資源簡介

第2課時　基本不等式的其他應用
基礎過關練
題組一　利用基本不等式比較大小
1.已知a>b>0,則下列不等式恒成立的是(　　)
A.b>>　　 B.>b>
C.>>b　 　 D.>>b
2.已知a,b,x,y都是正實數,且+=1,x2+y2=8,則ab與xy的大小關系是　　　　.
3.某商店出售的某種飲料需分兩次提價,提價方案有兩種,方案甲:第一次提價p%,第二次提價q%;方案乙:每次都提價 %,若p,q>0,且p≠q,則提價較多的方案是　　　　.
題組二　利用基本不等式證明不等式
4.設a,b,c都是正實數,則“abc=1”是“a+b+c≥++”的　　　　條件(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個作答).
5.(教材習題改編)已知a,b,c是三個不全相等的正數,求證:++>3.
6.已知a>0,b>0,a+b=ab.
(1)求證:a+b≥4; (2)求證:≤.
7.已知a,b,c均為正實數,且a+b+c=1.
(1)求證:≥8; (2)求證:++≥9.
題組三　利用基本不等式解決實際問題
8.某物流公司為了提高運輸效率,計劃在機場附近建造新的倉儲中心.已知倉儲中心建造費用C(單位:萬元)與倉儲中心到機場的距離s(單位:km)之間滿足的關系為C=+2s+2 000,則當C最小時,s的值為(　　)
A.2 080　　 B.20　　 C.20　　 D.400
9.(教材習題改編)某車間分批生產某種產品,每批的生產準備費用為900元,若每批生產x件,則平均倉儲時間為天,且每件產品每天的倉儲費用為1元,為使平均每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小,則每批應生產產品(　　)
A.30件　 　B.60件
C.80件　 　D.100件
10.為凈化水質,向一個游泳池中加入某種化學藥品,加藥后池水中該藥品的濃度C(單位:mg/L)隨時間t(單位:h)的變化關系為C=,則經過　　　　h后池水中藥品的濃度達到最大.
11.在只剩一面墻的破屋基礎上修建新屋(修四面墻),已知舊墻長12米,新屋的面積預定為112平方米,且保留一部分舊墻作為一面墻來修建新屋,這項工程的費用要求是:①新料砌墻的費用為a元/米;②修理舊墻的費用相當于砌新墻的25%;③拆舊墻的一部分,利用舊料來砌同樣長度的新墻,費用相當于用新料砌墻的50%.在這種情況下,舊墻保留約多少米最為合算
12.某地方政府準備建造一個面積為3 000平方米的矩形運動場地(如圖所示,包括陰影部分和中間三個矩形區域),其中陰影部分為走道,走道寬度均為2米,中間的三個矩形區域鋪設塑膠地面(其中兩個小矩形的形狀、大小相同),塑膠地面總面積為S平方米.
(1)設矩形運動場地相鄰的兩邊分別為x米和y米(如圖),試寫出S關于x的關系式,并給出x的取值范圍;
(2)怎樣設計能使S取得最大值 并求出最大值.
能力提升練
題組一　利用基本不等式比較大小
1.已知a,b>0,則下列不等式中不成立的是(　　)
A.a+b+≥2　　 B.(a+b)≥4
C.≥2　 　D.>
2.小王從甲地到乙地往返的速度分別為a和b(aA.aC.3.近來牛肉價格起伏較大,假設某月第一周、第二周的牛肉價格分別為a元/斤、b元/斤(a≠b),學校甲食堂和乙食堂在這兩周中購買牛肉的方式不同,甲食堂每周購買6 000元的牛肉,乙食堂每周購買80斤牛肉,甲、乙食堂兩次購買牛肉的平均單價分別記為m1元,m2元,則下列結論正確的是(　　)
A.m1=m2　　 B.m1>m2　　 C.m2>m1　　 D.m1,m2的大小無法確定
題組二　利用基本不等式證明不等式
4.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,證明:
(1)++≥1; (2)(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).
