資源簡介

模塊素養(yǎng)測評卷
1.B　[解析] sin 40°cos 160°-cos 40°sin 20°=sin 40°cos 160°-cos 40°sin 160°=sin(40°-160°)=sin(-120°)=-sin 120°=-sin 60°=-.故選B.
2.B　[解析] 由題意可知,z===--i,所以=-+i,所以=-+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,位于第二象限.故選B.
3.C　[解析] 由題意得=3×10-1=29,s2=32×5=45.故選C.
4.C　[解析] 因?yàn)橄蛄縜=(1,1),向量b=(-3,0),則a·b=-3,|a|=,所以向量b在向量a上的投影向量是·=·(1,1)=.故選C.
5.A　[解析] 記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為a,b,c,齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C.由題意可知,樣本空間為Ω={aA,bA,cA,aB,bB,cB,aC,bC,cC},記“田忌獲勝”為事件M,則M={aB,aC,bC},所以齊王獲勝的概率P=1-=1-=.故選A.
6.D　[解析] 若m∥α,n∥α,則m,n平行、相交或異面,故A錯(cuò)誤;若m⊥α,n⊥α,則m∥n,故B錯(cuò)誤;若β⊥α,γ⊥α,則β,γ平行或相交,故C錯(cuò)誤;若m∥α,n⊥α,則m⊥n,故D正確.故選D.
7.C　[解析] 對于A,由題得=(4,2),=(6,-2),所以·=20,故A錯(cuò)誤;對于B,由選項(xiàng)A知,·=20,||=2,||=2,所以cos∠ACB===,又∠ACB∈[0,π],所以∠ACB=,故B錯(cuò)誤;對于C,=(2,-4),=(-4,-2),則·=0,即⊥,所以點(diǎn)C到直線AB的距離為||=2,故C正確;對于D,由選項(xiàng)C知,2+=(0,-10),所以|2+|=10,故D錯(cuò)誤.故選C.
8.B　[解析] 在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,A1B1=2,設(shè)O1,O分別是正方形A1B1C1D1、正方形ABCD的中心,連接O1A1,OA,O1O,如圖,顯然四邊形OO1A1A是直角梯形,且∠A1AO是直線AA1與平面ABCD所成的角.由正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面積為12,得等腰梯形ADD1A1的面積為3,在平面ADD1A1內(nèi)過A1作A1E⊥AD于E,則×(2+4)·A1E=3,解得A1E=,又AE==1,所以AA1==2,又O1A1=,OA=2,
所以cos∠OAA1==,則∠OAA1=,所以直線AA1與平面ABCD所成的角為.故選B.
9.AC　[解析] 由題意可知,樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,4,7},B={1,2,3,4,5,6},C={8,9},則n(Ω)=9,n(A)=3,n(B)=6,可得P(A)==,P(B)==.對于選項(xiàng)A,因?yàn)锳C= ,所以事件A與事件C是互斥事件,故A正確;對于選項(xiàng)B,因?yàn)锳B={1,4}≠ ,所以事件A與事件B不是互斥事件,故B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)B可知n(AB)=2,則P(AB)==,所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A與事件B相互獨(dú)立,故C正確;對于選項(xiàng)D,因?yàn)锽∪C={1,2,3,4,5,6,8,9}≠Ω,所以事件B與事件C不是對立事件,故D錯(cuò)誤.故選AC.
10.BCD　[解析] 抽取的人數(shù)為20+60+160+140+80+40=500,則估計(jì)總體中成績落在[150,400)內(nèi)的人數(shù)為×5000=4600,故A錯(cuò)誤;由表中數(shù)據(jù)可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(20×175+60×225+160×275+140×325+80×375+40×425)=307,故B正確;這組數(shù)據(jù)中區(qū)間[150,300)對應(yīng)的頻率為=0.48,區(qū)間[150,350)對應(yīng)的頻率為=0.76,故這組數(shù)據(jù)的62百分位數(shù)落在區(qū)間[300,350)內(nèi),設(shè)這組數(shù)據(jù)的62百分位數(shù)的估計(jì)值為x,則=,解得x=325,故C正確;在由表中數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖中,縱軸表示頻率/組距,因此各組對應(yīng)長方形的高度之和為=0.02,故D正確.故選BCD.
