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單元素養測評卷(七)
1.B　[解析] 連續兩次拋擲同一個骰子,兩次都出現2點這一事件可能發生也可能不發生,∴①是隨機事件.某人買彩票中獎這一事件可能發生也可能不發生,∴②是隨機事件.從集合{1,2,3}中任取兩個不同元素,它們的和必大于2,∴③是必然事件.在標準大氣壓下,水加熱到100 ℃時才會沸騰,∴④是不可能事件.故隨機事件有2個,故選B.
2.B　[解析] 記從口袋中摸出1個球,“摸出黑球”“摸出紅球”“摸出白球”分別為事件A,B,C,則由題意知,A,B,C兩兩互斥且P(A)+P(B)+P(C)=1,故所求概率P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.3-0.2=0.5,故選B.
3.C　[解析] 根據表格中的數據可得,該植物一年生長的高度在[30,40)內的頻率為=0.4.故選C.
4.C　[解析] 根據題意,將2個蘋果分別記為1和2,3個桃子分別記為A,B,C,從盤中任選2個的樣本空間Ω={(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C)},共包含10個樣本點.記事件M為“選中的水果品種相同”,則事件M包含的樣本點有(1,2),(A,B),(A,C),(B,C),共4個,所以P(M)==.故選C.
5.C　[解析] 由題意得,P(A)==,P(B)==,∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),∴=+-P(AB),解得P(AB)=.故選C.
6.B　[解析] 因為x1∈{0,1},x2∈{0,1},所以(x1,x2)的取值情況為(1,1),(1,0),(0,1),(0,0),故①正確;事件B中x2=1,x1∈{0,1},故②正確;事件“電路是斷路”中,x1,x2至少有一個為0,因此事件“電路是斷路”={(0,1),(1,0),(0,0)},因為A={(1,1),(1,0)},所以={(0,1),(0,0)},又={(1,0),(0,0)},所以“電路是斷路”可表示為∪,故③錯誤;事件“電路是通路”中,x1,x2都為1,因此事件“電路是通路”={(1,1)},又A={(1,1),(1,0)},B={(0,1),(1,1)},所以“電路是通路”可表示為A∩B,其中只包含1個樣本點,故④錯誤.故正確說法的個數是2,故選B.
7.C　[解析] 對于規則一,甲、乙發球的概率都是,所以該規則是公平的.對于規則二,記2個紅球分別為紅1,紅2,2個黑球分別為黑1,黑2,則隨機取出2個球的樣本空間所包含的樣本點有(紅1,紅2),(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(黑1,黑2),共6個,其中“取出的2個球同色”包含的樣本點有2個,∴甲發球的概率為<,所以該規則不公平.對于規則三,記3個紅球分別為紅3,紅4,紅5,則隨機取出2個球的樣本空間包含的樣本點有(紅3,紅4),(紅3,紅5),(紅3,黑),(紅4,紅5),(紅4,黑),(紅5,黑),共6個,其中“取出的2個球同色”包含的樣本點有3個,∴兩人發球的可能性均為,該規則是公平的.綜上可得,對甲、乙公平的發球規則為規則一和規則三.故選C.
8.D　[解析] 記甲、乙、丙獲得一等獎分別為事件A,B,C,則P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以P()=1-=,P()=1-=,P()=1-=,則這三人中恰有兩人獲得一等獎的概率為P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=××+××+××=,這三人都獲得一等獎的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=,所以這三人中至少有兩人獲得一等獎的概率P=+=.故選D.
9.BD　[解析] 對于A,當從口袋中取出兩個黑球時,事件“至少有一個黑球”與“都是黑球”同時發生,所以事件“至少有一個黑球”與“都是黑球”不是互斥事件,所以A不符合題意;對于B,從口袋中取出兩個球,事件“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發生,但必有一個事件發生,所以事件“至少有一個黑球”與“都是紅球”是互斥事件,也是對立事件,所以B符合題意;對于C,當從口袋中取出一個紅球和一個黑球時,事件“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”同時發生,所以事件“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”不是互斥事件,所以C不符合題意;對于D,事件“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不能同時發生,當取出兩個紅球時,這兩個事件都沒有發生,所以事件“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥事件,但不是對立事件,所以D符合題意.故選BD.
