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第三章　代數式
3.1　列代數式表示數量關系
3.1.1　代數式
1.用字母表示數.
(1)數字和字母、字母和字母之間的乘號可以寫為“ ”或者省略不寫.
(2)數與字母相乘時,數字一般寫在字母前面,若數是帶分數時,帶分數要寫成假分數.
(3)除法運算式寫成分數形式.
(4)用字母表示數的結果是加減運算時,若有單位,要將式子用括號括起來.
2.代數式:用運算符號把數或表示數的字母連接起來的式子,稱為代數式.
列代數式
(1)邊長為a的正方體的表面積為　　　　,體積為　　　　;
(2)鉛筆的單價是x元,圓珠筆的單價是鉛筆的2.5倍,圓珠筆的單價是　　　　元;
(3)一輛汽車的速度是v km/h,走s km路程所需時間是　　　　h;
(4)設n是一個數,則它的相反數是　　　　.
【知識點】　列代數式
【答案】　(1)6a2　a3　(2)2.5x　(3)
(4)-n
【解析】　(1)數字和字母、字母和字母之間的乘號可以省略不寫.(2)數與字母相乘時,數字一般寫在字母前面.(3)除法運算式寫成分數形式.
一、選擇題
1.下列式子:①3m;②;③>1;④;⑤2<5;⑥x=-3;⑦0.其中代數式的個數是 (　　)
A.2個　　　　　　 B.3個
C.4個 D.5個
2.請你幫助李飛同學,告訴他下列式子中不是代數式的是 (　　)
A.3πr2=12 B.0
C.a D.
3.在2x2,1-2x=0,ab,a>0,0,,π中,是代數式的有 (　　)
A.5個 B.4個
C.3個 D.2個
4.下列說法正確的是 (　　)
A.2m表示m和m相乘
B.2m的值一定比m的值大
C.2m的值一定比2大
D.2m的值隨m的增大而增大
5.一個兩位數,十位上的數字是a,個位上的數字是6,表示這個兩位數的式子是 (　　)
A.6a B.60+a
C.6+a D.6+10a
6.小明比小強大2歲,比小華小4歲.如果小強y歲,則小華 (　　)
A.(y-2)歲 B.(y+2)歲
C.(y+4)歲 D.(y+6)歲
7.為了進一步推進“雙減”政策的落實,提升學校課后服務水平,某校開設了選修課程.參加“學科類選修課程”m人,參加“體音美選修課程”的人數比“學科類選修課程”的人數多9人,參加“科技類選修課程”的人數比“體音美選修課程”人數的多5人,則參加“科技類選修課程”的人數為 (　　)
A.m+5 B.m+8
C.m+9 D.2m+5
8.若x表示一個兩位數,y也表示一個兩位數,小明想用x,y來組成一個四位數,且把x放在y的左邊,你認為下列表達式中哪一個是正確的 (　　)
A.yx B.x+y
C.100x+y D.100y+x
9.有一列數:-2,4,-8,16,-32,….按這樣的規律排列,則第n個數是 (　　)
A.-2n B.(-2)n
C.-12n D.(-1)2n
10.某教學樓階梯教室,第一排有m個座位,后面每一排都比前面一排多2個座位,則第n排座位數是 (　　)
A.m+2 B.m+2(n-1)
C.n+2(m-1) D.m+2n
二、填空題
11.如圖是用大小相等的五角星按一定規律拼成的一組圖案,請根據你的觀察,寫出第2024個圖案中小五角星有　　　　顆.
12.有一組按規律排列的代數式:a+2b,a2-2b3,a3+2b5,a4-2b7,….第10個式子是　　　　.
一、選擇題
1.貴陽某中學七年級(6)班張老師在黑板上寫了一個代數式3m,關于這個代數式,下列說法中正確的是 (　　)
A.表示3與m的和
B.表示3與m的商
C.表示單價為3元的鋼筆買了m支的總價
D.表示3與m的差
2.代數式的意義是 (　　)
A.m除以n減1
B.n減1除m
C.n與1的差除以m
D.m除以n與1的差所得的商
3.代數式a2-4b2用語言敘述正確的是 (　　)
A.a與4b的平方差
B.a的平方與4的差乘以b的平方
C.a與4b的差的平方
D.a的平方與b的平方的4倍的差
4.商店銷售某種商品,第一天售出m件,第二天的銷售量比第一天的兩倍少3件,則代數式3m-3表示的意義是 (　　)
A.第二天售出的該商品數量
B.第二天比第一天多售出的該商品數量
C.兩天一共售出的該商品數量
D.第二天比第一天少售出的該商品數量
二、解答題
5.在括號里填上適當的代數式:
(1)每千克蘋果a元,每千克香蕉b元(a>b),每千克蘋果比每千克香蕉貴　　　　元;若買3千克蘋果、2千克香蕉,則需要　　　　元.
(2)把x毫升可樂平均分給5個小朋友,每個小朋友分得可樂　　　　毫升;若平均分給y個小朋友,每個小朋友分得可樂　　　　毫升.
(3)一件衣服進價a元,商店提高20%標價,則標價　　　　元;后來該店搞活動,決定打九折出售,則這件衣服售價　　　　元.
6.如圖是一組有規律的圖案,它們是由邊長相等的等邊三角形組合而成,第1個圖案有4個三角形,第2個圖案有7個三角形,第3個圖案有10個三角形……
(1)照此規律,擺成第5個圖案需要　　　　個三角形.