11.ACD　[解析] 對于選項(xiàng)A,設(shè)AB,AA1的中點(diǎn)分別為E,F,連接A1B,DE,DF,EF,如圖,由題意可知A1D1∥BC,且A1D1=BC,則四邊形A1BCD1為平行四邊形,所以A1B∥CD1,又因?yàn)镋,F分別為AB,AA1的中點(diǎn),所以A1B∥EF,則EF∥CD1,又EF 平面PCD1,CD1 平面PCD1,所以EF∥平面PCD1,因?yàn)镕,P分別為AA1,BB1的中點(diǎn),所以FP∥AB,且FP=AB,又因?yàn)镃D∥AB,且CD=AB,所以FP∥CD,且FP=CD,可知四邊形FPCD為平行四邊形,則DF∥CP,又DF 平面PCD1,CP 平面PCD1,所以DF∥平面PCD1,由EF∩DF=F,EF,DF 平面DEF,可得平面DEF∥平面PCD1,又DQ∥平面PCD1,D∈平面DEF,所以DQ 平面DEF,又Q∈側(cè)面ABB1A1,平面ABB1A1∩平面DEF=EF,所以Q∈EF,所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段EF,故A正確;對于選項(xiàng)B,因?yàn)辄c(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段EF,所以易知直線DQ與AD所成的角為∠ADQ,連接AQ,因?yàn)锳D⊥平面ABB1A1,AQ 平面ABB1A1,所以AD⊥AQ,在Rt△ADQ中,tan∠ADQ=,因?yàn)锳E=AF,∠EAF=,所以當(dāng)Q為線段EF的中點(diǎn)時(shí),AQ取到最小值,AQmin=AE=AB=AD,當(dāng)Q與線段EF的一個(gè)端點(diǎn)重合時(shí),AQ取到最大值,AQmax=AE=AB=AD,則AD≤AQ≤AD,所以tan∠ADQ=≤<1,則∠ADQ<,故B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)A可知EF∥平面PCD1,又Q∈EF,所以點(diǎn)Q到平面PCD1的距離為定值,即三棱錐Q-PCD1的高h(yuǎn)為定值,又△PCD1的面積為定值,所以三棱錐P-CD1Q的體積==h·是定值,故C正確;對于選項(xiàng)D,取A1B1的中點(diǎn)G,連接PG,D1G,因?yàn)镚,P分別為A1B1,BB1的中點(diǎn),所以GP∥A1B,由選項(xiàng)A可知A1B∥CD1,則GP∥CD1,所以平面PCD1截正方體所得截面為四邊形CD1GP,由題意可知CD1=2GP=,D1G=CP=,則等腰梯形CD1GP的高d==,所以所得截面的面積為××=,故D正確.故選ACD.
12.　[解析] 設(shè)AC的中點(diǎn)為D,連接BD,則+=2,因?yàn)?=4,所以2=4,所以=2,則M為BD的中點(diǎn),所以==.
13.　[解析] 在四面體C-ABD中,取AD的中點(diǎn)O,連接OM,ON,如圖,由M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),得ON∥AC,OM∥BD,則∠MON或其補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角.顯然ON=AC=,OM=BD=1,又MN=1,所以O(shè)M2+MN2=ON2,MN=OM,于是∠OMN=,∠MON=,所以異面直線AC與BD所成的角是.
14.　[解析] 由cos ωx=0,得ωx=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,即A,k∈Z,又OA⊥OB,所以·=0,所以·=·(-)==1,于是||==1,k∈Z,又π<ω<2π,所以ω=.
15.解:(1)由題意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.
