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第十四章《全等三角形》章節檢測卷
一、選擇題（10小題，每小題2分，共20分）
1．如圖，有四張小畫片，畫的都是用七巧板拼成的人物圖形，與另外三張與眾不同的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四組三角形中一定是全等三角形的是（　　）
A．兩條邊對應相等的兩個銳角三角形 B．面積相等的兩個鈍角三角形
C．周長相等的兩個等邊三角形 D．斜邊相等的兩個直角三角形
3．如圖，下列三角形中，與 ABC全等的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．如圖，，B、C、D三點在同一條直線上，且，，則的長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成了如圖所示的四塊，他需要去商店再配一塊與原來大小和形狀完全相同的模具．現只能拿能兩塊去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ）
A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）
6．）如圖， ABC中，的平分線與的外角平分線相交于點D，連結，則下列結論中正確的是（ ）
A．平分的外角 B．平分 C． D．
7．根據相應的條件，不能判斷分別給出的兩個三角形全等的是（ ）．
A．如圖1，線段與相交于點O，，與
B．如圖2，， ABC與
C．如圖3，線段相交于點E，已知，與
D．如圖4，已知， ABC與
8．南陽光武大橋，建于2012年，南陽農運會的應景之作，四塔高聳，斜拉鐵索，南陽首創，主要承擔市區到南陽機場的交通任務，被稱為“南陽之門”．其側面示意圖如圖所示，其中，現添加以下條件，仍不能判定的是（ ）
A． B．∠ACB=∠ADB
C． D．
9．如圖，平分，點A，B是射線，上的點，連接．按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交于點C，交于點D；②分別以點C和點D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點E；③作射線，交于點P．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖， ABC的面積為為邊上的中線，點是線段的五等分點，點、、是線段的四等分點，點是線段的中點，則四邊形的面積為（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
二、填空題（8小題，每小題2分，共16分）
11．如果點在第二、四象限的角平分線上，則m的值為 ．
12．在 ABC中，，，則邊上的中線的取值范圍是 ．
13．已知，若的周長為，則的周長為 ．
14．如圖所示，，，，，，則 ．
15．如圖，直線，，表示三條公路．現要建造一個中轉站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉站P可選擇的點有 個．
16．在 ABC中，，按下列步驟作圖：①以點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交于兩點；②分別以點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；③作射線交于點．則的度數是 ．

17．如圖，在中，已知，，，直線，動點從點開始沿射線方向以每秒的速度運動，動點也同時從點開始在直線上以每秒的速度運動，連接，，設運動時間為秒．當 時，．
18．如圖，小明與小穎玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是，小明和小穎分別坐在距離支點相等的位置玩蹺蹺板當小穎從水平位置下降時，這時小明離地面的高度是 ．
三、解答題（8小題，共64分）
19．如圖， ABC≌，點在上，，求的長.
20．如圖，，、分別是，的對應邊上的中線．與有什么關系？證明你的結論？
21．在學習“利用三角形全等測距離”之后，七（1）班數學實踐活動中，楊老師讓同學們測量池塘、之間的距離（無法直接測量）．小涵設計的方案是：如圖，先在平地上取一個可以直接到達點的點，取的中點，連接并延長至點，使，連接，測量得米，請你幫小涵計算池塘、之間的距離，并說明理由．
22．如圖，在 ABC中，，，，，，，動點E以的速度從A點向F點運動，動點G以的速度從C點向A點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為t．
(1)求；
(2)求證：在運動過程中，無論t取何值，都有；
(3)當t取何值時，與全等．
23．這是小明同學作一個三角形與已知三角形全等的方法：
已知： ABC．
求作：，使得．
作法：如圖．
①分別以點A，B為圓心，線段長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；
②連接線段，則即為所求作的三角形．
請你根據以上材料完成下列問題：
(1)完成下面證明過程（將正確答案填在相應的橫線上）：
證明：由作圖可知，在 ABC和中，
∴( )．
(2)小甜看到小明的作圖有一個特別的想法，若連接，交于點E，已知與的線段長能否求出 ABC的面積呢？假設，請你嘗試求出.
