戰(zhàn).點球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪
流罰球,雙方各罰一球為一輪,球員每罰進一球則為本方獲得1分,未罰
進不得分,本階段總得分高者獲勝,且當分差拉大到即使落后一方剩下
的球員全部罰進也不能追上的時候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無需
出場罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進入第二階段,雙方
每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進而另一方未罰進的
局面,則罰進的一方獲勝.設甲、乙兩支球隊進入點球大戰(zhàn),由甲隊球員
先罰球,甲隊每位球員罰進點球的概率均為 ,乙隊每位球員罰進點球
的概率均為 .假設每輪罰球中,兩隊球員進球與否互不影響,各輪結(jié)果
也互不影響.
（1）求每一輪罰球中,甲、乙兩隊打成平局的概率;
解：每一輪罰球中,設事件為“甲隊球員罰進點球”,則事件 為“甲隊
球員未罰進點球”;
設事件為“乙隊球員罰進點球”,則事件 為“乙隊球員未罰進點球”.
每一輪罰球中,設事件 為“甲、乙兩隊打成平局”.
由題意得,在每一輪罰球中兩隊打成平局的情況有兩種:甲、乙兩隊球員均未罰進點球,甲、乙兩隊球員均罰進點球.
則,故每一輪罰球中,甲、乙兩隊打成平局的概率為 .
（2）若在點球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊前兩名球員均得分而乙隊前兩名球
員均未得分,甲隊暫時以 領先,求甲隊第5個球員需出場罰球的概率.
解：因為甲隊第5個球員需出場罰球,所以前四輪罰球結(jié)束后，甲、乙
兩隊的分差不能超過1分,結(jié)合題意可知，前四輪罰球結(jié)束后，甲、乙
兩隊比分可能為或或 .
①甲、乙兩隊的比分為 的概率為
.
②甲、乙兩隊的比分為 的概率為
.
③甲、乙兩隊的比分為 的概率為
.
綜上,甲隊第5個球員需出場罰球的概率為 .第2課時　獨立事件
【課前預習】
知識點一
1.P(AB)=P(A)P(B)
2.沒有影響
診斷分析
(1)√　(2)×
知識點二
1.P(AB)=P(A)P(B)
2.A與　與B　與
3.乘積
診斷分析
1.(1)√　(2)√
2.解:事件相互獨立強調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響,而事件互斥強調(diào)兩個事件不可能同時發(fā)生.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生,對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響,所以它們是相互獨立事件.
(2)“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”的概率為,若這一事件發(fā)生,則“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的是白球”的概率為,
若前一事件沒有發(fā)生,則后一事件發(fā)生的概率為,故前一事件是否發(fā)生,對后一事件發(fā)生的概率有影響,所以兩者不是相互獨立事件.
(3)該試驗的樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6},記事件A為“出現(xiàn)偶數(shù)點”,事件B為“出現(xiàn)3點或6點”,則A={2,4,6},B={3,6},AB={6},則P(A)==,P(B)==,P(AB)=,
所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A與B相互獨立.
變式　(1)ACD　(2)B　[解析] (1)對于A,若A與B互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B)=0.2+0.4=0.6,故A正確;對于B,若A B,則P(AB)=P(A)=0.2,故B錯誤;對于C,若P(A)=0.12=P(A)-P(AB)=0.2-P(AB),則P(AB)=0.08=P(A)P(B),所以A與B相互獨立,故C正確;對于D,若A與B相互獨立,有P(AB)=P(A)P(B)=0.08,則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.4-0.08=0.52,故D正確.故選ACD.
(2)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次,樣本空間Ω={(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反反正),(反正反),(反反反)},共包含8個樣本點,事件A包含的樣本點有(正正正),(正正反),(正反正),(正反反),共4個,事件B包含的樣本點有(正反反),(反反正),(反正反),共3個,事件C包含的樣本點有(正正反),(正反正),(反正正),共3個,事件D包含的樣本點有(正正正),(反反反),共2個.對于A,事件A與事件B可能同時發(fā)生,不是互斥事件,故A錯誤;對于B,P(A)==,P(D)==,P(AD)==×=P(A)P(D),所以A與D相互獨立,故B正確;對于C,P(C)=,P(AC)=≠P(A)P(C),所以A與C不相互獨立,故C錯誤;對于D,C和D互斥但不對立,故D錯誤.故選B.