10.BC　[解析] 該同學隨機選一個選項,Ω1={A,B,C,D},隨機選兩個選項,Ω2={AB,AC,AD,BC,BD,CD},隨機選三個選項,Ω3={ABC,ABD,ACD,BCD},隨機選四個選項,Ω4={ABCD}.對于A,“僅隨機選一個選項,能得分”包含的樣本點為A,B,C,共3個,所以所求概率是,故A錯誤.對于B,“隨機至少選擇兩個選項,能得分”包含的樣本點為AB,AC,BC,ABC,共4個,所以所求概率是=,故B正確.對于C,“僅隨機選擇三個選項,能得分”包含的樣本點只有ABC,則所求概率是,故C正確.對于D,隨機選擇選項,能得分的概率是=,故D錯誤.故選BC.
11.BCD　[解析] 由題意可知,事件A包含的樣本點有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),共30個,事件B包含的樣本點有(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),共6個,事件C包含的樣本點有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共18個,事件D包含的樣本點有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6個,樣本空間包含的樣本點共有62=36(個).對于A選項,A∩B={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5)}≠ ,所以A與B不互斥,故A錯誤;對于B選項,因為A∩D= ,A∪D=Ω,所以A與D對立,故B正確;對于C選項,事件BC包含的樣本點有(4,1),(4,2),(4,3),共3個,則P(BC)==,又因為P(B)==,P(C)==,所以P(BC)=P(B)P(C),則B與C相互獨立,故C正確;對于D選項,因為B∩D={(4,6)},所以P(BD)==×=P(B)P(D),則B與D相互獨立,故D正確.故選BCD.
12.擲出2點　擲出2,3,4,5,6點　擲出1,3,5點　[解析] 因為A={3,5},B={2,4,6},C={1,2},所以BC={2},A+B={2,3,4,5,6},={1,3,5}.
13.　[解析] 依題意,樣本空間包含的樣本點有(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),共12個.由m·n=-b+2a=0,得b=2a,則事件m⊥n包含的樣本點有(4,2),(6,3),共2個,所以向量m=(b,a)與向量n=(-1,2)垂直的概率P==.
14.0.388 8　[解析] 比賽三局,甲最終獲勝的概率P1=0.63;比賽四局,甲最終獲勝的概率P2=(1-0.6)×0.63;比賽五局,甲最終獲勝的概率P3=(1-0.6)2×0.63+0.6×(1-0.6)×0.63=(0.16+0.24)×0.63=0.4×0.63.故甲最終獲勝的概率P=P1+P2+P3=1.8×0.63=0.388 8.
15.解:(1)根據題意可得,樣本空間Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(紅,黑,黑),(黑,紅,紅),(黑,紅,黑),(黑,黑,紅),(黑,黑,黑)}.
(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A,則事件A包含的樣本點為(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(黑,紅,紅),事件A包含的樣本點個數為3,
由(1)可知,樣本空間樣本點總數為8,故P(A)=.
16.解:(1)兩人擲出的點數之和用列表的方式表示如下:
小明擲出的點數 小剛擲出的點數
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
所以樣本空間共有36個樣本點,點數之和為奇數包含的樣本點有18個,則小剛得1分的概率為=,小明得1分的概率為1-=,兩者相同,所以這個游戲公平.
(2)樣本空間用樹形圖表示如下:
所以樣本空間共有24個樣本點,3個球中既有紅球又有白球包含18個樣本點,故所求概率為=.
17.解:(1)依題意,前兩局比賽乙均獲勝的概率為×=.
(2)①若乙最終獲得全部獎金,則乙最終以3∶1獲勝或3∶2獲勝.
若乙以3∶1獲勝,則第3,4局比賽乙均獲勝,其概率為×=;
若乙以3∶2獲勝,則乙第3,4局比賽輸1局勝1局,第5局比賽獲勝,其概率為××+××=.
故乙最終獲得全部獎金的概率為+=.
②由①知,繼續比賽,乙最終獲勝的概率是,則甲最終獲勝的概率為,
所以甲、乙按2∶1分配獎金不合理,應按20∶7將獎金分配給甲、乙.
18.解:(1)由頻率分布直方圖可知,年齡在[20,40)內的頻率為(0.015+0.02)×10=0.35,年齡在[20,50)內的頻率為0.35+0.03×10=0.65,
所以樣本數據的中位數一定在[40,50)內,由40+10×=45,
可估計樣本數據的中位數為45.