5.已知a,b,c均為正實數.
(1)證明:a+b+c≥+;
(2)證明:≥,并求2m+(m>2)的最小值;
(3)若abc=1,求證:++>2.
題組三　基本不等式的綜合應用
6.一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物,經過市場調查了解到下列信息:每月土地占地費y1(單位:元)與倉庫到車站的距離x(單位:km)成反比,每月庫存貨物費y2(單位:元)與x成正比;若在距離車站6 km處建倉庫,則y2=4y1.要使這兩項費用之和最小,則倉庫到車站的距離應為(　　)
A.2 km　 　B.3 km　 　C.4 km　　 D.5 km
7.中國南宋數學家秦九韶提出了“三斜求積術”,即已知三角形的三邊長求三角形的面積:設三角形的三條邊長分別為a,b,c,則三角形的面積S可由公式S=求得,其中p為三角形周長的一半.現有一個三角形的邊長滿足a=4,b+c=6,則此三角形面積的最大值為(　　)
A.3　 　B.2　 　C.2　 　D.3
8.下列問題中,a,b是不相等的正數,比較x,y,z的大小,下列選項正確的是(　　)
問題甲:一個直徑為a寸的披薩和一個直徑為b寸的披薩的面積和等于兩個直徑都是x寸的披薩的面積和;
問題乙:購買某物品所花錢數一定,第一次購買的單價為a元,第二次購買的單價為b元,這兩次的平均價格為y元;
問題丙:將一物體放在兩臂不等長的天平上測量,放左側時右側砝碼的質量為a g(天平平衡),放右側時左側砝碼的質量為b g(天平平衡),物體的實際質量為z g.
A.x>y>z　 　B.x>z>y　 　C.z>x>y　　 D.z>y>x
9.一家黃金專賣店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金,其中左臂長和右臂長之比為λ(λ≠1),一位顧客到店里購買10 g黃金,售貨員先將5 g的砝碼放在天平左盤中,取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將5 g的砝碼放在天平右盤中,然后取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡,最后將兩次稱得的黃金交給顧客.
(1)試分析顧客購得的黃金是小于10 g,等于10 g,還是大于10 g,為什么
(2)如果售貨員又將10 g的砝碼放在天平左盤中,然后取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡,那么要使得三次黃金質量總和最小,商家應該將左臂長和右臂長之比λ設置為多少 請說明理由.
10.(教材習題改編)某校高一(3)班的小北為學校設計的冬季運動會會徽“冬日雪花”獲得一等獎.他的設計靈感來自三個全等的矩形的折疊拼湊,其中會徽的六個直角三角形(圖2陰影部分)要利用鍍金工藝上色.已知一塊矩形材料(如圖1中矩形ABCD)的周長為4 cm,其中較長的邊AD=x cm,將△BCD沿BD向△ABD折疊,使點C到點C'處,且BC'交AD于點E.
(1)用x表示圖1中△BAE的面積;
(2)已知鍍金工藝是2元/平方厘米,試求會徽的鍍金部分所需的最大費用.
　　
答案與分層梯度式解析
第2課時　基本不等式的其他應用
基礎過關練
1.C 8.B 9.B
1.C　由a>b>0,得>>=b.
2.答案　ab≥xy
解析　因為a>0,b>0,+=1,所以ab=ab·=a+b≥2,所以ab≥4,當且僅當a=b=2時等號成立.因為xy≤=4,當且僅當x=y=2時等號成立,所以ab≥xy.
3.答案　乙
解析　不妨設原價為1,則按方案甲提價后的價格為(1+p%)(1+q%),按方案乙提價后的價格為,
易知≤=1+,當且僅當1+p%=1+q%,即p=q時等號成立,又p≠q,所以(1+p%)(1+q%)<,所以提價較多的方案是乙.