24．通過“三角形全等的判定”的學習，大家知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等”是一個基本事實，可以判定兩個三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對的角分別相等”的兩個三角形全等嗎？下面請你來探究．
任務：已知 ABC，求作，使（即兩邊和其中一邊所對的角分別相等）．
(1)【實踐與操作】請依據下面的步驟，用尺規完成作圖過程（保留作圖痕跡）；
①作線段；
②在線段的上方作；
③作，交射線于點；
④連接得所求三角形．
(2)【觀察與小結】觀察你作的圖形，你會發現滿足條件的三角形有___________個；其中___________（填三角形的名稱）與 ABC不全等．
因此可得：“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形全等”是：_______命題．（填“真”或“假”）
25．某校項目式學習小組開展項目活動，過程如下：
項目主題：測量電線塔的距離．
問題驅動：能利用哪些數學原理來測量電線塔的距離？
組內探究：由于河中間不易到達，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬紙板，米尺，測角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機，確定方法后，先畫出測量示意圖，然后進行實地測量，并得到具體數據，從而計算河流的寬度．
成果展示：下面是某同學的測量方案：
測量示意圖
測量說明 小剛站在河邊的A點處，他向正西方向走了30步到達一棵樹C處，接著再向前走了30步到達D處，然后他左轉直行，當小剛看到電線塔、樹與自己現處的位置E在一條直線時，他共走了140步
(1)根據題意，畫出示意圖；
(2)如果小剛一步大約米，估計小剛在點處時他與電線塔的距離．
26．【方法學習】
數學興趣小組活動時，王老師提出了如下問題：如圖1，在 ABC中，，，求邊上的中線的取值范圍．
小李在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1），
①延長到，使得；
②連接，通過三角形全等把、、轉化在中；
③利用三角形的三邊關系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍；
方法總結：解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．
【問題解決】
(1)如圖1，請寫出的取值范圍是 ；
(2)如圖2，已知 ABC中，平分，且，求證：．
參考答案
一、選擇題
1．C
【分析】分析題目信息，要得到與另外三張不同的卡片，即依據全等圖形的概念及旋轉變換進行判斷．
【詳解】解：可知將選項A中的圖形順時針旋轉180°，即可與選項B中的圖形重合，
將選項B中的圖形順時針旋轉90°，即可得到選項D中的圖形，
故A、B、D中的三個圖形全等，
分析C中圖片人物，結合四個圖片可以看出C選項中圖形與其他三個不同．
故選：C．
2．C
【分析】由全等三角形的概念可判斷A，B，D，由三邊對應相等的兩個三角形全等可判斷C，從而可得答案．
【詳解】解：兩條邊對應相等的兩個銳角三角形不一定全等，故A不符合題意；
面積相等的兩個鈍角三角形不一定全等，故B不符合題意；
周長相等的兩個等邊三角形滿足三邊對應相等，所以一定全等，故C符合題意；
斜邊相等的兩個直角三角形不一定全等，故D不符合題意；
故選C．
3．C
【分析】根據邊邊邊公理逐一進行分析判斷即可．
【詳解】三角形ABC的三邊長分別為6、8、10，
①中的三條邊分別為6、9、9，三邊不對應相等，不與△ABC全等，故不符合題意；
②中的三條邊分別為3、4、5，三邊不對應相等，不與△ABC全等，故不符合題意；
③中的三條邊分別為6、8、10，三邊對應相等，與△ABC全等，故符合題意；
④中的三條邊分別為8、8、9，三邊不對應相等，不與△ABC全等，故不符合題意，
故選C．
4．C
【分析】此題考查全等三角形的性質，根據全等三角形的性質得出對應邊相等，進而解答即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，，
∴，
故選：C．
5．D
【分析】本題考查全等三角形的判定，根據，可以確定唯一三角形，進行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以組成兩個完整的角和兩個角的夾邊，根據，可以確定唯一三角形，符合題意；其他組合均不能得到唯一三角形，
故選D．
6．A
【分析】過點D作于點E，于點N，于點G，利用角的平分線的判定和性質，解答即可．本題考查了角的平分線的判定和性質，熟練掌握性質和解析式是解題的關鍵．
【詳解】解：過點D作于點E，于點N，于點G，
∵的平分線與的外角平分線相交于點D，
∴，，
∴，
∴點D一定在的角平分線上，
則平分的外角，
故選：A．
7．C
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，靈活運用全等三角形的判定方法成為解題的關鍵．
根據全等三角形的判定定理逐項判斷即可．
【詳解】解：A．在圖1中，由，根據“”證明，可判斷A不符合題意；
B．在圖2中，由，根據“”證明，可判斷B不符合題意；
C．在圖3中，不符合全等三角形判定定理的條件，因此不能判斷與全等，可判斷C符合題意；
D．在圖4中，由，根據“”證明，可判斷D不符合題意．
故選：C．
8．A
【分析】本題考查全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定方法，并能結合已知條件選取合適的方法是解題關鍵．根據已知條件可得，，結合全等三角形的判定方法依次對各個選項判斷．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，無法證明，A選項符合題意；
若添加，可根據證明，B選項不符合題意；
若添加，可根據證明，C選項不符合題意；
若添加，可根據證明，D選項不符合題意；
故選：A．
9．D
【分析】本題考查作圖—基本作圖、角平分線的定義．由作圖過程可知，為的平分線，可得．根據，可得．由題意得，則．
【詳解】解：由作圖過程可知，為的平分線，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
故選：D．
10．B
