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第六章　幾何圖形初步
6.1　幾何圖形
6.1.1　立體圖形與平面圖形
1.幾何圖形:
從實(shí)物中抽象出來的各種圖形都是幾何圖形.
2.立體圖形:有些幾何圖形(如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球等)的各部分不都在同一平面內(nèi),它們是立體圖形.幾種常見的立體圖形及其特征見下表.
名稱 圖形 特征
柱 體 圓柱 側(cè)面是曲面 有兩個(gè)面是互相平行的
棱柱 側(cè)面是平面(平行四邊形)
錐 體 圓錐 側(cè)面是曲面 有一個(gè)公共頂點(diǎn)
棱錐 側(cè)面是平面(三角形)
臺(tái) 體 圓臺(tái) 側(cè)面是曲面
棱臺(tái) 側(cè)面是平面(梯形)
球體 表面是曲面
3.平面圖形:有些幾何圖形(如線段、角、三角形、長(zhǎng)方形、圓等)的各部分都在同一平面內(nèi),它們是平面圖形.
4.平面圖形與立體圖形的關(guān)系:平面圖形與立體圖形是兩類不同的幾何圖形.但它們是相互聯(lián)系的.很多立體圖形的某些部分是平面圖形,例如,長(zhǎng)方體的側(cè)面是長(zhǎng)方形.常見的平面圖形如下表所示.
　
名稱 直線 射線 線段 三角形 長(zhǎng)方形
圖形
名稱 正方形 梯形 平行四邊形 圓 扇形
圖形
5.歸納總結(jié):
平面圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi),立體圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi).
把幾個(gè)不同的平面圖形在同一平面內(nèi)組合起來時(shí),能形成多彩的平面圖形.
6.從不同方向看幾何體:
(1)立體圖形的正面、后面、左面、右面、上面、下面如下圖所示.
(2)從正面看立體圖形所得到的平面圖形,也稱為主視圖;從上面看立體圖形所得到的平面圖形,也稱為俯視圖;從左面看立體圖形所得到的平面圖形,也稱為左視圖.
(3)立體圖形的左面與右面之間的水平長(zhǎng)度記為長(zhǎng),前面與后面之間的水平寬度記為寬,上面與下面之間的垂直高度記為高.如下圖所示.
(4)常見的幾何體從不同的方向看到的圖形如下表所示.
幾何體 從正面看 從左面看 從上面看
續(xù)表
幾何體 從正面看 從左面看 從上面看
7.展開圖:有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的,將它們的表面適當(dāng)展開,可以展開成平面圖形.這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖.
8.注意:立體圖形是由平面或曲面或平面和曲面圍成的,可以把有些立體圖形展開成平面圖形.同一個(gè)立體圖形,按不同的方式展開得到的平面展開圖可能是不一樣的.可以將展開的圖折疊,觀察所成的立體圖形是否和原來一樣.但不是所有的立體圖形都有平面展開圖,如球.
9.常見幾何體的展開圖
(1)圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖:圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形,這個(gè)長(zhǎng)方形或正方形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別是圓柱的高和底面周長(zhǎng);圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形.
(2)棱柱和棱錐的展開圖:棱柱和棱錐都是由平面圖形圍成的多面體,沿它們的某些棱將它們剪開,所得的平面圖形就是它們的平面展開圖.對(duì)于同一個(gè)立體圖形,當(dāng)我們按不同的方式展開時(shí),得到的平面展開圖可能是不一樣的.
(3)正方體的平面展開圖有11種,按每行中小正方形個(gè)數(shù)的不同可分為四類.
①一四一型,如圖所示:
②一三二型,如圖所示:
③三三型,如圖所示:
④二二二型,如圖所示:
(4)常見的其他立體圖形的展開圖如下表所示:
名稱 立體圖形 平面展開圖
圓柱
圓錐
正三棱柱(底面是等邊三角形,側(cè)面是長(zhǎng)方形)
10.根據(jù)展開圖判斷立體圖形的規(guī)律:
(1)展開圖全是長(zhǎng)方形或正方形(6個(gè))時(shí),應(yīng)考慮長(zhǎng)方體或正方體.
(2)展開圖中含有三角形時(shí),應(yīng)考慮棱錐或棱柱,若展開圖全是三角形(4個(gè)),則必是三棱錐.
(3)展開圖中含有圓和長(zhǎng)方形時(shí),一般應(yīng)考慮圓柱.
(4)展開圖中含有扇形時(shí),應(yīng)考慮圓錐.
1.下列四個(gè)幾何體中,是三棱柱的為 (　　)
A 　 B
C 　 D
【知識(shí)點(diǎn)】　立體幾何
【答案】　C
【解析】　A.該幾何體為四棱柱,不符合題意;B.該幾何體為圓錐,不符合題意;C.該幾何體為三棱柱,符合題意;D.該幾何體為圓柱,不符合題意.
2.一圓柱形桶內(nèi)裝滿了水,已知桶的底面直徑和高都為m,另一長(zhǎng)方體形容器的長(zhǎng)為m,寬為m,若把圓柱形桶中的水倒入長(zhǎng)方體形容器中剛好倒?jié)M,則長(zhǎng)方體形容器的高為 (　　)
A.2mπ B.mπ
C.mπ D.4mπ
【知識(shí)點(diǎn)】　立體幾何
【答案】　B
【解析】　π2·m÷m·m=π·÷=mπ.
所以長(zhǎng)方體形容器的高為mπ.
3.下列各組圖形中都是平面圖形的是 (　　)
A.三角形、圓、球、圓錐
B.點(diǎn)、線段、棱錐、棱柱
C.角、三角形、正方形、圓
D.點(diǎn)、角、線段、長(zhǎng)方體
【知識(shí)點(diǎn)】　平面圖形
【答案】　C
【解析】　A.球、圓錐是立體圖形,錯(cuò)誤;B.棱錐、棱柱是立體圖形,錯(cuò)誤;C.角、三角形、正方形、圓是平面圖形,正確;D.長(zhǎng)方體是立體圖形,錯(cuò)誤.
4.骰子是一種特別的數(shù)字立方體(如圖),它符合規(guī)則:相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和總是7,圖中可以折成符合規(guī)則的骰子的是 (　　)
A 　　B
C 　　D
【知識(shí)點(diǎn)】　立體圖形展開圖
【答案】　C
【解析】　本題考查正方體的展開圖,可根據(jù)相對(duì)的面不相鄰逐一排除.
一、選擇題
1.下列圖形中,屬于立體圖形的是 (　　)
A 　B
C 　D
2.如圖是交通禁止駛?cè)霕?biāo)志,組成這個(gè)標(biāo)志的幾何圖形有 (　　)
A.圓、長(zhǎng)方形 B.圓、線段
C.球、長(zhǎng)方形 D.球、線段
3.下列幾何體中,是圓柱的為 (　　)
A 　B
C 　D
4.下面圖形中,是棱柱的為 (　　)
A 　B
C 　D
5.下列物體中,形狀屬于球體的是 (　　)
A 　B
C 　D
6.下列圖形中,屬于圓錐的是 (　　)
A 　B
C 　D
7.如圖,陀螺是由哪兩個(gè)幾何體組合而成的 (　　)
A.長(zhǎng)方體和圓錐
B.長(zhǎng)方形和三角形
C.圓和三角形
D.圓柱和圓錐
二、填空題
8.如圖,下列幾何體屬于柱體的有　　　　個(gè).
9.觀察下圖中幾何體,在橫線上分別寫出它們的名稱:
10.一個(gè)正方體有　　　　個(gè)面,　　　　條棱,　　　　個(gè)頂點(diǎn).
11.如下圖所示,將半圓形薄片繞軸旋轉(zhuǎn)一周,得到的幾何體是　　　　.
選擇題
1.一個(gè)幾何體的邊面全部展開后鋪在平面上,不可能是 (　　)
A.一個(gè)三角形　 B.一個(gè)圓
C.三個(gè)正方形 D.一個(gè)小圓和半個(gè)大圓
2.下列圖形中,是棱錐展開圖的是 (　　)
A 　B
C 　D
3.下列四個(gè)立體圖形中,主視圖、左視圖、俯視圖都相同的是 (　　)
A 　B
C 　D
4.桌面上放置的幾何體中,主視圖與左視圖可能不同的是 (　　)
A.圓柱 B.正方體
C.球 D.直立圓錐
5.如圖是由4個(gè)大小相同的正方體組合而成的幾何體,其左視圖是 (　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
6.1.2　點(diǎn)、線、面、體
1.體:長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體.幾何體也簡(jiǎn)稱體.
2.面:包圍著體的是面.面有平面和曲面之分.如桌面可以想象為一個(gè)平面,皮球的表面可以想象為一個(gè)曲面.現(xiàn)實(shí)世界中是找不到幾何中的面的.面是從實(shí)際物體中抽象出來的圖形.幾何重點(diǎn)研究平面,把它看成一個(gè)到處平直,沒有厚度,向各個(gè)方向無限延展的面.
3.線:面和面相交的地方形成線.線有直線和曲線之分.如一束光線,可以想象成直線.一個(gè)圓桌的邊可以想象成曲線.同樣,幾何中所說的線,也只能從實(shí)物中想象.
4.點(diǎn):線和線相交的地方是點(diǎn).對(duì)于點(diǎn),我們?cè)诩埳袭嬕粋€(gè)點(diǎn)就代表一個(gè)點(diǎn),有時(shí)在地圖上把一個(gè)城市看成一個(gè)點(diǎn).
5.從運(yùn)動(dòng)的角度理解點(diǎn)、線、面、體:
(1)點(diǎn)動(dòng)成線:如將筆尖看作一個(gè)點(diǎn),筆尖在紙上運(yùn)動(dòng)形成線.
(2)線動(dòng)成面:如將自行車車輪的鋼絲輻條看作線,自行車騎得飛快,鋼絲輻條看起來就形成了一個(gè)面.
(3)面動(dòng)成體:如將一枚硬幣在桌面上立起用力一旋,就會(huì)看到形成一個(gè)球體.
1.下列說法中,不正確的個(gè)數(shù)為 (　　)
①平面上的線都是直線;
②曲面上的線都是曲線;
③兩條線相交只能得到一個(gè)交點(diǎn);
④兩個(gè)面相交只能得到一條線.
A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1
【知識(shí)點(diǎn)】　點(diǎn)、線、面
【答案】　A
【解析】　線有直線、曲線之分,根據(jù)點(diǎn)動(dòng)成線,在平面上或曲面上都可以由一點(diǎn)任意運(yùn)動(dòng)形成直線或曲線,而不能誤認(rèn)為平面上的線就是直線,曲面上的線就是曲線,故說法①②錯(cuò)誤.說法③中沒有明確是兩條怎樣的線相交,如一條曲線可以與一條直線相交形成無數(shù)個(gè)交點(diǎn).同樣兩個(gè)曲面相交也可能得到不止一條線.
本題主要考查幾何基本概念的辨析.線有直線和曲線之分,面有平面和曲面之分,所以我們考慮問題要全面.
