資源簡介

2026屆高三開學(xué)摸底考試
數(shù)學(xué)
本試卷共150分　考試時間120分鐘
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知向量a=(2，2)，b=(λ，-4)，λ∈R，若a⊥(a+b)，則λ=
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.已知函數(shù)f(x)=5sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的部分圖象如圖所示，則ω=
A.3 B.4 C. D.2
3.(x+y+1)6的展開式中x3y2項的系數(shù)為
A.120 B.90 C.60 D.45
4.瓷器是由瓷石、高嶺土、石英石、莫來石等燒制而成的，其外表施有玻璃質(zhì)釉或彩繪.通過在窯內(nèi)的高溫?zé)?，瓷器表面的釉色會因為溫度的不同從而發(fā)生各種化學(xué)變化.某瓷器可近似地看作由一個半球、一個圓柱和一個圓臺構(gòu)成的組合體，如圖所示，該瓷器的體積為
A.556π B.900π C.732π D.588π
5.若a=cos 15°-sin 15°，b=，c=sin 105°cos 15°+cos 75°sin 195°，則
A.c6.已知直線mx+ny=1與拋物線C：y2=4x相交于A，B兩點，若直線OA與OB的斜率之和為4，O為坐標原點，則n=
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如圖，E，F(xiàn)，G，H四個開關(guān)控制著五盞燈，其中開關(guān)E控制著1，2，3號燈，開關(guān)F控制著2，3，4號燈，開關(guān)G控制著3，4，5號燈，開關(guān)H控制著1，4，5號燈.開始時，五盞燈均是亮的，現(xiàn)先后按動E，F(xiàn)，G，H這四個開關(guān)中兩個不同的開關(guān)，則其中2號燈亮的概率為
A. B. C. D.
8.兩條直線的夾角指的是兩條直線所形成的小于或等于90°的角.若曲線y=eax與曲線y=的兩條公切線的夾角為30°，則(+1)(1+ln a)=
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知復(fù)數(shù)z=(2-ai)2+7i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=x上，則a的值可以為
A.3 B.1 C.-3 D.-1
10.如圖，月牙形是由兩段圓弧圍成的一個封閉圖形，若兩段圓弧所在圓的半徑相同，兩圓的圓心分別為坐標原點O和C，A(-1，-2)，B(2，1)，直線l：y=x+b與月牙形只有兩個交點，則參考數(shù)據(jù)：cos≈
A.|OC|=
B.圓C的方程為(x-2)2+(y+2)2=5
C.b的取值范圍為(-2，)∪{-1}
D.月牙形的面積約為+3
11.如圖，有一個直三棱柱ABC-A1B1C1容器，AC⊥AB，AC=6，AB=8，AA1=3，E為棱BB1上一動點，則
A.異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為
B.AE+C1E的最小值為3
C.三棱錐A1-ABC1的外接球的半徑為
D.在這個容器中放入1個小球(全部進入)，則小球的表面積的最大值為9π
題序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知集合M={0，1}，N={x|x2+x+m=0}，若M∪N={-1，0，1}，則N=　　　　.
13.已知雙曲線C：-=1的右焦點為F，M，N是雙曲線C右支上的兩點，若G(0，2)，且F為△MNG的重心，則MN的中點坐標為　　　　，直線MN的方程為　　　　.
14.已知等差數(shù)列{an}滿足a1>1，a50≤-71，a100>-200，且數(shù)列{an}在區(qū)間[-8，1]中的項比在區(qū)間(-47，-38)中的項多2項，則an=　　　　.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0.
(1)求B；
(2)若∠ABC的角平分線交AC于點D，且AD=2DC=，求BD.
16.(15分)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，DD1的中點.
(1)證明：點F在平面AEC1內(nèi).
(2)若AA1=2AB，求平面A1EC1與平面AEC1夾角的余弦值.