探究點二
例2　解:(1)甲、乙各投籃一次,恰好有1人命中的概率為×+×=.
(2)甲、乙各投籃一次,兩人均沒有命中的概率為×=,所以甲、乙各投籃一次,至少有1人命中的概率為1-=.
變式　解:(1)“甲、乙兩人最后一個解答題都得滿分”為事件AB,且事件A,B相互獨立,
由題意可知P(A)=0.8,P(B)=0.7,
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56.
(2)因為“甲、乙恰有一人最后一個解答題得滿分”為事件B+A,且B,A互斥,
所以P(B+A)=P(B)+P(A)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.8)×0.7+0.8×(1-0.7)=0.38.
探究點三
例3　解:(1)設“甲獲得合格證書”為事件A,“乙獲得合格證書”為事件B,“丙獲得合格證書”為事件C,
則P(A)=×=,P(B)=×=,P(C)=×=.
因為P(C)>P(B)>P(A),所以丙獲得合格證書的可能性最大.
(2)設“恰有兩人獲得合格證書”為事件D,則P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.
變式　解:(1)若甲、乙投籃總次數(shù)為2,則乙不可能獲勝;
若甲、乙投籃總次數(shù)為3且乙獲勝,則第1次甲未投中,乙投中第2,3次,
其概率P1=××=;
若甲、乙投籃總次數(shù)為4且乙獲勝,則第1次甲投中、第2次甲未投中,乙投中第3,4次,
其概率P2=×××=.
記“甲、乙投籃總次數(shù)不超過4且乙獲勝”為事件A,
則P(A)=P1+P2=+=,
所以甲、乙投籃總次數(shù)不超過4且乙獲勝的概率為.
(2)若比賽結(jié)束時甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃,則甲連續(xù)投中2次,其概率P3=×=.
若比賽結(jié)束時乙贏得比賽,且甲恰好投了2次籃.
①甲投中第1次,第2次甲未投中,乙投中第3,4次,由(1)知,其概率P2=;
②甲第1次未投中,第2次乙未投中,第3次甲未投中,第4,5次乙投中,其概率P4=××××=;
③甲第1次未投中,第2次乙投中,第3次乙未投中,第4次甲未投中,第5,6次乙投中,
其概率P5=×××××=.
綜上可得,比賽結(jié)束時,甲恰好投了2次籃的概率P=P3+P2+P4+P5=+++=.第2課時　獨立事件
1.A　[解析] 由題意知,甲、乙兩人各射擊1次都中靶的概率為0.8×0.9=0.72.故選A.
2.A　[解析] 由題意P(AB)=P(A)P(B)=0.12,則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.12=0.58.故選A.
3.B　[解析] ∵事件M,N同時發(fā)生的對立事件為事件M,N至多有一個發(fā)生,∴事件M,N至多有一個發(fā)生的概率為1-P(MN)=1-P(M)P(N).故選B.
4.B　[解析] A,B,C三道必答題目,該同學都回答正確的概率P1=0.8×0.7×0.5=0.28,所以該同學最多有兩道題目回答正確的概率P=1-P1=1-0.28=0.72.故選B.
5.A　[解析] 因為P()=,所以P(B)=,因為P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-P(AB)=,所以P(AB)=,所以P(AB)=P(A)·P(B),所以A與B相互獨立.故選A.
6.D　[解析] 由題意得P(A)=,P(B)==,所以P()=,P()=,因為A,B相互獨立,所以,相互獨立,又事件A,B中至少有一個發(fā)生的對立事件是事件A,B都不發(fā)生,所以事件A, B中至少有一個發(fā)生的概率P=1-P( )=1-P()P()=1-×=.故選D.