2.下列幾何體各有多少個(gè)面 面與面相交形成的線各有多少條 線與線相交形成的點(diǎn)各有多少個(gè)
【知識(shí)點(diǎn)】　點(diǎn)、線、面、體
【答案】　(1)4個(gè)面,6條線,4個(gè)點(diǎn);(2)6個(gè)面,12條線,8個(gè)點(diǎn);(3)9個(gè)面,16條線,9個(gè)點(diǎn).
【解析】　根據(jù)幾何體自身特點(diǎn)確定每個(gè)幾何體的面、線、點(diǎn).
一、選擇題
1.下列結(jié)論中正確的是 (　　)
①圓柱由3個(gè)面圍成,這3個(gè)面都是平面;
②圓錐由2個(gè)面圍成,這2個(gè)面中,1個(gè)是平面,1個(gè)是曲面;
③球僅由1個(gè)面圍成,這個(gè)面是平面;
④正方體由6個(gè)面圍成,這6個(gè)面都是平面.
A.①② B.②③
C.②④ D.①④
2.下列現(xiàn)象中,能說明“線動(dòng)成面”的是 (　　)
A.旋轉(zhuǎn)一扇門,門在空中運(yùn)動(dòng)的痕跡
B.扔一塊小石子,石子在空中飛行的路線
C.天空劃過一道流星
D.汽車雨刷在擋風(fēng)玻璃上面畫出的痕跡
3.下列幾何體中,全是由曲面圍成的是 (　　)
A.圓錐 B.正方體
C.圓柱 D.球
4.下列立體圖形中,面數(shù)相同的是 (　　)
①圓柱;②圓錐;③正方體;④四棱柱
A.①④ B.①②
C.②③ D.③④
5.下列說法中,正確的是 (　　)
A.用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐,截面不可以是橢圓
B.棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等
C.用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱體,截面可以是梯形
D.用一個(gè)平面去截一個(gè)長(zhǎng)方體,截面不能是正方形
6.下列說法中,不正確的是 (　　)
A.球的截面一定是圓
B.組成長(zhǎng)方體的各個(gè)面中不可能有正方形
C.從三個(gè)不同的方向看正方體,可能得到的都是正方形
D.圓錐的截面可能是圓
二、填空題
7.(1)長(zhǎng)方體、正方體都有　　　　個(gè)面,長(zhǎng)方體的6個(gè)面可能都是　　　　形,也有可能有2個(gè)面是　　　　形,它的　　　　面完全相同.
(2)正方體的6個(gè)面都是　　　　形,6個(gè)面的面積　　　　.
(3)圓柱的上、下底面是　　　　;
(4)圓錐的底面是　　　　.
8.(1)三棱柱的上、下底面是　　　　,側(cè)面是　　　　.
(2)四棱柱的上、下底面是　　　　,側(cè)面是　　　　.
三、判斷正誤
9.(1)圓柱的上下兩個(gè)面一樣大. (　　)
(2)圓柱、圓錐的底面都是圓. (　　)
(3)棱柱的底面是四邊形. (　　)
(4)棱錐的側(cè)面都是三角形. (　　)
(5)棱柱的側(cè)面可能是三角形. (　　)
(6)圓柱的側(cè)面展開是長(zhǎng)方形. (　　)
(7)球體不是多面體. (　　)
(8)圓錐是多面體. (　　)
(9)棱柱、棱錐都是多面體. (　　)
(10)柱體都是多面體. (　　)
一、選擇題
1.下列圖形中有14條棱的是 (　　)
A 　B
C 　D
2.有幾何體:①球;②長(zhǎng)方體;③圓柱;④圓錐;⑤正方體.用一個(gè)平面去截上面的幾何體,其中能截出圓的幾何體有 (　　)
A.4個(gè) B.3個(gè)
C.2個(gè) D.1個(gè)
3.扎西將一個(gè)直角三角尺繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體,將這個(gè)幾何體的側(cè)面展開得到的大致圖形是 (　　)
A 　B
C 　D
4.將如圖所示的直角梯形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周,得到的立體圖形是 (　　)
A 　B
C 　D
二、解答題
5.觀察如圖所示的棱錐,回答下列問題:
(1)這個(gè)圖形是平面圖形還是立體圖形
(2)圖中有多少個(gè)頂點(diǎn) 多少條線段 多少個(gè)平面
(3)圖中有哪些平面圖形
6.2　直線、射線、線段
6.2.1　直線、射線、線段
一、直線
基本事實(shí):經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線,并且只有一條直線.簡(jiǎn)單說成:兩點(diǎn)確定一條直線.
特征:無端點(diǎn);向兩邊無限延伸;無長(zhǎng)短.
1.表示方法:
(1)用一個(gè)小寫字母表示.
(2)用直線上任意兩點(diǎn)表示.
圖形示例:直線a或直線AB.
2.點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種:
(1)點(diǎn)在直線上,或者說直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn).如圖中,點(diǎn)O在直線l上,也可以說成是直線l經(jīng)過點(diǎn)O.
(2)點(diǎn)在直線外,或者說直線不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn).如圖中,點(diǎn)P在直線l外,也可以說直線l不經(jīng)過點(diǎn)P.
3.兩條直線相交:當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),就稱這兩條直線相交,這個(gè)公共點(diǎn)叫作它們的交點(diǎn).如圖,直線a與直線b相交于點(diǎn)O.
4.兩條不同的直線不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn),如果有兩個(gè)公共點(diǎn),那么這兩條直線重合.
5.直線沒有長(zhǎng)短,也沒有粗細(xì).
二、射線
1.定義:直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫作射線,這一點(diǎn)叫作射線的端點(diǎn).
2.表示方法:
(1)用表示射線的端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)的大寫字母表示.
(2)用一個(gè)小寫字母表示.
圖形示例:射線OA或射線l.
3.注意事項(xiàng):
(1)特征:有一個(gè)端點(diǎn);有方向;無長(zhǎng)短.
(2)射線雖然有一個(gè)端點(diǎn),但它可以向另一方無限延伸,所以它沒有長(zhǎng)短.
(3)射線既有端點(diǎn)又有方向,表示射線時(shí)一定要把表示端點(diǎn)的字母寫在前面.
(4)兩條射線相同時(shí)必須同時(shí)具備兩點(diǎn):①端點(diǎn)相同;②方向相同.
三、線段
1.定義:直線上兩點(diǎn)及兩點(diǎn)間的部分.
特征:有兩個(gè)端點(diǎn);不可延伸;可度量.
2.表示方法:
(1)用表示端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母表示.
(2)用一個(gè)小寫字母表示.
圖例:線段AB或線段BA或線段a.
3.線段的中點(diǎn)一定在線段上.
4.線段的畫法:
(1)連接AB,就是要畫出以A,B為端點(diǎn)的線段,不要向任何一方延伸.
(2)畫一條線段等于已知線段a,可以用圓規(guī)在射線上截取一條長(zhǎng)度等于a的線段,也可以先量出線段a的長(zhǎng)度,再畫一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.
四、直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別
1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系
(1)射線和線段都是直線上的一部分.在直線上任取一點(diǎn),則可將直線分成兩條射線;在直線上任取兩點(diǎn),如右圖,則圖中包含一條線段和四條射線.
(2)將射線反向延伸就可得到直線;將線段向一方延伸就可得到射線;將線段向兩方延伸就可得到直線.
2.三者的區(qū)別
見下表.
名稱 直線 射線 線段
圖形
表示方法 ①兩個(gè)大寫英文字母(表示直線上兩點(diǎn)); ②一個(gè)小寫英文字母. ①兩個(gè)大寫英文字母(前一個(gè)表示射線的端點(diǎn),后一個(gè)表示射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)); ②一個(gè)小寫英文字母. ①兩個(gè)大寫英文字母(表示線段的兩個(gè)端點(diǎn)); ②一個(gè)小寫英文字母.
端點(diǎn)個(gè)數(shù) 無 1個(gè) 2個(gè)
延伸性 向兩方無限延伸 向一方無限延伸 不延伸
基本事實(shí) 兩點(diǎn)確定一條直線 無 兩點(diǎn)之間,線段最短
度量 不可以 不可以 可以
作圖敘述 過A,B作直線AB 以A為端點(diǎn)作射線AB 連接AB
1.下列數(shù)學(xué)語言中,不正確的是(　　)
A.畫直線MN,在直線MN上任取一點(diǎn)P
B.以點(diǎn)M為端點(diǎn)畫射線MA
C.直線a,b相交于點(diǎn)m
D.延長(zhǎng)線段MN到點(diǎn)P,使NP=MN
【知識(shí)點(diǎn)】　直線、射線、線段
【答案】　C
【解析】　A.畫直線MN,在直線MN上任取一點(diǎn)P,正確;
B.以點(diǎn)M為端點(diǎn)畫射線MA,正確;
C.直線a,b相交于點(diǎn)M,故錯(cuò)誤;
D.延長(zhǎng)線段MN到點(diǎn)P,使NP=MN,正確.
2.下列說法中,正確的有(　　)
①過兩點(diǎn)只能畫一條直線;②過兩點(diǎn)只能畫一條射線;③過兩點(diǎn)只能畫一條線段.
A.1個(gè)　B.2個(gè)　C.3個(gè)　D.0個(gè)
【知識(shí)點(diǎn)】　直線、射線、線段
【答案】　A
【解析】　①過兩點(diǎn)只能畫一條直線,故正確;
②過兩點(diǎn)可以畫2條射線,故錯(cuò)誤;
③過兩點(diǎn)只能畫無數(shù)條線段,故錯(cuò)誤.
綜上所述,正確的結(jié)論有1個(gè).
3.把一根木條固定在墻面上,至少需要兩枚釘子,這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是(　　)
A.兩點(diǎn)之間線段最短
B.兩點(diǎn)確定一條直線
C.垂線段最短
D.兩點(diǎn)之間直線最短
【知識(shí)點(diǎn)】　直線、射線、線段
【答案】　B
【解析】　把一根木條固定在墻面上,至少需要兩枚釘子,是因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線.
一、選擇題
1.下列說法中,正確的是(　　)
A.射線PA和射線AP是同一條射線
B.射線OA的長(zhǎng)度是12 cm
C.直線ab,cd相交于點(diǎn)m
D.兩點(diǎn)確定一條直線
2.下列說法中,正確的是(　　)
A.畫一條長(zhǎng)3 cm的射線
B.直線、線段、射線中直線最長(zhǎng)
C.延長(zhǎng)線段BA到C,使AC=BA
D.延長(zhǎng)射線OA到點(diǎn)C
3.平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)確定一條直線,不同的三點(diǎn)最多確定三條直線,若在平面內(nèi)的不同的n個(gè)點(diǎn)最多可確定36條直線,則n的值為(　　)
A.6　　　　 B.7
C.8 D.9
4.若平面內(nèi)有點(diǎn)A,B,C,過其中任意兩點(diǎn)畫直線,則最多可以畫的條數(shù)是(　　)
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
5.下列選項(xiàng)中各有一條射線和一條線段,則它們能相交的是(　　)
A 　B
C 　D
6.如下圖示中,直線表示方法正確的有(　　)
A.①②③④ B.①②
C.②④ D.①④
7.下列說法中,正確的是(　　)
A.經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條線段
B.經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線
C.經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條射線
D.經(jīng)過兩點(diǎn)有無數(shù)條直線
8.如下圖所示,在直線l上有A,B,C三點(diǎn),則圖中線段共有(　　)
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
9.如下圖所示,點(diǎn)C是線段BD之間的點(diǎn),有下列結(jié)論:
①圖中共有5條線段;
②射線BD和射線DB是同一條射線;
③直線BC和直線BD是同一條直線;
④射線AB,AC,AD的端點(diǎn)相同.