(2)設(shè)“遇到紅燈的個(gè)數(shù)為4”為事件A,“遇到紅燈的個(gè)數(shù)為5”為事件B,
“遇到紅燈的個(gè)數(shù)大于或等于6”為事件C,
則“至少遇到4個(gè)紅燈”為A∪B∪C,因?yàn)槭录嗀,B,C互斥,
所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,
即至少遇到4個(gè)紅燈的概率為0.33.
16.解:(1)如圖,過D作DE∥BC,過C作CM⊥DE,垂足為M,
由題意可得CM=2米,CD=14米,則DM==8(米),
故cos γ=cos∠CDM===.
(2)設(shè)塔的高度為m米,則AD=(m+2)米,
由題意得sin∠DAC=sin(45°-30°)=,
由(1)知sin γ==,則sin∠ACD=sin[180°-15°-(45°-γ)]=sin(120°+γ)=sin 120°cos γ+cos 120°sin γ=×-×=.
在△ACD中,由正弦定理可得=,
即=,解得m=9+11≈28.03,
故塔的高度約為28.03米.
17.解:(1)由頻率分布直方圖可得學(xué)生成績在[130,150]內(nèi)的頻率為0.04,在[110,130)內(nèi)的頻率為0.16,
故估計(jì)這1000名學(xué)生中階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”的人數(shù)為1000×(0.04+0.16)=200.
(2)學(xué)生成績在[50,70)內(nèi)的頻率為0.08,在[110,130)內(nèi)的頻率為0.16,
則抽取的6人中,成績在[50,70)內(nèi)的有2人,在[110,130)內(nèi)的有4人.
記成績在[110,130)內(nèi)的4名學(xué)生為a,b,c,d,成績在[50,70)內(nèi)的2名學(xué)生為E,F,則從6人中任選3人,樣本空間為Ω={abc,abd,abE,abF,acd,acE,acF,adE,adF,aEF,bcd,bcE,bcF,bdE,bdF,bEF,cdE,cdF,cEF,dEF},共包含20個(gè)樣本點(diǎn).
用事件A表示“這3人中恰有1人成績在[110,130)內(nèi)”,則A={aEF,bEF,cEF,dEF},A包含4個(gè)樣本點(diǎn).
故P(A)==.
18.解:(1)cos θ===.
(2)證明:①當(dāng)n=3時(shí),3=(x1-)2++=+++3-2(x1+x2+x3)=+++3-2·3=++-3.
19.解:(1)證明:如圖,連接DB1,
因?yàn)锳B=BC,且點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC,
因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AB1C,平面ABC∩平面AB1C=AC,BD 平面ABC,
所以BD⊥平面AB1C,
又B1C 平面AB1C,所以BD⊥B1C,
又C1D⊥B1C,且C1D∩BD=D,C1D,BD 平面DBC1,
所以B1C⊥平面DBC1,
因?yàn)锽1C 平面CBB1C1,所以平面CBB1C1⊥平面DBC1.
(2)①由題意可知BD=AC=,B1D=,
因?yàn)椤鰽B1C為正三角形,且點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),所以B1D⊥AC,
因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AB1C,平面ABC∩平面AB1C=AC,B1D 平面AB1C,
所以B1D⊥平面ABC,
又BD 平面ABC,所以B1D⊥BD,
可得B1B==2.
如圖,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,B1M,
因?yàn)锽1B=AB1,AD=DB,所以B1M⊥AB,DM⊥AB,
又B1M∩DM=M,B1M,DM 平面B1DM,所以AB⊥平面B1DM.
在梯形ABB1A1中,過點(diǎn)A作AD1⊥A1B1,垂足為D1,
因?yàn)锽1M==,則AD1=B1M=,可得A1D1==3,A1B1=A1D1+B1D1=A1D1+AM=4,
可知=,則A1B1=B1C1=4,A1C1=4.
延長A1A,B1B,C1C交于點(diǎn)G,則===,
設(shè)C1D∩A1G=N,連接BN,可知l即為直線BN,
則===,可得NA=.連接MN,
注意到==,
則B1,M,N三點(diǎn)共線,且=,即NB1=.
