資源簡介

2025-2026學年九年級數學上冊第一次月考檢測卷（第21-22章）
一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。）
1．拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的頂點坐標是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
2．已知方程4x2﹣mx﹣2＝0的一個根是﹣2，則m的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．7 D．﹣7
3．如果二次函數y＝x2+bx+c配方后為y＝（x﹣2）2+1，那么b，c的值分別為（　　）
A．4，5 B．4，3 C．﹣4，3 D．﹣4，5
4．把拋物線y＝﹣2x2先向右平移6個單位長度，再向下平移2個單位長度后，所得函數的表達式為（　　）
A．y＝﹣2（x+6）2+2 B．y＝﹣2（x+6）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣6）2+2 D．y＝﹣2（x﹣6）2﹣2
5．若點（b，c）在第四象限，則關于x的方程x2+bx+c＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
6．5G技術對我國具有重大戰略意義，它不僅僅是一項通信技術的升級，更是推動經濟、社會、科技全面變革的重要引擎．某市近年來大力發展5G通信，已知該市2022年投入發展5G通信的資金為1000萬元，2024年投入發展5G通信的資金為5000萬元．設該市投入發展5G通信的資金的年平均增長率為x，則下列方程中正確的是（　　）
A．1000（1+2x）＝5000 B．1000（1+2x）2＝5000
C．1000（1+x）2＝5000 D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝5000
7．函數y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常數，且a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知實數x滿足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，則代數式a2+b2+1的值是（　　）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
9．已知x，y是實數，且滿足x2+y2＝2x+4y﹣5，若m＝3x+y，則m的值為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．已知點A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（7，y3）均在二次函數y＝﹣x2+8x+m（m為常數）的圖象上，則y1，y2，y3三者之間的大小關系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
11．如圖1，質量為m的小球從某處由靜止下落到正下方豎直放置的彈簧上，并壓縮彈簧（自然狀態下，彈簧的初始長度為15cm）．從小球剛接觸彈簧到將彈簧壓縮至最短的過程中（不計空氣阻力，彈簧在整個過程中始終發生彈性形變），小球的速度v（cm/s）和彈簧被壓縮的長度x（cm）之間的函數關系（可近似看作二次函數）圖象如圖2所示．根據圖象，下列說法正確的是（　　）
A．小球從剛開始接觸彈簧就開始減速
B．當彈簧被壓縮至最短時，小球的速度最大
C．若小球剛接觸彈簧時的速度v＝3cm/s，則在小球壓縮彈簧的過程中，最大速度為4cm/s D．在小球壓縮彈簧的過程中，彈簧的長度為9cm時，小球的速度與剛接觸彈簧時的速度相同
12．如圖，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，動點P從點A出發，以1cm/s的速度沿AD向終點D移動，設移動時間為t（s）．連接PC，以PC為一邊作正方形PCEF，連接DE、DF，則△DEF面積最小值為（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分．）
13．若關于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+5x﹣3＝0是一元二次方程，則m＝　 　 ．
14．徐老師購買了1681張簽名卡，在畢業典禮上，他向每位同學贈送了一張簽名卡，每位同學間也互贈了一張簽名卡，簽名卡恰好用完，則班級共有 　 　 名學生．
15．對于實數m，n定義新運算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若關于x的方程（2x）※1＝a有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是　 　 ．
16．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是﹣3，頂點坐標為（﹣1，4），二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是 　 　 ．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，點E從A點出發，沿射線AB運動，速度為2cm/s，點F從點C出發，沿線段CA運動，速度為1cm/s，連接EF．E、F兩點同時出發，當點F到達點A時，點E也停止運動，請問經過 　 　 s后，△AEF的面積恰為12cm2．