其中正確的結(jié)論是(　　)
A.②④ B.③④
C.②③ D.①③
二、解答題
10.畫圖說明以下問題:
(1)過三點(diǎn)可以畫一條直線嗎
(2)有A,B,C三點(diǎn),過其中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)畫直線,可以畫幾條直線
(3)三條直線兩兩相交,一共有幾個(gè)交點(diǎn)
11.如下圖,平面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,根據(jù)下列語句畫圖:
(1)畫直線AB,CD交于E點(diǎn);
(2)連接線段AC,BD交于點(diǎn)F;
(3)連接線段AD并將其延長(zhǎng);
(4)作射線BC.
12.兩條不同的直線,要么有一個(gè)公共點(diǎn),要么沒有公共點(diǎn),不能有兩個(gè)公共點(diǎn).這是為什么
一、填空題
1.在一面墻上用一根釘子釘木條時(shí),木條總是來回晃動(dòng);用兩根釘子釘木條時(shí),木條就會(huì)固定不動(dòng).用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這兩種生活現(xiàn)象為　　　　　　　　　　　　.
二、解答題
2.根據(jù)語句畫出圖形.
(1)直線EF經(jīng)過點(diǎn)C;
(2)點(diǎn)A在直線l外;
(3)過點(diǎn)O畫直線a和直線b.
3.按照下圖中所畫出的圖形寫出相應(yīng)的幾何語言.
4.數(shù)一數(shù)下圖中每個(gè)圖形的線段總數(shù).
(1)如圖①,線段總數(shù)是　　　　條.
(2)如圖②,線段總數(shù)是　　　　條.
(3)如圖③,線段總數(shù)是　　　　條.
(4)如圖④,線段總數(shù)是　　　　條.
(5)根據(jù)以上求線段總數(shù)規(guī)律:
當(dāng)線段上共有n個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))時(shí),線段的總數(shù)表示為　　　　.利用以上規(guī)律,當(dāng)n=22時(shí),線段的總數(shù)是　　　　條.
(6)由以上規(guī)律,解答:如果10位同學(xué)聚會(huì),互相握手致意,一共需要握多少次手
6.2.2　(第一課時(shí))線段的比較與運(yùn)算
1.線段的中點(diǎn):把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn),叫作這條線段的中點(diǎn).
例如:點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn).
AM=BM=AB,即AB=2AM=2BM.
2.比較線段的大小
(1)度量法:用刻度尺量出兩條線段的長(zhǎng)度,再比較兩者的大小;
(2)疊合法:把要比較的兩條線段移到同一條直線上,使它們的一個(gè)端點(diǎn)重合,另一個(gè)端點(diǎn)落在重合的端點(diǎn)的同一側(cè),進(jìn)行比較.
3.尺規(guī)作圖
(1)尺規(guī)作圖的定義:僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫作尺規(guī)作圖.
(2)注意事項(xiàng):
①只使用圓規(guī)和直尺,并且只準(zhǔn)許使用有限次,來解決不同的平面幾何作圖題.
②直尺必須沒有刻度,無限長(zhǎng),且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個(gè)點(diǎn)連在一起,不可以在上面畫刻度.
③圓規(guī)可以開至無限寬,但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長(zhǎng)度.
(3)尺規(guī)作圖作線段的和:在直線上作線段AC=a,再在AC的延長(zhǎng)線上用圓規(guī)截取線段CB=b,線段AB就是a與b的和,記作AB=a+b.
(4)尺規(guī)作圖作線段的差:設(shè)線段a>b,在直線上作AB=a,再在AB上用圓規(guī)截取線段BC=b,那么線段AC就是a與b的差,記作AC=a-b.
1.如圖所示,線段a,b,且a>b.
用圓規(guī)和直尺畫線段:(1)a+b;(2)a-b.
【知識(shí)點(diǎn)】　尺規(guī)作圖
【答案】　解:(1)畫法如圖1,畫直線AF,在直線AF上畫線段AB=a,再在AB的延長(zhǎng)線上畫線段BC=b,線段AC就是a與b的和,記作AC=a+b.
(2)畫法如圖2,畫直線AF,在直線AF上畫線段AB=a,再在線段AB上畫線段BD=b,線段AD就是a與b的差,記作AD=a-b.
【解析】　在畫線段時(shí),為使結(jié)果更準(zhǔn)確,一般用直尺畫直線,用圓規(guī)量取線段的長(zhǎng)度.
2.如圖,點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上,如果AB=CD,那么AC與BD的大小關(guān)系為(　　)
A.AC>BD　　　　 B.ACC.AC=BD D.不能確定
【知識(shí)點(diǎn)】　線段大小比較
【答案】　C
【解析】　根據(jù)題意和圖示可知AB=CD,而CB為AB和CD共有線段,故AC=BD.
3.已知線段AB=10 cm,點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn),BC=4 cm,若M是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),則線段MN的長(zhǎng)度是(　　)
A.7 cm B.3 cm
C.7 cm或3 cm D.5 cm
【知識(shí)點(diǎn)】　線段計(jì)算
【答案】　D
【解析】　(1)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí),則MN=AC+BC=AB=5 cm;
(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),則MN=AC-BC=AB=5 cm.
綜合上述情況,線段MN的長(zhǎng)度是5 cm.
一、選擇題
1.如果A,B,C三點(diǎn)在同一直線上,且線段AB=4 cm,BC=2 cm,那么A,C兩點(diǎn)之間的距離為(　　)
A.2 cm B.6 cm
C.2 cm或6 cm D.無法確定
2.比較線段a和b的長(zhǎng)短,其結(jié)果一定是(　　)
A.a=b
B.a>b
C.aD.a>b或a=b或a3.下列四種說法:①因?yàn)锳M=MB,所以M是AB中點(diǎn);②在線段AM的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)B,如果AB=2AM,那么M是AB的中點(diǎn);③因?yàn)镸是AB的中點(diǎn),所以AM=MB=AB;④因?yàn)锳,M,B在同一條直線上,且AM=BM,所以M是AB的中點(diǎn).其中正確的是(　　)
A.①③④ B.④
C.②③④ D.③④
4.點(diǎn)P在線段EF上,現(xiàn)有四個(gè)等式:①PE=PF;②PE=EF;③EF=2PE;④2PE=EF.其中能表示點(diǎn)P是EF中點(diǎn)的有(　　)
A.4個(gè) B.3個(gè)
C.2個(gè) D.1個(gè)
5.C是線段AB上一點(diǎn),AC=5,BC=8,M,N分別為AC,BC的中點(diǎn),則MN的長(zhǎng)為(　　)
A. B.3
C. D.或
6.已知線段AB,延長(zhǎng)AB至C,使BC=AB,D是AC的中點(diǎn),如果DC=2 cm,則AB的長(zhǎng)為(　　)
A.5 m B.1 cm
C.2 cm D.3 cm
7.如圖所示,從A地到達(dá)B地,最短的路線是(　　)
A.A→C→E→B
B.A→F→E→B
C.A→D→E→B
D.A→C→G→E→B
8.如圖所示,B,C是線段AD上任意兩點(diǎn),M是AB的中點(diǎn),N是CD中點(diǎn),若MN=a,BC=b,則線段AD的長(zhǎng)是(　　)
A.2(a-b) B.2a-b
C.a+b D.a-b
二、填空題
9.畫線段AB=50 mm,在線段AB上取一點(diǎn)C,使得5AC=2AB.在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D,使得AB=10BD,那么CD=　　　　mm.
10.如下圖,AC=CD=DE=EB,圖中和線段AD長(zhǎng)度相等的線段是　　　　.以D為中點(diǎn)的線段是　　　　.
三、解答題
11.如圖,點(diǎn)A,B,C,D在一條直線上,
(1)你會(huì)比較線段CD與AB的大小嗎
(2)你會(huì)比較線段CB與CD的大小嗎
(3)怎樣比較線段CB與AD的大小
12.如下圖,已知線段a,b,c,畫一條線段,使它等于a+b-c(用尺規(guī)和刻度尺兩種方法).
解答題
1.已知線段AB=5 cm,
(1)在線段AB上畫線段BC=3 cm,并求線段AC的長(zhǎng);
(2)在直線AB上畫線段BC=3 cm,并求線段AC的長(zhǎng).
2.在一條直線上順次取A,B,C三點(diǎn),已知AB=5 cm,點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn),且OB=1.5 cm.求線段AC的長(zhǎng)度.
3.已知AB=16 cm,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=10 cm,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),點(diǎn)N是BC的中點(diǎn).求線段MN的長(zhǎng).
4.如下圖,四條線段AB,BC,CD,DA,用圓規(guī)比較圖中的線段大小,確定出A,B,C,D四點(diǎn)的準(zhǔn)確位置,再用刻度尺量出這四條線段的長(zhǎng)度.
6.2.2　(第二課時(shí))線段的基本事實(shí)
1.基本事實(shí):兩點(diǎn)之間,線段最短.
2.兩點(diǎn)間的距離:連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度,叫作這兩點(diǎn)間的距離.
3.注意:
(1)距離是數(shù)量,線段是圖形,兩點(diǎn)的距離不是指連接兩點(diǎn)的線段,而是指線段的長(zhǎng)度.
(2)在解決選擇位置、求最短距離等問題時(shí),通常利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”的性質(zhì)解決,立體圖形上兩點(diǎn)之間的最短距離應(yīng)轉(zhuǎn)化為展開圖中連接相應(yīng)兩點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度.
(3)線段的基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間,線段最短”和直線的基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”在生活中應(yīng)用廣泛,應(yīng)具體情境具體分析.
1.如圖所示,在一條筆直公路a的兩側(cè),分別有A,B兩個(gè)村莊,現(xiàn)要在公路a上建一個(gè)汽車站C,使汽車站到A,B兩村的距離之和最小.問汽車站C的位置應(yīng)如何確定.
【知識(shí)點(diǎn)】　線段的基本事實(shí)
【答案】　解:如圖,連接AB與直線a交于點(diǎn)C,這個(gè)點(diǎn)C的位置就是符合條件的汽車站的位置.
【解析】　“兩點(diǎn)之間,線段最短”在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用.這里“線段最短”是指線段的長(zhǎng)度最短,連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫作兩點(diǎn)間的距離,線段是圖形,線段長(zhǎng)度是數(shù)值.