(2)照此規律,擺成第n個圖案需要　　　　個三角形(用含n的代數式表示).
(3)照此規律,擺成第2025個圖案需要幾個三角形
7.七年級數學興趣小組成員自主開展數學微項目研究,他們決定研究“折線數軸”.如圖,將一條數軸在原點O,點B,點C處折一下,得到一條“折線數軸”.圖中點A表示-9,點B表示12,點C表示24,點D表示36,動點P從點A出發,以2個單位長度/秒的初始速度沿著“折線數軸”向其正方向運動.當運動到點O與點B之間時速度變為初始速度的一半;當運動到點B與點C之間時速度變為初始速度的2倍;經過點C后立刻恢復初始速度.
(1)動點P從點A運動至點B需要　　　　秒;
(2)動點P從點A出發,運動t秒至點B和點C之間時,點P表示的數為　　　　(用含t的式子表示).
8.【觀察思考】
第1個圖形是1個三條長度都為a的線段構成的小三角形;第2個圖形是4個邊長都為a的小三角形拼成的大三角形;第3個圖形是9個邊長都為a的小三角形拼成的大三角形;第4個圖形是16個邊長都為a的小三角形拼成的大三角形;……
【規律發現】
請用含n的式子填空:
(1)請直接寫出第n個圖形有　　　　個小三角形.
(2)第1個圖形共有長度為a的線段1×3=3=3×(條),
第2個圖形共有長度為a的線段(1+2)×3=9=3×(條),
第3個圖形共有長度為a的線段(1+2+3)×3=18=3×(條),
第4個圖形共有長度為a的線段(1+2+3+4)×3=30=3×(條),
……
按此規律,第n個圖形中共有長度為a的線段　　　　條;
(3)請類比(2)的探究方法,求第n個圖形中共有交點的個數.
3.1.2　反比例關系
1.兩個相關聯的量,一個量變化,另一個量也隨著變化,且這兩個量的比值一定,這兩個量就叫作成正比例的量,它們之間的關系叫作正比例關系.
2.如果用字母x和y表示兩個相關聯的量,用k表示它們的比值(k是一個確定的值,且k≠0),正比例關系可以用=k來表示.
3.兩個相關聯的量,一個量變化,另一個量也隨著變化,且這兩個量的乘積一定,這兩個量就叫作成反比例的量,它們之間的關系叫作反比例關系.
4.如果用字母x和y表示兩個相關聯的量,用k表示它們的積(k是一個確定的值,且k≠0),反比例關系可以用xy=k來表示.
如圖,四個圓柱形容器內部的底面積分別為10 cm2,20 cm2,30 cm2,60 cm2.分別往這四個容器中注入300 cm3的水.
(1)四個容器中水的高度分別是多少厘米
(2)分別用x(單位:cm2)和y(單位:cm)表示容器內部的底面積與水的高度,用式子表示y與x的關系,y與x成什么比例關系
【答案】　解:(1)四個容器中水的高度分別為
=30(cm),=15(cm),=10(cm),=5(cm).
(2)xy=300.y與x成反比例關系.
一、選擇題
1.下列問題中的兩個變量成反比例關系的是 (　　)
A.正方形的面積S與邊長a之間的關系
B.等邊三角形中,周長C與邊長a之間的關系
C.等腰三角形的周長C一定,它的腰長a與它的底邊長b之間的關系
D.車輛行駛的路程s一定,車輪直徑d與車輪的旋轉周數n之間的關系
2.下列問題中,兩個變量成反比例關系的是 (　　)
A.商一定時(不為0),被除數與除數
B.等腰三角形周長一定時,它的腰長與它底邊的長
C.一個乘數(不為0)不變時,另一個乘數與它們的積
D.貨物的總價A一定時,貨物的單價a與貨物的數量x
3.下列說法中正確的是 (　　)
A.一個人的體重與他的年齡成正比例關系
B.圓的周長與直徑成正比例關系
C.周長一定時,長方形的長與寬成反比例關系
D.車輛行駛的速度v一定時,行駛的路程s與時間t成反比例關系
4.下列說法中正確的是 (　　)
A.等邊三角形的面積與邊長成反比例
B.人的身高與體重成正比例
C.車在行駛中,速度與時間成反比例
D.面積為8平方厘米的長方形的長與寬成反比例
二、解答題
5.如果汽車行駛的路程一定,那么汽車行駛的平均速度與時間是否成反比例關系 為什么
6.判斷下面各題中的兩個量是否成反比例關系,并說明理由:
(1)一批水果質量一定,按每箱質量相等的規定分裝,裝箱數與每箱的質量;
(2)長方體的體積一定,長方體的底面積與高;
(3)購買熒光筆和中性筆的總費用一定,熒光筆的費用與中性筆的費用.
7.某運輸公司計劃運輸一批貨物,每天運輸的噸數與運輸的天數之間的關系如下表所示.
每天運輸的噸數 500 250 100 50 …
運輸的天數 1 2 5 10 …
(1)這批貨物共有多少噸
(2)運輸的天數是怎樣隨著每天運輸的噸數的變化而變化的
(3)用t表示運輸的天數,用a表示每天運輸的噸數,用式子表示t與a的關系,t與a成什么比例關系
一、選擇題
1.下面各題中的兩種量,成正比例關系的有　　　　組. (　　)
①圓柱的體積一定,圓柱的底面積和高.