易知B1N為線段AB的中垂線,則NA=NB=.
過D作DH⊥B1N,垂足為H,過H作HF⊥BN,垂足為F,連接DF,
易知AB⊥平面B1DM,DH 平面B1DM,所以DH⊥AB,
又B1N∩AB=M,B1N,AB 平面GA1B1,所以DH⊥平面GA1B1,
由BN 平面GA1B1,可得DH⊥BN,
又DH∩HF=H,DH,HF 平面DHF,所以BN⊥平面DHF,
由DF 平面DHF,可得DF⊥BN,
所以二面角A1-l-C1的平面角為∠DFH.
因?yàn)锽1D⊥平面ABC,DM 平面ABC,所以B1D⊥DM,
在Rt△B1DM中,B1D=,DM=1,B1M=,
可得DH==,B1H==,則NH=B1N-B1H=,
在Rt△BMN中,BN=,BM=1,可得sin∠BNM==,
在Rt△NHF中,HF=NH·sin∠BNM=,
在Rt△DHF中,DF==,可得cos∠DFH==,
所以二面角A1-l-C1的余弦值為.
②由①可知三棱臺(tái)A1B1C1-ABC的高B1D=,=4S△ABC=8,
則三棱臺(tái)A1B1C1-ABC的體積=×(2+8+)×=,
且==,連接BE,
則三棱錐B-A1B1E的體積=××=<,
如圖,連接A1E,連接EP并延長,設(shè)EP∩GB1=Q,連接A1Q,設(shè)A1Q∩AB=S,=λ∈(0,1),
則Q∈線段GB,連接SP,則S△BSP=λ2=λ2,
則三棱臺(tái)A1B1E-SBP的體積=××=×,
整理可得16λ2+16λ-5=0,解得λ=(負(fù)值舍去),
所以存在點(diǎn)P符合題意,此時(shí)BP=B1E=.模塊素養(yǎng)測評卷
全部章節(jié)
(時(shí)間:120分鐘　分值:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.計(jì)算sin 40°cos 160°-cos 40°sin 20°的值為 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.-
C. D.-
2.已知復(fù)數(shù)z滿足=-1+2i(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.[2024·江蘇南京秦淮中學(xué)期末] 已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)為10,方差為5,設(shè)數(shù)據(jù)3x1-1,3x2-1,3x3-1,…,3xn-1的平均數(shù)為,方差為s2,則 (　　)
A.=10,s2=14
B.=9,s2=44
C.=29,s2=45
D.=29,s2=44
4.已知向量a=(1,1),向量b=(-3,0),則向量b在向量a上的投影向量為 (　　)
A.
B.
C.
D.
5.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事,其中講到田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.若雙方各自擁有上、中、下等馬各1匹,分別從中隨機(jī)選1匹進(jìn)行1場比賽,則齊王獲勝的概率為 (　　)
A. B. C. D.
6.已知α,β,γ為三個(gè)不同的平面,m,n為兩條不同的直線,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若m⊥α,n⊥α,則m⊥n
C.若β⊥α,γ⊥α,則β∥γ D.若m∥α,n⊥α,則m⊥n
7.已知點(diǎn)A(2,3),B(4,-1),C(-2,1),則下列說法正確的是 (　　)
A.·=28
B.∠ACB=
C.點(diǎn)C到直線AB的距離為2
D.|2+|=
8.已知正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面邊長分別為2和4,若該正四棱臺(tái)的側(cè)面積為12,則直線AA1與平面ABCD所成的角為 (　　)