7.A　[解析] 依題意可知,甲進入決賽的概率為×=,乙進入決賽的概率為×=,丙進入決賽的概率為×=,所以甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率P=××+××+××=.故選A.
8.BCD　[解析] 對于A,若A,B互斥,則P(AB)=0,故A錯誤;對于B,若A,B互斥,則A ,則P(A+)=P()=1-P(B)=,故B正確;對于C,若A,B相互獨立,則P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]=,故C正確;對于D,若A,B相互獨立,則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,故D正確.故選BCD.
9.BC　[解析] 根據(jù)題意,從袋中隨機摸出2個球,該試驗的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},因為A={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)},C={(2,3),(2,4),(3,4)},AB={(1,4),(2,3)},AC={(2,3),(2,4)},BC={(2,3),(3,4)},ABC={(2,3)},所以P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(AB)==,P(AC)==,P(ABC)=.對于A,因為AB={(1,4),(2,3)},所以事件A與B可以同時發(fā)生,所以A,B不互斥,故A錯誤;對于B,因為P(A)P(C)=P(AC),所以A與C相互獨立,故B正確;對于C,P(AB)+P(AC)=P(A),故C正確;對于D,P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),故D錯誤.故選BC.
10.　[解析] ∵A與B是相互獨立事件,且P(A)=,P(B)=,∴P(AB)=P(A)P(B)=×=.
11.　[解析] 設A,B分別表示事件“甲投籃一次命中”和“乙投籃一次命中”,所以P(A)=,P(B)=,則恰有一人命中的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)=×+×=.
12.　[解析] 設“玩5次游戲后甲獲勝”為事件A,“玩5次游戲后乙獲勝”為事件B,“玩5次游戲后結(jié)束”為事件C.依題意得,事件A為第2,4,5次游戲甲獲勝,第1,3次游戲乙獲勝,事件B為第2,4,5次游戲乙獲勝,第1,3次游戲甲獲勝,所以P(A)=××××=,P(B)=××××=.因為事件A與B互斥,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
13.解:(1)甲贏得比賽的概率為×=,乙贏得比賽的概率為×=,
因為>,所以派甲參賽贏得比賽的概率更大.
(2)由(1)得,甲和乙均未贏得比賽的概率為×=,
則兩人中至少有一人贏得比賽的概率為1-=.
14.解:(1)甲租車時間超過三小時且不超過四小時的概率為1--=,
乙租車時間超過三小時且不超過四小時的概率為1--=.
(2)甲、乙兩人所付的租車費用相同可分為租車費用都為0元、2元、4元三種情況.
都付0元的概率P1=×=;
都付2元的概率P2=×=;
都付4元的概率P3=×=.
所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率P=P1+P2+P3=++=.
(3)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為ξ元,
則ξ=4表示兩人的租車費用之和為4元,
其可能的情況是甲、乙的租車費用分別為①0元、4元,②2元、2元,③4元、0元,
所以P(ξ=4)=×+×+×=,
故甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率為.
15.,　　[解析] 記“甲家庭回答正確這道題”為事件A,“乙家庭回答正確這道題”為事件B,“丙家庭回答正確這道題”為事件C,因為A,B,C相互獨立,所以,,相互獨立,
則
可得所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為,.
因為A,B,C相互獨立,且AB,AC,BC互斥,
所以P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+
P()P(B)P(C)=××+××+××=,
所以恰有兩個家庭回答正確這道題的概率為.
16.解:(1)設袋中有紅球m個.
記“從袋中摸出1個球為紅球”為事件A,則P(A)=,
記“摸球兩次,至少有一次摸出白球”為事件B,則“摸球兩次,兩次均為紅球”為事件,
則P(B)=1-P()=1-[P(A)]2=1-=,得m=4,即袋中有紅球4個.