②張老師的身高和體重.
③圓的面積和半徑.
④看電影所付票費與看電影的人數.
⑤等邊三角形的周長與邊長.
A.1　 B.2
C.3 D.4
2.下面每組相關聯的量中,不成正比例關系的是 (　　)
A.數量一定,總價和單價
B.圓的周長和直徑
C.速度一定,時間和路程
D.看一本書,已經看的頁數和沒看的頁數
3.關于正比例的判斷,有以下四種說法:
(1)訂同一種雜志的錢數和份數成正比例.
(2)正方形的面積和它的邊長成正比例.
(3)八小時內,工人做零件的個數和做每個零件所用時間成正比例.
(4)平行四邊形的面積與和它等底等高的三角形的面積成正比例.
說法正確的是 (　　)
A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(1)(3)(4) D.(1)(4)
4.下面說法中錯誤的是 (　　)
A.路程一定,時間與速度成反比例
B.如果ab=9,那么a和b成反比例
C.工作效率一定,工作總量和工作時間成反比例
D.分數值一定,分子和分母成正比例
5.三角形的底一定,那么三角形的面積與它的高 (　　)
A.成正比例 B.成反比例
C.不成比例 D.不確定
6.下面每個選項中的兩種量成反比例關系的是 (　　)
A.汽車的路程一定,行駛的速度和時間
B.圓柱的高一定,體積和底面積
C.被減數一定,減數和差
D.圓的半徑和它的面積
7.當a(a≠0)一定時,下面式子中x和y成正比例的是 (　　)
A.xy÷a=1 B.x÷=y
C.a÷x=y D.a+x=y
8.若5x=3y(x,y均不為0),則x和y (　　)
A.成正比例 B.成反比例
C.不成比例 D.無法判斷
9.x和y成正比例關系,當x=2時,y=;當x=5時,y= (　　)
A. B.
C.2 D.
10.下列各式中,m和n成反比例關系的是 (　　)
A.m+n=8 B.m-n=8
C.m×n=8 D.m÷n=8
11.已知5x=6y(x,y均不為0),則x與y (　　)
A.不成比例 B.成正比例
C.成反比例 D.都可能
12.如果A=5∶B(A與B都大于0),那么A與B (　　)
A.不成比例 B.無法確定
C.成正比例 D.成反比例
13.長方體的體積一定時,底面積和高 (　　)
A.成正比例 B.成反比例
C.不成比例 D.無法判斷
14.下面各式中,表示x和y成反比例的是 (　　)
A.x+y=6 B.x=6+y
C.= D.y=6x
15.下列各圖中,兩個量a和b成反比例關系的是 (　　)
A.線段總長為1 B.圓柱體積為1
C.三角形面積為1 D.長方體體積為1
二、解答題
16.判斷下列各題中的兩個量是否成反比例關系,并說明理由:
(1)200名同學參加隊列操表演,按每排人數相等的規定排列,每排的人數與排數;
(2)三角形的面積是6 cm2,它的一條邊的長與這條邊上的高;
(3)張華每小時可以制作120朵小紅花,她制作的小紅花朵數與制作時間.
17.同學們在探究“杠桿原理”時,通過實驗發現:當左邊刻度4上放3個砝碼,右邊刻度及放砝碼數如圖所示,兩邊平衡.想一想:在右邊其余刻度上放幾個砝碼才能保證平衡
(1)請你完成表格.
右邊刻度 1 2 3 4
砝碼數 6 3
乘積
(2)從表中你發現刻度數和砝碼數成什么比例關系 為什么
18.一本《中華詩詞集錦》,每天看的頁數和需要的天數如表.
每天看的頁數(頁) 12 15 20 30
需要的天數(天) 25 20 15 10
(1)每天看的頁數與需要的天數之間成反比例關系嗎 為什么
(2)如果要6天看完這本《中華詩詞集錦》,平均每天要看多少頁
3.2　代數式的值
1.用數值代替代數式中的字母,按照代數式中的運算關系計算得出的結果,叫作代數式的值.
2.在小學,我們學習過許多公式,如長方形、正方形、三角形、梯形、圓等圖形的面積公式,長方體、正方體等圖形的體積公式,等等.在解決有關問題時,經常用這些公式進行計算.
1.根據下列x,y的值,分別求代數式2x+3y的值:
(1)x=15,y=12;(2)x=1,y=.
【答案】　解:(1)當x=15,y=12時,
2x+3y=2×15+3×12=66;
(2)當x=1,y=時,
2x+3y=2×1+3×=.
2.根據下列a,b的值,分別求代數式a2-的值:
(1) a=4,b=12;(2)a=-3,b=2.
【答案】　解:(1)當a=4,b=12時,
a2-=42-=13;
(2)當a=-3,b=2時,
a2-=(-3)2-=.
3.如圖,某學校操場最內側的跑道由兩段直道和兩段半圓形的彎道組成,其中直道的長為a,半圓形彎道的直徑為b.
(1)用代數式表示這條跑道的周長;
(2)當a=67.3 m,b=52.6 m時,求這條跑道的周長(π取3.14,結果取整數).
【答案】　解:(1)兩段直道的長為2a;兩段彎道組成一個圓,它的直徑為b,周長為πb.