A. B.
C. D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片,上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,…,9.從袋中任意抽取1張卡片,記“抽出的卡片號(hào)為1或4或7”為事件A,“抽出的卡片號(hào)小于7”為事件B,“抽出的卡片號(hào)大于7”為事件C,則下列說法正確的是 (　　)
A.事件A與事件C是互斥事件
B.事件A與事件B是互斥事件
C.事件A與事件B相互獨(dú)立
D.事件B與事件C是對立事件
10.[2024·湖南師大附中高一月考] 抽取S市某屆馬拉松比賽前5000名的部分跑者成績(單位:分鐘)繪制成如下頻數(shù)分布表,則 (　　)
分組 [150,200) [200,250) [250,300) [300,350) [350,400) [400,450]
頻數(shù) 20 60 160 140 80 40
A.估計(jì)總體中成績落在[150,400)內(nèi)的人數(shù)為450
B.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為307
C.這組數(shù)據(jù)的62百分位數(shù)的估計(jì)值為325
D.在由表中數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖中,各組對應(yīng)長方形的高度之和為0.02
11.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若P為棱BB1的中點(diǎn),Q點(diǎn)在側(cè)面ABB1A1(包括邊界)上運(yùn)動(dòng),且DQ∥平面PCD1,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線段
B.直線DQ與AD所成的角可以為
C.三棱錐P-CD1Q的體積是定值
D.若正方體的棱長為1,則平面PCD1截正方體所得截面的面積為
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.[2024·江蘇南京外國語學(xué)校期末] 若M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足+=4,則△ABM與△ACM的面積的比值為　　　　.
13.已知在四面體C-ABD中,AC=2,BD=2,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),若MN=1,則異面直線AC與BD所成的角為　　　　.
14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),函數(shù)y=cos ωx(π<ω<2π)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)B,且·=1,則ω=　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)汽車從甲地到乙地沿某條公路一共行駛200千米,遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如下表所示:
紅燈個(gè)數(shù) 0 1 2 3 4 5 ≥6
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中a的值;
(2)求至少遇到4個(gè)紅燈的概率.
16.(15分)如圖,某學(xué)習(xí)小組為了在塔外測量某塔的高度,在與塔底B在同一水平面的C處測得塔頂A的仰角為60°.受地形所限,他們沿斜坡從C點(diǎn)下行14米到達(dá)D點(diǎn)(與A,B,C三點(diǎn)在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi))后,測得塔頂A的仰角為45°.已知C,D兩點(diǎn)的海拔高度差為2米.
(1)記斜坡CD與水平方向的夾角為銳角γ,計(jì)算γ的余弦值;
(2)求塔的高度(參考數(shù)據(jù):≈1.73).
17.(15分)[2024·湖南衡陽高一期末] 為了解某校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性成果,該年級組織了一次測試.已知此次考試共有1000名學(xué)生參加,將考試成績(單位:分)分成六組:第一組[30,50),第二組[50,70),…,第六組[130,150].整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)該校根據(jù)試卷的難易程度進(jìn)行分析,若此次成績不低于110分,則階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”,試估計(jì)這1000名學(xué)生中階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”的人數(shù);
(2)若采用分層抽樣的方法,從成績在[50,70)和[110,130)內(nèi)的學(xué)生中共抽取6人,通過查看他們的答題情況來分析知識(shí)點(diǎn)的掌握情況,再從這6人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行面對面調(diào)查分析,求這3人中恰有1人成績在[110,130)內(nèi)的概率.
18.(17分)已知數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,方差為,數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn的平均數(shù)為,方差為.類似平面向量,定義n維向量=(x1-,x2-,…,xn-),=(y1-,y2-,…,yn-)的
19.(17分)[2024·江蘇南京師范大學(xué)附中期末] 在三棱臺(tái)A1B1C1-ABC中,△AB1C為正三角形,AB=BC=2,且AB⊥BC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),平面ABC⊥平面AB1C.
(1)若C1D⊥B1C,證明:平面CBB1C1⊥平面DBC1.
(2)當(dāng)AA1=CC1=4時(shí),
①設(shè)平面ABA1與平面DBC1的交線為l,求二面角A1-l-C1的余弦值.
②若點(diǎn)E在棱B1C1上,滿足B1C1=3EC1.問:在棱BC上是否存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)A1,E,P三點(diǎn)的平面將三棱臺(tái)A1B1C1-ABC分為兩個(gè)多面體,且體積相等 若存在,求出BP的長度;若不存在,請說明理由.

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