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21.2解一元二次方程 同步練習 同步練習 2025-2026學年人教版數學九年級上冊
一、選擇題
1.下列方程無實數根的是( )
A. B. C. D.
2.有下列方程：；；；其中能用直接開平方法求解的是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程，配方正確的是( )
A. B. C. D.
4.方程的兩根是( )
A. B. C. D.
5.若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.方程可轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是，則另一個一元一次方程是( )
A. B. C. D.
7.用公式法解一元二次方程時，首先要確定，，的值，下列敘述正確的是 ( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
8.關于的一元二次方程的兩實數根分別為，，且，則的值為( )
A. B. C. D.
9.已知方程的兩根分別是和，則代數式的值為( )
A. B. C. D.
10.已知菱形的邊長為方程的一個根，有一條對角線為，則這個菱形的周長為( )
A. B. C. 或 D.
二、填空題
11.在一元二次方程中， ．
12.一元二次方程的根是 ．
13.方程的兩根為，且，則 ．
14.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是 ．
15.已知方程的一個根是，則它的另一個根是 ．
16.對于實數，，定義運算“”如下：若，則 ．
17.若，是一元二次方程的兩個實數根，則的值為______．
三、解答題
18.用合適的方法解一元二次方程．
；；．
19.已知，是一元二次方程的兩個根，不解方程，求下列各式的值：
．
20.已知關于的一元二次方程．
求證：無論為何值，此方程總有一個根是定值；
若直角三角形的一邊長為，另兩邊的長恰好是該方程的兩根，求的值．
21.材料：若關于的一元二次方程的兩個根為，，則，；
材料：已知一元二次方程的兩個實數根分別為，，求的值．
解：一元二次方程的兩個實數根分別為，，
，，
則．
根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：
材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則 ______； ______．
類比應用：已知一元二次方程的兩根分別為、，求的值．
思維拓展：已知實數、滿足，，且，求出的值．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
【解析】解：由原方程，得
，
，
則，
故選A．
先把常數項移到等號的右邊，再化二次項系數為，等式兩邊同時加上一次項系數的一半的平方，即可解答．
本題考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步驟：把常數項移到等號的右邊；把二次項的系數化為；等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
4.【答案】
【解析】解：
，，，
．
故選B．
本題主要考查了一元二次方程的解法，根據方程的特點靈活選擇方法是關鍵用公式法解答，首先找出，，，計算，最后代入公式即可．
5.【答案】
【解析】解：一元二次方程有實數根，
，
．
故選：．
若一元二次方程有實數根，則．
本題考查了一元二次方程根的判別式的應用，關鍵是根據題意列出不等式．
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
【解析】【分析】
本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，掌握一元二次方程的根與系數的關系為：，是解題的關鍵．根據一元二次方程根與系數的關系得到，代入代數式計算即可．
【解答】
解：，
，
，
把代入得：，
解得：，此時，符合題意，
故選：．
9.【答案】
10.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了菱形的性質、一元二次方程的解法、三角形的三邊關系；熟練掌握菱形的性質，由三角形的三邊關系得出邊長是解決問題的關鍵．
解方程得出或，分兩種情況：當時，，不能構成三角形；所以時，即可得出菱形的周長．
【解答】
解：如圖所示：
四邊形是菱形，
，
，
因式分解得：，
解得：或，
分兩種情況：
當時，，不能構成三角形；
所以，
菱形的周長．
故選：．
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】且
【解析】【分析】
此題考查了一元二次方程根的判別式的應用解題的關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式的關系：
方程有兩個不相等的實數根；
方程有兩個相等的實數根；
方程沒有實數根．
由關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，即可得判別式且，則可求得的取值范圍．
【解答】
解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
，，
解得，且．
的取值范圍是：且．
故答案為且．
15.【答案】
16.【答案】或
【解析】【分析】
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
利用新定義得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】
解：根據題意得，
，
，
或，
所以，．
故答案為或．
17.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的兩個實數根，
，
，
，
，
，
故答案為．
先根據一元二次方程的解的定義得到，再根據根與系數的關系得到，再將其代入所求式子即可求解．
本題考查了根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程的解與方程的關系得到是解題的關鍵．
18.【答案】解：，
，
，
，或，
，；
，
這里，，，
，
，
，；
，
，
，
，．
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
19.【答案】【小題】
解：由題可知，，．
．
【小題】
．

20.【答案】【小題】
解：，，，，無論為何值，此方程總有一個根是定值；
【小題】
由知該方程的兩根為，．
若斜邊長為，則另兩直角邊的長分別為和，，，舍去；
若斜邊長為，則另兩直角邊的長分別為和，，，舍去綜上所述，的值為或．

21.【答案】；
；
或
【解析】、是一元二次方程的兩個根，
，，
故答案為：；
由題意可知，，
．
實數、滿足，，，
實數、是方程的兩根，
，，
，
，即或
根據材料中一元二次方程根和系數的關系即可求解；
根據材料中一元二次方程根和系數的關系，得到，，再將分式通分化簡求值即可；
由題意可知，實數、是方程的兩根，進而得到，，再結合完全平方公式，得出，即可求解．
本題考查了一元二次方程根和系數的關系，分式的化簡求值，完全平方公式等知識，理解材料中關于的一元二次方程的兩個根為，，則是解題關鍵．

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