因此,這條跑道的周長為2a+πb.
(2)當a=67.3 m,b=52.6 m時,
2a+πb=2×67.3+3.14×52.6≈300 (m).
因此,這條跑道的周長約為300 m.
4.一個三角尺的形狀和尺寸如圖所示,用代數式表示這個三角尺的面積S.當a=10 cm,b=17.3 cm,r=2 cm時,求這個三角尺的面積(π取3.14).
【答案】　解:三角形的面積為ab,圓的面積為πr2,這個三角尺的面積(單位:cm2)
S=ab-πr2.
當a=10 cm,b=17.3 cm,r=2 cm時,
S=×10×17.3-3.14×22=73.94(cm2).
因此,這個三角尺的面積是73.94 cm2.
一、選擇題
1.a是最小的自然數,b是最大的負整數,c是絕對值最小的有理數,則a+b+c的值為 (　　)
A.-1　　　　　　 B.0
C.1 D.2
2.若|a|=5,|b|=3,且ab>0,則a-b的值是 (　　)
A.-2或8 B.-2或-8
C.2或-2 D.2或-8
3.若x-2y-2的值為1,則2x-4y-3的值為 (　　)
A.-2 B.3
C.0 D.9
4.已知x-2y=-3,則5-x+2y的值是 (　　)
A.-1 B.5
C.8 D.2
5.若代數式y2+2y的值為6,則代數式4y2+8y-5的值是 (　　)
A.-9 B.9
C.19 D.-19
二、填空題
6.若|a+1|+|b-2|=0,則ab=　　　　.
7.已知|a+5|+(b-4)4=0,則(a+b)2 024=　　　　.
8.若(x+8)2+|y-7|=0,則代數式(x+y)2 024的值是　　　　.
9.已知a-b=3,則2a-2b-1的值為　　　　.
10.若a2-3a+1=0,則3a2-9a+2 023=　　　　.
11.若m2-2m=1,則2m2-4m+2 021的值是　　　　.
三、解答題
12.已知|x+2|+|y+3|=0,求x+y的值.
13.已知|a|=7,|b|=10,且ab<0.
(1)求a,b的值;
(2)求a-b的值.
14.已知a,b互為相反數,c,d互為倒數,x的絕對值是2,求x2-(a+b+cd)x+(a+b)2 026+(-cd)2 026的值.
15.若x與y互為相反數,m與n互為倒數,|a|=1,求a2-(x+y+mn)的值.
一、選擇題
1.按下面的程序計算.
若輸入x=20,輸出結果是101;若輸入x=5,輸出結果是131;若開始輸入的x的值是一個自然數,最后輸出的結果是106,則開始輸入的x的值是 (　　)
A.1 B.4
C.21 D.4或21
二、填空題
2.在如圖所示的運算程序中,若開始輸入的x的值為36,我們發現第1次輸出的結果為18,第2次輸出的結果為9,……,則第2 023次輸出的結果為　　　　.
三、解答題
3.為了參加校園文化藝術節,書畫社計劃買一些宣紙和毛筆,現了解情況如下:甲、乙兩家文具商店出售同樣的毛筆和宣紙,毛筆每支20元,宣紙每張4元.甲商店的優惠辦法:買1支毛筆送1張宣紙;乙商店的優惠辦法:全部商品按定價的9折出售.書畫社想購買毛筆10支,宣紙x張(x>10).
(1)若到甲商店購買,應付　　　　元;若到乙商店購買,應付　　　　元.(用含x的代數式表示)
(2)若x=30,去哪家商店購買較合算 請計算說明.
(3)若x=30,你能給出一種更為省錢的購買方案嗎 試寫出你的購買方案,并求出此時需付多少元.
4.我們把按一定規律排列的一列數,稱為數列,若對于一個數列中依次排列的相鄰的三個數m,n,p,總滿足p=m2-n,則稱這個數列為理想數列.
(1)若數列2,-1,a,-4,b,…,是理想數列,則a=　　　　,b=　　　　.
(2)若數列x,3x,4,…,是理想數列,求代數式x2-2x+3的值.
(3)若數列…,m,n,p,q,…,是理想數列,且p-q=2,求代數式n(n2-3m2+4)+9(m2-n)+2 022的值.
5.整體思想是從問題的整體性質出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,把某些式子或圖形看成一個整體,進行整體處理.它作為一種思想方法在數學學習中有廣泛的應用.當一些問題按常規不容易求某一個(或多個)未知量時,根據題目的結構特征,把某一組數或某一個代數式看作一個整體,找出整體與局部的聯系,從而找到解決問題的新途徑.例如x2+x=1,求x2+x+2 022的值,我們將x2+x作為一個整體代入,則原式=1+2 022=2 023.
【嘗試應用】
仿照上面的解題方法,完成下面的問題:
(1)如果a+b=3,求2(a+b)-3a-3b+20的值.
