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第二十四章《圓》章節測試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．已知的半徑為，當時，點與的位置關系是（ ）
A．點在內 B．點在上 C．點在外 D．不能確定
2．如圖所示，是的直徑，為的中點，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．一個扇形的半徑是3，面積為，那么這個扇形的圓心角是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，于點，，，則最長的弦長是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，量角器外緣上有，，三點，且，兩點所表示的讀數分別是，，則應為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，已知是的直徑，弦，垂足為，，，則的長為（ ）
A． B． C．1 D．2
7．在平面直角坐標系中，的半徑為2.5，直線的解析式為，那么直線與的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
8．如圖，分別與相切于三點．且，，則的長為（ ）
A．5 B． C． D．
9．如圖，等邊三角形和正方形 均內接于，若，則劣弧的長為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖， ABC內接于，為的直徑，點，分別為上的動點（不與點，點，點重合），且，為的中點，分別連結，，若，，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C． D．5
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．如圖，點A、B、C在上，若，則的度數為 ．
12．如圖，四邊形內接于，如果它的一個外角，那么的度數為 ．
13．如圖，、是的兩條弦，，過點的切線與的延長線交于點，則 ．
14．一個圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，這個圓錐的底面半徑與母線長之比為
15．如圖，在中，，其內切圓分別與、、相切于點、、，若，，則 ABC內切圓的半徑長度為 ．
16．如圖，在矩形中，為矩形內一點，連接，，，，，，則的最小值為 ．
三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題，每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）
17．如圖，為直徑，弦分別與半徑相交，且．
(1)求證：；
(2)若==，且，求的度數．
18．如圖1，蛋筒冰激凌的蛋筒外殼（不計厚度）可近似看作圓錐，其母線長為，底面圓直徑長為．
(1)求該冰激凌蛋筒外殼側面展開圖圓心角的大?。?br/>(2)當冰激凌連同蛋筒外殼被吃掉一部分后，若仍將其外殼近似看作圓錐（如圖2），其母線長為，求此時冰激凌蛋筒外殼的側面積．（結果保留）
19．在 ABC中，，，．
(1)若以點C為圓心，長為半徑畫，則直線與的位置關系如何？
(2)若直線與半徑為r的相切，求r的值．
(3)若線段與半徑為r的有唯一公共點，求r的取值范圍．
20．如圖，這是一種用于液體蒸餾或分餾物質的玻璃容器 蒸餾瓶，它的下半部分是圓球形，其截面是圓，且當截面圓中弦的長為時，瓶內液體最大深度為．
(1)求截面圓的半徑；
(2)當瓶內液體減少時，若瓶內液體的最大深度降低1cm，那么截面圓中的弦減少了 cm．
21．如圖，點A，B，C在上，，以，為邊作．
(1)當經過圓心O時（如圖1），求的度數；
(2)當與相切時（如圖2），若的半徑為6，求的長．
22．如圖，直線經過上的點，直線交于點，交于點，連接交于點，連接，若點是的中點，．
(1)求證：是的切線；
(2)，求圖中陰影部分面積．
23．如圖，是四邊形的外接圓，直徑為10，過點D作，交的延長線于點P，平分．
(1)如圖1，若是的直徑，求證：與相切；
(2)若是的直徑， ，求的度數．
(3)如圖2，若，求的最大值．
24．數學小組在學完“圓內接四邊形的對角互補”這個結論后進行了如下的探究活動：
(1)如圖1，點A、B、C在上，點D在外，線段與交于點E、F，試猜想_____（請填“>”、“<”或“=”），并證明你的猜想；
(2)如圖2，點A、B、C在上，點D在內，此時（1）中猜想的結論還成立嗎？若成立，請予以證明；若不成立，請寫出你的結論并予以證明；
(3)如圖3，四邊形是的內接四邊形，∠B=90°，，，，求的長度．
25．如圖，在平面直角坐標系中，與y軸相切于點，與x軸相交于A、B兩點，且．
(1)求圓的半徑和點D的坐標；
(2)求經過C、A、B三點的拋物線解析式；