2.(1)如圖1所示,把原來彎曲的河道改直,A,B兩地間的河道長(zhǎng)度有什么變化
(2)如圖2,公園里設(shè)計(jì)了曲折迂回的橋,這樣做對(duì)游人觀賞湖面風(fēng)光有什么影響 與修一座直的橋相比,這樣做是否增加了游人在橋上行走的路程 說出上述問題中的道理.
【知識(shí)點(diǎn)】　線段的基本事實(shí)
【答案】　解:(1)河道的長(zhǎng)度變短了.
(2)由于“兩點(diǎn)之間,線段最短”,這樣做增加了游人在橋上行走的路程,有利于游人更好地觀賞湖面風(fēng)光,起到“休閑”的作用.
【解析】　通過做這種類型的題,可以理解數(shù)學(xué)來源于生活,應(yīng)用于生活.
一、選擇題
1.在所有連接兩點(diǎn)的線中(　　)
A.直線最短　　　　B.線段最短
C.弧線最短 D.射線最短
2.在下列說法中,正確的是(　　)
A.任何一條線段都有中點(diǎn)
B.射線AB和射線BA是同一射線
C.延長(zhǎng)線段AB就得到直線AB
D.連接A,B就得到AB的距離
3.平面上A,B兩點(diǎn)間的距離是指(　　)
A.直線AB B.射線AB
C.線段AB D.線段AB的長(zhǎng)度
4.如圖所示,要在直線PQ上找一點(diǎn)C,使PC=3CQ,則點(diǎn)C應(yīng)在(　　)
A.P,Q之間
B.點(diǎn)P的左邊
C.點(diǎn)Q的右邊
D.P,Q之間或在點(diǎn)Q的右邊
5.如果線段AB=5 cm,BC=3 cm,那么A,C兩點(diǎn)間的距離是(　　)
A.8 cm B.2 cm
C.4 cm D.不能確定
6.C為線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn),D為線段AB的中點(diǎn),若AB的長(zhǎng)為6.6 cm,則CD的長(zhǎng)為(　　)
A.0.8 cm B.1.1 cm
C.3.3 cm D.4.4 cm
7.如圖所示,C是線段AB的中點(diǎn),D是CB上一點(diǎn),下列說法中錯(cuò)誤的是(　　)
A.CD=AC-BD
B.CD=BC
C.CD=AD-AC
D.CD=AD-BC
8.下面給出的4條線段中,最長(zhǎng)的是(　　)
A.d B.c
C.b D.a
9.在跳繩比賽中,要在兩條繩子中挑出較長(zhǎng)的一條用于比賽,選擇的方法是(　　)
A.把兩條繩子的一端對(duì)齊,然后拉直兩條繩子,另一端在外面的即為長(zhǎng)繩
B.把兩條繩子接在一起
C.把兩條繩子重合觀察另一端的情況
D.沒有辦法挑選
二、填空題
10.在一條筆直的公路兩旁種樹時(shí),先定下兩棵樹的位置,然后其他樹的位置就確定下來了,這說明了 　.
11.如下圖,把河道由彎曲改直,根據(jù) 　
　　　　　　,說明這樣做能縮短航道.
12.如圖,若CB=4 cm,DB=7 cm,且D是AC的中點(diǎn),則AC=　　　　cm.
解答題
1.如圖,AB=4 cm,BC=3 cm.如果O是線段AC的中點(diǎn),求線段OB的長(zhǎng)度.(括號(hào)內(nèi)注理由)
解:∵AC=　　　　+　　　　=7(cm),
又∵O為AC的中點(diǎn),(　　　　)
∴OC=　　　　AC=　　　　,( )
∴OB=OC-BC=0.5(cm).
2.已知A,B是數(shù)軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)A表示的數(shù)是-1,且線段AB的長(zhǎng)度為6,則點(diǎn)B表示的數(shù)是多少
3.已知線段AB=7 cm,在線段AB所在的直線上畫線段BC=1 cm,則線段AC的長(zhǎng)是多少
4.如圖所示,設(shè)A,B,C,D為4個(gè)居民小區(qū),現(xiàn)要在四邊形ABCD內(nèi)建一個(gè)購物中心,那么把購物中心建在何處,才能使4個(gè)居民小區(qū)到購物中心的距離之和最小 請(qǐng)說明理由.
5.如圖所示,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn).
(1)如果AB=20 cm,AM=6 cm,求NC的長(zhǎng);
(2)如果MN=6 cm,求AB的長(zhǎng).
6.3　角
6.3.1　角的概念
一、角的認(rèn)識(shí)及分類
1.靜態(tài)定義:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角,這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn),這兩條射線是角的兩條邊.
2.動(dòng)態(tài)定義:角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫作角的始邊,旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫作角的終邊,在角的形成過程中,射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部,未經(jīng)過的部分是角的外部.
3.沒有特殊說明時(shí),所說的角都是指小于180°的角.
4.角的分類:
(1)大于0°而小于90°的角叫作銳角.
(2)等于90°的角叫作直角.
(3)大于90°而小于180°的角叫作鈍角.
(4)等于180°的角叫作平角.
(5)等于360°的角叫作周角.
二、角的表示方法
角的幾何符號(hào)為“∠”,角的表示方法有以下幾種:
1.用三個(gè)大寫字母表示.如∠AOB,字母O表示頂點(diǎn),要寫在中間,A,B表示角的兩邊上的點(diǎn).用該表示法可以表示任意一個(gè)角.
2.用一個(gè)大寫字母表示.當(dāng)以某一個(gè)字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí),可用這個(gè)頂點(diǎn)的字母來表示.如∠O.
3.用數(shù)字或希臘字母表示.在角的內(nèi)部靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線,并標(biāo)上數(shù)字或希臘字母,這種表示法形象直觀.如∠1或∠α.
三、角的度量單位
1.把一個(gè)周角360等分,每一份就是1度的角,記作1°.
2.把1度的角60等分,每一份叫作1分的角,記作1'.
3.把1'的角60等分,每一份叫作1秒的角,記作1″.
4.角的換算:
(1)1°=60';1'=60″.
(2)1周角=360°;1周角=2平角=4直角.
(3)1平角=180°;1平角=2直角.
5.角度制:以度、分、秒為單位的角的度量制,叫作角度制.
四、畫一個(gè)角等于已知角
1.利用量角器可以度量角的大小并畫出角.
2.利用三角尺可以畫出特殊的角,如30°,60°,45°,90°等.
1.下列語句中,正確的是(　　)
A.一條直線可以看成一個(gè)平角
B.周角是一條射線
C.角是由一條射線旋轉(zhuǎn)而成的
D.角是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形
【知識(shí)點(diǎn)】　角的定義
【答案】　D
【解析】　平角是角,是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形,不是直線;周角是角,是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形,是兩條射線;角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形;具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角.
2.下列語句中,正確的是(　　)
A.直線可表示一個(gè)平角
B.平角的兩邊向左右無限延伸
C.延長(zhǎng)線段AB至點(diǎn)C,則∠ABC=180°
D.在一條直線上順次取三點(diǎn)A,B,C,則∠ABC=180°
【知識(shí)點(diǎn)】　角的表示
【答案】　D
【解析】　A.一個(gè)角由有公共端點(diǎn)的兩條射線組成,一個(gè)平角的兩邊在一條直線上,但一條直線不是一個(gè)平角,所以錯(cuò)誤;B.平角的兩邊從頂點(diǎn)向相反方向無限延伸,故說法錯(cuò)誤;C.角的兩邊應(yīng)該是射線,延長(zhǎng)線段AB至點(diǎn)C,AB和BC都是線段,故錯(cuò)誤;D.在一條直線上順次取三點(diǎn)A,B,C,則∠ABC是平角,等于180°,正確.故選D.
一、選擇題
1.下圖中表示∠ABC的圖是(　　)
A 　　B
C 　　D
2.下列關(guān)于角的說法中正確的是(　　)
A.兩條射線組成的圖形叫作角
B.延長(zhǎng)一個(gè)角的兩邊
C.角的兩邊是射線,所以角不可以度量
D.角的大小與這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)短無關(guān)
3.下列語句中正確的是(　　)
A.由兩條射線組成的圖形叫作角
B.如圖,∠A就是∠BAC
C.在∠BAC的邊AB延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D
D.對(duì)一個(gè)角的表示沒有要求,可任意書寫
4.從一個(gè)鈍角的頂點(diǎn),在它的內(nèi)部引5條互不相同的射線,則該圖中共有角的個(gè)數(shù)是(　　)
A.28 B.21
C.15 D.6
5.下列各角中,是鈍角的是(　　)
A.周角 B.周角
C.平角 D.平角
6.下列說法中正確的是(　　)
A.平角是一條直線
B.周角是一條射線
C.反向延長(zhǎng)射線OA,就形成一個(gè)平角
D.兩個(gè)銳角的和不一定小于平角
7.用∠AOB,∠O,∠1三種方法表示同一個(gè)角的圖形是(　　)
A 　　B
C 　　D
二、作圖題
8.根據(jù)下列語句畫圖:
(1)畫∠AOB=100°;
(2)在∠AOB的內(nèi)部畫射線OC,使∠BOC=50°;
(3)在∠AOB的外部畫射線OD,使∠DOA=40°;
(4)在射線OD上取點(diǎn)E,在射線OA上取點(diǎn)F,使∠OEF=90°.
一、填空題
1.如下圖所示,圖中能用一個(gè)大寫字母表示的角是　　　　;以A為頂點(diǎn)的角有　　　　個(gè),它們分別是　　　　　　　　　　.
2.一天24小時(shí)中,時(shí)鐘的分針和時(shí)針共組合成　　　　次平角,　　　　次周角.
3.把周角平均分成360份,每份就是　　　　的角,1°=　　　　,1'=　　　　.
4.25.72°=　　　　°　　　　'　　　　″.
5.15°48'36″=　　　　°.
6.3600″=　　　　'=　　　　°.
7.如圖所示,將一個(gè)矩形沿圖中的虛線折疊,請(qǐng)用量角器測(cè)量一下其中的∠α、∠β,得∠α　　　　∠β.
二、解答題
8.將下列各角用度、分、秒表示出來:
(1)32.41°;　　(2)75.5°;　　(3)°.
9.用度表示下列各角:
(1)37°36″;　　(2)51°6';　(3)15°24'36″.
6.3.2　角的比較與運(yùn)算
1.比較角的大小:
(1)度量法:用量角器量出角的度數(shù),然后比較它們的大小.
(2)疊合法:把兩個(gè)角的一條邊疊合在一起,通過觀察另一條邊的位置來比較它們的大小.
2.角的平分線:從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),把這個(gè)角分成大小相等的兩個(gè)角的射線,叫作這個(gè)角的平分線.類似地,還有角的三等分線等.
1.若∠AOB=90°,∠BOC=40°,則∠AOC的度數(shù)為(　　)
A.50°　　　　　　　 B.50°或120°
C.50°或130° D.130°
【知識(shí)點(diǎn)】　角的運(yùn)算
【答案】　C
【解析】　本題分兩種情況討論:(1)當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí),
∵∠AOB=90°,∠BOC=40°,
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°.
