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廣東省深圳市2015年啟智杯小學五六年級數學思維及應用能力競賽(A2組)
1．（2015·深圳競賽） 規定：符號“▼”為選擇兩個數中較大的數的運算，符號“▲”為選擇兩個數中較小的數的運算， 比如： 5▼3=5， 7▼10=10， 3▲7=3. 計算：[（3▲2015）▼4]×[（214▼2015）▲7]÷[（▼0.333）+（▲）]=？
【答案】解：因為符號“▼”為選擇兩個數中較大的數的運算，符號“▲”為選擇兩個數中較小的數的運算
所以3▲2015=3， [(3▲2015)▼4=3▼4=4；
2014▼2015=2015，(2014▲2015)▲7=2015▲7=7；
(1/3) ▼0.333=1/3， (3.14/1.23) ▲ (1/4) =1/4，
原式=4×7÷（+）=4×7÷=48
答： [（3▲2015）▼4]×[（214▼2015）▲7]÷[（▼0.333）+（▲）]= 48
【知識點】定義新運算
【解析】【分析】 本題考查定義新運算， 重點要理解題意， 根據符號“▼”為選擇兩個數中較大的數的運算，符號“▲”為選擇兩個數中較小的數的運算，進行求解。
2．（2015·深圳競賽） 一列數， 其前七項依次為1， 1， 3， 4， 5， 9， 7， 第8項是什么 說明理由。
【答案】解：分別觀察數列的奇數項和偶數項，
奇數項1、 3、 5、 7...； 偶數項1、 4、 9、 16...
如下圖所示，可以看出數字n的值為：n（n為奇數）；（）2(n為偶數）。
當n=8時，數值為（）2=16
答：第8項是16
【知識點】數列中的規律
【解析】【分析】通過觀察前面給出的數，尋找它們之間的規律，從而推測出第 8 項的數值。
先仔細觀察前七項：1，1，3，4，5，9，7。 發現這些數沒有明顯的簡單運算規律，但是奇數項 1，3，5，7 是連續的奇數；偶數項 1，4，9 分別是 1 的平方，2 的平方，3 的平方。
因為第 8 項是偶數項，且前面的偶數項分別是 1 的平方，2 的平方，3 的平方，所以第 8 項應該是 4 的平方，即 16。
3．（2015·深圳競賽） 如圖所示，圓周上的兩個點A1、A2將圓等分成 2 份，在這兩個點處寫上 圓周上的兩個點A3、A4再將兩段半圓弧等分，在點 A3、A4處分別寫上相鄰2個數之和； 如此繼續這樣操作，問能否出現圓周上所有數字之和2015 若可能，請求出經過了多少次操作 若不能，請說明理由。
【答案】解：用a1、 a2、 a3、…、an分別表示第一次、第二次、第三次、…、第n次操作后，圓周上的數字和，根據操作規則 得到：
若 則 此等式左邊是奇數而等式右邊是偶數，故不可能。
答：不能出現圓周上所有數字之和2015。
【知識點】數列中的規律
【解析】【分析】 本題先求和，再找規律，即可得出結論。
第一次操作，圓周上所有數字之和為+=；
第二次操作，圓周上所有數字之和為：；
第三次操作，圓周上所有數字之和為：；
如此繼續這樣操作，每次操作，和為原來3倍，可得第n次操作，圓周上所有數字之和為
結果為偶數，所以不可能等于2015。
4．（2015·深圳競賽） 如圖是四朵對稱的小黃花相互連接于一個邊長為4 的正方形內，如果四朵黃花所圍出的中間白色區域的面積為1.2，問一朵黃花的平面面積是多少 說明理由. (注：黑白印刷下，每一朵黃花是指圖中虛線所包圍的部分，包括其中的小圓內)