(2)記“摸球三次共取出2個白球”為事件C,
則三次摸球可能情況為“白白紅”“白紅白”“紅白白”,
則P(C)=××+××+××=,所以摸球三次共取出2個白球的概率為.
(3)記“第三次摸球后停止摸球”為事件E,“第五次摸球后停止摸球”為事件F,
由題意知袋中紅球的個數(shù)m滿足1≤m≤9.
若m=1,則不可能連續(xù)兩次摸到紅球,不符合題意.
若m=2,則P(E)=××=,
P(F)=××××=,P(E)=P(F),不符合題意.
若m=9,則最多第四次摸球后就停止摸球,不符合題意.
若m=8,則P(E)=××=,
P(F)=××××+××××=,此時P(E)>P(F),符合題意.
若3≤m≤7,則P(E)=××,P(F)=××××+××××+××××,由P(E)>P(F),得1>+2,
即m2-5m+6>0,解得m<2或m>3,所以m=4,5,6,7.
綜上所述,袋中紅球個數(shù)的所有可能取值為4,5,6,7,8.第2課時　獨立事件
【學習目標】
　　1.結(jié)合具體實例,了解兩個隨機事件獨立性的含義.
　　2.在熟悉的情境中,能夠?qū)⒐诺涓判团c事件獨立性相結(jié)合,計算簡單問題的概率.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知識點一　相互獨立事件
1.一般地,對于兩個隨機事件A,B,如果　　　　　　　　,那么稱A,B為相互獨立事件.
2.事件A與事件B相互獨立,即事件A(或B)是否發(fā)生,對事件B(或A)發(fā)生的概率　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)必然事件Ω、不可能事件 都與任意事件相互獨立. (　 )
(2)袋內(nèi)有3個白球和2個黑球,從中不放回地摸球,事件A為“第一次摸得白球”,事件B為“第二次摸得白球”,則A與B相互獨立. (　 )
◆ 知識點二　獨立性的性質(zhì)
1.兩個相互獨立的事件A,B同時發(fā)生,即事件AB發(fā)生的概率為　　　　　　　　.這就是說,兩個相互獨立的事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的乘積.
2.如果事件A與B相互獨立,那么　　　　, 　　　　,　　　　也都相互獨立.
3.一般地,如果事件A1,A2,…,An相互獨立,那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的　　　　,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果事件A與B相互獨立,那么與也相互獨立. (　 )
(2)對于兩個相互獨立的事件A與B,若P(A)=0.3,P(B)=0.4,則P(A)=0.18. (　 )
2.事件相互獨立與事件互斥的區(qū)別是什么
◆ 探究點一　相互獨立事件的判斷
例1 判斷下列各對事件是不是相互獨立事件.
(1)甲組有3名男生,2名女生,乙組有2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”;
(2)容器內(nèi)盛有5個白球和3個黃球,“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的是白球”;
(3)擲一枚骰子一次,“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”.
變式 (1)(多選題)[2024·江蘇常州期末] 已知事件A,B發(fā)生的概率分別為0.2,0.4,則下列結(jié)論正確的有 (　 )
A.若A與B互斥,則P(A+B)=0.6
B.若A B,則P(AB)=0.4
C.若P(A)=0.12,則A與B相互獨立
D.若A與B相互獨立,則P(A+B)=0.52
(2)[2024·江蘇淮安期末] 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次,每一次拋擲的結(jié)果要么正面向上要么反面向上,記“第一次正面向上”為事件A,“恰有一次正面向上”為事件B,“恰有兩次正面向上”為事件C,“三次全部正面向上或者全部反面向上”為事件 D,則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.A與B互斥 B.A與D相互獨立
C.A與C相互獨立 D.C與D對立
[素養(yǎng)小結(jié)]
判斷兩事件是否具有獨立性的方法
(1)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.
(2)檢驗P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
需要注意的是,不要把相互獨立事件與互斥事件、對立事件的概念混淆.