18．對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）如圖所示，小明同學得出了以下結論：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實數），⑥當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大．其中結論正確的個數為　 　 個．
三、解答題（本題共8小題，共72分．）
19．（8分）按要求解方程．
（1）x2+6x+4＝0．（配方法）； （2）9（x﹣1）2＝（2x+1）2；
（3）x2﹣2x＝15； （4）x（x﹣2）＝3x﹣6．
20．（8分）已知關于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0．
（1）求證：無論m取何值，方程總有實數根；
（2）若x1，x2是方程的兩根，且，求m的值．
21．（8分）如圖，學校有一面長8米的墻，生物興趣小組打算用總長16米的籬笆在墻前面的空地上圍成兩個矩形分別飼養小兔和小雞，矩形一邊靠墻．
（1）要使小兔和小雞活動區域總面積為21平方米，垂直于墻的邊AB長為多少？
（2）若小雞活動區域為正方形，設計方案使得小兔活動區域面積最大．
22．（8分）已知拋物線y＝x2﹣4mx+2m+1，m為實數．
（1）如果該拋物線經過點（4，3），求m的值；
（2）點O（0，0），點A（1，0），如果該拋物線與線段OA（不含端點）恰有一個交點，求m的取值范圍．
23．（10分）某農戶2022年種植核桃80公頃，他逐年擴大規模，到2024年，核桃種植面積達到了115.2公頃．
（1）求該農戶這兩年種植核桃公頃數的年均增長率；
（2）某銷售核桃的干果店經市場調查發現，當核桃售價為20元/kg時，每天能售出200kg，售價每降低1元、每天可多售出50kg，為了盡快減少庫存，該店決定降價促銷，已知核桃的平均成本價為12元/kg，若要使該店銷售核桃每天獲利1750元，則售價應降低多少元？
24．（10分）在平面直角坐標系中，已知二次函數y＝x2﹣tx﹣2的圖象過點A（﹣1，m），B（2，n）．
（1）當t＝2時，求拋物線的頂點坐標．
（2）求證：mn≤0．
（3）當2＜x＜3時，都有n＜y＜m，則t的取值范圍為　 　 ．
25．（10分）觀察下列一元二次方程，并回答問題：
第1個方程：x2﹣3x+2＝0，方程的兩個根分別是x1＝1，x2＝2；
第2個方程：x2﹣5x+6＝0，方程的兩個根分別是x1＝2，x2＝3；
第3個方程：x2﹣7x+12＝0；方程的兩個根分別是x1＝3，x2＝4；
第4個方程：x2﹣9x+20＝0；方程的兩個根分別是x1＝4，x2＝5；
…
（1）請按照此規律寫出兩個根分別是x1＝8，x2＝9的一元二次方程　 　 ．
（2）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大1，那么我們稱這樣的方程為“鄰根方程”．上述各方程都是“鄰根方程”．請通過計算，判斷方程x2x+1＝0是否是“鄰根方程”．
（3）已知關于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0（m是常數）是“鄰根方程”，且這兩個根是某個直角三角形的兩條邊，求此三角形第三邊的長是多少．
26．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣1，與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0），且點（2，5）在拋物線y＝ax2+bx+c上．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點C為拋物線與y軸的交點，在對稱軸x＝﹣1上找一點P，使得△PBC的周長最小，求點P的坐標；
（3）點Q是直線AC上方拋物線上一動點，且不與點B重合，當△ABC與△QAC的面積相等時，求出此時點Q的坐標．
參考答案
一、選擇題
1．D
【解答】解：因為拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5，
所以拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的頂點坐標是（2，﹣5）．
故選：D．
2．D
【解答】解：∵方程4x2﹣mx﹣2＝0的一個根是﹣2，
∴4×（﹣2）2+2m﹣2＝0．
∴16+2m﹣2＝0．
∴m＝﹣7，
故選：D．
3．D
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1
＝x2﹣4x+4+1
＝x2﹣4x+5，
∴b、c的值分別為﹣4，5．
故選：D．
4．D
【解答】解：把拋物線y＝﹣2x2先向右平移6個單位長度，再向下平移2個單位長度后，所得函數的表達式為：y＝﹣2（x﹣6）2﹣2．
故選：D．
5．B
【解答】解：∵點P（b，c）在第四象限，
∴b＞0，c＜0，
∴b2﹣4c＞0，
∴方程x2+bx+c＝0的判別式Δ＝b2﹣4c＞0，
∴方程x2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根．
故選：B．
6．C
【解答】解：設該市投入發展5G通信的資金的年平均增長率為x，
根據題意得：1000（1+x）2＝5000，
故選：C．
7．A
【解答】解：A、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y＝ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，故選項正確；