4.答案　充分不必要
解析　由a,b,c都是正實數可得a+b≥2(當且僅當a=b時取“=”),b+c≥2(當且僅當b=c時取“=”),a+c≥2(當且僅當a=c時取“=”),
所以2(a+b+c)≥2(++),即a+b+c≥++,
又因為abc=1,所以a+b+c≥++,當且僅當a=b=c=1時取“=”,所以充分性成立;
取a=1,b=1,c=2,可知不等式a+b+c≥++成立,此時abc=2≠1,所以必要性不成立.
故“abc=1”是“a+b+c≥++”的充分不必要條件.
5.證明　∵a,b,c是三個不全相等的正數,
∴三個不等式+≥2,+≥2,+≥2(待證不等式左側拆分后可得證明方向)的等號不能同時成立,
則+++++>6,
∴++>3,
即++>3.
6.證明　(1)因為a>0,b>0,所以a+b=ab≤,所以a+b≥4,當且僅當a=b=2時取等號.
(2)因為a>0,b>0,所以ab=a+b≥2,所以ab≥4,當且僅當a=b=2時取等號,
所以=1+++=1++=2+≤2+=.
7.證明　(1)因為a,b,c均為正實數,且a+b+c=1,
所以
=
=
≥==8,當且僅當a=b=c=時等號成立.
(2)因為a,b,c均為正實數,且a+b+c=1,
所以++=++
=+++3
≥2+2+2+3=2×3+3=9,當且僅當a=b=c=時等號成立.
8.B　依題意得s>0,則C=+2s+2 000≥2+2 000=2 080,
當且僅當=2s,即s=20時取等號,
所以當C最小時,s的值為20.
9.B　設平均每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和為y元,則y==+≥2=30,當且僅當=,即x=60時等號成立,
故每批應生產產品60件.
10.答案　2
解析　當t=0時,C=0;
當t>0時,C==≤=5,
當且僅當t=,即t=2時取等號.
因此經過2 h后池水中藥品的濃度達到最大.
11.解析　設保留舊墻x米,易知0利用舊料來砌的新墻長度為(12-x)米,
又新屋的面積預定為112平方米,所以用新料砌墻的長度應為2×+x-(12-x)=米,
因此總費用(單位:元)為25%·ax+(12-x)·50%·a+a=a,0利用基本不等式可得+≥2=28,
當且僅當x=8時,等號成立,
又x=8≈11.3<12,滿足題意,
所以舊墻保留約11.3米最為合算.
12.解析　(1)依題意得xy=3 000,則y=,
由已知得解得6由2a+3×2=x,得a=,
則S=×(y-4)+×(y-6)=
=(x-6)(y-5)=(x-6)
=3 000-5x-6×+30
=3 030-,6(2)由(1)得S=3 030-,6所以S=3 030-≤3 030-2
=3 030-2×300=2 430,
當且僅當5x=,即x=60,y=50時等號成立.
所以當x=60,y=50時,S取得最大值2 430.
能力提升練
1.D 2.A 3.C 6.B 7.B 8.B
1.D　選項A中,a+b≥2,當且僅當a=b時取“=”,2+≥2,當且僅當ab=時取“=”,
∴a+b+≥2+≥2,當且僅當a=b=時取“=”,∴A中不等式成立;
選項B中,(a+b)=2++≥4,當且僅當a=b時取“=”,∴B中不等式成立;
選項C中,≥=2,當且僅當a=b時取“=”,∴C中不等式成立;
選項D中,≤=,當且僅當a=b時取“=”,∴D中不等式不成立.
2.A　設從甲地到乙地的距離為c,則小王從甲地到乙地往返的時間分別是和,
所以v===,
由02,可得<,即v<,故B錯誤;
v-a=-a==,由00,即a由a+b>2,得>>v,>>v,故C、D錯誤.
3.C　由已知得m1===,
m2==,
因為a≠b,所以==<=1,
或直接用調和平均數與算術平均數的關系得<
所以m14.證明　(1)因為a>0,b>0,c>0,所以+c++a++b≥2+2+2=2(a+b+c),當且僅當a=b=c時等號成立,故++≥a+b+c=1,當且僅當a=b=c=時等號成立.