(2)由分層抽樣的方法可知,抽取的8人中,年齡在[20,30)內的有3人,分別記為A1,A2,A3;
年齡在[50,60)內的有5人,分別記為B1,B2,B3,B4,B5.
從這8人中隨機抽取2人,樣本空間包含的樣本點為(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A1,B5),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A3,B5),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B3,B4),(B3,B5),(B4,B5),共28個.
記“這2人取自不同年齡區間”為事件A,其包含的樣本點有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A1,B5),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A3,B5),共15個.
故這2人取自不同年齡區間的概率P(A)=.
19.解:(1)丙連勝四場的情況為“第一場丙勝甲負,第二場丙勝乙負,第三場丙勝甲負,第四場丙勝乙負”,
所以丙連勝四場的概率P1==.
(2)根據賽制,至少需要進行四場比賽,至多需要進行五場比賽.
而甲或丙連勝四場的概率為×2=,
乙上場后連勝三場且最終獲勝的概率P2==,
故需要進行第五場比賽的概率P3=1--=1-=.
(3)三人中乙最終獲勝的概率最大.理由如下:
記事件A為“一局比賽甲輸”,事件B為“一局比賽丙輸”,事件C為“一局比賽乙輸”,事件M為“甲最終獲勝”,事件N為“乙最終獲勝”,
則甲最終獲勝包含的樣本點有(B,C,B,C),(A,B,C,B,C),(A,C,B,C,B),(B,A,B,C,C),(B,A,C,B,C),(B,C,A,C,B),(B,C,A,B,C),(B,C,B,A,C),
故甲最終獲勝的概率P(M)=+7×=.
由甲、丙首先比賽可知,丙最終獲勝的概率和甲最終獲勝的概率相等,
即丙最終獲勝的概率也是.
所以乙最終獲勝的概率P(N)=1-×2=.
又>,所以三人中乙最終獲勝的概率最大.單元素養測評卷(七)
第15章
(時間:120分鐘　分值:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.下列事件:　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
①連續兩次拋擲同一個骰子,兩次都出現2點;
②某人買彩票中獎;
③從集合{1,2,3}中任取兩個不同元素,它們的和大于2;
④在標準大氣壓下,水加熱到90 ℃時會沸騰.
其中是隨機事件的個數是 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.一個口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中任意摸出1個球,摸出紅球的概率是0.3,摸出白球的概率是0.2,那么摸出黑球的概率是 (　　)
A.0.4 B.0.5
C.0.6 D.0.95
3.某地一種植物一年生長的高度如下表:
高度/cm [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
頻數 20 30 80 40 30
則該植物一年生長的高度在[30,40)內的頻率是 (　　)
A.0.8 B.0.65
C.0.4 D.0.25
4.[2024·江蘇南通期末] 一個水果盤子里有2個蘋果和3個桃子,從盤中任選2個,則選中的水果品種相同的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
5.某班共有48名同學,其中12名同學精通樂器,8名同學擅長舞蹈,從該班中任選一名同學了解其藝術特長.記“選中的同學精通樂器”為事件A,“選中的同學擅長舞蹈”為事件B,若P(A∪B)=,則P(AB)= (　　)
A. B.
C. D.
6.M,N兩個元件組成一個串聯電路,每個元件可能正常或失效.設“M元件正常”為事件A,“N元件正常”為事件B,用x1,x2分別表示M,N兩個元件的狀態,用(x1,x2)表示這個串聯電路的狀態.以1表示元件正常,0表示元件失效,則下列說法正確的個數是 (　　)
①樣本空間Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)};
②事件B={(0,1),(1,1)};
③事件“電路是斷路”可以用∩(或 )表示;
④事件“電路是通路”可以用A∪B(或A+B)表示,共包含3個樣本點.