(2)當x=2時,代數式ax5+bx3+cx-1的值為m.當x=-2時,求代數式ax5+bx3+cx+4的值.(用含m的代數式表示)
【拓展應用】
(3)周末爸爸媽媽帶著小明和妹妹在小區的休閑區運動.爸爸和小明在休閑區的環形跑道上跑步,兩人相距20米,同時反向運動,小明的速度是a m/s,爸爸的速度是ac m/s(c>1),經過10 s兩人第一次相遇.媽媽帶著妹妹做追逐游戲,妹妹在媽媽前面,兩人同時同向起跑,妹妹的速度是b m/s(b①休閑區的環形跑道周長是 　m;
(用含a,c的代數式表示)
②起跑時,妹妹站在媽媽前面 　m;
(用含a,b,c的代數式表示)
③若休閑區的環形跑道周長是120 m,起跑時妹妹站在媽媽前面12 m,綜合上述信息求代數式2[a+(ac-b)2]-3[(ac-b)2-b]-ac的值.
6.理解與思考:“整體思想”是中學數學解題中的一種重要思想,它在整式的化簡與求值中應用極為廣泛.例如:已知2x2+3x=1,求代數式2x2+3x+2 025的值.我們可以將2x2+3x作為一個整體代入:
2x2+3x+2 025=(2x2+3x)+2 025=1+2 025=2 026.
請仿照上面的解題方法,完成下列問題:
(1)已知2x2+3x=-1,求代數式2x2+3x+2 028的值;
(2)已知x+y=3,求代數式6(x+y)-3x-3y+2 026的值.
第三章　代數式
3.1　列代數式表示數量關系
3.1.1　代數式
基礎性作業
一、選擇題
1.C　解析:代數式為①3m,②,④,⑦0,共4個,故選C.
2.A　解析:A選項,3πr2=12不是代數式;B選項,0是代數式;C選項,a是代數式;D選項,是代數式.故選A.
3.A　解析:∵1-2x=0,a>0,含有“=”和“>”,所以不是代數式,
∴是代數式的有2x2,ab,0,,π,共5個.故選A.
4.D　解析:A.2m表示2和m相乘,故本選項錯誤,不符合題意;B.例如,當m=-1時,2m5.D　解析:10×a+1×6=10a+6,故選D.
6.D　解析:小強y歲,小明比小強大2歲,則小明(y+2)歲;小明比小華小4歲,則小華y+2+4=(y+6)歲.故選D.
7.B　解析:∵已知參加“學科類選修課程”的有m人,參加“體音美選修課程”的人數比參加“學科類選修課程”的人數多9人,
∴參加“體音美選修課程”的人數有(m+9)人,
又∵參加“科技類選修課程”的人數比參加“體音美選修課程”人數的多5人,
∴參加“科技類選修課程”的人數為(m+9)+5=m+8.
故選B.
8.C　解析:由題意可得新的四位數中x擴大了100倍,而y沒有變,所以這個四位數是100x+y.故選C.
9.B　解析:由-2,4,-8,16,-32,…,可知,后一個數是前一個數的(-2)倍,所以,第n個數是(-2)n.故選B.
10.B　解析:由題意可知,第一排有m個座位,
第二排有(m+2×1)個座位,
第三排有(m+2×2)個座位,
第四排有(m+2×3)個座位,
……
故第n排座位數是m+2(n-1).
故選B.
二、填空題
11.6 073　解析:第1個圖案中,小五角星有3×1+1=4(個),
第2個圖案中,小五角星有3×2+1=7(個),
第3個圖案中,小五角星有3×3+1=10(個),
第4個圖案中,小五角星有3×4+1=13(個),
……,
∴第n個圖案中,小五角星有3n+1個,
∴第2 024個圖案中小五角星有3×2 024+1=6 073個.
故答案為6 073.
12.a10-2b19　解析:∵當n為奇數時,(-1)n+1=1;
當n為偶數時,(-1)n+1=-1,
∴第n個式子是an+(-1)n+1·2b2n-1.
當n=10時,代數式為a10-2b19.
提高訓練
一、選擇題
1.C　解析:代數式3m=3×m,可表示單價為3元的鋼筆買了m支的總價,故選C.
2.D　解析:代數式的意義是m除以n與1的差所得的商,故選D.
3.D　解析:代數式a2-4b2用語言敘述:a的平方與b的平方的4倍的差.故選D.
4.C　解析:∵第一天售出m件,第二天的銷售量比第一天的兩倍少3件,
∴第二天售出的該商品數量是2m-3件,
∴兩天一共售出的該商品數量為3m-3件,故選C.
二、解答題
5.(1)(a-b);(3a+2b)
(2);
(3)1.2a;1.08a
解析:(1)每千克蘋果a元,每千克香蕉b元(a>b),每千克蘋果比每千克香蕉貴(a-b)元;若買3千克蘋果、2千克香蕉,則需要(3a+2b)元.
(2)把x毫升可樂平均分給5個小朋友,每個小朋友分得可樂()毫升;若平均分給y個小朋友,每個小朋友分得可樂()毫升.
(3)一件衣服進價a元,商店提高20%標價,則標價(1.2a)元;后來該店搞活動,決定打九折出售,則這件衣服售價(1.08a)元.
6.(1)16　(2)3n+1　(3)6 076
解析:(1)設擺成第n(n為正整數)個圖案需要an個三角形.
∵a1=4,a2=7,a3=10,a4=13,
∴a2-a1=a3-a2=a4-a3=3,
∴a5=a4+3=16.
故答案為16.
(2)由(1)可知an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)+a1=3n+1.
(3)當n=2 025時,a2 025=3×2 025+1=6 076,
∴擺成第2 025個圖案需要6 076個三角形.