(2)(1+a)(1+b)(1+c)=(2a+b+c)(2b+a+c)(2c+a+b),
由基本不等式得2a+b+c=a+c+a+b≥2,
2b+a+c=b+c+b+a≥2,
2c+a+b=c+a+c+b≥2,
故(1+a)(1+b)(1+c)≥8(a+b)(b+c)(c+a)=8(1-a)·(1-b)(1-c),當且僅當a=b=c=時等號成立.
5.解析　(1)證明:由基本不等式得a+≥,+c≥,所以a+b+c≥+,
當且僅當a==c時等號成立,問題得證.
(2)要證≥,即證a+b+c≥3,即證a3+b3+c3≥3abc,即證a3+b3+c3-3abc≥0.證明如下:
a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,
當且僅當a=b=c時等號成立,
所以不等式a3+b3+c3≥3abc成立.
故不等式≥成立.
∵m>2,∴m-2>0,∴2m+=(m-2)+(m-2)++4≥3+4=7,
當且僅當m-2=,即m=3時,等號成立,
∴2m+的最小值為7.
(3)證明:令a=,b=,c=,x,y,z均不為0,則===,
由基本不等式得|x|≤,∴=≥,
同理,≥,≥,
所以++≥=2,
當且僅當時取“=”,顯然不存在這種情況,
所以++>2.
名師點津
　　當a1,a2,…,an均大于0時,≤≤≤,當且僅當a1=a2=…=an時取等號.
6.B　由題意設y1=,y2=k2x,k1>0,k2>0,
∵在距離車站6 km處建倉庫時,y2=4y1,∴6k2=,∴k1=9k2,則y1+y2=+k2x≥2=6k2,
當且僅當=k2x,即x=3時等號成立,
所以要使這兩項費用之和最小,則倉庫到車站的距離應為3 km.
7.B　由題意可知,p==5,
所以S=
==,
又bc≤=9,所以S≤=2,當且僅當b=c=3時等號成立,所以三角形面積的最大值為2.
8.B　問題甲中,+=,則x=,
問題乙中,設每次購買該物品花的錢為c元,則y==,
問題丙中,設天平左、右兩側的臂長分別為m,n,則(杠桿原理),故z=.
因為a>0,b>0,a≠b,所以>ab,<=,因此x>z>y.
9.解析　(1)設天平左臂長為m,右臂長為n(m≠n),第一次放的黃金為x g,第二次放的黃金為y g,
則5m=xn,my=5n,得x=,y=,
所以x+y=+≥2=10,
當且僅當=,即m=n時取等號,
又m≠n,所以x+y>10,因此顧客購得的黃金大于10 g.
(2)設第三次放的黃金為z g,則10m=zn(杠桿原理),
代入=,可得2x=z,
故三次黃金質量總和為x+y+z=3x+y≥2=10,當且僅當3x=y,即x=,y=5時取等號,
此時λ===,
因此當λ=時,三次黃金質量總和最小.
10.解析　(1)因為AD=x cm,所以AB=(2-x)cm.
由AD>AB>0得1設ED=a cm,則AE=(x-a)cm.
因為∠AEB=∠C'ED,∠EAB=∠DC'E,AB=DC',
所以△BAE≌△DC'E,所以BE=ED=a cm.
