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第二十五章《概率初步》章節測試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．下圖表示各事件發生的概率，其中隨機事件的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列隨機試驗中，結果具有“等可能性”的是（ ）
A．擲一枚質地均勻的骰子 B．籃球運動員定點投籃
C．擲一個礦泉水瓶蓋 D．從裝有若干小球的透明袋子摸球
3．下列說法正確的是（ ）
A．“三條線段組成一個三角形”是必然事件
B．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是不可能事件
C．買一張電影票，座位號是奇數號是必然事件
D．“從一副撲克牌中，任意抽出一張牌是黑桃3”是隨機事件
4．投擲一枚形狀規則、質地均勻的骰子，有下列事件：①擲得的點數是6；②擲得的點數不大于4；③擲得的點數是奇數．這些事件發生的可能性由大到小排列是（ ）
A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②①
5．五一期間，小明和小聰準備去大學里參觀游玩，兩人決定分別從北京大學、復旦大學和浙江大學這三所大學里隨機選擇一所大學參觀游玩，小明和小聰選擇同一所大學的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在，估計盒子中小球的個數n是（ ）
A． B． C． D．
7．小明有兩根長度分別為和的木棒，他想釘一個三角形的木框．現在有5根木棒供他選擇，其長度分別為，，，，．小明隨手拿了一根，恰好能夠組成一個三角形的概率為（　　）
A． B． C． D．1
8．如圖所示是一個正方形飛鏢靶的示意圖，如果向該飛鏢靶任意拋一枚飛鏢，飛鏢插在陰影區域的概率為，飛鏢插在空白區域的概率為，則和的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法判斷
9．從 4， 1，2，3四個數中隨機選取兩個不同的數，分別記為，則關于x的方程有兩個不相等的實數根的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．為豐富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，貴陽市某社區舉辦了一場“投”你所好，迎春節趣味老年投球比賽，小明的爺爺是參賽選手，小明對爺爺投球擊中目標的情況進行了統計，并繪制了如圖所示的統計圖，根據統計圖提供的信息，下列說法不正確的是 （ ）
A．隨著投球次數的增加，爺爺投球的擊中率會逐漸穩定在某一個數附近
B．爺爺投球的擊中頻率穩定在0.8，擊中概率的估計值為0.8
C．若爺爺投球20次，則爺爺投球一定能擊中16次
D．若爺爺投球5次，那么不一定能擊中目標4次
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．“拔苗助長”是一個 事件．（填“必然”、“隨機”或“不可能”）
12．排隊時，小亮和2位同學站成一橫排，其中小亮“站在中間”的可能性 小亮“站在兩邊”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
13．在一個不透明的袋子中裝有僅顏色不同的5個小球，其中紅球3個，黑球2個，先從袋中取出m（）個紅球，不放回，再從袋子中隨機摸出1個球．將“摸出黑球”記為事件A．若A為必然事件，則m的值為 ；
14．A，B，C，D四人做相互傳花球游戲，第一次A傳給其他三人中的任一人，第二次由拿到花球的人再傳給其他三人中的任一人，第三次由拿到花球的人再傳給其他三人中的任一人，則第三次花球傳回A的概率等于 ．
15．一個袋中裝有若干個紅球、黃球和藍球，每個球除顏色外都相同．某興趣小組開展摸球試驗；每次摸出一個球記錄下顏色后放回搖勻，重復試驗，并統計了藍球出現的頻率，如圖所示．再摸一次，估計摸到藍球的概率為 ．（結果精確到0.1）