7.(1)　(2)4t-54
解析:(1)∵點A表示-9,點B表示12,
∴OA=9,OB=12,
∵P在AO段初始速度為2個單位長度/秒,P在OB段速度為初始速度的一半,
∴P在OB段速度為1個單位長度/秒,
∴P從點A運動至點B的時間為+=(秒).
(2)∵P的初始速度為2個單位長度/秒,P在BC段速度為初始速度的兩倍,
∴P在BC段速度為4個單位長度/秒,
由探索(1)可得,P在BC段運動時間為t-秒,
∴BP=4t-=4t-66.
∵點B表示12,
∴P表示的數為12+(4t-66)=4t-54.
8.(1)n2　(2)　(3)
解析:(1)如圖所示,
……
第1個圖形小三角形個數為1=12;
第2個圖形小三角形個數為1+3=4=22;
第3個圖形小三角形個數為1+3+5=9=32;
第4個圖形小三角形個數為1+3+5+7=16=42;
……
按此規律,第n個圖形中小三角形個數為n2.
故答案為n2.
(2)如圖所示,
……
第1個圖形共有長度為a的線段1×3=3=3×(條);
第2個圖形共有長度為a的線段(1+2)×3=9=3×(條);
第3個圖形共有長度為a的線段(1+2+3)×3=18=3×(條);
第4個圖形共有長度為a的線段(1+2+3+4)×3=30=3×(條);
……
按此規律,第n個圖形中共有長度為a的線段條.
故答案為.
(3)如圖所示,
……
第1個圖形共有交點:1+2=3=(個);
第2個圖形共有交點:1+2+3=6=(個);
第3個圖形共有交點:1+2+3+4=10=(個);
第4個圖形共有交點:1+2+3+4+5=15=(個);
……
按此規律,第n個圖形共有交點:1+2+3+4+5+…+n+(n+1)=.
3.1.2　反比例關系
基礎性作業
一、選擇題
1.D　解析:A.正方形的面積S與邊長a之間的關系為S=a2,不是反比例關系;B.等邊三角形中,周長C與邊長a之間的關系為C=3a,不是反比例關系;C.等腰三角形的周長C一定,它的腰長a與它的底邊長b之間的關系為a==C-b,不是反比例關系;D.車輛行駛的路程s一定,車輪直徑d與車輪的旋轉周數n之間的關系為d=,故為反比例關系.故選D.
2.D　解析:商一定時(不為0),被除數和除數成正比例,故A錯誤;等腰三角形周長一定時,它的腰長與它的底邊不成反比例關系,故B錯誤;一個乘數(不為0)不變時,另一個乘數與它們的積成正比例,故C錯誤;貨物的總價A一定時,貨物的單價a與貨物的數量x成反比例,故D正確.故選D.
3.B
4.D　解析:等邊三角形的面積與邊長的關系可表示為S△=ah,是正比例關系,故A選項錯誤,不符合題意;人的身高與體重不一定是正比例關系,故B選項錯誤,不符合題意;車在行駛中,速度與時間的關系可表示為v=(v≠0,t≠0),路程不確定,不可以確定速度與時間的關系,故C選項錯誤,不符合題意;面積為8平方厘米的長方形的長與寬的關系可表示為a=(a≠0,b≠0),是反比例關系,故D選項正確,符合題意.
二、解答題
5.解:因為路程=平均速度×時間,路程一定,所以汽車行駛的平均速度與時間成反比例關系.
6.解:(1)成反比例關系;(2)成反比例關系;
(3)不成反比例關系.
7.解:(1)因為每天運輸的噸數與運輸的天數乘積一定為500,所以這批貨物共有500噸;(2)根據表格可得,運輸的天數隨著每天運輸的噸數的減少而增加;(3)因為at=500,所以t=,因為乘積一定,所以t與a成反比例關系.
提高訓練
一、選擇題
1.B　解析:①圓柱的體積一定,圓柱的底面積和高成反比例;②張老師的身高和體重不成比例;③圓的面積和半徑不成比例;④看電影所付票費與看電影的人數成正比例;⑤等邊三角形的周長與邊長成正比例.
∴各題中的兩種量,成正比例關系的有2組.故選B.
2.D　解析:A.總價=單價×數量,數量一定,則總價和單價成正比例;B.圓的周長÷直徑=圓周率,圓周率一定,所以圓的周長和直徑成正比例;C.路程÷時間=速度,速度一定,則時間和路程成正比例;D.已經看的頁數+沒看的頁數=這本書的總頁數(一定),兩個量的和一定,所以已經看的頁數和沒看的頁數不成比例.故選D.
3.D　解析:(1)=每份雜志的錢數(即單價),
已知每份雜志的錢數(即單價)一定,就是雜志的錢數和份數的比值一定,所以訂同一份雜志的錢數和份數成正比例.
(2)正方形的面積=邊長×邊長,推出=邊長,邊長不一定,就是正方形的面積和它的邊長的比值不一定,所以正方形的面積和它的邊長不成正比例.
(3)做每個零件所用時間×工人做零件的總個數=8,
8是固定值(一定),就是工人所做零件的個數和做每個零件所用時間的乘積一定,所以工人所做零件的個數和做每個零件所用時間成反比例.
(4)=2,
2是固定值(一定),就是平行四邊形的面積與和它等底等高的三角形的面積的比值是一定的,所以平行四邊形的面積與和它等底等高的三角形的面積成正比例.
故選D.
