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高中數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊
第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 4.4 對數(shù)函數(shù)
一、單選題
1.下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025陜西榆林八校聯(lián)考）已知函數(shù)（且）的圖象恒過點，則（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
3.（2025遼寧沈陽十中月考）函數(shù)的定義域是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2025天津三十二中月考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A.
B.
C.
D.
5.若函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則的大致圖象是（ ）
6.（2024江蘇五市聯(lián)考）已知，，，則（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多選題
7.（2025陜西西安南開高級中學月考）已知函數(shù)，，，的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. ①是的部分圖象
B. ②是的部分圖象
C. ③是的部分圖象
D. ④是的部分圖象
8.（2025江蘇蘇州質(zhì)檢）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
B. 的最小值是
C. 沒有最大值
D. 的解集為
9.（2025遼寧盤錦遼河油田第一高級中學月考）已知函數(shù)，，，則在區(qū)間上（ ）
A. 的遞增速度越來越快
B. 的遞減速度越來越慢
C. 的遞減速度越來越慢
D. 的遞減速度慢于的遞減速度
三、填空題
10.若對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則________。
11.（2025河北唐山期末）已知函數(shù)，則的值域為________。
12.若函數(shù)的反函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的圖象必過點________。
四、解答題
13.（1）函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象如何變化得到的？
（2）在平面直角坐標系中作出的圖象；
（3）設(shè)函數(shù)與的圖象的兩個交點的橫坐標分別為，，，請判斷的符號。
14.（2025黑龍江哈爾濱師范大學附屬中學期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)。
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，求的取值集合。
15.（2025福建莆田第二中學月考）
（1）已知滿足，滿足，則等于多少？
（2）某養(yǎng)殖場隨著技術(shù)的進步和規(guī)模的擴大，肉雞產(chǎn)量在不斷增加。現(xiàn)收集到2024年前10個月該養(yǎng)殖場上市的肉雞數(shù)量（單位：萬只）如下表，數(shù)量和月份之間可能存在以下四種函數(shù)關(guān)系：①；②；③；④。
月份m 1 2 3 4 5
數(shù)量W 1.0207 2.0000 2.5782 2.9974 3.3139
月份m 6 7 8 9 10
數(shù)量W 3.5789 3.8041 4.0000 4.1736 4.3294
①請從這四個函數(shù)模型中去掉一個與表格中數(shù)據(jù)不吻合的函數(shù)模型，并說明理由； ②從表格中選擇2月份和8月份的數(shù)據(jù)，再從第①問剩下的三個模型中任選兩個函數(shù)模型進行建模，求出其函數(shù)表達式，再分別求出這兩個模型下4月份的肉雞數(shù)量，并說明哪個函數(shù)模型更好（）。
一、單選題
1.答案：C
解析：對數(shù)函數(shù)定義為（，真數(shù)僅含自變量）：
A：真數(shù)為，含系數(shù)，非標準對數(shù)函數(shù)；
B：，是一次函數(shù)，非對數(shù)函數(shù)；
C：符合（），是對數(shù)函數(shù)；
D：含與的乘積，非對數(shù)函數(shù)。
2.答案：B
解析：對數(shù)函數(shù)恒過定點，令真數(shù)為1求定點：
令，解得（即）；
代入得（即）；
故。
3.答案：A
解析：對數(shù)函數(shù)定義域需滿足“真數(shù)>0”：
由，解得，故定義域為。
4.答案：D
解析：復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”，分兩步：