B、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝ax2﹣2x+1的圖象應該開口向下，故選項錯誤；
C、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝ax2﹣2x+1的圖象應該開口向下，故選項錯誤；
D、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝ax2﹣2x+1的對稱軸x0，故選項錯誤．
故選：A．
8．A
【解答】解：設x＝a2+b2，
∴x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
解得，x＝﹣2（舍去）或x＝6，
∴原式＝6+1＝7，
故選：A．
9．A
【解答】解：由題意，∵x2+y2＝2x+4y﹣5，
∴x2﹣2x+1+y2﹣4y+4＝0．
∴（x﹣1）2+（y﹣2）2＝0．
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0．
∴x＝1，y＝2．
∴m＝3x+y＝3×1+2＝5．
故選：A．
10．B
【解答】解：由條件可知：函數圖象開口向下，
∵二次函數的對稱軸為直線x＝4，
∴C（7，y3）關于直線x＝4的對稱點為（1，y3），
∵當x＜4時，y隨x的增大而增大，﹣3＜﹣1＜1，
∴y2＜y1＜y3．
故選：B．
11．C
【解答】解：A、由圖象可知，彈簧壓縮2cm后小球開始減速，故此選項錯誤，不符合題意；
B、由圖象可知，當彈簧被壓縮至最短，即彈簧被壓縮的長度為6cm時，小球的速度最小，速度為0，故此選項錯誤，不符合題意；
C、小球剛接觸彈簧時的速度v＝3cm/s，即a＝3，
設拋物線解析式為v＝m（x﹣2）2+b，
把（0，3），（6，0）代入解析式得：，
解得，
∴在小球壓縮彈簧的過程中，最大速度為4cm/s，故此選項正確，符合題意；
D、在小球壓縮彈簧的過程中，彈簧的長度為9cm時，即彈簧被壓縮的長度為15﹣9＝6cm，由圖象2可知，此時v＝0cm/s，故此選項錯誤，不符合題意．
故選：C．
12．A
【解答】解：設△PCD的面積為y cm2，
由題意得：AP＝t cm，PD＝（5﹣t）cm，
∴yCD PD，
∵四邊形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDCS正方形EFPC，
∵PC2＝PD2+CD2，
∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，
∴S△DEF（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）t2﹣4t（t﹣4）2，
當t為4s時，△DEF的面積最小，且最小值為cm2．
故選：A．
二、填空題
13．0．
【解答】解：根據一元二次方程定義可得m﹣4≠0，|m﹣2|＝2，
解得m＝0，
故答案為：0．
14．41．
【解答】解：設班級共有x名學生，
根據題意得：x（x﹣1）+x＝1681，
整理得：x1＝41，x2＝﹣41（不符合題意，舍去），
即班級共有41名學生，
故答案為：41．
15．a．
【解答】解：∵（2x）※1＝a，
∴2x+4x2＝a，
方程化為一般式為4x2+2x﹣a＝0，
∵方程有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0，
解得a，
故答案為：a．
16．1．
【解答】解：由題意，∵二次函數y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（﹣1，4），
∴對稱軸是直線x＝﹣1．
又∵圖象與x軸的一個交點的橫坐標是﹣3，
∴二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標為：﹣1+（﹣1+3）＝1．
故答案為：1．
17．4或6．
【解答】解：過E作EH⊥AC于H，如圖：
設運動時間為t s，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，
∴AC＝2BC＝10cm，
根據題意得：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm，
∵△AEF的面積恰為12cm2，
∴t（10﹣t）＝12，
解得t＝4或t＝6，
∴經過4s或6s后，△AEF的面積恰為12cm2．
故答案為：4或6．
18．4．
【解答】解：觀察圖象可知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故①正確；
∵對稱軸為直線x＝1，圖象未經過（﹣1，0），則圖象必不經過（3，0），
∴4a+2b+c＜0，故③錯誤；
∵，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＞0，即a+2a+c＝3a+c＞0，故④正確；
圖象與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正確；
∵對稱軸為直線x＝1，開口向上，
∴當x＞1時，y隨x的增大而增大，故⑥錯誤；
當x＝1時，y＝a+b+c≤am2+bm+c（m為任意實數），
整理可得a+b≤m（am+b），故⑤正確；
綜上，正確的序號有：①②④⑤．
故答案為：4．
三、解答題
19．解：（1）原方程移項得x2+6x＝﹣4，
x2+6x+9＝﹣4+9，
（x+3）2＝5，
，
解得：，；
（2）原方程移項得9（x﹣1）2﹣（2x+1）2＝0，
（3x﹣3+2x+1）（3x﹣3﹣2x﹣1）＝0，