(2)當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí),
∵∠AOB=90°,∠BOC=40°,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°.
2.如圖,已知∠AOD∶∠BOD=1∶3,OC是∠AOD的平分線.若∠AOB=120°,求:
(1)∠COD的度數(shù);
(2)∠BOC的度數(shù).
【知識(shí)點(diǎn)】　角平分線
【答案】　解:(1)∵∠AOD∶∠BOD=1∶3,
∴設(shè)∠AOD=x°,則∠BOD=3x°,
又∵∠AOB=120°,
∴∠AOD+∠BOD=∠AOB=120°,
∴x+3x=120,解得x=30.
∵OC是∠AOD的平分線,
∴∠COD=∠AOC=∠AOD
=×30°=15°.
(2)由(1)得∠BOC=∠AOB-∠AOC=120°-15°=105°.
【解析】　本題解決關(guān)鍵是理清幾何思路,逐步形成條理清楚的幾何語言.
一、選擇題
1.下面四個(gè)圖形中,能判斷∠1>∠2的是(　　)
A 　　B
C 　　D
2.在∠AOB的內(nèi)部任取一點(diǎn)C,作射線OC,則一定存在(　　)
A.∠AOB>∠AOC　 B.∠AOC=∠BOC
C.∠BOC>∠AOC D.∠AOC>∠BOC
3.下列說法:①平角就是一條直線;②直線比射線長(zhǎng);③平面內(nèi)三條互不重合的直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè);④連接兩點(diǎn)的線段叫兩點(diǎn)之間的距離;⑤兩條射線組成的圖形叫作角;⑥一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角,這條射線是這個(gè)角的角平分線.其中正確的有(　　)
A.0個(gè)　　B.1個(gè)　　C.2個(gè)　　D.3個(gè)
4.如圖,已知直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OB平分∠EOD,若∠EOD=110°,則∠BOD的度數(shù)是(　　)
A.35°　　B.55°　　C.70°　　D.110°
5.如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OA平分∠EOC,∠AOC=30°,則∠DOE的度數(shù)等于(　　)
A.145°　　B.135°　　C.35°　　D.120°
6.如圖,已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O,OC平分∠BOE,若∠AOE=80°,則∠AOD的度數(shù)為(　　)
A.80°　　B.70°　　C.60°　　D.50°
7.如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,射線OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠CON=55°,則∠AOM的度數(shù)為(　　)
A.35° B.45°
C.55° D.65°
二、解答題
8.根據(jù)圖形填空.
(1)∠AOD=　　　　+∠AOC=∠DOB+　　　　;
(2)∠AOD-∠COD=　　　　.
9.如下圖,A,B,C三點(diǎn)在同一直線上,已知∠1=23°,∠2=67°,求∠DCE的度數(shù).
解答題
1.如圖所示,OB是∠AOC的平分線,OD是∠COE的平分線.
(1)如果∠AOB=50°,∠DOE=35°,那么∠BOD是多少度
(2)如果∠AOE=160°,∠COD=40°,那么∠AOB是多少度
2.如圖,已知∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=21°.求∠AOB的大小.
6.3.3　余角和補(bǔ)角
1.互余:如果兩個(gè)角的和等于90°(直角),就說這兩個(gè)角互為余角.∠α的余角是90°-∠α.
2.互補(bǔ):如果兩個(gè)角的和等于180°(平角),就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.∠α的補(bǔ)角是180°-∠α.
3.余角、補(bǔ)角的性質(zhì):
(1)同角(等角)的余角相等.
(2)同角(等角)的補(bǔ)角相等.
4.方向角:指向正北方或正南方的射線繞著觀測(cè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過目標(biāo)的方向線所夾得角叫作方向角.
5.注意:
(1)互余和互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系,而不是多個(gè)角之間的關(guān)系.
(2)互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角,只與它們的度數(shù)之和有關(guān),與它們的位置無關(guān).
(3)表示方向角時(shí),必須以正南方向或正北方向?yàn)榛鶞?zhǔn),表示成北偏東、北偏西、南偏東、南偏西,不能表示成東偏北、西偏南等.
(4)在同一個(gè)問題中,觀測(cè)點(diǎn)可能不止一個(gè),在不同的觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)物體時(shí),物體的方向角可能不同.另外,在哪個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè),一般就要在這個(gè)觀測(cè)點(diǎn)處畫出正東、正西、正南、正北四條方向線,以此為基準(zhǔn)寫方向角.
1.下列說法中,正確的是(　　)
A.兩點(diǎn)確定一條線段
B.如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)和一條公共邊,且這兩個(gè)角互補(bǔ),那么這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角
C.對(duì)頂角相等但不互補(bǔ),鄰補(bǔ)角互補(bǔ)但不相等
D.如果∠MON=180°,那么M、O、N三點(diǎn)在一條直線上
【知識(shí)點(diǎn)】　角的概念,對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角,基本事實(shí)
【答案】　D
【解析】　A.兩點(diǎn)確定一條直線,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)和一條公共邊,這兩個(gè)角在公共邊的異側(cè),且這兩個(gè)角互補(bǔ),那么這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.對(duì)頂角相等但不互補(bǔ),鄰補(bǔ)角互補(bǔ)但不相等,錯(cuò)誤,例如兩條互相垂直的直線形成的四個(gè)角,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.如果∠MON=180°,那么M、O、N三點(diǎn)在一條直線上,正確,故本選項(xiàng)正確.根據(jù)基本事實(shí)、鄰補(bǔ)角的定義、對(duì)頂角的定義,對(duì)各選項(xiàng)分析判斷,利用排除法求解.
2.填空:
(1)若∠A=45°30',則∠A的補(bǔ)角等于
　　　　.
(2)∠A=36°24',∠A的余角度數(shù)為　　　　.
【知識(shí)點(diǎn)】　度、分、秒的換算,余角和補(bǔ)角
【答案】　(1)134°30'　(2)53°36'
【解析】　(1)∵∠A=45°30',∴∠A的補(bǔ)角=180°-45°30'=179°60'-45°30'=134°30'.如果兩個(gè)角的和等于180°(平角),就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.根據(jù)補(bǔ)角定義可得答案.
(2)∠A的余角=90°-36°24'=53°36'.根據(jù)余角定義直接解答.
一、選擇題
1.已知∠A=65°,則∠A的余角的度數(shù)是(　　)
A.15°　　　　　 B.25°
C.115° D.135°
2.如圖,點(diǎn)O在直線AB上,若∠1=40°,則∠2的度數(shù)是(　　)
A.50° B.60°
C.140° D.150°
3.如圖,A,O,B三點(diǎn)在一條直線上,已知∠AOD=25°,∠COD=90°,則∠BOC的度數(shù)為(　　)
A.25°　　B.85°　　C.115°　　D.155°
4.如果∠AOB+∠BOC=90°,∠BOC+∠COD=90°,那么∠AOB與∠COD的關(guān)系是(　　)
A.互余 B.互補(bǔ)
C.相等 D.不能確定
5.在直線AB上取一點(diǎn)O,過點(diǎn)O作射線OC,OD,使OC⊥OD,當(dāng)∠AOC=30°時(shí),∠BOD的度數(shù)為(　　)
A.60° B.90°
C.120° D.60°或120°
6.如圖,已知∠B=30°,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠F=40°,則圖中互余的角有　　　　對(duì).(　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
7.下列各圖中,∠1與∠2互為余角的是(　　)
A 　　B
C 　　D
8.如圖,點(diǎn)O在直線AB上,∠COB=∠DOE=90°,則圖中相等的角的對(duì)數(shù)是(　　)
A.3 B.4
C.5 D.7
9.如下圖,小明從A處出發(fā)沿北偏東60°方向行走至B處,又沿北偏西20°方向行走至C處,此時(shí)需把方向調(diào)整到與出發(fā)時(shí)一致,則方向的調(diào)整應(yīng)是(　　)
A.右轉(zhuǎn)80° B.左轉(zhuǎn)80°
C.右轉(zhuǎn)100° D.左轉(zhuǎn)100°
二、填空題
10.若∠α=35°,則∠α的補(bǔ)角是　　　　.
11.一個(gè)角的度數(shù)為20°,則它的補(bǔ)角的度數(shù)為
　　　　.
12.如圖,三角板的直角頂點(diǎn)在直線l上,若∠1=40°,則∠2的度數(shù)是　　　　.
13.已知∠A=67°,則∠A的余角等于　　　　;若∠A=30°,則∠A的補(bǔ)角是　　　　.
解答題
1.如下圖,若直線AB與直線CD交于點(diǎn)O,OA平分∠COF,OE⊥CD.
(1)寫出圖中與∠EOB互余的角;
(2)若∠AOF=30°,求∠BOE和∠DOF的度數(shù).
2.如下圖所示,已知O是直線AB上一點(diǎn),∠AOE=∠FOD=90°,OB平分∠COD,圖中與∠DOE互余的角有哪些 并說明理由.
3.如圖,已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O,OM平分∠BOD,∠NOM=90°,∠AOC=50°.
(1)求∠AON的度數(shù);
(2)寫出∠DON的余角.
綜合與實(shí)踐——設(shè)計(jì)學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽場(chǎng)地
　　如圖是某校田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的平面圖,最中間是長(zhǎng)方形,長(zhǎng)為a米,兩端為兩個(gè)半圓,半徑為r米,每條跑道的寬為1.2米,共四個(gè)跑道.若每個(gè)跑道按內(nèi)側(cè)邊線的總長(zhǎng)度計(jì)算路程,請(qǐng)解答下列問題:
(1)第2跑道的總長(zhǎng)度為　　　　米.
(2)第3跑道的總長(zhǎng)度為　　　　米.
(3)若a=50,且要求第1跑道的總長(zhǎng)度為200米.(以下問題結(jié)果精確到個(gè)位,π取3.1)
①求r的值;
②操場(chǎng)中心(陰影部分)鋪設(shè)地磚,跑道及兩端的半圓鋪設(shè)塑膠和人工草,若鋪設(shè)地磚需要50元/平方米,鋪設(shè)塑膠和人工草需要100元/平方米,則學(xué)校共需付多少鋪設(shè)費(fèi)用
分析:(1)利用長(zhǎng)方形與圓的周長(zhǎng)公式解答即可.
(2)利用長(zhǎng)方形與圓的周長(zhǎng)公式解答即可.
(3)①利用長(zhǎng)方形與圓的周長(zhǎng)公式列出方程解答即可;
②利用長(zhǎng)方形與圓的面積公式求得相應(yīng)部分的面積,再利用面積×單價(jià)解答即可.
【答案】解:(1)第2跑道的總長(zhǎng)度為2a+2π(r+1.2)=(2a+2πr+2.4π)米.
故答案為(2a+2πr+2.4π).
(2)第3跑道的總長(zhǎng)度為2a+2π(r+2.4)=(2πr+4.8π+2a)米.
故答案為(2πr+4.8π+2a).
(3)①由題意得2a+2πr=200,
∵a=50,
∴r≈16.