【答案】解：如下圖所示，連接圖中四朵花的中心，得一正方形，將正方形兩對對邊中點相連將正方形四等分，這四塊可以正好拼成左上角的正方形，其邊長為2，面積為4，所以一朵黃花的面積為4-1.2=2.8。
答： 一朵黃花的平面面積是2.8。
【知識點】組合圖形面積的巧算
【解析】【分析】 正方形的邊長是4，每朵黃花所在的正方形（圖中虛線）的邊長是2．四朵黃花所圍出的中間白色區域的面積同一朵黃花所在正方形（圖中虛線）中花形外面的面積相等，如下圖所示：
5．（2015·深圳競賽） 如圖，在正五邊形ABCDE的五個頂點A、B、 C、D、E 上按順時針方向依次進行如下標注：首先在頂點A、B上分別標注1、2，之后將A、B兩點的標注數之和( 標注在下一個頂點C處，再將B、 C兩點的標注數之和( 標注在下一個頂點D處. 再將C、 D兩點的標注數之和( 標注在下一個頂點E 處. 接下來再把 A 點的標注數1擦去，將D、E兩點的標注數之和( )標注在A 點，如此下去，請問：對點進行第2015次標注的數被5除的余數是多少 說明你的依據。
【答案】解：因為每一次標注數都是前兩個標注數之和，因此每一次標注數被5除的余數也是前兩個余數之和(和為5、6、7、8、9時視余數分別為0、1、2、3、4)。因此ABCDE； ABCDE； ...的余數規律為【1，2，3，0，3， 3，1，4，0，4， 4，3，2，0，2，2，4，1，0，1】； 1，2，3，0，3； ...， 每20個數循環一次。
A 點每4次循環一次，A的各次標注數被5除的余數規律是1、3、4、2、1、3、4、2。
因為2015=503×4+3， 所以第2015次標注數被5除的余數為4。
答： 對點進行第2015次標注的數被5除的余數是4。
【知識點】數列中的規律；其他余數問題
【解析】【分析】本題考查數字問題，考查周期的運用。 每一次標注數都是前兩個標注數之和，得出ABCDE的余數每20個數循環一次，所以A點，每4次循環一次，A的各次標注數被5除的余數規律是1，3，4，2，1，3，4，2，據此可求解。
6．（2015·深圳競賽） 某邊遠山區發生一起謀殺案，警方抓捕了三個嫌疑人A、B、 C. 法官問A是否殺了人，但A嗚哩哇講了一通方言，法官聽不懂，就問另兩位能講普通話的嫌疑人B和C，他們懂這種方言. B說：“A告訴你，他沒有殺人”. C說“不對，A承認是他殺了人”.法官相信，在詢問過程中，非罪犯是不會撒謊的，撒謊的一定是罪犯. 請問：到底誰是罪犯 請說明理由.
【答案】解：由于 B 和 C 說的話含義相反，二者必定有一人撤謊，也就是有一人是罪犯；既然這樣A就不是殺人犯。
若B為假，則A是罪犯，與分析矛盾；
若C為假，則C為罪犯，符合分析。
所以 C 在撒謊，故C是殺人犯。
答：C是罪犯。
【知識點】邏輯推理
【解析】【分析】先找出相互矛盾的條件，找到突破口。本題根據“非犯罪不會撒謊，撒謊的一定是罪犯”和“BC所說互為矛盾”，推出“罪犯在B與C中，A一定不是”；之后再對B、C進行假設推理，即可得出答案。
7．（2015·深圳競賽） 在一個孤島上生活著三種怪物：奇虎、奇獅、奇豹，數量分別為2010、2015、2020個. 這些怪物有一種古怪的習性：它們任何兩種怪物一旦見面，就雙方都變成第三種怪物(比如，一個奇虎和一個奇獅見面，就都變成奇豹)，見一種怪物見面則不會產生變化. 問，如此下去，它們是否有可能到某種時刻全部變成同一種怪物 請說明理由.
