資源簡介

第二十三章《旋轉》單元檢測卷
一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。）
1．下列右邊的四個圖形中，不能由圖形M在同一平面內經過旋轉得到的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．我國古代數學的發展歷史源遠流長，曾誕生了很多偉大的數學發現．下列與我國古代數學發現相關的圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果規定：在平面內，將一個圖形繞著某一點旋轉一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就稱此圖形為旋轉對稱圖形，旋轉的角度稱為旋轉角．下列圖形是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角為60°的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．正八邊形
4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△DEC，點A，B的對應點分別為D，E，連接AD．當點A，D，E在同一條直線上時，下列結論不正確的是（　　）
A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD
5．如圖所示，△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱，則下列結論成立的是（　　）
①點A與點A′關于點O對稱；
②BO＝B′O；
③AC∥A′C′；
④∠ABC＝∠C′A′B′．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
6．如圖，在4×4的正方形網格中有三個黑色正方形，請你在網格中再涂黑一個小正方形，使其與原有的黑色正方形構成一個中心對稱圖形，則可供選擇的白色小正方形的個數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B′C，使點A′恰好落在AB上，則旋轉角度為（　　）
A．30° B．90° C．60° D．150°
8．已知點P的坐標為（x，y）且，則點P關于原點的對稱點P′的坐標是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．（1，） D．（1，）
9．如圖，邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點O按逆時針方向旋轉180°，兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積（　　）
A．不變 B．先增大再減小
C．先減小再增大 D．不斷增大
10．如圖，在△AOB中，OA＝OB＝8，點C的坐標為（0，2），點P是OB上一動點，連接CP，將CP繞C點逆時針旋轉90°得到線段CD，使點D恰好落在AB上，則點D的坐標為（　　）
A．（2，4） B．（6，2） C．（2，5） D．（2，6）
11．如圖，有兩個全等的矩形ABCD和矩形A′B′C′D′重合擺放，將矩形A′B′C′D′繞點C逆時針旋轉，延長A′D′交AD于點E，線段A′E的中點為點F，AB的長為2，BC的長為4，當CF取最小時，AF的長為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．如圖，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標系中，頂點A的坐標為（0，4），點P（2，3）在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉90°，第一次旋轉至圖①位置，第二次旋轉至圖②位置， ，則正方形鐵片連續旋轉20次后，點P的坐標為（　　）
A．（80，2） B．（80，3） C．（82，3） D．（82，2）
二、填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分．）
13．如果點A（a+1，2）與點B（2﹣2a，b）關于原點對稱，那么a+b＝　 　 ．
14．如圖，已知△AOB與△DOC成中心對稱，△AOB的面積是6，AB＝3，則△DOC中CD邊上的高是　 ．
15．如圖，已知，AC＝1，∠D＝90°，△DEC與△ABC關于點C成中心對稱，則AB的長是 　 　 ．
16．如圖，點G是菱形ABCD的對稱中心，連接BD，點E是AD邊上一點，且，連接EG并延長交BC于點F，連接CG．S1，S2分別表示四邊形ABGE和△GFC的面積，若S2＝6，則S1＝　 　 ．
17．如圖，AC為正方形ABCD的對角線，點H為AC的中點，點E為AC上的動點（不與端點重合），連接BE，將線段BE繞點B沿逆時針方向旋轉90°得到線段BF，連接HF，若四邊形BCHF的面積為4，則正方形ABCD的邊長為　 　 ．
18．如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，點O是△ABC的三邊中垂線的交點也是三內角角平分線的交點，∠FOG＝120°，繞點O旋轉∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點，連接DE，給出下列四個結論：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四邊形ODBE的面積始終等于；④△BDE周長的最小值為9．上述結論中正確的序號是 　 　 ．
三、解答題（本題共8小題，共72分．）
19．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣1，0），B（﹣3，3），C（﹣4，﹣1）．（每個方格的邊長均為1個單位長度）