【分析】本題考查三角形中線的性質，全等三角形的判定與性質．根據三角形中線的性質得，證明，根據全等三角形的性質可得，再利用等高模型求得，同理求得，據此求解即可．
【詳解】解：連接、、、、，
∵ ABC的面積為，為邊上的中線，
∴，
∵點、、是線段的四等分點，
∴，
∵點是線段的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵點、、是線段的四等分點，
∴，
∴，
∵點是線段的五等分點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵點是線段的五等分點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積為，
故選：B；
二、填空題
11．
【分析】本題考查了點的坐標．根據第二、第四象限坐標軸夾角平分線上的點，橫縱坐標互為相反數，由此就可以得到關于m的方程，解出m的值．
【詳解】解：∵點在第二、四象限的角平分線上，
∴，
解得，
故答案為：．
12．
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形三邊的關系，延長到E，使得，連接，可證明，得到，根據三角形三邊的關系可求出的取值范圍，進而可得的取值范圍．
【詳解】解：如圖所示，延長到E，使得，連接，
∵是 ABC的中線，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查全等三角形的性質，利用全等三角形周長相等填空即可．
【詳解】解：∵，
∴ ABC與形狀和大小一致，能重合，
∴它們周長相等，
若的周長為 ，則 ABC的周長為 ．
故答案為：．
14．
【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質，三角形外角性質，掌握全等三角形的判定方法及性質是解題的關鍵．
根據，得出，即可證明，根據三角形全等的性質得，最后利用可求解．
【詳解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
∴∠3=∠1+∠ABD=55°，
故答案為：．
15．4
【分析】本題考查了角平分線的性質，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等，分情況找點P的位置．
【詳解】解：①三角形兩個內角平分線的交點，共一處；
②三個外角兩兩平分線的交點，共三處，
∴中轉站P可選擇的點有共有4個．
故答案為：4．
16．
【分析】本題主要考查了尺規作角平分線，三角形內角和定理，角平分線定義，先根據尺規作圖的步驟可知平分，進而求出，再根據三角形內角和定理得出答案．
【詳解】解：根據題意可知平分，且，
∴．
∵，
∴．
故答案為：．
17．或
【分析】本題考查了全等三角形的性質，根據當點在射線上時，當點在的反向延長線上時，根據，建立方程，解方程，即可求解．
【詳解】，
，，，，
如圖，當點在射線上時，在上，，
，，
，
．
如圖，當點在的反向延長線上時，，，
，，
，
．
綜上所述，當或時，，
故答案為：或．
18．
【分析】本題主要考查了三角形全等知識的應用，熟練正確全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．
根據題意可得：，，判斷出≌，得到，即可求出答案．
【詳解】解：如圖：
是和的中點，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
小明離地面的高度支點到地面的高度，
故答案為：．
三、解答題
19．解：≌，
，
，
.
20．解：．
證明：∵，
∴，，(全等三角形的對應邊相等，對應角相等) ．
又和分別是和邊上的中線，
∴，，
∴．
在和中，，
∴．
∴（全等三角形的對應邊相等）
21．（1）解： 、之間的距離為米，理由如下：
∵點是的中點，
∴，
在與中，
，
∴，
∴；
∴池塘、之間的距離米．
22．（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）證明：∵，，
∴，
∵動點E以的速度從A點向F點運動，
且動點G以的速度從C點向A點運動，
又∵當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，
∴，．
∴，
∴，
∴在運動過程中，不管t取何值，都有；
（3）解：∵在與中，
，
∴，
∴，
∵點E以的速度從A點向F點運動，
且動點G以的速度從C點向A點運動，
又∵當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，運動時間為t，
∴，．
∴，
∴，
①當M在線段上時，，
當時，與全等，
∴，
解得；
②當M在線段延長線上時，，
當時，與全等，
∴，
解得：，
∴當或時，與全等．
23．（1）證明：由作圖可知，在 ABC和中，
∴；
（2）解：∵
∴，
∴在和 ADE中
∴，
∴
∵
∴
24．（1）解：作圖如下，
；
（2）解：觀察所作的圖形，發現滿足條件的三角形有2個；其中（填三角形的名稱）與 ABC不全等．
因此可得：“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形全等”是假命題．
故答案為：2；；假．
25．（1）解：先畫一條水平直線代表河邊，在直線上 取點表示小剛最初的位置；
從點向正前方畫一條線段，按比例取步的長度確定點，表示樹的位置；
再從點繼續向正前方畫線段，按比例 取一定長度(這里未明確后續行走步數對應的長度，不影響整體思路)，然后向左轉畫一條線段，當小剛走到電線塔、樹與自己現處的位置成一條直線 時，確定終點位置；如圖所示：
（2）∵小剛站在河邊的點處，向正西方向走了步到達一棵樹處，接著再向前走了步到達處，
∴
在 ABC和中，
，
，
，
∵當小剛看到電線塔、樹與自己現處的位置在一條直線時，他共走了140步，
∴從點到點走的步數，
又∵小剛一步大約米，
米，
故小剛在點處時他與電線塔的距離為米．
26．（1）解：由題意知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
故答案為：；
（2）證明：如圖，延長到點E，使，連接，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

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