資源簡介

2025-2026學年廣東省深圳市紅嶺教育集團九年級上學期開學考數學試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.志愿服務，傳遞愛心，傳遞文明，下列志愿服務標志為中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
2.下列分式是最簡分式的是( )
A. B. C. D.
3.實數與在數軸上的位置如圖所示，若，則取值可能為（　　）
A. B. C. 0 D. 1
4.如圖，已知直線=ax+b與相交于點（2，），若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
5.用反證法證明“中，若，則”，第一步應假設
A. B. C. D.
6.小明同學在平行四邊形中用尺規作圖作等腰，下列作圖不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
7.如圖，在中，，，．將繞點A逆時針旋轉得到，使點D落在邊上，連接，則的長為（ ）
A. B. 6 C. 3 D.
8.如圖，在矩形中，R，P分別是，上的點，E，F分別是，的中點，當點P在上從點A向點D移動，而點R保持不動時，下列結論成立的是（ ）
A. 線段的長逐漸增大 B. 線段的長逐漸減小
C. 線段的長不變 D. 線段的長先增大后減小
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
9.若分式的值為0，則x的值為 ．
10.如圖所示，第四套人民幣中1角硬幣邊緣鐫刻的圖形是正九邊形，其內角和為 ．
11.如圖，書架長，在該書架上按圖示方式擺放數學書和語文書，已知每本數學書厚，每本語文書厚．若書架上已擺放30本語文書，則數學書最多還可以擺 本．
12.如圖，將直角三角形沿方向向右平移得到直角三角形與交于點．若，，陰影部分的面積為，則平移的距離為 ．
13.如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點O，點E在的延長線上，，連接．若點F為的中點，則線段的長為 ．
三、解答題：本題共7小題，共56分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
14.(本小題8分)
解不等式組請結合題意填空，完成本題的解答．
(1) 解不等式①，得 ；
(2) 解不等式②，得 ；
(3) 把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：
(4) 原不等式組的解集為 ．
15.(本小題8分)
小穎和小紅在化簡的過程中，分別給出如下的部分運算過程．
小穎：原式
…
小紅：原式
…
(1) 小穎解法的依據是 ，小紅解法的依據是 ．A．分式的基本性質 B．等式的基本性質 C．乘法結合律 D．乘法分配律
(2) 請你選擇一種解法，寫出完整的解答過程，并從“，，”中選一個合適的數作為的值，代入求該分式的值．
16.(本小題8分)
如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，已知的頂點都在網格上，完成下列任務．
(1) 將向右平移4個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到，畫出；
(2) 以點為旋轉中心，將（1）中按順時針方向旋轉，得到，畫出；
(3) 在（1）（2）的條件下，利用網格點和無刻度的直尺畫出線段的中點P．
17.(本小題8分)
我們知道某些代數恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋，例如：圖可以用來解釋．現有足夠多的正方形卡片1號，2號和長方形卡片3號，如圖．
(1) 根據圖B完成因式分解： ：
(2) 現有1號卡片1張、2號卡片4張，3號卡片4張．在不重疊的情況下可以緊密地拼成一個大正方形，則這個大正方形的邊長為 ；
(3) 現要拼出一個面積為的長方形，則需要1號卡片 張，2號卡片 張，3號卡片 張；
(4) 若，比較圖中的兩個正方形面積之和與兩個長方形面積之和的大小關系．并說明理由．
18.(本小題8分)
如圖，已知矩形．
(1) 用無刻度的直尺和圓規作菱形，使點、分別在、邊上：（不寫作法，保留作圖痕跡，并給出證明．）
(2) 若，求的長．
19.(本小題8分)
數學項目小姐為解決由10根彈簧構成且成本不超過40元的彈簧拉力計設計問題，經調研，獲得如下信息：
信息1 已知花30元購買彈簧A的數量是花30元購買彈簧B數量的一半，其中彈簧B的單價比彈簧的單價少3元．
信息2 彈簧并聯時．拉力計拉力等于每根彈簧拉力之和，如圖1，，彈簧拉力與長度之間有關系式；測得彈簧拉力與長度的數據如下表： 彈簧長度/ cm10152025拉力5101520
信息3 在彈性限度內，彈簧伸長后最大長度均為．
如果你是項目小組成員，請根據以上信息，解答下列問題：
(1) 求彈簧和彈簧的單價．
(2) ①在圖2中做出以彈簧測得數據的各對與的對應值為坐標的各點，并判斷這些點___________（填是或不是）在同一直線上．
②關于的函數表達式為___________，彈簧B在彈性限度內的最大拉力為___________N．
(3) 如何購買兩種彈簧，使并聯后的彈簧拉力計拉力最大（在彈性限度內）？并求出彈簧拉力計的最大拉力．
20.(本小題8分)
【模型建構】
如圖1，已知線段、所在直線交于點，其所交銳角為．
將圖1中的線段其中的一條線段經過不同的平移變換后，得到以點其中三個點為頂點（另一個頂點在平面內）的多個平行四邊形．例如：圖2是將線段沿方向平移線段的長度得到，圖3是將線段沿方向平移線段的長度得到．
(1) 【模型應用】
小明受到上述模型建構的啟發，運用兩種方法構造出平行四邊形解決下面問題：
如圖4，在中，，點分別在延長線上，且．，求證：．
方法一：過點作，且，連接，，將證明．轉化為證明；
方法二：過點作．且，連接．將證明，轉化為證明．
請你依照小明的解題思路．任選一種方法，寫出證明過程；
(2) 小明又嘗試將（1）中問題進行變式提出了新問題，請你應用【模型建構】構建平行四邊形的方法或者按照自己思路解答下面問題：
如圖5．在中，，為上一點，為延長線上一點，且，．連接交于點，則的度數為 ：
(3) 【學以致用】
某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖6．小明收集了該房屋的相關數據，并畫出了示意圖，如圖7，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，，是一條兩端點位置和長度均可調節的鋼絲繩，點在上，點在上．在調整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為多少米．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】1260°
11.【答案】47
12.【答案】
13.【答案】
/
14.【答案】【小題1】
【小題2】
【小題3】
把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：
【小題4】