在Rt△BAE中,由勾股定理得BA2+AE2=BE2,
即(2-x)2+(x-a)2=a2,解得a=,
所以AE=x-a= cm,
所以△BAE的面積S=AB·AE=(2-x)·==cm2(1(2)設會徽的鍍金費用為y元,
則y=6·S△BAE·2=12×≤12×(3-2)=36-24,當且僅當x=,即x=時等號成立,
所以會徽的鍍金部分所需的最大費用為(36-24)元.2.2　基本不等式
第1課時　基本不等式、求最大(小)值及其應用
基礎過關練
題組一　對基本不等式的理解
1.下列不等式正確的是(　　)
A.a+≥4　　 B.a2+b2≥4ab
C.≥　　 D.x2+≥2
2.不等式a2+≥4中,等號成立的條件是(　　)
A.a=2　　 B.a=±2 C.a=　　 D.a=±
3.“a>0,b>0”是“+≥2”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
題組二　利用基本不等式求最大(小)值
4.(多選題)下列選項正確的是(　　)
A.當x>1時,x+的最小值是3
B.已知x<0,則x+的最大值是-2
C.當0D.設x∈R,則(x2+2)+的最小值為2
5.已知m<10,則m+的最大值為(　　)
A.4　　 B.6　 　C.8　 　D.10
6.已知0A.　 　B.4　 　C.　 　D.5
7.已知a,b>0,且a+2b-2ab=0,則8a+b的最小值是(　　)
A.8　 　B.　 　C.　 　D.17
8.(教材習題改編)已知09.若x>-1,則的最小值為　　　　.
題組三　利用基本不等式求最大(小)值的應用
10.若 x>2,不等式x+≥a恒成立,則實數a的(　　)
A.最大值是4　　 B.最大值是6　　
C.最小值是4　　 D.最小值是6
11.已知實數x,y滿足x+y=xy,且x>0,y>0,若不等式4x+9y-5t≥0恒成立,則實數t的最大值為(　　)
A.9　 　B.12　 　C.16　 　D.5
12.已知a>0,b>0,若不等式≤恒成立,則實數m的最大值為(　　)
A.64　 　B.25　　 C.13　　 D.12
能力提升練
題組一　對基本不等式的理解
1.已知a>b>0,p:x<,q:x<,則p是q的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.既不充分也不必要條件
D.充要條件
2.(多選題)若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式恒成立的是(　　)
A.ab≥1　　 B.a2+b2≥2　　
C.+≤　 　D.+≥2
題組二　利用基本不等式求最大(小)值
3.已知x>-1,y>2,且+=1,則x+y的最小值為(　　)
A.5　 　B.6　 　C.7　 　D.9
4.已知0A.　　 B.2　 　C.　 　D.4
5.已知a>b>0,則a2+的最小值為　(　　)
A.8　 　B.8　 　C.16　　 D.16
6.若x,y,z均為正數,且(x+2y)(x+3z)=10,則2x+2y+3z的最小值為　　　　.
7.若x,y∈R,且x2+4y2-2xy=1,則x2+4y2的最大值是　　　　,xy的最小值是　　　　.
8.已知a>0,b>0,且a+2b=2.
(1)求+的最小值;
(2)求a-的最大值;
(3)求的最大值.
9.已知a>0,b>0.
(1)若a+b=4,求+的最小值及此時a,b的值;
(2)若2a2+b2=4a+4b,求+的最小值及此時a,b的值;
(3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此時a,b的值.
題組三　利用基本不等式求最大(小)值的應用
10.已知x>0,y>0,且x+y=5,若+≥2m+1恒成立,則實數m的取值范圍是(　　)
A.m≤　 　B.m≤　　
C.m≤　　 D.m≤4
11.已知正實數a,b滿足a+b=3,若a5+b5≥λab恒成立,則實數λ的取值范圍為(　　)
A.λ≤　 　B.λ≤　　
C.λ≤　　 D.λ≤
12.若a,b,c是三個不全相等的實數,且不等式ab+3bc≤t(a2+b2+c2)恒成立,則實數t的最小值為(　　)
A.　 　B.　　 C.　 　D.
13.若對任意正實數a,b,不等式a2+4b2≥ab恒成立,則實數k的取值范圍為　　　　.