②由題意得,鋪地磚費(fèi)用=50×50×2×16=80 000(元);
鋪塑膠和人工草費(fèi)用=100×[π(16+1.2×4)2+50×1.2×4×2)]=(43 264π+48 000)元.
∴80 000+43 264π+48 000=128 000+43 264π≈262 118(元).
答:學(xué)校共需付鋪設(shè)費(fèi)用262 118元.
學(xué)校體育場(chǎng)是學(xué)生進(jìn)行各類體育運(yùn)動(dòng)的主要場(chǎng)所.不同學(xué)校的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)設(shè)置不一定相同,如有的學(xué)校體育場(chǎng)設(shè)置了標(biāo)準(zhǔn)400 m跑道,有的學(xué)校因場(chǎng)地限制,只能設(shè)置300 m或200 m跑道;有的學(xué)校設(shè)置了標(biāo)準(zhǔn)籃球場(chǎng),有的學(xué)校設(shè)置了半場(chǎng)籃球場(chǎng);等等.
學(xué)校一般會(huì)在春季或秋季舉行田徑運(yùn)動(dòng)會(huì).舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)前,需要施劃不同項(xiàng)目的比賽場(chǎng)地.施劃這些運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地,除了要考慮體育場(chǎng)的大小、不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的特點(diǎn),還要用到數(shù)學(xué)知識(shí).
下面,我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察學(xué)校體育場(chǎng),并為學(xué)校日后舉行的田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)規(guī)劃比賽場(chǎng)地.
活動(dòng)目標(biāo)
通過合作探究,了解不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目場(chǎng)地設(shè)計(jì)的要求,為日后舉行的田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)規(guī)劃比賽場(chǎng)地.
活動(dòng)準(zhǔn)備
1.材料用具
卷尺、教學(xué)用的三角尺、直尺、量角器、圓規(guī)等作圖工具.
2.資料學(xué)習(xí)
通過咨詢體育老師、查閱相關(guān)書刊資料或網(wǎng)絡(luò)搜索,了解田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的場(chǎng)地設(shè)計(jì)規(guī)格與要求.
活動(dòng)任務(wù)
活動(dòng)一　了解田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)相關(guān)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目場(chǎng)地設(shè)計(jì)的要求
田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目分為田賽、徑賽兩類.以高度或遠(yuǎn)度計(jì)算成績(jī)的跳躍、投擲項(xiàng)目叫田賽,如跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球等,田賽在體育場(chǎng)跑道圍成的場(chǎng)地里面或外面進(jìn)行;以時(shí)間計(jì)算成績(jī)的競(jìng)走和跑的項(xiàng)目叫徑賽,徑賽通常在體育場(chǎng)的跑道上進(jìn)行.這些運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目場(chǎng)地的設(shè)計(jì)有統(tǒng)一要求嗎
任務(wù)　針對(duì)學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的設(shè)置情況,查閱有關(guān)資料,了解這些項(xiàng)目場(chǎng)地的國際標(biāo)準(zhǔn),按適當(dāng)?shù)谋壤贏4紙上畫出這些運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的場(chǎng)地示意圖,并配以適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)和文字說明.
活動(dòng)二　為學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)規(guī)劃比賽場(chǎng)地
假設(shè)你所在的學(xué)校將舉行田徑運(yùn)動(dòng)會(huì),徑賽項(xiàng)目有多種距離的賽跑,田賽項(xiàng)目有跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球等.請(qǐng)將這些比賽項(xiàng)目合理地安排在自己學(xué)校的體育場(chǎng)內(nèi).用適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)自己的設(shè)計(jì),并配以數(shù)據(jù)和文字說明.
任務(wù)1　徑賽項(xiàng)目跑道的設(shè)計(jì)
(1)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的 400 m跑道的直道長(zhǎng)是多少米 第一分道的總長(zhǎng)度是多少米 彎道是什么形狀 彎道中各分道的長(zhǎng)度分別是多少米 你能找到其中蘊(yùn)含的規(guī)律嗎
(2)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的400 m跑道內(nèi),100 m,200 m,400 m,800 m,1 500 m等比賽跑道的起點(diǎn)相同嗎 為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況
(3)如何在學(xué)校 400 m跑道內(nèi)劃定400 m跑比賽的起跑線 4×100 m接力跑比賽的起跑線又該如何劃定 畫出它們的示意圖.
(4)若學(xué)校只有300 m跑道,如何劃定200 m跑比賽的起跑線 畫出示意圖.
備注:標(biāo)準(zhǔn)400 m跑道由兩個(gè)平行的直道和兩個(gè)半徑相等的彎道組成,彎道半徑在35.00~38.00 m之間,國際田聯(lián)規(guī)定彎道半徑36.50 m為標(biāo)準(zhǔn)跑道.
任務(wù)2　田賽項(xiàng)目場(chǎng)地的設(shè)計(jì)
(1)跳高比賽的場(chǎng)地設(shè)置有什么具體要求
(2)跳遠(yuǎn)場(chǎng)地中長(zhǎng)方形沙坑的長(zhǎng)與寬分別是多少米 助跑區(qū)的設(shè)計(jì)有什么要求 選擇適當(dāng)比例畫出跳遠(yuǎn)場(chǎng)地的示意圖.
(3)鉛球場(chǎng)地由扇形的一部分與圓組成,圓的半徑是多少米 扇形所在圓的半徑是多少米 場(chǎng)地的占地面積約是多少平方米 選擇適當(dāng)比例畫出鉛球場(chǎng)地的示意圖.
備注:(1)跳高比賽場(chǎng)地包括助跑道、起跳區(qū)和落地區(qū)三部分,助跑道的長(zhǎng)度不得短于15 m.大型田徑比賽跳高助跑道不得短于20 m,在條件許可的地方不短于25 m,助跑道和起跳區(qū)朝橫桿中心的傾斜度不得超過1∶250.起跳區(qū)必須平坦,落地區(qū)應(yīng)為海綿包或沙坑(沙面應(yīng)高出地面).
(2)跳遠(yuǎn)場(chǎng)地的沙坑一般長(zhǎng)7~9 m(取決于它的近端和起跳線之間的距離),寬至少為2.75 m.助跑道從起點(diǎn)至起跳線的長(zhǎng)度至少40 m,助跑道寬(1.22±0.01)m.它應(yīng)以0.05 m寬的白線標(biāo)出,或者用0.05 m寬、0.10 m長(zhǎng)的相距0.50 m的分隔線,助跑道表面通常與跑道鋪設(shè)相同.
(3)鉛球場(chǎng)地,圓的半徑是1.0675 m,扇形所在圓的半徑不唯一.場(chǎng)地的占地面積不唯一.
任務(wù)3　綜合考慮田徑比賽的場(chǎng)地要求,在保障比賽安全的前提下,為使各項(xiàng)比賽互不干擾,你覺得在設(shè)計(jì)中還要考慮哪些問題
(1)鉛球比賽場(chǎng)地比較特殊,安排在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)什么位置較好 為什么
(2)跳高比賽時(shí)需要助跑,為盡量不影響其他項(xiàng)目同時(shí)比賽,比賽地點(diǎn)安排在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)什么位置更合理
備注:(1)為了安全起見,鉛球比賽場(chǎng)地一般安排在兩端的半圓內(nèi).
(2)跳高比賽需要助跑區(qū),往往把跳高場(chǎng)區(qū)放在另一個(gè)半圓內(nèi).
活動(dòng)三　自己提出問題并加以解決
規(guī)劃比賽場(chǎng)地時(shí),還有其他問題嗎 自己提出規(guī)劃學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽場(chǎng)地時(shí)與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題,并加以解決.
活動(dòng)過程
1.組建合作團(tuán)隊(duì)
本次綜合與實(shí)踐活動(dòng)需要團(tuán)隊(duì)協(xié)作.在班級(jí)中組成5~8人一組的研究小組,每位同學(xué)參加其中一個(gè)小組,每個(gè)小組確定一名負(fù)責(zé)人.
2.方案構(gòu)思
小組成員進(jìn)行充分的討論與交流,集思廣益,形成解決上述任務(wù)的方案.
3.方案實(shí)施
按照小組設(shè)計(jì)的方案進(jìn)行任務(wù)分工,使每位成員都有明確的任務(wù).根據(jù)規(guī)劃的研究步驟實(shí)施,完成活動(dòng)任務(wù),并給出設(shè)計(jì)圖和設(shè)計(jì)說明(要給出規(guī)劃理由等),記錄完成任務(wù)的過程,形成研究報(bào)告.
4.展示交流
制作向全班匯報(bào)的演示文稿,選出代表向全班同學(xué)展示本組各項(xiàng)任務(wù)的規(guī)劃示意圖,并進(jìn)行說明.分享實(shí)踐過程中的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、遇到的困難及其解決方法,反思活動(dòng)中的不足.
注意:展示交流活動(dòng)要邀請(qǐng)?bào)w育老師參加點(diǎn)評(píng).
活動(dòng)評(píng)價(jià)
通過成果展示與交流,基于各組完成的研究報(bào)告,根據(jù)情況選擇任務(wù)完成表、表現(xiàn)評(píng)分表、自我反思表等進(jìn)行評(píng)價(jià).與老師(包括體育老師)和全班同學(xué)一起,通過質(zhì)疑、辯論、評(píng)價(jià),總結(jié)成果,分享體會(huì),分析不足,開展自我評(píng)價(jià)、同學(xué)評(píng)價(jià)和教師評(píng)價(jià),完成本次綜合與實(shí)踐活動(dòng).
如圖是某校田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的示意圖,其中AB和CD為直線跑道,兩端為半圓形跑道.
(1)如果田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的總長(zhǎng)為400 m,其中AB=CD=100 m,試計(jì)算矩形ABCD內(nèi)部操場(chǎng)的面積.
(2)①如果田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的總長(zhǎng)為300 m,要使矩形ABCD內(nèi)部操場(chǎng)的面積最大,直線跑道應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng) 矩形ABCD內(nèi)部操場(chǎng)的最大面積是多少
②小明測(cè)量發(fā)現(xiàn),學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的總長(zhǎng)為300 m,直線跑道AB=CD=50 m,請(qǐng)判斷這與①中的計(jì)算結(jié)果是否一致,并給出一種可能的原因.
第六章　幾何圖形初步
6.1　幾何圖形
6.1.1　立體圖形與平面圖形
基礎(chǔ)性作業(yè)
一、選擇題
1.C　解析:有些幾何圖形(如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球等)的各部分不都在同一平面內(nèi),它們是立體圖形.A,B,D三項(xiàng)都是平面圖形.
2.A　解析:由題圖形可以看出是由圓、長(zhǎng)方形組成.
3.A　解析:圓柱的側(cè)面是曲面,有兩個(gè)面是互相平行的.
4.A　解析:棱柱的側(cè)面是平面而且是平行四邊形,有兩個(gè)面是互相平行的.
5.B　解析:表面是曲面的立體圖形.
6.C　解析:圓錐的側(cè)面是曲面,有一個(gè)公共頂點(diǎn).
7.D　解析:陀螺是由圓柱和圓錐組合而成的.