16．生活在數字時代的我們，很多場合都要用到二維碼，二維碼的生成原理是用特定的幾何圖形按編排規律在二維方向上分布，采用黑白相間的圖形來記錄數據的符號信息．七年級學生小冬幫媽媽打印了一個收款二維碼如圖所示，該二維碼的面積為，他在該二維碼上隨機擲點，經過大量重復試驗，發現點落在白色區域的頻率穩定在左右，則估計此二維碼白色區域的面積為 ．
三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題，每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）
17．在一個不透明的袋子里，裝有9個除顏色不同，其余均相同的小球，其中3個紅球，3個白球，3個黑球，它們已在口袋中被攪勻，現在有一個事件：從口袋中任意摸出n個球，紅球、白球、黑球至少各有一個．
(1)當n為何值時，這個事件不可能發生？
(2)當n為何值時，這個事件必然發生？
18．從標有數字，，……，的張卡片中，任意抽取張；設事件為“取到的倍數”，事件為“取到的倍數”，事件為“取到比大的數”事件為“取到整數”．
(1)發生可能性最大的事件是______，發生可能性最小的事件是______；
(2)把事件、、、按照發生可能性的大小在數軸上用字母、、、標注出來．
19．某中學為了解七年級學生對課后延時服務項目的參與情況，隨機抽取50名學生進行問卷調查，課后延時服務項目分為以下四類：A．藝術素養、B．體育鍛煉、C．科技探究、D．作業輔導．現將調查結果整理成如下不完整的統計表：
項目 A B C D
人數 15 10 5
頻率 0.3 0.1
(1)請補全統計表中的空缺數據（直接填寫在表中）；
(2)從參與調查的學生中隨機抽取1人，抽到的學生恰好參與項目B是_________事件（從“隨機”“必然”“不可能”選一個填入）；
(3)若該校七年級共有400名學生，試估計選擇項目A的學生人數．
20．在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球，其中紅球3個，白球5個，黑球若干個．若從中任意摸出一個白球的概率是．
(1)求盒子中黑球的個數．
(2)求任意摸出一個球是黑球的概率．
(3)能否通過改變盒子中球的數量，使得任意摸出一個球是紅球的概率為？若能，請寫出你的修改方案．
21．某校閱讀社團將《西游記》中的四位人物的肖像制成編號為A、B、C、D的四張（除編號和人物肖像外其余完全相同）卡片，活動時學生根據所抽取的卡片來講述他們在書中的故事．
游戲規則如下：先將四張卡片背面朝上，洗勻放好．小林先從中隨機抽取一張，把剩下的3張卡片洗勻后，背面向上放好，小梅再從3張卡片中隨機抽取一張．
(1)小林抽到孫悟空的概率為 _________ ；
(2)若他們取出的兩張卡片上對應的人物為師徒關系，則由小林講述，否則由小梅講，用列表法或畫樹狀圖法說明這個游戲規則對雙方是否公平？
22．在一個不透明的盒子里裝5個白球和15個黑球，這些球除顏色外都相同，小明做摸球試驗，他將盒子里面的球攪勻后從中任意摸出一個球，記下顏色，再把它放回盒子中攪勻．
(1)小明做摸球試驗20次，其中摸出白球6次，則這20次摸球試驗中，摸出白球的頻率是_____；
(2)求摸到黑球的概率；
(3)在盒子中球的總個數不變的情況下，請通過改變盒子中黑球和白球的數量，使摸到白球的概率為．
23．如圖所示，甲、乙兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形(兩個轉盤除表面數字不同外，其它完全相同)，轉盤甲上的數字分別是，，，轉盤乙上的數字分別是，，(規定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉一次)．
(1)單獨轉動轉盤甲，轉盤甲指針指向正數的概率是 ．
(2)若同時轉動兩個轉盤，轉盤甲指針所指的數字記為，作為點的橫坐標，轉盤乙指針所指的數字記為，作為點的縱坐標，請用列表法或樹狀圖法求平面內點落在第二象限內的概率．
24．某快遞公司收取快遞費用的標準如下：重量不超過的包裹收費10元，重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）收取5元．該快遞公司將最近承攬的100件包裹的重量統計如表：
包裹的重量（單位：） 1 2 3 4 5
包裹的件數 40 35 14 7 4
該快遞公司對近60天，每天攬件數量統計如表：
包裹的件數范圍