【答案】解：對于每次這樣的操作，任意相鄰的兩個數，要么差不變．要么差3，任意兩數之差除以3的余數不會變。
（2015-2010）÷3=1…2，（2020-2015）÷3=1…2，（2020-2010）÷3=3…1。
而若所有都成同一動物，則其中必有兩個0，除以3余0，與分析矛盾，因此不能。
答： 如此下去，它們不可能到某種時刻全部變成同一種怪物。
【知識點】邏輯推理；其他余數問題
【解析】【分析】 本題需要判斷三種怪物的數量是否可能通過相遇操作全部變為同一種。關鍵在于分析每次操作對數量差的影響，并尋找不變量。通過分析各數量之間的差值是否保持余數不變，從而推導出矛盾。
在變成同一種怪物之前，必有兩種怪物的數量相同．但由于每一次變化，都是其中兩種怪物的數量減1，一種怪物數量加2，任何兩種數量之差要么為0，要么為3，而一開始時兩兩數量相差均不為3的倍數，所以永遠不會所有怪物都相同．
8．（2015·深圳競賽）在平面上用長度為5cm的火柴棒擺正方形，擺出1個邊長為5cm的正方形需要4根火柴，擺出2015個這樣的正方形最少需要多少根火柴 說明你的擺法(不必畫圖).
【答案】解：要使火柴用量最少，需要盡可能多的公用一條邊。整個圖形占用面積最小時，用的火柴也最少，因此最接近正方形時用量最少。
用4140根火柴可以擺出45×45=2025個正方形， (橫著45×46 =2070根， 豎著45×46 =2070根)， 從邊上去掉 10個正方形，每去掉1個正方形，最多可以減掉兩根火柴，一共減掉20根火柴。
所以最少需要4120根。
答： 擺出2015個這樣的正方形最少需要4120根火柴。
【知識點】數形結合規律
【解析】【分析】 本題構造正方形，需要查找規律， 可以考慮讓正方形盡可能多地共用邊，這樣就能節省火柴棒。構造正方形：452=2025，最接近2015，再減掉20根火柴，即可減掉10個正方形。
9．（2015·深圳競賽）有一個魔術是這樣表演的：表演者將一副撲克牌去掉大小鬼共52張放入一暗箱，另有足夠多的備用撲克牌. 請一位觀眾上臺，讓他從暗箱中隨意取出若干張牌，算出這些牌的點數之和的個位數(規定J、 Q、K的點數分別為11、12、13).然后從備用牌中拿來一張點數為這個個位數的撲克牌放進暗箱(如果個位數是0則不放)，這個過程稱為一次“置換”.如此下去，經過多次置換，暗箱里的撲克牌數量會越來越少，直至剩下一張.此時，魔術師非常自信地報出最后剩下的這張牌的點數，請問你能確定它的點數是幾嗎 為什么
【答案】解：全部 52 張牌的點數總和為（1+2+3+…+13）×4=91×4=364
由于每次的操作都是去掉若干個10。
364÷10=36…4
所以最后剩下的為“4”。
答：最后剩下的這張牌的點數為4
【知識點】數字和問題；數列周期規律
【解析】【分析】 本題考查周期性問題，考查數字求和。
因為 全部 52 張牌的點數總和為(1+2+3+…+12+13)×4=91×4=364其個位數是4。
每一輪置換結果對個位數的影響情況分析：去掉若干張撲克牌之后，算出這些撲克牌點數之和的個位數，補進一張以個位數為點數的撲克牌，因此，暗箱內撲克牌的點數之和在置換前后只相差10的倍數，其個位數保持不變，個位數依然是4。
每一輪置換都不改變剩余撲克牌的點數之和的個位數，開始時為4，結束時依然為4。所以最后一張撲克牌的點數是4。
10．（2015·深圳競賽） 如圖所示，是一塊上、下兩面邊長為28厘米的正方形蛋糕，其上表面和四周表面分別均勻覆蓋著兩種不同的糖霜，其厚度相同. 如果用刀將其平均切分成7塊體積相等，且覆蓋有等量兩種糖霜的小蛋糕，那么該怎樣切 請在給出的平面圖(如圖右)上畫出你的切割示意圖，并做簡要說明分割的理由.