二、填空題
8.5　解析:題圖屬于柱體的有①②③⑥⑧.
9.球　棱柱　圓錐　棱柱　圓柱　棱錐
10.6　12　8　解析:一個(gè)正方體有6個(gè)面,12條棱,
8個(gè)頂點(diǎn).
11.球
提高訓(xùn)練
選擇題
1.B
2.C　解析:棱錐展開圖中含有三角形和長(zhǎng)方形.
3.B　解析:球的主視圖、左視圖、俯視圖都是圓.
4.A　解析:當(dāng)圓柱側(cè)面與桌面接觸時(shí),主視圖和左視圖有一個(gè)可能是長(zhǎng)方形,另一個(gè)是圓.
5.A　解析:從左面看只能看到豎直擺放的兩個(gè)正方體,故選A.
6.1.2　點(diǎn)、線、面、體
基礎(chǔ)性作業(yè)
一、選擇題
1.C　解析:圓柱由3個(gè)面圍成,2個(gè)面是平面,1個(gè)面是曲面;球僅由1個(gè)面圍成,這個(gè)面是曲面.
2.D　解析:汽車雨刷可以看成是線,畫出的痕跡可以看成是面.
3.D　解析:球僅由1個(gè)面圍成,這個(gè)面是曲面.
4.D　解析:正方體和四棱柱都是由6個(gè)面組成的.
5.B　解析:用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐,截面可以是橢圓;用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱體,截面不可以是梯形;用一個(gè)平面去截一個(gè)長(zhǎng)方體,截面可能是正方形.
6.B　解析:當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高有兩個(gè)相等時(shí),它們組成的平面是正方形.
二、填空題
7.(1)6　長(zhǎng)方　正方　兩個(gè)對(duì)
(2)正方　相等　(3)相等的圓　(4)圓
解析:長(zhǎng)方體、正方體都有6個(gè)面,長(zhǎng)方體的6個(gè)面可能都是長(zhǎng)方形,當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高有兩個(gè)相等時(shí),也有可能有2個(gè)面是正方形,它的兩個(gè)對(duì)面完全相同.
8.(1)三角形　四邊形　(2)四邊形　四邊形
解析:(1)三棱柱的上、下底面是三角形,側(cè)面是四邊形.(2)四棱柱的上、下底面和側(cè)面都是四邊形.
三、判斷正誤
9.(1)√　解析:圓柱的上下兩個(gè)面互相平行且一樣大.
(2)√　解析:圓柱、圓錐的底面是由圓組成的.
(3)×　解析:三棱柱的底面是三角形.
(4)√　解析:棱錐的側(cè)面都是三角形.
(5)×　解析:棱柱的側(cè)面都是四邊形.
(6)√　解析:圓柱的側(cè)面展開是長(zhǎng)方形.
(7)√　解析:球是由一個(gè)曲面組成的.
(8)√　解析:圓錐側(cè)面是曲面,底面是圓.
(9)√　解析:幾棱柱就是由幾個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面組成,幾棱錐就是由幾個(gè)側(cè)面和一個(gè)底面組成.
(10)√　解析:由幾個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面組成.
提高訓(xùn)練
一、選擇題
1.D　解析:正方體有12條棱,四棱錐有8條棱,圓柱沒有棱.
2.B　解析:球、圓柱、圓錐能截出圓,長(zhǎng)方體和正方體不能截出圓.
3.D　解析:扎西將一個(gè)直角三角尺繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.
4.D　解析:直角梯形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周,得到的立體圖形是圓臺(tái).
二、解答題
5.(1)立體圖形　(2)5個(gè),8條,5個(gè)
(3)三角形和四邊形
解析:四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn),8條線段,5個(gè)平面.
6.2　直線、射線、線段
6.2.1　直線、射線、線段
基礎(chǔ)性作業(yè)
一、選擇題
1.D　解析:射線PA和射線AP不是同一條射線;射線不可度量;直線用一個(gè)小寫字母或者兩個(gè)大寫字母表示.
2.C　解析:直線、射線不可度量,射線OA是無限延伸的.
3.D　解析:平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)確定一條直線,不同的三點(diǎn)最多確定三條直線,不同的n個(gè)點(diǎn)最多可確定1+2+3+…+(n+1)=條直線,當(dāng)=36時(shí),n=9.
4.A　解析:由上題分析中的可知,當(dāng)n=3時(shí),3×2×=3.
5.C　解析:射線可以向一方無限延伸,只有C選項(xiàng)中射線延伸的方向可以與線段相交.
6.D　解析:直線用一個(gè)小寫字母或者兩個(gè)大寫字母表示,故只有①④正確.
7.B　解析:經(jīng)過兩點(diǎn)的線段不止一條;經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線,這是基本事實(shí);經(jīng)過兩點(diǎn)不止一條射線.
8.C　解析:題圖中線段有AB,AC,BC.
9.B　解析:題圖中共有6條線段;射線BD和射線DB不是同一條射線.
二、解答題
10.解:(1)可以,如圖(1)所示.
(2)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),可畫一條,如圖(1)所示;當(dāng)A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí),可畫三條,如圖(2)所示.
(3)三條直線兩兩相交有兩種情況,即三條直線不過同一個(gè)交點(diǎn)時(shí)有三個(gè)交點(diǎn);三條直線過同一個(gè)交點(diǎn)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn).
如圖(3)(4)所示:
故三條直線兩兩相交,交點(diǎn)有1個(gè)或3個(gè).
11.解:
12.答:因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線,過兩點(diǎn)有且只有一條直線.
提高訓(xùn)練
一、填空題
1.兩點(diǎn)確定一條直線
二、解答題
2.根據(jù)語句畫出圖形.
(1)直線EF經(jīng)過點(diǎn)C,如下圖所示:
(2)點(diǎn)A在直線l外,如下圖所示:
(3)過點(diǎn)O畫直線a和直線b,如下圖所示:
3.(1)點(diǎn)D在直線a上;(2)點(diǎn)A不在直線a上;(3)直線a,b相交于點(diǎn)D;(4)直線a,b,c兩兩相交于點(diǎn)A,B,C.
解析:根據(jù)直線和點(diǎn)的表示可寫出幾何語言.
4.(1)3　(2)6　(3)10　(4)15
(5)1+2+3+…+(n+1)=　231
(6)當(dāng)n=10時(shí),=45,所以一共需要握45次手.
6.2.2　(第一課時(shí))線段的比較與運(yùn)算
基礎(chǔ)性作業(yè)
一、選擇題
1.C　解析:當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左邊時(shí),AC=AB-BC=2 cm;當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí),AC=AB+BC=6 cm.
2.D　解析:線段之間比較有三種情況:大于、等于、小于.
3.C　解析:因?yàn)锳M=MB,當(dāng)M和A,B不在同一條直線上時(shí),M不是AB中點(diǎn),當(dāng)M和A,B在同一條直線上時(shí),M是中點(diǎn).
4.B　解析:EF=2PE不能說明P是EF的中點(diǎn).
5.C　解析:M為AC的中點(diǎn),則MC=AC=.N為BC的中點(diǎn),則CN=BC=4.MN=MC+CN=.
6.D　解析:D是AC的中點(diǎn),則AC=2DC=4 cm.由AC=AB+BC,BC=AB,得AB=3 cm.
7.B　解析:兩點(diǎn)之間,線段最短.
8.B　解析:由題圖知MN=MB+BC+CN=a,則MB+CN=a-b.M是AB的中點(diǎn),則AB=2MB.N是CD的中點(diǎn),則CD=2CN.故AD=AB+BC+CD=2(a-b)+b=2a-b.
二、填空題
9.35　解析:由AB=50 mm,5AC=2AB,可得AC=20 mm.由AB=10BD可得BD=5 mm.CD=CB+BD=35 mm.
10.CE,DB　AB,CE
解析:由AC=CD=DE=EB,得AD=AC+CD=CD+DE=CE=DE+EB=DB.
三、解答題
11.解:(1)會(huì),CD=CA+AB+BD,故CD>AB.
(2)會(huì),CD=CB+BD,故CB(3)只需測(cè)量CA,BD的大小即可,因?yàn)镃B=CD-BD,AD=CD-CA.
12.解:如圖所示,
(1)畫射線AE;
(2)在射線AE上順次截取AB=a,BC=b;
(3)在線段AC上截取CD=c.線段AD就是所要畫的線段.
提高訓(xùn)練
解答題
1.解:圖略.(1)由題知AC=AB-BC=5-3=2(cm).(2)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊時(shí),AC=AB-BC=5-3=2 (cm);當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊時(shí),AC=AB+BC=5+3=8 (cm).
2.解:當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)B的左邊時(shí),AO=AB-OB=3.5 cm,AC=2OA=7 cm;當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)B的右邊時(shí),AO=AB+OB=6.5 cm,AC=2OA=13 cm.
3.解:由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),得MC=AC=5 cm.由AB=16 cm,AC=10 cm,得BC=6 cm.由點(diǎn)N是BC的中點(diǎn),得CN=CB=3 cm,故MN=MC+CN=8 cm.
4.解:用圓規(guī)比較AB,BC,CD,DA大小,可得AB6.2.2　(第二課時(shí))線段的基本事實(shí)
基礎(chǔ)性作業(yè)
一、選擇題
1.B　解析:兩點(diǎn)之間,線段最短.直線、射線不可度量.
2.A　解析:射線是有方向的,直線沒有端點(diǎn),距離是線段長(zhǎng)度.
3.D　解析:距離是線段的長(zhǎng)度.
4.D　解析:點(diǎn)C在P,Q之間或在點(diǎn)Q的右邊,都有可能使PC=3CQ.
5.D　解析:(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在一條直線上時(shí),分點(diǎn)B在A,C之間和點(diǎn)C在A,B之間兩種情況討論.①點(diǎn)B在A,C之間時(shí),AC=AB+BC=5+3=8(cm);②點(diǎn)C在A,B之間時(shí),AC=AB-BC=5-3=2(cm).所以A,C兩點(diǎn)間的距離是8 cm或2 cm.(2)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)不在一條直線上時(shí),A,C兩點(diǎn)之間的距離有多種可能,即不能確定.故選D.
6.B　解析:當(dāng)C點(diǎn)離A點(diǎn)近時(shí),AC=AB=2.2 cm,AD=AB=3.3 cm,CD=AD-AC=1.1 cm;當(dāng)C點(diǎn)離B點(diǎn)近時(shí),AC=AB=4.4 cm,AD=AB=3.3 cm,CD=AC-AD=1.1 cm.
7.B　解析:C是線段AB的中點(diǎn),得AC=CB,CD=CB-BD=AC-BD,CD=AD-AC,CD=AD-BC.
8.A　解析:可以用圓規(guī)比較大小,也可以用刻度尺進(jìn)行測(cè)量,再比較大小.
9.A　解析:兩條繩子比較長(zhǎng)短,相當(dāng)于兩條線段比較大小,一端對(duì)齊,觀察另一端的情況.