(3)設拋物線的頂點為F，證明直線與相切．
參考答案
一、選擇題
1．A
【分析】本題考查了點與圓的位置關系，比較點到圓心的距離與圓的半徑的大小即可判斷。
【詳解】解：∵的半徑為，O，
∴點到圓心的距離小于圓的半徑，
因此點在內．
故選：A．
2．C
【分析】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形，連接，由為的中點，則，所以，由圓周角定理得，求出，最后通過圓內接四邊形性質即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，
∵為的中點，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵四邊形是圓內接四邊形，
∴，
∴，
故選：．
3．B
【分析】本題考查了扇形面積公式，根據扇形面積公式，代入已知條件求解圓心角，即可作答．
【詳解】解：設扇形的圓心角為，
∵一個扇形的半徑是3，面積為，
∴，
解得，
故選：B．
4．D
【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，先利用垂徑定理和勾股定理求出的長，再求圓的直徑即可．
【詳解】在中，，
∴，
在中，，
∴的直徑為，
即最長的弦長是．
故選：D．
5．A
【分析】本題考查了圓周角定理，即在同圓或等圓中同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半．由已知條件可得出，，再根據角的和差關系即可得出，最后根據圓周角定理即可得出答案．
【詳解】解：如下圖：，兩點所表示的讀數分別是，，
∴，，
∴，
∵，
∴
故選：A
6．A
【分析】連接，利用圓周角定理，三線合一，勾股定理解答即可．
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∵弦，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
7．C
【分析】本題考查直線與圓的位置關系，一次函數的性質，關鍵是由三角形面積公式求出的長．求出，由勾股定理得到，由三角形面積公式求出，而的半徑，即可判斷直線與的位置關系．
【詳解】解：如圖，直線分別與 軸交于，
過作于，
當時，，
，
當時，，
，
，
，
的面積，
，
，
到直線的距離，
的半徑，
，
直線與的位置關系是相交．
故選：C．
8．D
【分析】本題考查了圓的切線性質定理、角平分線的判定定理、平行線的性質，勾股定理等知識，熟練掌握圓的切線性質定理是解題關鍵．連接，先根據圓的切線性質定理可得，且，再根據角平分線的判定定理可得平分，平分，然后證出，利用勾股定理可得的長，最后利用三角形的面積公式求解即可得．
【詳解】解：如圖，連接，
∵分別與相切于三點，
∴，且，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故選：D．
9．B
【分析】本題考查正多邊形和圓的綜合應用，連接，求出的度數，進而得到為等腰直角三角形，求出的長，再根據弧長公式進行計算即可．
【詳解】解：連接，則：，
∵等邊三角形和正方形 均內接于，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的長；
故選B．
10．B
【分析】本題主要考查圓的基礎知識，弦心距的計算，線段最大值的計算，掌握直徑所對圓周角是直角，弦心距的計算，點的運動及線段最大值的計算是關鍵．
如圖1，過點作于，以點為圓心，以為半徑作圓，由勾股定理得：，為 ABC的中位線，當點，在上運動時，點在以點為圓心，以為半徑的圓上運動，根據“兩點之間線段最短”得：，如圖2：此時，即的最大值為4，由此即可求解．
【詳解】解：如圖1，過點作于，以點為圓心，以為半徑作圓，
∵為的直徑，
∴，
在中，，，由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴為 ABC的中位線，
∴，即弦的弦心距，
∵點為的中點，
∴為弦的弦心距，
∵，
∴，
∴當點，在上運動時，點在以點為圓心，以為半徑的圓上運動，根據“兩點之間線段最短”得：，
∴當點在的延長線上時，為最大，
如圖2：此時，即的最大值為4，
故選：B．
二、填空題
11．
【分析】此題考查了圓周角定理，圓心角，弧，弦的關系，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．
根據圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半得：，進而可得答案．
【詳解】解：∵與是弧所對的圓周角與圓心角，，
∴．
故答案為：．
12．
【分析】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，熟練掌握圓內接四邊形的性質，圓周角定理是解題的關鍵．根據圓內接四邊形的性質可得，結合，得，再利用圓周角定理求解．