包裹的件數（近似處理） 50 150 250 350 450
天數 8 8 28 10 6
以上數據已做近似處理．
(1)現從近60天中隨機抽取1天，求這一天攬件數在之間的概率．
(2)該快遞公司將快遞費的作為前臺工作人員的工資和經理的工資，剩余的用作其他費用．
①估計該快遞公司對每件包裹收取的快遞費的平均值．
②目前快遞公司經理有1人，前臺工作人員有3人，每位前臺工作人員每天攬件不超過150件，前臺工作人員每日工資200元．經理正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，如果僅從近60天經理平均每日工資收入的角度考慮，請利用所學的統計知識幫經理選擇，并說明理由．
25．2025年4月24日是第十個“中國航天日”，今年的“中國航天日”主題為“極目楚天，共襄星漢”．為迎接中國航天日，我校舉行了七、八年級航天知識競賽，政教處在七、八年級中各隨機抽取了名學生的競賽成績（滿分分，單位：分）進行整理和分析（成績共分成五組：）．
【收集、整理數據】
七年級學生競賽成績分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
八年級學生競賽成績在組和組的分別為：，，，，，，，，．
繪制了不完整的統計圖．
【分析數據】
兩組樣本數據的平均數、中位數和眾數如表所示：
年級 平均數 中位數 眾數
七年級
八年級
【問題解決】
請根據上述信息，解答下列問題：
(1)補全頻數分布直方圖，上述表中 ， ；
(2)根據以上數據，你認為此次競賽該校七年級學生成績好，還是八年級學生成績好？寫出一條理由；
(3)如果該校七年級有名學生參加此次競賽，請估計七年級競賽成績不低于分的學生人數．
(4)現從七年級選取兩名同學到市里參加比賽，已知組有2名女生，4名男生，求選到的兩名同學恰好是一男一女的概率．
參考答案
一、選擇題
1．B
【分析】本題主要考查了事件的分類，解題的關鍵是掌握隨機事件的定義．
利用隨機事件的定義進行判斷即可．
【詳解】解：根據隨機事件的定義得，
事件和事件是隨機事件，
故選：B．
2．A
【詳解】解：A，擲一枚質地均勻的骰子，任一點數的概率都是六分之一，故該選項正確；
B，籃球運動員定點投籃，投中與否的概率并不相等，故該選項錯誤；
C，擲一個礦泉水瓶蓋，因瓶蓋質地不均勻，正反面出現的概率并不相等，故該選項錯誤；
D，從裝有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一顏色小球的概率不一定相等，故該選項錯誤；
故選A．
3．D
【分析】本題考查必然事件和隨機事件，解題關鍵是理解必然事件是一定會發生的，隨機事件是可能發生也可能不發生．據此相關性質內容進行逐項分析，即可作答．
【詳解】解：A、“三條線段組成一個三角形”是隨機事件，不符合題意．
B、經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，不符合題意；
C、 買一張電影票，座位號是奇數號是隨機事件，不符合題意．
D、“從一副撲克牌中，任意抽出一張牌是黑桃3”是隨機事件，符合題意．
故選：D．
4．C
【分析】此題考查了事件的可能性，比較各事件包含的可能結果數，數量越多可能性越大．
【詳解】投擲一枚均勻骰子共有6種等可能結果．
①點數為6：僅1種結果，概率為；
②點數不大于4：包括1、2、3、4，共4種結果，概率為；
③點數為奇數：包括1、3、5，共3種結果，概率為．
可能性由大到小為．
故選：C．
5．A
【分析】本題考查用列表法或樹狀圖法求概率，熟練掌握列表法或樹狀圖法以及概率公式是解題的關鍵．先畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及小明和小聰選擇同一所大學的結果數，再利用概率公式即可得出答案．
【詳解】解：設“北京大學、復旦大學和浙江大學”這三所大學分別為A、B、C，
畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結果，其中小明和小聰選擇同一所大學的結果有3種，
小明和小聰選擇同一所大學的概率為，
故選：A．
6．C
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，解題關鍵是掌握利用頻率估計概率．