（1）畫出△ABC關于原點對稱的圖形△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；
（2）畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的圖形△A2B2C2并寫出點B2的坐標．
20．（8分）如圖，O為平行四邊形ABCD的對稱中心，對角線AC⊥AB，過點O作直線EF∥AB，分別交AD，BC于E，F，連接AF，CE．
（1）證明：四邊形AFCE是菱形．
（2）若四邊形AFCE是正方形且BC＝6，求AB的長．
21．（8分）如圖，將矩形ABCD繞著點C按順時針方向旋轉得到矩形FECG，點B與點E對應，點E恰好落在AD邊上，BH⊥CE交于點H，
（1）求證：AB＝BH；
（2）連接BG交CH于O，已知AB＝5，BC＝13，求BG的長．
22．（8分）如圖，△ABC和△DEF關于點O成中心對稱．
（1）找出它們的對稱中心．
（2）若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周長；
（3）連接AF，CD，試判斷四邊形ACDF的形狀，并說明理由．
23．（10分）（1）閱讀理解：
如圖1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，連接BE（或將△ACD繞著點D旋轉180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是 　 　 ，并寫出過程；
（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．
24．（10分）（1）操作發現：
如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上．現將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′，如圖所示則∠AB′B＝　 　 ；
（2）解決問題：
如圖2，在等邊△ABC內有一點P，且，如果將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得出△ABP′，求∠BPC的度數和PP′的長．
25．（10分）如圖，點P是正方形ABCD內一點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉90°得到線段CQ，連接BP，DQ，延長BP交直線DQ于點E．
（1）如圖1，試猜想線段BP和DQ有怎樣的數量關系和位置關系，并證明你的結論；
（2）如圖2，若△BCP是等邊三角形，判斷△DEP的形狀，并說明理由．
26．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（﹣2，3）、（4，1），以OA、OC為鄰邊作平行四邊形OABC，一次函數y＝kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象過點B．
（1）點B的坐標為 　 　 ；
（2）求用含k的代數式表示b；
（3）當一次函數y＝kx+b的圖象將OABC分成面積相等的兩部分時，求k的值．
（4）直接寫出一次函數y＝kx+b的圖象與OABC的邊只有兩個公共點時k的取值范圍．
參考答案
一、選擇題
1．C
【解答】解：①由M順時針旋轉90°得到，故①正確；
②由M逆時針旋轉90°得到，故②正確
③由M無法旋轉得到，故③錯誤；
④由M順時針旋轉360°得到，故④正確．
故選：C．
2．B
【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．
B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意．
C．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意．
D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：B．
3．C
【解答】解：A．正三角形的最小旋轉角是120°，故此選項不合題意；
B．正方形的旋轉角度是90°，故此選項不合題意；
C．正六邊形的最小旋轉角是60°，故此選項符合題意；
D．正八邊形的最小旋轉角是45°，故此選項不合題意；
故選：C．
4．D
【解答】解：∵△ABC繞點C逆時針旋轉得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
故A選項正確，不符合題意；
由旋轉可得，CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE，
∴∠ADC＝∠DAC．
∵點A，D，E在同一條直線上，
∴∠ADC＝∠DAC＝45°，
故B選項正確，不符合題意；
∵∠ADC＝∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴ADAC，
故C選項正確，不符合題意；
AE＝AD+DECD+AB，
故D選項不正確，符合題意．
故選：D．
5．A
【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱，
∴由中心對稱的性質可得，OB＝OB′，OC＝OC′，點A與點A′關于點O對稱，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC∥A′C′，
∴①②③正確，④錯誤，
綜上所述，只有選項A正確，符合題意，
故選：A．
6．B
【解答】解：如圖所示：標有數字的3個位置都是中心對稱圖形．
故選：B．
7．C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋轉角，
∴△ACA′為等邊三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋轉角度為60°．
故選：C．
8．D