17.(15分)甲、乙兩人進行游戲，且都有1個紅色彈珠和1個黃色彈珠，每人每次獨立地隨機取出1個彈珠相互交換.
(1)若只交換1次，求甲的彈珠的顏色相同的概率；
(2)若只交換1次，記甲有紅色彈珠的個數(shù)為X，求X的分布列及期望；
(3)若一共交換3次，最后甲的2個彈珠顏色相同，則甲獲勝，否則乙獲勝，試問這個游戲是否公平
18.(17分)已知函數(shù)f(x)=xex-x2-ax+，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)若a=1，函數(shù)g(x)=f(x)-x(ex-ln x-1)，當(dāng)x12.
19.(17分)在平面直角坐標系xOy中，動點P到點F1(-3，0)的距離與到定直線l：x=-的距離之比為，記動點P的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程.
(2)已知F2(3，0)，點A，B在軌跡C上，且在x軸的同側(cè)，AF1∥BF2，AF2交BF1于點G，證明：|GF1|+|GF2|為定值.
參考答案
【解題分析】因為a=(2，2)，b=(λ，-4)，所以a+b=(2+λ，-2)，因為a⊥(a+b)，所以2×(2+λ)+2×(-2)=0，解得λ=0.
【解題分析】由題圖知=-=，所以T==，解得ω=3.
【解題分析】(x+y+1)6的展開式中x3y2項的系數(shù)為=60.
【解題分析】由題圖可知，半球的半徑為6，圓柱的底面半徑為6，高為8，圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，高為9，所以該瓷器的體積為×π×63+π×62×8+(62+22+)×9=588π.
【解題分析】因為a=cos 15°-sin 15°=sin(45°-15°)=，c=sin 105°cos 15°+cos 75°sin 195°=sin 75°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin(75°-15°)=sin 60°=，所以b【解題分析】(方法一)由得y2=4x(mx+ny)，所以-4n·-4m=0，因為直線OA與OB的斜率之和為4，所以4n=4，即n=1.
(方法二)設(shè)A點的坐標為，y1，B點的坐標為，y2，因為直線OA與OB的斜率之和為4，所以+=4，即+=1，所以y1+y2=y1y2.由得y2+y-=0，所以y1+y2=-，y1y2=-，所以-=-，解得n=1.
【解題分析】先后按動E，F(xiàn)，G，H這四個開關(guān)中兩個不同的開關(guān)，有=12種方法.
2號燈亮有兩類情形.第一類，按第一個開關(guān)時，2號燈滅，按第二個開關(guān)時，2號燈亮，此時對應(yīng)的方法有=2種(E，F(xiàn)兩個開關(guān)進行全排列)；
第二類，按第一個開關(guān)和第二個開關(guān)均與2號燈無關(guān)，此時對應(yīng)的方法有=2種(G，H兩個開關(guān)進行全排列).故所求事件的概率為=.
【解題分析】由題易知，曲線y=eax與曲線y=關(guān)于直線y=x對稱，所以曲線y=eax的切線l2的傾斜角為60°，即切線l2的斜率為.設(shè)直線l2與曲線y=eax的切點坐標為(x0，)，y'=aeax，所以a=，所以直線l2的方程為y-=(x-x0)，即y=x-x0+.
設(shè)直線l2與曲線y=的切點坐標為x1，，y'=，所以=，
所以直線l2的方程為y-=(x-x1)，即y=x-x1+.
綜上可知，-x0+=-x1+，解得(+1)(1+ln a)=.
【解題分析】因為z=(2-ai)2+7i=4-a2+(7-4a)i，所以4-a2=7-4a，解得a=3或a=1.
【解題分析】由題易知，圓O的半徑為，設(shè)圓心C的坐標為(a，-a)，且a≠0，所以(a-2)2+(1+a)2=5，解得a=1，所以圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=5，|OC|=，故選項A正確，選項B錯誤.
