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第二十三章《旋轉(zhuǎn)》單元測試卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個陰影四邊形，現(xiàn)要將左邊的陰影四邊形通過次旋轉(zhuǎn)得到右邊的陰影四邊形，每次旋轉(zhuǎn)都以圖中標出的各點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度為（為整數(shù)），則的值（ ）
A．可以為，不可以為
B．可以為，不可以為
C．可以為，，不可以為
D．，，均可
2．如圖，在正三角形網(wǎng)格中，將繞某個點旋轉(zhuǎn)，得到，則下列四個點中能作為旋轉(zhuǎn)中心的是（ ）
A．點A B．點B C．點C D．點D
3．在平面直角坐標系中，直線（為常數(shù)）與軸交于點，將該直線沿軸向上平移6個單位長度后，與軸交于點，若點與關于原點對稱，則的值為（ ）
A． B．3 C． D．4
4．如圖，正方形和正方形的對稱中心都是點O，其邊長分別是4和3，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25
5．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，邊在軸上，且，將沿軸正方向平移個單位長度后，面積恰好被直線平分，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度得到，點的對應點恰好落在邊上，且，，三點在同一條直線上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
7．已知拋物線，將拋物線P繞原點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，當時，在拋物線上任取一點M，設點M的縱坐標為m，若，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2025次得到正方形，如果點A的坐標為，那么點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，為等邊三角形，以為邊向外側(cè)作，使得，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把沿著順時針旋轉(zhuǎn)至，則下列結(jié)論：
①D、A、E三點共線；②為等邊三角形；③平分；④，其中正確的有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
10．如圖1，現(xiàn)有長，寬的、兩種卡片各若干張，卡片上都有一條對角線花紋，請用這些卡片正好拼成一個的大正方形，要求每張卡片與卡片的對角線都不相連（例如圖2中所示的兩種拼法就都不符合要求），則、兩種卡片各需要的張數(shù)可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．在直角坐標平面內(nèi)，有點A（﹣2，0），B（0，2），將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后，點A的對應點C落在y軸上，那么旋轉(zhuǎn)角是 °．
12．如圖，直線，垂直相交于點，曲線關于點成中心對稱，點的對稱點是點，于點，于點．若，，則陰影部分的面積之和為 。
13．若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則點關于原點對稱的點的坐標為 .
14．如圖中陰影部分是由4個完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是中心對稱圖形，則這個正方形應該添加在 處．（填寫區(qū)域?qū)男蛱枺?br/>15．將一副直角三角板和如圖放置，此時，，，四點在同一條直線上，點在邊上，其中，，．將圖中的三角板繞點以每秒的速度，按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度 后，記為三角板，設旋轉(zhuǎn)的時間為秒．若在旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的某一邊恰好與所在的直線平行，則的值為
16．如圖，已知等腰直角，， ，點C是矩形與的公共頂點，且，；點D是延長線上一點，且．連接，在矩形繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當線段達到最長和最短時，線段對應的長度分別為m和n，則的值為 ．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別為．
(1)畫出關于原點對稱的，并寫出點的坐標；
(2)畫出繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后的，并寫出點的坐標．
(3)點為軸上一點，直接寫出當最大時，點的坐標．
18．（6分）圖①、圖②和圖③都是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形邊長均為．按要求分別在圖①、圖②和圖③中畫圖：
(1)在圖①中畫等腰，使其面積為，并且點在小正方形的頂點上；
(2)在圖②中畫四邊形，使其是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，，兩點都在小正方形的頂點上；
(3)在圖③中畫四邊形，使其是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，，兩點都在小正方形的頂點上；
19．（8分）請僅用無刻度直尺按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，題目要求畫的線畫實線，其他的線畫虛線）
(1)如圖1，在中，為邊上一點，在上找點，使得；
(2)在平行四邊形中挖去一個矩形，準確作出一條直線將剩下圖形的面積平分．
20．（8分）【綜合實踐】
中，是邊上任意一點，以點為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于，把逆時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．
【操作體驗】
（1）若點的對應點為點，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；
【深入探究】
（2）如圖2，中，是邊上一點（不與重合），猜想三條線段之間的數(shù)量關系，并給予證明；
【拓展應用】
（3）如圖3，中，是內(nèi)部的任意一點，連接，求的最小值．
21．（10分）如圖，正方形ABCD中，，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交BC、DC（或它們的延長線）于點M、N．
(1)如圖1，求證：；
(2)當，時，求的面積；
(3)當繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想并證明．
22．（10分）如圖，在中，點在邊上．
(1)用直尺和圓規(guī)作，使與關于點對稱（保留作圖痕跡，不寫作法），判斷四邊形的形狀并說明理由；
(2)若，，則當?shù)拈L為______時，（1）中的四邊形是矩形．
23．（12分）在平面直角坐標系中，點，點在x軸的負半軸上，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，點旋轉(zhuǎn)后的對應點為．記旋轉(zhuǎn)角為．