【答案】解： 如圖所示：在平面圖（俯視圖為正方形）上，沿同一方向（如垂直方向）均勻切割6刀，將正方形分為7個等寬的豎直長條，每個長條的寬度為 28 ÷ 7 = 4 厘米。每個長條的上表面糖霜面積為 4 × 28 = 112 平方厘米，四周側面積總和為 448 平方厘米，滿足均分條件。

【知識點】立方體的切拼
【解析】【分析】如圖，因為正方形的中心點到正方形的四邊距離相等，又因為正方形蛋糕的厚度均勻，因此，只需要保證每塊蛋糕的側面(非切面) 的周長相等且切面過中心，即可保證每塊蛋糕的體積相等，且覆蓋有等量的兩種糖霜。
切分時先確定兩條對角線的交點為中心，再把每邊均分成七等分，切分時保證切痕過正方形的中心且正方形邊上的一側保留4等分(4厘米)長的單位即可。
11．（2015·深圳競賽）在棋盤上滾動骰子，使骰子的一面和棋盤格的大小相等，然后將骰子以棱為軸，滾動到鄰近的棋盤格，每滾動一次，骰子朝上一面的數字就會變化. 如果骰子的初始位置如圖1，當骰子滾動六次到達對角頂點時(如圖2)，那么，第一步、第四步、第六步朝上的面分別是幾點 (說明：骰子的相對兩個面的點數之和為7)
【答案】解：如下圖所示：第一步、第四步、第六步朝上的面分別是3，2，5點。
答：第一步、第四步、第六步朝上的面分別是3，2，5點。
【知識點】數字和問題；邏輯推理
【解析】【分析】由于骰子左側點數為4，所以第一步往左滾動后朝上的點數是3，
往下滾動三步朝上的點數分別是5，4，2，往下滾動的每一步，骰子左側面一直是1點，所以，第四步的結果是左側數字1， 上面數字2，
故第五步、第六部朝上面的數字分別是6與5 點，即第一步、第四步、第六步朝上的面分別是3，2， 5點。
12．（2015·深圳競賽） 鋼筋原材料每根長10米，每套鋼鋼筋架子用長2.4米、2米和1.5米的鋼筋各一段?，F需要綁好鋼筋架子套，至少要用去原材料多少根 總共浪費多少米 請填寫下表以確定你的切割方案。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 總
1.5米 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
2 米 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
2.4米 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
【答案】解： （2.4+2+1.5）×20=118（米），
理論上用原材料：118÷10=11.8（根），至少要12根，
根據10÷2.4=4（根）……0.6（米），10÷2=5（根），
10÷1.5=6（根）……1（米），10÷（2.4+1.5）=2（套）……2.1（米），
可以發現前10根原材料截成1.5米兩根、2米1根、2.4米兩根最省材料，剩下的兩根截成2米一根，剛好數量為20套。
浪費的長度為：12×10-118=2（米）
答：至少要用去原材料12根，總共浪費2米。切割方案如下圖所示：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 總
1.5米 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 　 　 　 　 　
2 米 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 　 　 　
2.4米 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 　 　 　 　 　
【知識點】最大與最小
【解析】【分析】 本題主要考查了最大與最小，合理的分割是本題解題的關鍵。
總長度為：（2.4+2+1.5）×20=118（米），