教材深研拓展
14.(多選題)《幾何原本》中的幾何代數法(用幾何方法研究代數問題)成了后世西方數學家處理問題的重要依據.根據這一方法,很多代數公理、定理都能夠通過圖形實現證明,并稱之為“無字證明”.如圖所示,AB是半圓O的直徑,點C是AB上一點(不同于A,B,O),點D在半圓O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于點E.設AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的“無字證明”為(　　)
A.2abC.< 　　D.>
15.(多選題)《九章算術》中有“勾股容方”問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何 ”魏晉時期數學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法:如圖(1),用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形,每個直角三角形再分成一個內接正方形(黃)和兩個小直角三角形(朱、青).將三種顏色的圖形進行重組,得到如圖(2)所示的矩形,該矩形的長為a+b,寬為內接正方形的邊長d.由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論,如圖(3),設D為斜邊BC的中點,作直角三角形ABC的內接正方形的對角線AE,過點A作AF⊥BC于點F,則下列推理正確的是(　　)
　　
A.由題圖(1)和題圖(2)的面積相等得d=
B.由AE≥AF可得≥
C.由AD≥AE可得≥
D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab
答案與分層梯度式解析
2.2　基本不等式
第1課時　基本不等式、求最大(小)值及其應用
基礎過關練
1.D 2.D 3.A 4.ABC 5.A 6.C 7.B 10.B
11.D 12.B
1.D　對于A,取a=-2,則a+=-4,故A錯誤;
對于B,取a=b=1,則a2+b2<4ab,故B錯誤;
對于C,當a>0,b<0時,無意義,故C錯誤;
對于D,+x2≥2,當且僅當=x2,即x=±4時取等號,故D正確.
易錯警示
　　利用基本不等式解題要注意驗證“一正、二定、三相等”,只有三個條件同時滿足才能得出結論.
2.D　該不等式等號成立的條件為a2=,即a=±.
3.A　當a>0,b>0時,+≥2=2,當且僅當=,即a=b時取等號,所以充分性成立;
(舉特例)當a=b=-1時,+≥2成立,但不滿足a>0,b>0,所以必要性不成立.
所以“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要條件.
4.ABC　對于A,由x>1,得x-1>0,則x+=x-1++1≥2+1=3,當且僅當x-1=,即x=2時等號成立,所以A正確.
對于B,當x<0時,-x>0,
所以x+=-≤-2=-2,
當且僅當-x=,即x=-1時等號成立,所以B正確.
對于C,≤=5,當且僅當x=10-x,即x=5時等號成立,所以C正確.
對于D,(x2+2)+≥2=2,
但x2+2=無解,所以等號不成立,所以D錯誤.
5.A　因為m<10,所以10-m>0,則m+=m-10++10=10-≤10-2×=10-6=4,當且僅當10-m=,即m=7時取等號,所以m+的最大值為4.
易錯警示
　　求整式+分式形式的代數式的最大(小)值時,要檢驗各項是不是正數,若均不是正數,則可提取負號后再用基本不等式,如本題中將所求式子變形為10-求解.
6.C　因為0所以+=(a+2-a)=5++≥5+2=,
當且僅當=,即a=時取等號,
故+的最小值是.
解題模板
　　解決分式形式的代數式的最大(小)值問題時,常需找出各個分式間的關系,即“隱含條件”,如本題中的a+(2-a)是定值2,從而得到解決問題的方法.
7.B　解法一(常值代換):
由a,b>0,a+2b-2ab=0得+=1,
則8a+b=(8a+b)=+≥+2=,當且僅當=,即a=,b=時取等號,故8a+b的最小值為.
解法二(消元法):
由a+2b-2ab=0得a=,
由a,b>0得2b-1>0,故b>.
8a+b=+b=+b=8+++≥+2=+4=,當且僅當=,即a=,b=時取等號,故8a+b的最小值為.
8.答案　
解析　∵00,∴x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤·=,
當且僅當3x=4-3x,即x=時取等號.
9.答案　4
解析　解法一(配湊法):
當x>-1時,x+1>0,
則==2(x+1)+
≥2=4,
當且僅當2(x+1)=,即x=0時取等號,
所以的最小值為4.
解法二(換元法):
令t=x+1,則t>0,x=t-1,
則===2t+≥2=4,當且僅當2t=,即t=1,x=0時取等號,
所以的最小值為4.