(1)如圖①，當時，求與的交點的坐標；
(2)如圖②，連接，當經(jīng)過點A時，求的長；
(3)設線段的中點為，連接，求線段的長的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)．
24．（12分）綜合與實踐
在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學探索活動．其中老師給同學們提供的學具有：等腰直角三角尺、若干四邊形紙片．
(1)【操作判斷】將四邊形紙片與等腰直角三角尺按如圖放置，三角尺的邊，分別與四邊形的邊，交于，兩點，經(jīng)測量得，．小明將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，此時點與點重合，點的對應點為，通過推理小明得出了．
根據(jù)以上信息，請?zhí)羁眨?br/>①；
②線段，，之間的數(shù)量關系為__________；
(2)【遷移探究】小明將四邊形紙片換成了圖中的形狀，若，，，，分別在，上，且，線段，，之間的數(shù)量關系是否仍成立，若成立，寫出證明過程；若不成立，請舉反例說明；
(3)【拓展應用】如圖3，已知，，，小明以點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針轉(zhuǎn)動等腰直角三角尺，其中射線，分別交射線于點，，當點恰好為線段的三等分點時，請直接寫出的長．
參考答案
一．選擇題
1．D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及題意可直接進行求解．
【詳解】解：由題意得：
當左邊的陰影部分繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°可得右邊的陰影部分，此時k=1；
當左邊的陰影四邊形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再將得到的四邊形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°可得右邊的陰影四邊形，此時k=2；
當把左邊的陰影四邊形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，再將得到的四邊形繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，將得到的四邊形繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得右邊的陰影四邊形，此時k=3；
故選D．
2．C
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)中心，熟練掌握旋轉(zhuǎn)中心的定義，學會構(gòu)造旋轉(zhuǎn)對應點連線的垂直平分線找出旋轉(zhuǎn)中心是解題的關鍵．連接、，分別作和的垂直平分線，則交點即為旋轉(zhuǎn)中心．
【詳解】解：將繞某個點旋轉(zhuǎn)，得到，則與為對應點，則與為對應點，
連接、，分別作和的垂直平分線，如圖所示交于點C，故點C為旋轉(zhuǎn)中心．
故選：C．
3．A
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)平移的規(guī)律求得平移后的直線解析式，然后根據(jù)y軸上點的坐標特征求得A、的坐標，由題意可知，解得．
【詳解】解：∵直線（為常數(shù)）與y軸交于點A，
當時，，
∴，
將該直線沿y軸向上平移6個單位長度后，得到，
∵將該直線沿y軸向上平移6個單位長度后，與y軸交于點，
∴，
∵點與A關于原點O對稱，
∴，
解得，
故選：A．
4．B
【分析】本題考查了中心對稱，正方形的性質(zhì)，掌握關于中心對稱圖形的性質(zhì)是解題的關鍵．連接，根據(jù)中心對稱的定義可知，陰影的面積等于兩個正方形面積差的四分之一．
【詳解】解：連接，，
∵正方形的邊長為4和正方形的邊長為3，
∴正方形的面積為16，正方形的面積為9，
∵正方形和正方形的對稱中心都是點，
∴．
故選B．
5．B
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題及平移的性質(zhì)，先求出兩點的坐標，得到，進而求出，即可求出點的坐標，設沿軸正方向平移個單位長度后，得到，由平移的性質(zhì)得到，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，當直線過的中點時，面積恰好被直線平分，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意當時，則，
當時，則，
解得：，
∴，
∴，
∵，
四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
設沿軸正方向平移個單位長度后，得到，連接，
則，
∵四邊形是平行四邊形，即平行四邊形是中心對稱圖形，
∴當直線過的中點時，面積恰好被直線平分，
∵的中點為，即，
∴，
解得：．
故選：B．
6．C
【分析】根據(jù)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度得到，可得，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，從而算出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
【詳解】∵繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應點是，
∴，，
∴，，，
∴，
∴．
∵，，三點在同一條直線上，
∴在中，，
即，
∴，
解得．
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是．
故選：C．
7．A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、關于原點對稱，正確求出拋物線的解析式是解題的關鍵．先求出拋物線的解析式為，再根據(jù)拋物線的對稱軸的位置分三種情況討論：①；②；③，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：拋物線，
∴拋物線P的頂點坐標為，
∵將拋物線P繞原點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，
∴拋物線的頂點坐標為，開口方向與拋物線P相反，
∴拋物線的解析式為，
∴拋物線開口方向向下，對稱軸為直線，
①若，
當時，則當時，有最大值，
由題意得，，
解得：，
∴；
②若，則當時，有最大值，
由題意得，，
解得：（舍去）；
③若，則當時，有最大值，
由題意得，，
解得：（舍去），
∴綜上所述，a的取值范圍是．
故選：A．
8．B
【分析】根據(jù)圖形可知：點在以為圓心，以為半徑的圓上運動，再由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當于將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，可得對應點的坐標，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律是8次一循環(huán)，進而得出答案．
【詳解】解：∵點的坐標為，四邊形是正方形，
∴點的坐標為，
，
四邊形是正方形，
，
連接，如圖：