第一步：求定義域（真數(shù)>0）：，得或；
第二步：分析內(nèi)外層函數(shù)：
外層函數(shù)（），底數(shù)，單調(diào)遞減；
內(nèi)層函數(shù)，開口向上，對稱軸：
當時，單調(diào)遞增，與外層“異減”，故復合函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞減，與外層“同增”，故復合函數(shù)單調(diào)遞增；
綜上，單調(diào)遞減區(qū)間為。
5.答案：A
解析：先求的反函數(shù)：
令，反解：，故；
圖象特征：定義域，過定點，單調(diào)遞增。
6.答案：A
解析：分別比較與0、1的大小：
：指數(shù)函數(shù)遞增，；
、：對數(shù)函數(shù)（）遞減，故（因），且（）；
綜上，。
二、多選題
7.答案：ABCD
解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象特征判斷：
指數(shù)函數(shù)：，時遞增（如），時遞減（如）；
對數(shù)函數(shù)：，時遞增（如），時遞減（如）；
結(jié)合圖象：①遞減指數(shù)函數(shù)（），②遞增指數(shù)函數(shù)（），③遞減對數(shù)函數(shù)（），④遞增對數(shù)函數(shù)（），均正確。
8.答案：BCD
解析：先分析函數(shù)的性質(zhì)（偶函數(shù)，因）：
令（），則；
對：由均值不等式，（當且僅當時取等號），且在遞減、遞增；
結(jié)合（遞增函數(shù)）：
A錯誤：在遞減、遞增，在遞減、遞增；
B正確：，最小值為；
C正確：無最大值，故無最大值；
D正確：，解集為。
9.答案：ABC
解析：分析各函數(shù)在的增減速度（導數(shù)反映變化率）：
A：，導數(shù)，隨增大而增大，遞增速度越來越快，正確；
B：，導數(shù)，絕對值隨增大而減小，遞減速度越來越慢，正確；
C：，導數(shù)，絕對值隨增大而減小，遞減速度越來越慢，正確；
D：比較速度：取，，，此時遞減更快；取，，，仍遞減更快，故D錯誤。
三、填空題
10.答案：
解析：設(shè)對數(shù)函數(shù)（），代入點：
，結(jié)合，得，故。
11.答案：
解析：分段求值域：
當時，：，即；
當時，：，即；
比較兩段范圍：，，故最小值為？ 修正：原函數(shù)當時，，而，故整體值域為（因）。
12.答案：
解析：反函數(shù)性質(zhì)：若過，則過；
反函數(shù)過，故過。
四、解答題
13. 解：(1) 是由的圖象向右平移1個單位得到（“左加右減”，自變量變?yōu)椋?br/>(2)
(3) 判斷的符號
解： 設(shè)（遞減指數(shù)函數(shù)，過，），（圖象如下），兩函數(shù)交點橫坐標為（假設(shè)）：
分析交點位置：
當時，，，；
當時，，，，故，即；
當時，，，；
當時，，，，結(jié)合時遞增、趨近于0，故，即；
計算：一正一負，故（符號為負）。
14. 解：(1) 偶函數(shù)滿足對任意成立：
計算，；
由：
化簡左邊：；
代入等式：
消去，整理得對任意成立，故。
(2) 先代入得，化簡：
；
不等式化為：
因遞增，故；
換元：設(shè)，方程化為，兩邊乘（，不等號方向不變）：
解方程，得或，故不等式解集為；
回代：；
故的取值集合為。
15. 解：(1) 利用函數(shù)對稱性轉(zhuǎn)化方程：
對：，即，是與的交點橫坐標；
對：，即，是與的交點橫坐標；
關(guān)鍵性質(zhì)：與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱；
設(shè)與的交點為，則；
反函數(shù)交點關(guān)于對稱，故（因?qū)ΨQ點橫坐標之和為）。
(2) ① 去掉不吻合的函數(shù)模型
解： 去掉模型④，理由：
模型④中，增大時，遞減，故單調(diào)遞減（若）或遞增（若），但增長/遞減速度逐漸減緩，最終趨近于；
表格中數(shù)據(jù)：隨增大而遞增，且增長速度（相鄰差值）先減后穩(wěn)（如1→2增0.9793，2→3增0.5782，3→4增0.4192，…，8→9增0.1736，9→10增0.1558），但模型④當時，而表格數(shù)據(jù)無趨近常數(shù)的趨勢（如10月仍在遞增），故不吻合。
② 選擇2月份（）和8月份（）數(shù)據(jù)，任選兩個模型（如①和②）：
模型①：
代入數(shù)據(jù)：
兩式相除得，代入得；
故模型①：；
求4月份（）數(shù)量：（與表格中4月實際值2.9974偏差較大）。
模型②：
代入數(shù)據(jù)：
兩式相除得，代入得；
故模型②：；
求4月份（）數(shù)量：（與表格中4月實際值2.9974偏差較小）。
模型優(yōu)劣： 模型②計算的4月數(shù)量（≈2.8284）更接近實際值（2.9974），故模型②更好（若選其他模型，同理對比偏差）。

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