根據利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為，再根據概率公式計算n的值．
【詳解】解：根據題意得，
解得：，
所以這個不透明的盒子里大約有個除顏色外其他完全相同的小球．
故選：C．
7．A
【分析】本題考查概率公式，三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．先利用小明有兩根長度分別為和的木棒確定第三邊的長度取值范圍，再判斷可供選擇的木棒中有幾種滿足，再利用概率公式計算即可．
【詳解】解：∵小明有兩根長度分別為和的木棒，他想釘一個三角形的木框，
∴三角形木框的第三邊長的取值范圍是，即，
∴，，，，共5種等可能情況，其中滿足的有2種，
∴恰好能夠組成一個三角形的概率為，
故選：A．
8．B
【分析】本題考查了幾何概率，設正方形的邊長為，分別表示出，，再結合幾何概率的定義計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖：
由圖可得：，
4個半圓的面積是
，
設正方形的邊長為，
則，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故選：B．
9．D
【分析】本題考查樹狀圖法求概率，根的判別式，先畫出樹狀圖，求出的值的個數，再求出方程有兩個不等的實數根的情況，利用概率公式進行計算即可．
【詳解】解：由題意，畫出樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，當時，關于x的方程有兩個不等的實數根，
∴符合題意的情況有8種，
∴；
故選：D．
10．C
【分析】本題結合圖表，考查了利用頻率估計概率．由圖可知，擊中率在上下波動，故可估計擊中的頻率穩定在0.8，擊中概率的估計值為0.8，可判斷A選項正確，B選項正確,利用擊中概率乘以投球次數即可求得投球擊中次數，可判斷C選項，利用概率的意義，可判斷D選項．
【詳解】解：由統計圖可知，隨著投球次數的增加，爺爺投球的擊中率會逐漸穩定在附近，
故A選項正確，B選項正確，不符合題意；
若爺爺投球20次，則爺爺投球大約能擊中（次），
故C選項的說法不正確，符合題意；
若爺爺投球5次，那么不一定能擊中目標4次，
故D選項的說法正確，不符合題意，
故選：C．
二、填空題
11．不可能
【分析】本題考查了事件的分類，根據事件發生的可能性大小判斷即可，解題的關鍵是正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
【詳解】解：“拔苗助長”是一個不可能事件，
故答案為：不可能．
12．小于
【分析】本題主要考查了事件可能性大小的判斷，掌握概率的計算公式是解題的關鍵；
用字母A，B，C分別表示小亮和他的2位同學，列舉出3人站成一橫排的所有可能結果，
再求“小亮站在正中間”與“小亮站在兩端”這兩個事件的概率，根據二者的概率大小即可判斷．
【詳解】用字母A，B，C分別表示小亮和他的2位同學，則他們3人站成一橫排的有6種等可能性，列舉如下：
、、、、、．
其中小亮“站在中間”有2種可能，其概率為，
小亮“站在兩邊”有4種可能，其概率為，
，
其中小亮“站在中間”的可能性小于小亮“站在兩邊”的可能性．
故答案為：小于．
13．3
【分析】本題考查了必然事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．
根據必然事件的概念即可得出答案．
【詳解】解：∵事件A為必然事件，
∴“摸出黑球”為必然事件，
∴不能有紅球，才能使摸出黑球為必然事件，
∵袋子中原來紅球有3個，
∴取出紅球個數，
故答案為：3．
14．
【分析】本題考查用列樹狀圖的方法解決概率問題；列舉出所有情況，看第三次花球傳回A的情況數占所有情況數的多少即可．
【詳解】解：共有27種等可能的情況，傳回A的情況數有6種，所以概率為，
故答案為：．
15．
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，由題意可知頻率穩定在附近，根據頻率估計概率即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知頻率穩定在附近，則可估計摸到藍球的概率為．
故答案為：．