4.C　解析:A.因為速度×時間=路程(一定),時間和速度的乘積一定,所以時間與速度成反比例,原題說法正確;B.因為ab=9,a和b的乘積一定,所以a和b成反比例,原題說法正確;C.因為工作總量÷工作時間=工作效率(一定),工作總量和工作時間的比值一定,所以工作總量和工作時間成正比例,原題說法錯誤;D.分子÷分母=分數值(一定),因為分子和分母的比值一定,所以分子和分母成正比例,原題說法正確.故選C.
5.A　解析:三角形的面積=底×高÷2,當底一定的時候,面積與×高存在正比例關系,所以三角形的底一定,那么三角形的面積與它的高成正比例,故選A.
6.A　解析:A.汽車的路程一定,行駛的時間和速度成反比例關系,符合題意;B.圓柱的高一定,體積和底面積成正比例關系,不符合題意;C.被減數一定,減數和差不成比例關系,不符合題意;D.圓的面積和它的半徑不成比例,不符合題意.
7.B　解析:A.xy÷a=1,xy=a,即乘積一定,所以x和y成反比例,故此選項不符合題意;B.x÷=y,即x÷y=,即比值一定,所以x和y成正比例,故此選項符合題意;C.a÷x=y,xy=a,即乘積一定,所以x和y成反比例,故此選項不符合題意;D.a+x=y,即y-x=a,差一定,不成比例,故此選項不符合題意.故選B.
8.A　解析:因為5x=3y(x,y均不為0),
所以=,
所以x和y成正比例.故選A.
9.D　解析:當x=2時,y=,2÷=3.當x=5時,y=5÷3=.
故選D.
10.C　解析:如果兩個相關聯的量的乘積一定,則這兩個量成反比例.故選C.
11.B　解析:∵5x=6y(x,y均不為0),∴y=x,∴x與y成正比例.故選B.
12.D　解析:∵A=5∶B(A與B都大于0),
∴AB=5.
∴A與B成反比例.故選D.
13.B　解析:∵長方體的體積一定,
∴底面積和高的乘積一定,
∴底面積和高成反比例.故選B.
14.C　解析:將=變形后得xy=6,x,y成反比例關系,符合題意,故選C.
15.C　解析:A.a+b=1,B.πa2b=1,C.ab=1,D.ab2=1,故選C.
二、解答題
16.解:(1)每排的人數×排數=參加隊列操表演的總人數,因為200名同學參加隊列操表演,即乘積一定,
所以每排的人數和排數成反比例.
(2)因為三角形的面積等于一條邊的長和這條邊上的高乘積的一半,
所以當三角形的面積是6 cm2,一條邊的長和這條邊上的高乘積為12.
所以此時這一條邊的長和這條邊上的高成反比例.
(3)由題意可知,張華制作的小紅花朵數=每小時制作120朵×制作時間,
所以她制作的小紅花朵數與制作時間成正比例,不成反比例.
綜上,成反比例的是(1)(2).
17.解:(1)1×12=2×6=3×4=4×3=12.
故答案為12,4,12,12,12,12.
(2)因為刻度數和砝碼數的乘積為定值,
所以刻度數和砝碼數成反比例.
18.解:(1)每天看的頁數與需要的天數之間成反比例關系.
理由:∵12×25=15×20=300,即乘積為定值,
∴每天看的頁數與需要的天數之間成反比例關系.
(2)300÷6=50.
答:平均每天要看50頁.
3.2　代數式的值
基礎性作業
一、選擇題
1.A　解析:∵a是最小的自然數,b是最大的負整數,c是絕對值最小的有理數,
∴a=0,b=-1,c=0,
∴a+b+c=0-1+0=-1.
故選A.
2.C　解析:∵|a|=5,|b|=3,
∴a=±5,b=±3.
∵ab>0,
∴a,b同號,則a=-5,b=-3或a=5,b=3,
∴a-b=-5-(-3)=-2或a-b=5-3=2.故選C.
3.B　解析:根據題意得x-2y-2=1,
則x-2y=3,
∴2x-4y-3=2(x-2y)-3=2×3-3=3.
故選B.
4.C　解析:5-x+2y=5-(x-2y)=5-(-3)=8.故選C.
5.C　解析:∵代數式y2+2y的值是6,
∴y2+2y=6,
∴4y2+8y-5=4(y2+2y)-5=4×6-5=19.
故選C.
二、填空題
6.-2　解析:∵|a+1|+|b-2|=0,
∴|a+1|=0,|b-2|=0,
∴a=-1,b=2.
把a=-1,b=2代入ab,
得ab=-1×2=-2.
故答案為-2.
7.1　解析:∵|a+5|+(b-4)4=0,|a+5|≥0,(b-4)4≥0,
∴a+5=0,b-4=0,
∴a=-5,b=4,
∴(a+b)2 024=(-5+4)2 024=1.
故答案為1.
8.1　解析:∵(x+8)2+|y-7|=0,
∴(x+8)2=0,|y-7|=0,
∴x=-8,y=7,
∴(x+y)2 024=(-8+7)2 024=(-1)2 024=1.
故答案為1.
9.5　解析:∵a-b=3,
∴2a-2b-1=2(a-b)-1
=2×3-1
=6-1
=5.
故答案為5.