A.0 B.2
C.3 D.4
7.某比賽為甲、乙兩名運動員制定下列發球規則,規則一:投擲1枚質地均勻的硬幣,出現正面向上,甲發球,否則乙發球;規則二:從裝有大小質地相同的2個紅球與2個黑球的布袋中隨機取出2個球,如果同色,甲發球,否則乙發球;規則三:從裝有大小質地相同的3個紅球與1個黑球的布袋中隨機取出2個球,如果同色,甲發球,否則乙發球.則對甲、乙公平的發球規則是 (　　)
A.規則一和規則二 B.規則二和規則三
C.規則一和規則三 D.只有規則一
8.甲、乙、丙三人參加縣里的英文演講比賽,若甲、乙、丙三人能榮獲一等獎的概率分別為,,且三人是否獲得一等獎相互獨立,則這三人中至少有兩人獲得一等獎的概率為 (　　)
A. B. C. D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.[2024·安徽皖北六校高一期末] 從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球,則下列各組事件中是互斥事件的是 (　　)
A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”
B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”
C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”
D.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”
10.在某次數學測試中,對多項選擇題的要求是“在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.”已知某道多項選擇題的正確答案是ABC,且某同學不會做該題(該同學至少選一項且可能全選),則下列結論正確的是 (　　)
A.該同學僅隨機選一個選項,能得分的概率是
B.該同學隨機至少選擇兩個選項,能得分的概率是
C.該同學僅隨機選擇三個選項,能得分的概率是
D.該同學隨機選擇選項,能得分的概率是
11.[2024·廣東惠州高一期末] 拋擲一黃一白兩枚質地均勻的骰子,用a表示黃色骰子朝上的點數,b表示白色骰子朝上的點數,用(a,b)表示一次試驗的結果,該試驗的樣本空間為Ω,記事件A為“020”,則 (　　)
A.A與B互斥 B.A與D對立
C.B與C相互獨立 D.B與D相互獨立
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.擲一枚骰子,設事件A為“擲出大于2的奇數點”,事件B為“擲出偶數點”,事件C為“擲出點數小于3”,則事件BC為“　　　　”,事件A+B為“　　　　”,事件為“　　　　”.
13.從集合{0,1,2,3}中隨機取一個數a,從集合{3,4,6}中隨機取一個數b,則向量m=(b,a)與向量n=(-1,2)垂直的概率為　　　　.
14.甲、乙兩人進行羽毛球比賽,各局比賽結果相互獨立,比賽規則如下:比賽至多五局,連續獲勝三局者最終獲勝.根據以往比賽情況,每局比賽甲獲勝的概率均為0.6,則甲最終獲勝的概率為　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各1個,現依次有放回地隨機摸取3次,每次摸取1個球.
(1)寫出樣本空間Ω;
(2)若摸到紅球時得2分,摸到黑球時得1分,求3次摸球所得總分為5的概率.
16.(15分)(1)小明和小剛正在做擲骰子游戲,兩人各擲一枚骰子.當兩枚骰子點數之和為奇數時,小剛得1分,否則小明得1分.這個游戲公平嗎
(2)盒子里裝有3個紅球,1個白球,從中任取3個球,求3個球中既有紅球又有白球的概率.
17.(15分)[2024·江蘇溧陽高一期末] 在網球比賽中,甲、乙兩名選手在決賽中相遇.根據以往賽事統計,甲、乙對局中,甲獲勝的頻率為,乙獲勝的頻率為.為便于研究,用此頻率代替他們在決賽中每局獲勝的概率,各局比賽互不影響.決賽采用五局三勝制,最終獲勝者獲得全部獎金.
(1)求前兩局比賽乙均獲勝的概率.
(2)已知前兩局打成1∶1.
①求乙最終獲得全部獎金的概率.
②若比賽此時因故終止,有人提出甲、乙按2∶1分配獎金,你認為分配合理嗎 為什么
18.(17分)某新能源汽車銷售部為了了解廣大客戶對新能源性能的需求,隨機抽取200名用戶進行了問卷調查,根據統計情況,將他們的年齡(單位:歲)按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分組,并繪制出了頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計樣本數據的中位數;
(2)銷售部從年齡在[20,30),[50,60)內的用戶中用分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機抽取2人進行電話回訪,求這2人取自不同年齡區間的概率.
19.(17分)在校運動會上,有甲、乙、丙三位同學參加羽毛球比賽,約定賽制如下:累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽,負者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后,剩余的兩人繼續比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結束.經抽簽,甲、丙首先比賽,乙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為,各場比賽結果相互獨立.
(1)求丙連勝四場的概率.
(2)求需要進行第五場比賽的概率.
(3)甲、乙、丙三人中誰最終獲勝的概率最大 請說明理由.

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