即（5x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴5x﹣2＝0，x﹣4＝0，
解得：，x2＝4；
（3）x2﹣2x＝15，
x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x﹣5＝0，x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3；
（4）x（x﹣2）＝3x﹣6，
x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0，x﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
20．（1）證明：根據題意可得：a＝1，b＝m+4，c＝m+3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+4）2﹣4×1×（m+3）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，
∴無論m取何值，方程總有實數根；
（2）解：∵x1，x2是方程的兩根，
∴x1+x2＝﹣（m+4）＝﹣m﹣4，x1 x2＝m+3，
∵，
∴x1x2（x1+x2）＝（m+3）（﹣m﹣4）＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝﹣4．
21．解：（1）設AB＝x m，
x（16﹣3x）＝21
x1＝3，
∵BE＝16﹣3x≤8，，
∴x＝3，
答：要使小兔和小雞活動區域總面積為21平方米，垂直于墻的邊AB長為3米；
（2）設AB＝x m，則BC＝（16﹣4x）m，根據題意得，
，
當x≥2時，S隨x的增大而減小
∵BE＝16﹣3x≤8，，
∴當時，S最大
答：當米，米時，小兔活動區域面積最大．
22．解：（1）由條件可知3＝42﹣16m+2m+1，
解得m＝1；
（2）當x＝0，y＝2m+1，
當x＝1時，y＝﹣2m+2，
當交點在線段OA之間時，當2m+1＞0時，﹣2m+2＜0，
解得m＞1；
當2m+1＜0時，﹣2m+2＞0，
解得；
綜上，m＞1或．
23．解：（1）設該農戶這兩年種植核桃公頃數的年均增長率為x．
由題意列一元二次方程得，80（1+x）2＝115.2，
整理得，80x2+160x﹣35.2＝0，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：該農戶這兩年種植核桃公頃數的年均增長率為20%；
（2）設售價應降低y元．
由題意列一元二次方程得，（20﹣y﹣12）（200+50y）＝1750，
整理得y2﹣4y+3＝0
解得y1＝1，y2＝3．
∵要盡快減少庫存，
∴y＝3．
答：售價應降低3元．
24．（1）解：當t＝2時，則y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣3）；
（2）證明：∵二次函數y＝x2﹣tx﹣2的圖象過點A（﹣1，m），B（2，n）．
∴m＝1+t﹣2＝t﹣1，n＝4﹣2t﹣2＝2﹣2t＝2（1﹣t），
∴mn＝（t﹣1） 2（1﹣t）＝﹣2（t﹣1）2，
∵（t﹣1）2≥0，
∴﹣2（t﹣1）2≤0，即mn≤0．
（3）解：二次函數y＝x2﹣tx﹣2的圖象開口向上，對稱軸為直線x，
∴點A（﹣1，m）關于對稱軸的對稱點為（1+t，m），
∵當2＜x＜3時，都有n＜y＜m，
∴1+t≥3，
∴t≥2，
故答案為：t≥2．
25．解：（1）兩個根分別是x1＝8，x2＝9的一元二次方程為x2﹣（8+9）x+8×9＝0，即x2﹣17x+72＝0，
故答案為：x2﹣17x+72＝0；
（2）解x2x+1＝0得：x1，x2，
∵x1﹣x21，
∴方程x2x+1＝0是“鄰根方程”；
（3）設關于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的兩個根為t，t+1，
∴，
解得：或，
當時，關于x的方程x2﹣7x+12＝0的兩個根為3，4，
∴直角三角形兩邊為3，4，
∴第三邊為5或；
當時，關于x的方程x2﹣9x+20＝0的兩個根為4，5，
∴直角三角形兩邊為4，5，
∴第三邊為或3；
綜上所述，直角三角形第三邊為5或或或3．
26．解：（1）∵拋物線的對稱軸為x＝﹣1，A（﹣3，0）與點（2，5）在拋物線上，
∴，
解得，
∴拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣3；
（2）∵△PBC的周長等于PB+PC+BC，BC為定值，
∴當PB+PC值最小時，△PBC的周長最小，
∵A、B關于拋物線的對稱軸x＝﹣1對稱，
∴PB+PC＝PA+PC＞AC，
∴A，P，C三點共線時，△PBC的周長最小，即P點為直線AC與x＝﹣1的交點時，△PBC的周長最小，
當x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
設直線AC的表達式為y＝kx﹣3（k≠0），
把A（﹣3，0）代入，得﹣3k﹣3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直線AC的表達式為y＝﹣x﹣3，
當x＝﹣1時，y＝﹣x﹣3＝﹣2，
∴當點P的坐標為（﹣1，﹣2）時，△PBC的周長最小；
（3）設過點B且平行于AC的直線為y＝﹣x+n，
將點B（1，0）代入，得n＝1，
∴該直線的表達式為y＝﹣x+1，
∵△ABC與△QAC的面積相等，
∴Q點為直線y＝﹣x+1與拋物線的交點，
聯立，
解得（舍去）或，
∴此時點Q的坐標為（﹣4，5）．

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