二、填空題
10.兩點(diǎn)確定一條直線
11.兩點(diǎn)之間,線段最短
12.6　解析:由題圖可知DC=DB-CB=7-4=3(cm).由D是AC的中點(diǎn),可得AC=2DC=6 cm.
提高訓(xùn)練
解答題
1.解:因?yàn)锳C=AB+BC=7(cm),
又因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),(已知)
所以O(shè)C=AC=3.5 cm,(中點(diǎn)定義)
所以O(shè)B=OC-BC=0.5(cm).
2.解:由題意可知,點(diǎn)B可能在點(diǎn)A的左邊,也可能在點(diǎn)A的右邊.當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊時(shí),由AB=6可得B點(diǎn)表示的數(shù)為-7;當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊時(shí),由AB=6可得B點(diǎn)表示的數(shù)為5.
3.解:因?yàn)樵诰€段AB所在的直線上畫線段BC=1 cm,所以點(diǎn)C可能在點(diǎn)B的左邊,也可能在點(diǎn)B的右邊.當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊時(shí),由AB=7 cm可得AC=AB+BC=8 cm;當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊時(shí),由AB=7 cm可得AC=AB-BC=6 cm.
4.解:建在AC與BD的交點(diǎn)上,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,購物中心應(yīng)建在A區(qū)和C區(qū)所連接的線段上,又要建在B區(qū)與D區(qū)連接的線段上,故應(yīng)建在AC與BD的交點(diǎn)上,才能使4個(gè)居民小區(qū)到購物中心的距離之和最小.
5.解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn),所以AC=2AM=12 cm.由AB=20 cm得BC=AB-AC=8 cm.因?yàn)辄c(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn),所以NC=BC=4 cm.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn),所以AC=2CM,BC=2NC.
因?yàn)锳B=AC+BC=2CM+2NC=2(CM+NC)=2MN,且MN=6 cm,所以AB=12 cm.
6.3　角
6.3.1　角的概念
基礎(chǔ)性作業(yè)
一、選擇題
1.C　解析:字母B表示頂點(diǎn),要寫在中間,A,C表示角的兩邊上的點(diǎn).
2.D　解析:A.有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角,B.角的兩邊是射線,C.角可以度量.
3.B　解析:A.有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角;C.角的兩邊是射線;D.對(duì)一個(gè)角的表示有要求,角的表示有四種方法.
4.B　解析:有公共頂點(diǎn)的n條射線,所構(gòu)成的角的個(gè)數(shù),一共是n(n-1)個(gè),注意在它的內(nèi)部引5條互不相同的射線,即共有7條射線,即=21.
5.B　解析:周角=90°,周角=240°,平角=120°,平角=45°.
6.C　解析:A.平角是角,是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形,不是直線,錯(cuò)誤;B.周角是角,是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形,是兩條射線,錯(cuò)誤;C.反向延長(zhǎng)射線OA,O成為角的頂點(diǎn),正確;D.銳角大于0°而小于90°,所以兩個(gè)銳角的和小于180°,錯(cuò)誤.
7.D　解析:角的表示有四種方法,可以用三個(gè)字母或者一個(gè)字母或者一個(gè)希臘字母或者一個(gè)數(shù)字表示.
二、作圖題
8.解:如圖所示.
提高訓(xùn)練
一、填空題
1.∠B、∠C　6　∠BAE、∠EAD、∠DAC、∠BAD、
∠EAC、∠BAC
2.24　24　解析:一天24小時(shí)中,時(shí)針只轉(zhuǎn)2圈,而分針轉(zhuǎn)24圈,且轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同,因而在每一個(gè)小時(shí)中一定有且只有一次平角和周角,因而一天24小時(shí)中,時(shí)鐘的分針和時(shí)針共組合成24次平角,24次周角.
3.1度　60'　60″
4.25°43'12″
5.15.81°
6.60'　1°
7.=
二、解答題
8.解:(1)32.41°=32°24'36″;
(2)75.5°=75°30';
(3)°=5'.
9.解:(1)37°36″=37.01°;
(2)51°6'=51.1°;
(3)15°24'36″=15.41°.
6.3.2　角的比較與運(yùn)算
基礎(chǔ)性作業(yè)
一、選擇題
1.D　解析:角的比較方法有:(1)度量法;(2)疊合法.
2.A
3.B　解析:①平角是角,是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形,不是直線;②直線、射線不可度量;③平面內(nèi)三條互不重合的直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè);④兩點(diǎn)之間的距離指線段的長(zhǎng)度;⑤有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角;⑥從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),把這個(gè)角分成大小相等的兩個(gè)角的射線,叫作這個(gè)角的平分線.
4.B　解析:因?yàn)镺B平分∠EOD,∠EOD=110°,所以∠BOD=∠EOD=55°.
5.D　解析:因?yàn)镺A平分∠EOC,∠AOC=30°,則∠EOC=2∠AOC=60°,∠DOE=180°-∠EOC=120°.
6.D　解析:因?yàn)椤螦OE=80°,所以∠EOB=180°-∠AOE=100°,又因?yàn)镺C平分∠BOE,所以∠EOC=∠EOB=50°,∠AOD=180°-∠AOE-∠EOC=50°.
7.A　解析:因?yàn)镺N⊥OM,∠MON=90°,因?yàn)椤螩ON=55°,所以∠MOC=90°-∠CON=35°,射線OM平分∠AOC,所以∠AOM=∠MOC=35°.
二、解答題
8.(1)∠AOD=∠DOC+∠AOC=∠DOB+∠AOB;
(2)∠AOD-∠COD=∠AOC.
9.解:因?yàn)椤?=23°,∠2=67°,所以∠DCE=180°-∠1-∠2=90°.
提高訓(xùn)練
解答題
1.解:(1)因?yàn)镺B是∠AOC的平分線,∠AOB=50°,所以∠BOC=∠AOB=50°.因?yàn)镺D是∠COE的平分線,∠DOE=35°,所以∠DOC=∠DOE=35°,所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=85°.
(2)因?yàn)镺D是∠COE的平分線,∠COD=40°,所以∠EOC=2∠COD=80°.因?yàn)椤螦OE=160°,所以∠AOC=∠AOE-∠EOC=80°.因?yàn)镺B是∠AOC的平分線,所以∠AOB=∠AOC=40°.
2.解:因?yàn)椤螧OC=2∠AOC,所以∠BOD+∠COD=2∠AOC,所以∠BOD=2∠AOC-21°.因?yàn)镺D平分∠AOB,所以∠AOB=2∠AOD=2∠BOD,所以∠AOC+21°=2∠AOC-21°,即∠AOC=42°,所以∠BOD=63°,即∠AOB=126°.
6.3.3　余角和補(bǔ)角
基礎(chǔ)性作業(yè)
一、選擇題
1.B　解析:∠A的余角的度數(shù)是90°-∠A=25°.
2.C　解析:∠2=180°-∠1=140°.
3.C　解析:因?yàn)椤螦OD=25°,∠COD=90°,所以∠AOC=∠COD-∠AOD=65°,所以∠BOC=180°-∠AOC=115°.
4.C　解析:因?yàn)椤螦OB+∠BOC=90°,∠BOC+∠COD=90°,所以∠AOB=90°-∠BOC,∠COD=90°-∠BOC,所以∠AOB=∠COD.
5.D　解析:當(dāng)OC,OD在AB同側(cè)時(shí),∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=60°;當(dāng)OC,OD在AB兩側(cè)時(shí),∠AOD=∠COD-∠AOC=60°,∠BOD=180°-∠AOD=120°.
6.B　解析:∠B+∠BAD=90°,∠B+∠BCA=90°,∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠BCA=90°,∠E+∠F=90°.
7.B　解析:A.∠1=∠2,B.∠1+∠2=90°,C.∠1=∠2,D.∠1+∠2=180°.
8.C　解析:∠EOC=∠DOB,∠COD=∠AOE,∠COB=∠DOE=∠AOC.
9.A　解析:本題考查了方向角有關(guān)的知識(shí),若需要和出發(fā)時(shí)的方向一致,在C點(diǎn)的方向應(yīng)調(diào)整為向右80度,60°+20°=80°,由北偏西20°轉(zhuǎn)向北偏東60°,需要向右轉(zhuǎn)80°.
二、填空題
10.145°　解析:∠α的補(bǔ)角是180°-∠α=145°.
11.160°　解析:它的補(bǔ)角的度數(shù)為180°-20°=160°.
12.50°　解析:因?yàn)椤?+∠2=90°,所以∠2=90°-∠1=50°.
13.23°　150°　解析:∠A的余角=90°-∠A=23°;∠A的補(bǔ)角=180°-∠A=150°.
提高訓(xùn)練
解答題
1.解:(1)與∠EOB互余的角:∠BOD、∠AOC、∠AOF.
(2)∵OA平分∠COF,∠AOF=30°,
∴∠COA=∠AOF=30°.
∵OE⊥CD,
∴∠COE=90°,
∴∠BOE=180°-∠COA-∠COE=60°;
∠DOF=180°-∠COF=120°.
2.解:與∠DOE互余的角有∠FOE、∠DOB、∠BOC.
因?yàn)镺B平分∠COD,所以∠DOB=∠BOC,
又因?yàn)椤螪OE+∠FOE=90°,∠DOE+∠DOB=90°,
所以∠DOE+∠BOC=90°.
3.解:(1)∵直線AB和CD相交于點(diǎn)O,
∴∠BOD=∠AOC=50°.
∵OM平分∠BOD,
∴∠BOM=∠BOD=×50°=25°.
∵ON⊥OM,
∴∠NOM=90°,
∴∠BON=∠BOM+∠MON=25°+90°=115°.
∴∠AON=180°-∠BON=180°-115°=65°.
(2)圖中與∠DON互余的角是∠DOM和∠MOB.
綜合與實(shí)踐——設(shè)計(jì)學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽場(chǎng)地
基礎(chǔ)性作業(yè)
解:(1)∵田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的總長(zhǎng)為400 m,其中AB=CD=100 m,
∴兩個(gè)半圓的周長(zhǎng)為400-2×100=200(m),
∴直徑AD=(m),
∴矩形ABCD內(nèi)部操場(chǎng)的面積為
100×=(m2).
答:矩形ABCD內(nèi)部操場(chǎng)的面積為 m2.
(2)①設(shè)AB=CD=x m,則AD=(m),
矩形ABCD內(nèi)部操場(chǎng)的面積是x·==-x2+x.
當(dāng)x=-=75時(shí),矩形ABCD內(nèi)部操場(chǎng)的面積最大,
即-×752+×75=(m2).
因此,單邊直線跑道設(shè)計(jì)為75米時(shí),矩形ABCD內(nèi)部操場(chǎng)的面積最大,為平方米.
答:單邊直線跑道設(shè)計(jì)為75米時(shí),矩形ABCD內(nèi)部操場(chǎng)的面積最大,為平方米.
②計(jì)算結(jié)果與①中的計(jì)算結(jié)果不一致.原因不唯一,合理即可.如:受實(shí)際場(chǎng)地限制,或?yàn)榱朔奖阏归_50米賽跑.

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