由勾股定理得：，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，
相當于將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，依次得到，
，，，，，，， ，
發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，則余1，
∴是第253組的最后一個點，是第254組的第一個點，
點的坐標為，
故選：B．
9．A
【分析】如圖，由為等邊三角形得到，由得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，即旋轉(zhuǎn)角等于，，，于是可計算出，則可對①進行判斷；由，，根據(jù)等邊三角形的判定可對②進行判斷；由為等邊三角形得，于是可得，則可對③進行判斷；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，所以，則可對④進行判斷．
【詳解】解：為等邊三角形，
，
，
，
點C為旋轉(zhuǎn)中心把沿著順時針旋轉(zhuǎn)至，
，即旋轉(zhuǎn)角等于，，，
，即，
三點共線，所以①正確；
，，
為等邊三角形，所以②正確；
為等邊三角形，
，
，
平分，所以③正確；
為等邊三角形，
，
而點C為旋轉(zhuǎn)中心把沿著順時針旋轉(zhuǎn)至，
，
，
，所以④正確．
故選：A．
10．A
【分析】本題考查圖形的拼接，解題的關鍵是正確理解題意，通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱或中心對稱等方法拼成符合題意的正方形，即可得出答案．
【詳解】解：∵用長，寬的、兩種卡片各若干張拼成一個的大正方形，
∴每張卡片的面積為：，
大正方形的面積為：，
∴大正方形的邊長為，
設卡片的數(shù)量為，卡片的數(shù)量為，
∴，
∴，
為避免對角線相連，將卡片順時針旋轉(zhuǎn)使對角線為左上到右下（橫向），卡片為左上到右下（縱向），如圖所示，
其中卡片（橫向）共有張，卡片（縱向）共有張．
故選：A．
二．填空題
11．315或135
【分析】根據(jù)A、B的坐標可知，△AOB是等腰直角三角形，由此即可得出答案．
【詳解】解：如圖，
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴
∴當旋轉(zhuǎn)角為315°（旋轉(zhuǎn)角為360°-∠ABO）或135°（旋轉(zhuǎn)角為 ）時，點A的對應點C落在y軸上，
故答案為：315或135．
12．
【分析】此題考查了中心對稱，關鍵是中心對稱性質(zhì)的熟練掌握．過點作于點，過點作于點，證明四邊形是矩形，則，同理可知，四邊形是矩形，則，由中心對稱，得到，，圖形①與圖形②面積相等，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，
∵于點．
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
同理可知，四邊形是矩形，
∴，
∵曲線關于點成中心對稱，點的對稱點是點，，
∴，，圖形①與圖形②面積相等，
∴陰影部分的面積之和=長方形的面積．
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了根的判別式及關于原點對稱的點的坐標特征，利用判別式，求出的值是關鍵．根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，判別式，得出關于的方程，求出的值，進而確定點的坐標，再根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征進行解答即可．
【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
，即，
解得，
∴
∴點
則關于原點對稱的點的坐標為，
故答案為：．
14．②
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念解答．
【詳解】解：在①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是中心對稱圖形，
這個正方形應該添加區(qū)域②處，
故答案為：②．
15．6或9或18
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角度的計算等知識，分三種情況討論：第一種情況當時，a為，第二種情況當時，a為，第三種情況，當時，a為，根據(jù)角度轉(zhuǎn)動速度分別求解t即可．
【詳解】解：I．如圖，當時，