【詳解】四邊形為圓內接四邊形，
，
又，
，
在中，由圓周角定理，可得，
故答案為：．
13．28
【分析】本題考查了圓周角定理、切線的性質，連接，由切線的性質可得，由圓周角定理可得，由此計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖：連接，
，
由切線的性質可得：，即，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
14．
【分析】本題主要考查了圓錐的側面展開圖，扇形的相關計算，根據圓錐的母線長為扇形的半徑，圓錐的底面周長為扇形的弧長求解即可．
【詳解】解：設圓錐的底面半徑為r，母線長l，
則，
則，
故答案為：．
15．1
【分析】本題考查求直角三角形的內切圓的半徑，連接，勾股定理求出的長，等積法求出內切圓的半徑長即可．
【詳解】解：設內切圓的圓心為，連接，
則：，，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；即： ABC內切圓的半徑長度為1．
故答案為：1．
16．
【分析】本題主要考查勾股定理，直角三角形的三點共圓，圓外一點到圓上的最短距離等知識點，先確定點的運動軌跡，再根據圓外一點到圓上的最短距離是這點與圓心的連線的交點，根據勾股定理求得結果即可；
【詳解】解：如圖所示，
∵，為矩形內一點，
∴點相等于是以為直徑，點為圓心的圓上運動（下半圓），
∴的最小值就是連接，交半圓與點，即此時為最小值，
在矩形中，
∴，
又∵， ，
∴，
∴．
三、解答題
17．（1）證明：∵為直徑，
，
∵，
∴，
，
即，
∴；
（2）解：∵，
∴的度數為，
∴，，的度數為，
的度數為，
∴的度數為．
18．（1）解：設該冰激凌蛋筒外殼側面展開圖圓心角的大小為．
根據題意，得，
解得．
答：該冰激凌蛋筒外殼側面展開圖圓心角的大小為．
（2）解：．
答：此時冰激凌蛋筒外殼的側面積為．
19．（1）解：∵，，，
∴，
∴ ABC是直角三角形，，
作于點D，如圖，
，
∵，
∴，
∵以點C為圓心，長為半徑畫，且，
∴直線與的位置關系是相離．
（2）解：∵直線與半徑為r的相切，
∴．
（3）解：∵，
∴以C為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點，分兩種情況：
①圓與相切時，即；
②點A在圓內部，點B在圓上或圓外時，
此時，即．
∴r的取值范圍是或．
20．（1）解：由題意知，
，
設球形的半徑，則，
在中，，
，
解得，
截面圓的半徑為；
（2）解：由題意知，
，
在中，，
，
，
截面圓中的弦減少了；
故答案為：
21．（1）解：∵經過圓心O，
∴為的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴；
（2）解：連接、，如圖所示：
∵與相切，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（1）證明：如圖所示，連接，
∵點是的中點，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是圓的半徑，點在圓上，
∴是的切線；
（2）解：∵是切線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點是是中點，且，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
設，則，
在中，，即，
解得，（負值舍去），
∴，
在中，，，
∴，，
∴陰影部分的面積為：．
23．（1）證明：如圖，連接，
，
，
平分，
，
∵OA=OD
，即，
為的半徑，
∴與相切；
（2）解：是的直徑，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
；
（3）解：連接，在上截取，
，
平分，
，
，
是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
，
，
當為直徑，即時，取最大值是10．
24．（1）解：連接，
∵四邊形為圓O的內接四邊形，
∴，
在中，，
∴，
故答案為：；
（2）解：（1）的結論不成立，，理由：
延長交圓O于點E，連接，
則，
在中，，
∴，
即；
（3）解：延長交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴．
25．（1）解：過點作于，連接，如圖1，

則軸，
，
四邊形是矩形，
．
在中，，
，
圓的半徑為5，點的坐標為；
（2）解：設拋物線的解析式為，
根據（1）可得，
則在拋物線上，
，
解得．
拋物線的解析式為；
（3）解：連接，如圖3，
、都在線段的垂直平分線上，
垂直平分．
由可得，
，
，
，
與相切．
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