設(shè)直線l1：y=x+t，當(dāng)直線l1過點B(2，1)時，t=-1，
當(dāng)直線l1與圓O相切時，=，解得t=±，
當(dāng)直線l1與圓C相切時，=，
解得t=-2或t=--2，
因為直線l：y=x+b與月牙形只有兩個交點，所以b的取值范圍為(-2，)∪{-1}，故選項C正確.
連接AC，BC，AB(圖略)，易求得△ABC的面積為，
設(shè)∠ACB=θ，=(-2，-1)，=(1，2)，所以cos θ==-，所以θ≈π-=，所以月牙形的面積約為5π-2××()2×-=+3，故選項D正確.
【解題分析】對于選項A，在平面ACC1A1中，過點A1作A1D∥AC1交CC1的延長線于點D，連接BD，因為AC⊥AB，AC=6，AB=8，AA1=3，所以BD=2，A1B=，A1D=3，所以cos∠BA1D==-，所以異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為，故選項A錯誤.
對于選項B，將四邊形CBB1C1繞BB1順時針旋轉(zhuǎn)，使得A1，B1，C1三點共線，連接AC1，交BB1于點E(圖略)，此時AE+C1E的值最小，最小值為AC1=3，故選項B正確.
對于選項C，設(shè)G，H分別為AC1，A1B的中點，過點G，H分別作平面AA1C1，平面AA1B的垂線，交點為O，連接GH，由題知，GH=BC=5，OG2+OH2=GH2，
設(shè)三棱錐A1-ABC1的外接球的半徑為R，所以O(shè)G2=R2-AG2，OH2=R2-AH2，所以O(shè)G2+OH2=2R2-AG2-AH2，即2R2=GH2+AG2+AH2，所以2R2=25++，解得R=，故選項C正確.
對于選項D，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，所以×6×8=(6+8+10)r，解得r=2，因為2r=4>AA1，所以放入的1個小球的半徑的最大值為=，故小球的表面積的最大值為9π，故選項D正確.
【解題分析】因為M∪N={-1，0，1}，M={0，1}，所以-1∈N，所以(-1)2-1+m=0，即m=0，所以N={-1，0}.
【解題分析】由題知，F(xiàn)(4，0)，設(shè)M點的坐標為(x1，y1)，N點的坐標為(x2，y2)，因為F為△MNG的重心，所以=4，=0，即x1+x2=12，y1+y2=-2，所以MN的中點坐標為(6，-1).因為M，N是雙曲線C右支上的兩點，所以兩式相減并化簡得=×=-2，所以直線MN的方程為y+1=-2×(x-6)，即2x+y-11=0.
【解題分析】因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以相鄰兩項間的差的絕對值相等，因為1-(-8)=9=-38-(-47)，且數(shù)列{an}在區(qū)間[-8，1]中的項比在區(qū)間(-47，-38)中的項多2項，所以1，-8，-38，-47均為數(shù)列{an}中的項.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，易知d<0，1，-8，-38，-47四個數(shù)后一項與前一項的差依次為-9，-30，-9，這三個數(shù)均為d的整數(shù)倍，所以-3是d的整數(shù)倍，設(shè)d=，m∈N*，因為a50≤-71，a100>-200，所以a1+49d≤-71，a1+99d>-200，
易得-因為a1+49d≤-71，所以1【解題分析】(1)因為(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0，所以b2-(a-c)2-3ac=0，
所以-ac=a2+c2-b2，所以cos B==-，因為B∈(0，π)，所以B=. 6分
(2)因為AD=2DC=，所以b=，因為BD平分∠ABC，所以=，即c=2a，
由(1)知，-ac=a2+c2-b2，解得a=1，c=2，因為S△ABC=S△ABD+S△DBC，所以acsin B=a·BDsin+c·BDsin，解得BD==. 13分
【解題分析】(1)設(shè)G為CC1的中點，連接GF，AF，BG(圖略).