◆ 探究點二　相互獨立事件概率的計算
例2 甲、乙兩名籃球運動員進行投籃比賽,甲投籃命中的概率為,乙投籃命中的概率為,在每次投籃中,甲和乙投籃是否命中相互沒有影響.
(1)求甲、乙各投籃一次,恰好有1人命中的概率;
(2)求甲、乙各投籃一次,至少有1人命中的概率.
變式 某校組織全校數(shù)學老師參加解題大賽,對于大賽中的最后一個解答題,甲得滿分的概率為0.8,乙得滿分的概率為0.7,且甲、乙兩人答題互不影響.記事件A為“甲最后一個解答題得滿分”,事件B為“乙最后一個解答題得滿分”.
(1)求甲、乙兩人最后一個解答題都得滿分的概率;
(2)求甲、乙恰有一人最后一個解答題得滿分的概率.
[素養(yǎng)小結(jié)]
1.準確理解互斥事件、相互獨立事件的含義,靈活利用概率的加法和乘法公式解題.
2.利用“正難則反”解題,若所求事件的概率正面計算較煩瑣時,可以從對立面入手求解.
◆ 探究點三　相互獨立事件概率的綜合應用
例3 計算機考試分理論考試與實際操作兩部分,每部分考試成績只記“合格”與“不合格”,兩部分考試都“合格”者,其計算機考試“合格”,并頒發(fā)合格證書.甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為,,,在實際操作考試中“合格”的概率依次為,,,所有考試是否合格相互之間沒有影響.
(1)假設甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試,誰獲得合格證書的可能性最大
(2)這三人進行理論與實際操作兩項考試后,求恰有兩人獲得合格證書的概率.
變式 [2024·江蘇常州期末] 為了增添學習生活的樂趣,甲、乙兩人決定進行一場投籃比賽,每次投一個球.先由其中一人投籃,若投籃不中,則換另一人投籃;若投籃命中,則由他繼續(xù)投籃,當且僅當出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況時,比賽結(jié)束,且此人獲勝.經(jīng)過抽簽決定,甲先開始投籃.已知甲每次投籃命中的概率為,乙每次投籃命中的概率為,且兩人每次投籃的結(jié)果互不干擾.
(1)求甲、乙投籃總次數(shù)不超過4且乙獲勝的概率;
(2)求比賽結(jié)束時,甲恰好投了2次籃的概率.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求較復雜事件的概率的一般步驟:
(1)列出題中涉及的各個事件,并且用適當?shù)姆柋硎?
(2)理清事件之間的關系,列出關系式.
(3)根據(jù)事件之間的關系準確選取概率公式進行計算.
(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時,可先間接地計算其對立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率.第2課時　獨立事件
一、選擇題
1.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽,甲中靶的概率為0.8,乙中靶的概率為0.9,兩人是否中靶互不影響,則甲、乙兩人各射擊1次都中靶的概率為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0.72 B.0.26
C.0.98 D.0.85
2.已知事件A,B相互獨立,P(A)=0.4,P(B)=0.3,則P(A+B)= (　 )
A.0.58 B.0.9
C.0.7 D.0.72
3.已知事件M,N相互獨立,P(M),P(N)分別表示它們發(fā)生的概率,則1-P(M)P(N)表示 (　 )
A.事件M,N同時發(fā)生的概率
B.事件M,N至多有一個發(fā)生的概率
C.事件M,N至少有一個發(fā)生的概率
D.事件M,N都不發(fā)生的概率
4.某校舉辦航天知識競賽,競賽設置了A,B,C三道必答題目.已知某同學能正確回答A,B,C題目的概率分別為0.8,0.7,0.5,且回答各題是否正確相互獨立,則該同學最多有兩道題目回答正確的概率為 (　 )
A.0.56 B.0.72
C.0.89 D.0.92
5.若P(A)=,P()=,P(A∪B)=,則事件A與B的關系為 (　 )
A.相互獨立 B.對立
C.互斥 D.無法判斷
6.投擲一枚均勻硬幣和一個均勻骰子各一次,結(jié)果互不影響,記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)大于4”為事件B,則事件A,B中至少有一個發(fā)生的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