16．4
【分析】本題考查了用頻率估計概率，掌握概率公式是解題的關鍵．先計算出點落在白色區域的頻率穩定值，再用總面積乘以落入白色部分的頻率穩定值即可求解．
【詳解】解：經過大量重復試驗，發現點落在白色區域的頻率穩定在左右，
∴估計此二維碼中白色區域的面積為．
故答案為：4．
三、解答題
17．（1）解：由題意得
當或時，不可能摸到紅球、白球、黑球至少各有一個，
故這個事件不可能發生；
（2）解：由題意得
當或或時，一定能摸到紅球、白球、黑球至少各有一個，
故這個事件必然發生．
18．（1）解：事件“取到的倍數”的可能性大小為，
事件“取到的倍數”的可能性大小為，
事件“取到比大的數”的可能性大小為，
事件“取到整數”的可能性大小為，
所以發生可能性最大的事件是，發生可能性最小的事件是，
故答案為：、；
（2）如圖：
19．（1）解：依題意，
如圖所示：
項目 A B C D
人數 15 20 10 5
頻率 0.3 0.4 0.2 0.1
（2）解：依題意，從參與調查的學生中隨機抽取1人，抽到的學生恰好參與項目B是隨機事件
故答案為：隨機；
（3）解：（名）
答：估計選擇項目A的學生有120名
20．（1）解：∵紅球3個，白球5個，黑球若千個，從中任意摸出一個白球的概率是，
∴，
故盒子中黑球的個數為；
（2）解：任意摸出一個球是黑球的概率為；
（3）解：能．方案：將盒子中的白球拿出3個，則P（摸到紅球）．（方案不唯一）
21．（1）解：小林抽到孫悟空的概率為，
故答案為：；
（2）解：游戲規則公平，理由如下：
列表如下
A B C D
A
B
C
D
共有12種等可能的結果，由表知，他們取出的兩張卡片上對應的人物為師徒關系的結果有6種，
∴由小林講的概率為，
則由小梅講的概率為1，
∴此游戲規則公平．
22．（1）解：試驗20次，摸出白球6次，則摸出白球的頻率，
故答案為：．
（2）解：袋子中有黑球15個，總球數為個，
則摸到黑球的概率為．
答：摸到黑球的概率為．
（3）解：盒子中白球的數量變為（個），
（個）．
答：往盒子中放入3個白球，取出3個黑球，使摸到白球的概率為．
23．（1）解：轉盤甲被等分為3份，其中1份標有正數，所以轉動轉盤甲1次，指針指向正數的概率是，
故答案為：；
（2）解：同時轉動兩個轉盤，指針所指的數字所有可能出現的結果如下：
共有種可能出現的結果，其中平面內點落在第二象限內的有4種，所以同時轉動兩個轉盤，平面內點落在第二象限內的概率為．
24．（1）解：樣本中包裹件數在之間的天數為，
∴概率，
∴從近60天中隨機抽取1天，求這一天攬件數在之間的概率；
（2）解：①結合題干的樣本中快遞費用及包裹件數表中的數據，
得，
∴（元），
故該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為15元．
②根據題意及①，攬件數每增加1，公司快遞收入增加15（元），
若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，
則，，，
公司每日攬件數情況如下：
包裹的件數范圍
包裹的件數（近似處理） 50 150 250 350 450
天數 8 8 28 10 6
頻率
∴
故經理平均每日工資收入的期望值為（元）
若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數情況如下：
包裹件數范圍
包裹件數（近似處理） 50 150 250 350 450
實際攬件數 50 150 250 300 300
頻率
則
故經理平均每日工資收入的期望值為（元）
∵
∴公司應將前臺工作人員裁員1人．
25．（1）解：八年級學生競賽成績在組和組的人數共有（人），
將八年級學生競賽成績按照從小到大的順序排列，排在第和名的成績為，，
由七年級學生競賽成績可得，．
補全頻數分布直方圖，如圖所示：
故答案為：
（2）七年級學生成績好．
理由：七年級學生成的平均數高于八年級學生成的平均數，
七年級學生成績好．
（3）（人）．
估計七年級競賽成績不低于分的學生人數約人．
（4）列表如下：
共有種等可能的結果，其中選到的兩名同學恰好是一男一女的結果有種，
∴選到的兩名同學恰好是一男一女的概率為.

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