由題易知GF CD，BA CD，所以GF BA，所以四邊形ABGF為平行四邊形，所以AF∥BG，易知BG∥EC1，所以AF∥EC1，故點F在平面AEC1內(nèi). 6分
(2)不妨設(shè)AB=1，則AA1=2，以BC，BA，BB1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則A(0，1，0)，A1(0，1，2)，E(0，0，1)，C1(1，0，2)，
所以=(1，0，1)，=(0，1，1)，=(0，1，-1).
設(shè)m=(x1，y1，z1)為平面A1EC1的法向量，
所以即令x1=1，得y1=1，z1=-1，
所以平面A1EC1的一個法向量為m=(1，1，-1).
設(shè)n=(x2，y2，z2)為平面AEC1的法向量，
所以即令x2=1，得y2=z2=-1，
所以平面AEC1的一個法向量為n=(1，-1，-1).
因為cos===，
所以平面A1EC1與平面AEC1夾角的余弦值為. 15分
【解題分析】(1)由題知，交換1次，甲的彈珠的顏色相同的概率為×+×=. 3分
(2)由題知，若只交換1次，則甲、乙兩人取紅色彈珠和黃色彈珠的概率均為，X的所有可能取值為0，1，2，
P(X=0)=×=，P(X=1)=×+×=，P(X=2)=×=，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
所以X的期望E(X)=0×+1×+2×=1. 8分
(2)用A1，A2，A3分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個彈珠顏色相同，
用B1，B2，B3分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個彈珠顏色不相同.
由(1)知，P(A1)=P(B1)=P(B3|B2)=P(B2|B1)=P(A3|B2)=P(A2|B1)=，
易知P(A3|A2)=P(A2|A1)=0，由全概率公式知，
P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P(B2)P(A3|B2)=P(B2)P(A3|B2)=P(B2)=[1-P(A2)]，
同理可得P(A2)=[1-P(A1)]=，所以P(A3)=1-=<.
故這個游戲不公平. 15分
【解題分析】(1)f'(x)=(x+1)ex-a(x+1)=(x+1)(ex-a). 1分
當(dāng)a≤0時，由f'(x)>0得x>-1，由f'(x)<0得x<-1，所以函數(shù)f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞減，在(-1，+∞)上單調(diào)遞增； 2分
當(dāng)00得x>-1或x當(dāng)a=時，f'(x)≥0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增； 5分
當(dāng)a>時，由f'(x)>0得x>ln a或x<-1，由f'(x)<0得-1(2)當(dāng)a=1時，g(x)=f(x)-x(ex-ln x-1)=xln x-x2+，則g'(x)=ln x-x+1，令φ(x)=ln x-x+1，則φ'(x)=-1，當(dāng)00，當(dāng)x>1時，φ'(x)<0，所以函數(shù)φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以φ(x)≤φ(1)=0，所以函數(shù)g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，且g(1)=0，所以0令F(x)=g(x)+g(2-x)，0-2=0，
所以函數(shù)G(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，所以G(x)所以函數(shù)F(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以F(x)>F(1)=0，
所以當(dāng)00，所以g(x1)+g(2-x1)>0， 16分
因為函數(shù)g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，所以2-x12. 17分
【解題分析】(1)設(shè)動點P的坐標為(x，y)，因為動點P到點F1(-3，0)的距離與到定直線l：x=-的距離之比為，所以=x+，化簡得+=1，
所以軌跡C的方程為+=1. 6分
(2)設(shè)直線AF1的傾斜角為θ，過點A作直線l的垂線，垂足為H，由題知，=，因為|AH|=|AF1|cos θ+-3，所以|AF1|=|AF1|cos θ+，即|AF1|=，
利用對稱性，同理可得|BF2|=，所以+=. 10分
因為AF1∥BF2，所以=，
所以===，
所以|GF2|=，同理可得|GF1|=，
所以|GF1|+|GF2|=+=10-=10-=10-=(定值). 17分

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