7.游泳比賽分為預賽、半決賽和決賽三個階段,只有預賽和半決賽的成績都達標才有資格進入決賽.已知甲在預賽和半決賽的成績達標的概率分別為和,乙在預賽和半決賽的成績達標的概率分別為和,丙在預賽和半決賽的成績達標的概率分別為和,他們各次比賽達標與否互不影響.則甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多選題)[2024·江蘇泰州期末] 已知事件A,B滿足P(A)=,P(B)=,則 (　 )
A.若A,B互斥,則P(AB)=
B.若A,B互斥,則P(A+)=
C.若A,B相互獨立,則P(A)=
D.若A,B相互獨立,則P(A+B)=
9.(多選題)[2024·江蘇南通期末] 一個袋子中有大小和質(zhì)地均相同的4個球,其中有2個紅色球(標號為1和2),2個白色球(標號為3和4),從袋中隨機摸出2個球.記“兩個球顏色不同”為事件A,“兩個球的標號的和為奇數(shù)”為事件B,“兩個球的標號都不小于2”為事件C,則 (　 )
A.A與B互斥
B.A與C相互獨立
C.P(AB)+P(AC)=P(A)
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
二、填空題
10.已知A與B是相互獨立事件,且P(A)=,P(B)=,則P(AB)=　　　　.
11.甲、乙兩名同學進行籃球投籃練習,甲同學投籃一次命中的概率為,乙同學投籃一次命中的概率為,假設兩人投籃命中與否互不影響,則甲、乙兩人各投籃一次,恰有一人命中的概率是　　　　.
12.甲、乙兩名同學玩剪刀、石頭、布游戲,每次從開始到確定勝負為1次游戲,且甲或乙連續(xù)勝2次時結(jié)束游戲.若每次游戲甲勝的概率為,且各次游戲之間相互獨立,則玩5次游戲后結(jié)束的概率為　　　　.
三、解答題
13.某學校組織“紅樓論數(shù)”數(shù)學知識應用競賽.比賽共分為兩輪,每位參賽選手均須參加兩輪比賽,若其在兩輪比賽中均勝出,則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中,選手甲、乙勝出的概率分別為,;在第二輪比賽中,甲、乙勝出的概率分別為,.甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.
(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽,派誰參賽贏得比賽的概率更大
(2)若甲、乙兩人均參加比賽,求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.
14.[2024·江蘇江陰聯(lián)考] 本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費2元(不足一小時的部分按一小時計算).有甲、乙兩人分別來該租車點租車騎游(各租一車一次),設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為,,兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為,,兩人租車時間互不影響且都不會超過四小時.
(1)求甲、乙兩人租車時間超過三小時,且不超過四小時的概率;
(2)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率;
(3)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率.
15.在某社區(qū)舉辦的“環(huán)保我參與”有獎問答比賽中,甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是,甲、丙兩個家庭都回答錯誤這道題的概率是,乙、丙兩個家庭都回答正確這道題的概率是.若各家庭回答是否正確互不影響,則乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為　　　　,甲、乙、丙三個家庭中恰有兩個家庭回答正確這道題的概率為　　　　.
16.[2024·江蘇無錫期末] 袋中裝有質(zhì)地均勻、大小相同的紅球和白球共10個.現(xiàn)進行摸球游戲.
(1)若采取有放回的方式從袋中每次摸出1個球,共摸球兩次,至少有一次摸出白球的概率是,求袋中紅球的個數(shù).
(2)已知袋中有紅球5個,從袋中每次摸出1個球,若是紅球則放回袋中,若是白球則不放回袋中,求摸球三次共取出2個白球的概率.
(3)若采取不放回的方式從袋中每次摸出1個球,連續(xù)兩次摸到紅球則停止摸球,否則繼續(xù)摸球直至第六次摸球后結(jié)束.若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率,求袋中紅球個數(shù)的所有可能取值.

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