15.【答案】【小題1】


【小題2】
解：選擇小穎的解法：
，
∵，
∴，
∴，則原式；
選擇小紅的解法，
，
，
；
∵當為，時，原式無意義，
∴當時，原式．

16.【答案】【小題1】
解：如圖所示；

【小題2】
如圖所示；

【小題3】
點P如圖所示．
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴P為線段的中點．

17.【答案】【小題1】
【小題2】
【小題3】
1
3
4
【小題4】
解：由題意可知，，，
，
，
，
，即．

18.【答案】【小題1】
解：如圖，菱形即為所求作．
證明：矩形，
，
，
垂直平分，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
【小題2】
解：在矩形中，，
，
，
四邊形是菱形，
，，，，
設，則，
在中，，
，
解得，即，
，
．

19.【答案】【小題1】
解：設彈簧的單價為元，則彈簧的單價為元，
則，
解得，
經檢驗，是原分式方程的解，
，
答：彈簧的單價為元，則彈簧的單價為元．
【小題2】
解：①描點并連線如圖所示，
由圖象可知，這些點分布在同一直線上．
②由①可知，與之間是一次函數關系，
設關于的函數表達式為，
則，解得，
關于的函數表達式為；
由題意可知，在彈性限度內，彈簧伸長后最大長度均為，
當時，，
則彈簧B在彈性限度內的最大拉力為．
【小題3】
解：設購買根彈簧，則購買根彈簧，
由題意得：，
解得，
當時，，
即彈簧A在彈性限度內的最大拉力為，
由（2）可知，彈簧B在彈性限度內的最大拉力為．
則
，
隨的增大而增大，
，且為非負整數，
當時，有最大值為，
此時（根），
即購買根彈簧，購買根彈簧，并聯后的彈簧拉力計拉力最大，最大拉力為．

20.【答案】【小題1】
解：方法一：如圖4，過點作，且，連接、，
，，
，即，
，，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等邊三角形，
，
；
方法二：過點作．且，連接．
則四邊形是平行四邊形，
，，，
由方法一可知，，，
同理可證，，是等邊三角形，
．
【小題2】

【小題3】
如圖，以、為鄰邊作平行四邊形，連接、，
，，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
當時，最小，此時最小，
，米，
，
，
，
，
過點作于點，則，
在中，米， ，
米，米，
米，
在中，，
米，
鋼絲繩長度的最小值為米．

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