10.B　因為x>2,所以x-2>0,
則x+=x-2++2≥2+2=6,
當且僅當x-2=,即x=4時取等號,
故x+的最小值為6.
因為 x>2,不等式x+≥a恒成立,
所以a≤,即a≤6,
所以實數a的最大值為6,沒有最小值,故B正確.
11.D　因為x+y=xy,x>0,y>0,所以+=1,
所以4x+9y=(4x+9y)=13++≥13+2=25,
當且僅當=,即x=,y=時,等號成立,
故4x+9y的最小值為25.
又不等式4x+9y-5t≥0恒成立,所以(4x+9y) min≥5t(參變分離),即25≥5t,因此t≤5,故實數t的最大值為5.
解題模板
　　解決不等式恒成立問題時,常將不等式變形(分離變量等),再將不等式恒成立問題轉化為最大(小)值問題,符合“一正、二定、三相等”的則利用基本不等式求解最大(小)值.
12.B　由a>0,b>0,得a+b>0,所以不等式≤恒成立即m≤·(a+b)恒成立,故m≤.易得·(a+b)=(a+b)=13++≥13+2=25,
當且僅當=,即b=a時等號成立,
故·(a+b)的最小值為25,
所以m≤25,即實數m的最大值為25.
能力提升練
1.B 2.BD 3.A 4.C 5.C 10.B 11.B 12.A
14.BC 15.BCD
1.B　由a>b>0,得<,則q p,p /q,
所以p是q的必要不充分條件.
2.BD　因為a>0,b>0,所以a+b=2≥2,所以ab≤1,當且僅當a=b=1時取等號,故A錯誤;
a2+b2≥=2,當且僅當a=b=1時取等號,故B正確;
令a=b=1,則+≤不成立,故C錯誤;
+===1+≥1+×2=2,當且僅當a=b=1時取等號,故D正確.
3.A　∵x>-1,y>2,∴x+1>0,y-2>0,
則x+y=(x+1)+(y-2)+1
=[(x+1)+(y-2)]+1(“1”的代換)
=3++≥3+2=5,
當且僅當=,即x=1,y=4時等號成立,
所以x+y的最小值為5.
4.C　因為00,所以+=+=[2x+(3-2x)]利用[2x+(3-2x)]=1進行代換
=2+++2
≥=,
當且僅當=,即x=時等號成立,
所以+的最小值為.
5.C　∵a>b>0,∴a-b>0,則b(a-b)≤=,
∴a2+≥a2+=a2+≥2=16,當且僅當即時,等號成立,故a2+的最小值為16.
易錯警示
　　兩次利用基本不等式求最大(小)值時要注意兩點:一是不等號的方向相同,二是不等式中的等號能同時成立.
6.答案　2
解析　由x,y,z均為正數,(x+2y)(x+3z)=10,
得2x+2y+3z=(x+2y)+(x+3z)≥2=2,當且僅當x+2y=x+3z=時取等號,
所以2x+2y+3z的最小值為2.
7.答案　2;-
解析　由x2+4y2-2xy=1以及x2+4y2≥2x·2y=4xy,可得x2+4y2-1=2xy≤,即x2+4y2≤2,當且僅當x=2y,即x=1,y=或x=-1,y=-時取等號,故x2+4y2的最大值是2.
因為x,y∈R,x2+4y2=1+2xy≥-4xy易錯:x2+4y2≥4xy和x2+4y2≥-4xy均成立,但是由x2+4y2≥4xy得到xy≤,求出的是最大值,所以xy≥-,
當且僅當x=-2y,即x=,y=-或x=-,y=時取等號,故xy的最小值是-.
8.解析　(1)因為a+2b=2,a>0,b>0,
所以+=(a+2b)=≥=,
當且僅當即時等號成立,
所以+的最小值為.
(2)因為a+2b=2,所以a=2-2b,
因為a>0,b>0,所以0所以a-=2-2b-=2-(關鍵點)
=4-≤4-2=4-4,
當且僅當即時取等號,所以a-的最大值為4-4.