，，
，
，
，
a為
（秒），
II．如圖，當時，

，
，
a為，
（秒），
III． 如圖，當時，

此時與在同一條直線上，
a為，
（秒），
綜上所述：三角板的某一邊恰好與所在的直線平行， t的值為：6或9或18
故答案為：6或9或18
16．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)可求得，當線段達到最長時，此時點G在點C的下方，且B，C，G三點共線，求得根據(jù)勾股定理求得，即；當線段達到最短時，此時點G在點C的上方，且B，C，G三點共線，則根據(jù)勾股定理求得，即，進而求出的值
【詳解】解：∵為等腰直角三角形，，
，
∴，
當線段達到最長時，此時點G在點C的下方，且B，C，G三點共線，如圖：
則
在中，，
，
當線段達到最短時，此時點G在點C的上方，且B，C，G三點共線，如圖：
則
在中，，
，
，
故答案為：．
三．解答題
17．（1）解：如圖：的坐標為；
（2）解：如圖：的坐標為；
（3）解：如圖：
點為軸上一點，由三角形的三邊關系可知，
當、、三點共線時，有，
即，當且僅當、、三點共線時，有最大值；
延長交軸于，此時即為所求；
設，
則，
解得，
∴，
當時，，
解得，
∴，
即當最大時，點的坐標為．
18．（1）解：取格點，連接、，取格點，連接，
∵圖①是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形邊長均為，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴等腰面積為，且點在小正方形的頂點上，
則即為所作；
（2）取格點、，連接、、，
∵圖②是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形邊長均為，
∴，，，
∴，
∴四邊形是梯形，
∵，，
∴，
∴四邊形是等腰梯形，它是一個軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，
則四邊形即為所作；
（3）取格點、，連接、、即可，
∵圖③是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形邊長均為，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，它是一個中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，
則四邊形即為所作．
19．（1）解：如圖，連接、，交于點，連接并延長交于點，
∵四邊形是平行四邊形，對角線、交于點，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴ ，
∴，
則點即為所作；
（2）如圖，設矩形的對角線交點為點，連接、，對角線、相交于點，過點、作直線，
設直線將分成的兩部分的面積分別為、（左邊為，右邊為），直線將矩形分成的兩部分的面積分別為、（左邊為，右邊為），
∵平行四邊形和矩形都是中心對稱圖形，且直線同時經(jīng)過和矩形的對角線的交點，
∴，，
∴，
∴直線左邊剩余部分的面積等于直線右邊剩余部分的面積，
即直線將剩下圖形的面積平分，
則直線即為所作．
20．（1）圖即為所作，
（2）數(shù)量關系：，
理由如下：逆時針旋轉(zhuǎn)
由題意得：如圖，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
（3）解：如圖4中，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，
，
，，，，，
是等邊三角形，
，
，
當點，點，點，點共線時，有最小值，
，
，
，
，
故答案為．
21．（1）解：如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn) 得到，
則：，
∴
∵四邊形為正方形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴；
（2）解：∵四邊形為正方形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn) 得到，連接，
則：，，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴．
22．（1）如圖：
四邊形為平行四邊形，理由如下：
∵與關于點對稱，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形．
（2）如圖，過點作交于點，
∵，，
∴為等腰三角形，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∵，
∴，
在中，，
當四邊形為矩形時，，
在中，，
∴，
解得：，
∴時，四邊形是矩形．
故答案為：．
23．（1）解：如圖，過點作軸，垂足為．

∵點，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴是等邊三角形，
∵，軸
∴．
∴．
∴點的坐標為．
（2）解：如圖，過點作軸，垂足為．

由旋轉(zhuǎn)得，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，．
（3）
解：取線段的中點N，連接、，則

∵點M是線段的中點，點N是線段的中點，
∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
∴
∴
即
24．（1）解：①∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
②繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，
∴，，，
∴，即，，三點共線，
∵，，
∴，
在和中，
，
∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）仍然成立．
證明：∵，
∴如圖所示，將繞點旋轉(zhuǎn)順時針得，與重合，
∴，，，，
又∵，
∴，即，，三點共線，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：如圖所示，當時，
∵，，
∴，，
∴，，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴設，則，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
如圖所示，當時，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，則，
由（1）得，
∴，
∴設，則，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
綜上所述，的長為或．

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