10.2 020　解析:∵a2-3a+1=0,
∴a2-3a=-1,
∴原式=3(a2-3a)+2 023
=3×(-1)+2 023
=-3+2 023
=2 020.
故答案為2 020.
11.2 023　解析:2m2-4m+2 021=2(m2-2m)+2 021=2+2 021=2 023.
故答案為2 023.
三、解答題
12.解:已知|x+2|+|y+3|=0,
∵|x+2|≥0,|y+3|≥0,
∴x+2=0,y+3=0,
解得x=-2,y=-3,
∴x+y=-2+(-3)=-5.
13.解:(1)∵|a|=7,|b|=10,
∴a=±7,b=±10.
∵ab<0,
∴a>0,b<0或a<0,b>0,
∴a=7,b=-10或a=-7,b=10.
(2)由(1)得a=7,b=-10或a=-7,b=10,
∴a-b=7-(-10)=17或a-b=-7-10=-17,
∴a-b的值為17或-17.
14.解:因為a,b互為相反數,c,d互為倒數,x的絕對值是2,
所以a+b=0,cd=1,x=±2.
當a+b=0,cd=1,x=2時,
x2-(a+b+cd)x+(a+b)2 026+(-cd)2 026=22-(0+1)×2+(-1)2 026=4-2+1=3.
當a+b=0,cd=1,x=-2時,
x2-(a+b+cd)x+(a+b)2 026+(-cd)2 026=(-2)2-(0+1)×(-2)+(-1)2 026=4+2+1=7.
綜上,所求代數式的值為3或7.
15.解:∵x與y互為相反數,m與n互為倒數,|a|=1,
∴x+y=0,mn=1,a2=1,
∴a2-(x+y+mn)=1-(0+1)=1-1=0.
提高訓練
一、選擇題
1.D　解析:當5x+1=106時,x=21;
當5x+1=21時,x=4;
當5x+1=4時,x不是自然數.
所以開始輸入的x的值是4或21.故選D.
二、填空題
2.3　解析:第1次輸出的結果為18,
第2次輸出的結果為×18=9,
第3次輸出的結果為9+3=12,
第4次輸出的結果為×12=6,
第5次輸出的結果為×6=3,
第6次輸出的結果為3+3=6,
第7次輸出的結果為×6=3,
……,
如此循環,從第4次開始第偶次輸出的是6,第奇次輸出的是3.
第2 023次輸出的結果為3.
故答案為3.
三、解答題
3.解:(1)到甲商店購買的費用:20×10+4(x-10)=(4x+160)(元);
到乙商店購買的費用:(20×10+4x)×90%=
(3.6x+180)(元).
故答案為(4x+160),(3.6x+180).
(2)當x=30時,
到甲商店購買的費用:4×30+160=280(元);
到乙商店購買的費用:3.6×30+180=288(元).
280<288,
則到甲商店購買較為合算.
(3)當x=30時,先到甲商店購買10支毛筆,送10張宣紙,再到乙商店購買30-10=20(張)宣紙,
則費用為10×20+20×4×90%=272(元).
4.解:(1)∵p=m2-n,
∴a=22-(-1)=5,
b=52-(-4)=29.
故答案為5,29.
(2)由題意可知
4=x2-3x,
即x2-3x=4.
x2-2x+3
=(x2-3x)+3
=×4+3
=.
(3)m,n,p,q,…,是理想數列,
∵q=n2-p,p=m2-n,
∴q=n2-(m2-n)=n2-m2+n.
∵p-q=2,
∴(m2-n)-(n2-m2+n)=2,
∴2m2-2n-n2+m2-n=4,
∴3m2-n2-3n=4,
即n2-3m2+4=-3n或n2-3m2+3n=-4,
∴n(n2-3m2+4)+9(m2-n)+2 022
=n(-3n)+9(m2-n)+2 022
=-3n2+9m2-9n+2 022
=-3(n2-3m2+3n)+2 022
=-3×(-4)+2 022
=12+2 022
=2 034.
5.解:(1)∵a+b=3,
∴2(a+b)-3a-3b+20
=2(a+b)-3(a+b)+20
=2×3-3×3+20
=6-9+20
=17.
(2)當x=2時,代數式ax5+bx3+cx-1的值為m,
即25a+23b+2c-1=m,
25a+23b+2c=m+1.
當x=-2時,
ax5+bx3+cx+4
=(-2)5a+(-2)3b+(-2c)+4
=-25a-23b-2c+4
=-(25a+23b+2c)+4
=-(m+1)+4
=-m+3.
(3)①根據題意得,跑道周長為(10ac+10a+20)m;
②根據題意得,妹妹站在媽媽前面(3ac-3b)m;
③根據題意得,10ac+10a+20=120,3ac-3b=12,
∴ac+a=10,ac-b=4,
∴2[a+(ac-b)2]-3[(ac-b)2-b]-ac
=2a+2(ac-b)2-3(ac-b)2+3b-ac
=2a-(ac-b)2+3b-ac
=2ac+2a-(ac-b)2+3b-3ac
=2(ac+a)-(ac-b)2-3(ac-b)
=2×10-42-3×4
=20-16-12
=-8.
6.解:(1)∵2x2+3x=-1,
∴原式=-1+2 028=2 027.
(2)∵x+y=3,
∴原式=6(x+y)-3(x+y)+2 026
=3(x+y)+2 026
=3×3+2 026
=9+2 026
=2 035.

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