(3)由(2)知a=2-2b,0所以====-+,
令-b+2=t,則b=-t,
所以原式化為-+
=-+=-+,
因為00,>0,
所以-+≤-+=,
當且僅當t=,即t=1時,等號成立,
所以≤,當且僅當a=b=時,等號成立,
所以的最大值為.
9.解析　(1)∵a+b=4,a>0,b>0,
∴+=(a+b)=++≥+2=,當且僅當4a2=b2,即a=,b=時取等號,∴+的最小值為,此時a=,b=.
(2)∵2a2+b2=4a+4b,
∴+===+≥2=,
當且僅當2a2=b2,即a=1+,b=+2時取等號,
∴+的最小值為,此時a=1+,b=+2.
(3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6,
∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,當且僅當2(a+3b)=3(a+b),即a=,b=時取等號,∴5a+9b的最小值為12,此時a=,b=.
10.B　因為x+y=5,所以x+1+y+2=8,又x>0,y>0,
所以+=[(x+1)+(y+2)]=5++≥=,
當且僅當即x=,y=時取等號,所以+的最小值為.
因為+≥2m+1恒成立,所以2m+1≤,解得m≤.
11.B　因為a,b為正實數,且a5+b5≥λab恒成立,所以+≥λ恒成立,所以λ≤.
因為a+b=3,
所以+==
≥==
=≥==,
當且僅當a=b,即a=,b=時,等號同時成立,故+的最小值為,所以λ的取值范圍為λ≤.
12.A　
分析　由已知式聯想基本不等式,因為不等式左側只有兩項:ab,3bc,所以把b2拆成兩項:mb2,(1-m)b2,分別與a2,c2相加應用基本不等式,構成形式上的一致,再利用系數關系求得參數m,最后由不等式恒成立可得結論.
解析　由題意得t≥.
設a2+b2+c2=a2+mb2+(1-m)b2+c2,0因為a2+mb2≥2ab,(1-m)b2+c2≥2bc,
所以a2+b2+c2≥2ab+2bc,當且僅當a=b,c=b時取等號.
令=3,解得m=,
所以a2+b2+c2≥ab+bc,即≤,故的最大值為.
所以t≥,故t的最小值為.
13.答案　k<0或k≥
解析　因為a>0,b>0,所以由a2+4b2≥ab恒成立,得+≥恒成立,所以≤.
由基本不等式得+≥2=4,當且僅當=,即a=2b時,等號成立,
因此+的最小值為4,則≤4,解得k<0或k≥.
14.BC　∵AB=AC+CB=a+b,∴DO=AB=.
連接AD,BD,易知∠ADB=90°.
在Rt△ADB中,由射影定理可知CD2=AC·CB,
∴CD=.
∵OD>CD,∴>(a>0,b>0,a≠b),故B正確.
同理,在Rt△OCD中,由射影定理可知CD2=DE·OD,
即DE===,
∵CD>DE,∴>,∴<,故C正確.
對于A、D選項,根據圖中的線段無法判斷.
知識鏈接
　　平均值不等式:利用幾何關系得出OD>CD>DE,即>>(a>0,b>0,a≠b),其中、、分別為a,b的算術平均數、幾何平均數和調和平均數.
15.BCD　
信息提取　AF是斜邊上的高,AD是斜邊上的中線,AE是正方形的對角線,AE等于正方形邊長的倍.
解析　由題圖(1)和題圖(2)的面積相等可得ab=(a+b)d,得d=,故A錯誤;
由題意知題圖(3)的面積為ab=·AF,故AF=,由D是斜邊BC的中點得AD=BC=,
易知題圖(3)中正方形的邊長為d=,則AE=,
由AE≥AF可得≥,化簡可得≥,故B正確;
由AD≥AE可得≥,化簡可得≥,故C正確;
由AD≥AF可得≥,化簡可得a2+b2≥2ab,故D正確.

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