【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴點P的坐標為（﹣1，），
∴點P關于原點的對稱點P′的坐標是（1，）．
故選：D．
9．A
【解答】解：由條件可知∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，
即∠BOM＝∠CON，
∵在△BOM和△CON中，
，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積是：，
即不論旋轉多少度，陰影部分的面積都等于，重疊部分四邊形OMCN的面積不變，
故選：A．
10．D
【解答】解：過點D作y軸的垂線，垂足為M，
由旋轉可知，
CD＝CP，∠DCP＝90°，
∴∠DCM+∠PCO＝90°，
又∵∠PCO+∠CPO＝90°，
∴∠DCM＝∠CPO．
在△DCM和△CPO中，
，
∴△DCM≌△CPO（AAS），
∴DM＝CO．
∵點C的坐標為（0，2），
∴DM＝OC＝2．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝45°，
∴∠BAO＝∠ADM＝45°，
∴AM＝DM＝2，
∴MO＝8﹣2＝6，
∴點D的坐標為（2，6）．
故選：D．
11．B
【解答】解：如下圖，連接CF，
∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′均為矩形且全等，且AB＝2，BC＝4，
∴AB＝CD＝C′D′＝2，BC＝AD＝A′D′＝4，∠ABC＝∠ADC＝∠A′D′C＝90°，
∴矩形A′B′C′D′繞點C逆時針旋轉，
則當CF⊥A′E，即點F與點D′重合時，CF取最小值，如下圖，連接CE，
此時CF＝CD′＝2，
∵點F為線段A′E的中點，
∴EF＝A′F＝A′D′＝AD，
∵∠A′D′C＝90°，
∴∠CD′E＝180°﹣∠A′D′C＝90°，
又∵CD′＝CD，
∴Rt△CDE≌Rt△CD′E（HL），
∴DE＝D′E＝EF＝AD，即點A與點E重合，
∴AF＝EF＝AD＝4．
故選：B．
12．C
【解答】解：將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉90°，如圖，分別連接PC和P′C，過點P和P′分別作x軸的垂線，垂足分別為M和N，
∴PM＝P′M，∠PCP′＝90°，
∴∠PCM+∠P′CN＝∠PCM+∠P＝90°，
∴∠P′CN＝∠P．
在△PCM和△CP′N中，
，
∴△PCM≌△CP′N（AAS），
∴P′N＝MC，CN＝PM，
又∵點A的坐標為（0，4），點P坐標為（2，3），
∴P′N＝MC＝2，CN＝PM＝3，
∴點P′的坐標為（7，2）．
同理可得：
第2次旋轉后，點P的坐標為（10，1），
第3次旋轉后，點P的坐標為（13，2），
第4次旋轉后，點P的坐標為（18，3），
點5次旋轉后，點P的坐標為（23，2），
……，
每旋轉四次，點P的橫坐標增加16，縱坐標按2，1，2，3循環出現，
∴點P4n的坐標為（16n+2，3），
∴P20（82，3），
∴連續旋轉20次后，點P的坐標為（82，3）．
故選：C．
二、填空題
13．1．
【解答】解：由題意得：
，
解得．
∴a+b＝3﹣2＝1，
故答案為：1．
14．4
【解答】解：依題意有△DOC的面積等于△AOB的面積是6，CD＝AB＝3．
根據三角形的面積公式，則CD邊上的高是6×2÷3＝4．
故答案為：4．
15．3
【解答】解：∵△DEC 與△ABC關于點C成中心對稱，
∴DC＝AC＝1，DE＝AB，
∴AD＝2，
∴在Rt△EDA中，DE3，
∴AB＝3．
故答案為：3．
16．16．
【解答】解：如圖，過點G作GM⊥AD于點M，
過點B作BN⊥AD于點N，
∵點G是菱形ABCD的對稱中心，
∴DG＝BG，S△DEG＝S△BFG，S△ABD＝2S△BCG，
∴BN＝2GM，
∵S△DEGDE×GM，
S△ABDAD×BN，
，
∴，
設S△DEG＝a，
則S△ABD＝5a，S△BCG，S△GFB＝a，
∴S△GFCa，
∵S△GFC＝6，
∴6，
解得a＝4，
∴S△ABD＝5×4＝20，
∴四邊形ABGE的面積S1＝S△ABD﹣S△DEG＝20﹣4＝16．
故答案為：16．
17．．
【解答】解：連接BH、AF，如圖，
由題意可得：AH＝BH＝CH，∠BCH＝∠BAH＝45°，BH⊥AC，AB＝BC，BE＝BF∠CBE＝∠ABF＝90°﹣∠ABE，
∴△CBE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCH＝45°，
∴∠CAF＝90°，即隨著點E的運動，點F始終在過點A且與AC垂直的直線上運動，
∴AF∥BH，
∴S四邊形BCHF＝S△BCH+S△BHF
，
則AH＝CH＝BH＝2，
∴．
故答案為：．
18．①③④．
【解答】解：連接OB、OC，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵點O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，
∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
∵∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正確；
∴S△BOD＝S△COE，
∴S四邊形ODBE＝S△OBCS△ABC36＝3，所以③正確；
作OH⊥DE，如圖，
則DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，OHOE，HEOHOE，
∴DEOE，
∴S△ODE OE OEOE2，
即S△ODE隨OE的變化而變化，而四邊形ODBE的面積為定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②錯誤；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周長＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6OE，
當OE⊥BC 時，OE最小，△BDE的周長最小，此時OE，
∴△BDE周長的最小值＝69，所以④正確．
故答案為：①③④．
三、解答題
19．解：（1）∵A（﹣1，0），B（﹣3，3），C（﹣4，﹣1），
∴點A，B，C關于原點對稱的點分別為A1（1，0），B1（3，﹣3），C1（4，1），
作出△A1B1C1如圖所示：
（2）作出△A2B2C2如圖所示：
∴B2（﹣3，﹣3）．
20．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵O為AC中點，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠FOC＝∠BAC＝90°，
∴AC⊥EF，
∴ AFCE是菱形；
（2）解：∵四邊形AFCE是正方形，
∴∠AFC＝90°，AF＝CF，∠CAF＝∠ACF＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝6，
∴AB3．
21．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠BCH，
∵∠D＝90°，BH⊥AC，
∴∠D＝∠BHC，
由旋轉得，CE＝CB，
在△EDC和△CHB中，
，
∴△EDC≌△CHB（AAS），
∴BH＝CD＝AB．
（2）∵在△HBO和△CGO中，，
∴△HBO≌△CGO（AAS），
∴OH＝OC，OB＝OG，
在Rt△BCH中，BH＝5，BC＝13，
由勾股定理得：CH12，
∴OH6，
在Rt△OHB中，由勾股定理得：
OB，
∴BG＝2OB＝2．
22．解：（1）如圖，點O即為所求．
（2）由題意，△ABC≌△DEF，
∵△DEF的周長＝△ABC的周長＝6+5+4＝15．
（3）結論：四邊形ACDF是平行四邊形．
理由：由題意，OA＝OD，OC＝OF，
∴四邊形ACDF是平行四邊形．
23．（1）解：如圖1所示：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴8﹣6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，
∴1＜AD＜7；
故答案為：1＜AD＜7；
（2）證明：如圖2所示：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三邊關系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
24．解：（1）∵△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，
∴AB′＝AB，∠BAB′＝90°，
∴△ABB′為等邊三角形，
∴∠AB′B＝45°；
故答案為：45°；
（2）∵△ABC為等邊三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BPC繞點B逆時針旋轉60°得出△ABP′，
∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP，∠PBP′＝60°，△BPC≌△BP′A，
∴△BPP′為等邊三角形，
∴∠BP′P＝60°，PP′＝BP，
在△APP′中，∵AP′＝1，PP′，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝AP2，
∴△APP′為直角三角形，∠AP′P＝90°，
∴∠BP′A＝∠AP′P+∠BP′P＝90°+60°＝150°，
∵△BPC≌△BP′A，
∴∠BPC＝∠BP′A＝150°．
答：∠BPC的度數為150°，PP′的長為．
25．解：（1）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由如下：如圖1，設直線BP與CD交于點F，
∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
∴BP＝DQ，∠CBE＝∠CDQ，
又∵∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90°，
∴BE⊥DQ；
（2）△DEP為等腰直角三角形，理由如下：
如圖2，∵△BCP為等邊三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝30°，
又∵CP＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CDQ＝60°＝∠BPC，
∴∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，
∴△DEP為等腰直角三角形．
26．解：（1）∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴AB可由OC平移得到，
∵A（﹣2，3）、C（4，1）、O（0，0），
∴B（4﹣2，1+3），
即B（2，4），
故答案為：（2，4）；
（2）把B（2，4）代入y＝kx+b，得2k+b＝4，
∴b＝4﹣2k；
（3）∵一次函數y＝kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象過點B，
∴當一次函數y＝kx+b的圖象將OABC分成面積相等的兩部分時，則圖象必過點O（0，0），
∴，
解得k＝2；
（4）當直線y＝kx+b經過A點時，得，
解得k，
當直線y＝kx+b經過C點時，得，
解得k，
根據一次函數的性質知，當k或k時，一次函數y＝kx+b的圖象與OABC的邊只有兩個公共點，
∴一次函數y＝kx+b的圖象與OABC的邊只有兩個公共點時k的取值范圍是：k或k．

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