理論上用原材料：118÷10=11.8（根），至少要12根，
根據10÷2.4=4（根）……0.6（米），10÷2=5（根），10÷1.5=6（根）……1（米），10÷（2.4+1.5）=2（套）……2.1（米），可以發現前10根原材料截成1.5米兩根、2米1根、2.4米兩根最省材料，剩下的兩根截成2米一根，剛好數量為20套。
1 / 1廣東省深圳市2015年啟智杯小學五六年級數學思維及應用能力競賽(A2組)
1．（2015·深圳競賽） 規定：符號“▼”為選擇兩個數中較大的數的運算，符號“▲”為選擇兩個數中較小的數的運算， 比如： 5▼3=5， 7▼10=10， 3▲7=3. 計算：[（3▲2015）▼4]×[（214▼2015）▲7]÷[（▼0.333）+（▲）]=？
2．（2015·深圳競賽） 一列數， 其前七項依次為1， 1， 3， 4， 5， 9， 7， 第8項是什么 說明理由。
3．（2015·深圳競賽） 如圖所示，圓周上的兩個點A1、A2將圓等分成 2 份，在這兩個點處寫上 圓周上的兩個點A3、A4再將兩段半圓弧等分，在點 A3、A4處分別寫上相鄰2個數之和； 如此繼續這樣操作，問能否出現圓周上所有數字之和2015 若可能，請求出經過了多少次操作 若不能，請說明理由。
4．（2015·深圳競賽） 如圖是四朵對稱的小黃花相互連接于一個邊長為4 的正方形內，如果四朵黃花所圍出的中間白色區域的面積為1.2，問一朵黃花的平面面積是多少 說明理由. (注：黑白印刷下，每一朵黃花是指圖中虛線所包圍的部分，包括其中的小圓內)
5．（2015·深圳競賽） 如圖，在正五邊形ABCDE的五個頂點A、B、 C、D、E 上按順時針方向依次進行如下標注：首先在頂點A、B上分別標注1、2，之后將A、B兩點的標注數之和( 標注在下一個頂點C處，再將B、 C兩點的標注數之和( 標注在下一個頂點D處. 再將C、 D兩點的標注數之和( 標注在下一個頂點E 處. 接下來再把 A 點的標注數1擦去，將D、E兩點的標注數之和( )標注在A 點，如此下去，請問：對點進行第2015次標注的數被5除的余數是多少 說明你的依據。
6．（2015·深圳競賽） 某邊遠山區發生一起謀殺案，警方抓捕了三個嫌疑人A、B、 C. 法官問A是否殺了人，但A嗚哩哇講了一通方言，法官聽不懂，就問另兩位能講普通話的嫌疑人B和C，他們懂這種方言. B說：“A告訴你，他沒有殺人”. C說“不對，A承認是他殺了人”.法官相信，在詢問過程中，非罪犯是不會撒謊的，撒謊的一定是罪犯. 請問：到底誰是罪犯 請說明理由.
7．（2015·深圳競賽） 在一個孤島上生活著三種怪物：奇虎、奇獅、奇豹，數量分別為2010、2015、2020個. 這些怪物有一種古怪的習性：它們任何兩種怪物一旦見面，就雙方都變成第三種怪物(比如，一個奇虎和一個奇獅見面，就都變成奇豹)，見一種怪物見面則不會產生變化. 問，如此下去，它們是否有可能到某種時刻全部變成同一種怪物 請說明理由.
8．（2015·深圳競賽）在平面上用長度為5cm的火柴棒擺正方形，擺出1個邊長為5cm的正方形需要4根火柴，擺出2015個這樣的正方形最少需要多少根火柴 說明你的擺法(不必畫圖).
9．（2015·深圳競賽）有一個魔術是這樣表演的：表演者將一副撲克牌去掉大小鬼共52張放入一暗箱，另有足夠多的備用撲克牌. 請一位觀眾上臺，讓他從暗箱中隨意取出若干張牌，算出這些牌的點數之和的個位數(規定J、 Q、K的點數分別為11、12、13).然后從備用牌中拿來一張點數為這個個位數的撲克牌放進暗箱(如果個位數是0則不放)，這個過程稱為一次“置換”.如此下去，經過多次置換，暗箱里的撲克牌數量會越來越少，直至剩下一張.此時，魔術師非常自信地報出最后剩下的這張牌的點數，請問你能確定它的點數是幾嗎 為什么
10．（2015·深圳競賽） 如圖所示，是一塊上、下兩面邊長為28厘米的正方形蛋糕，其上表面和四周表面分別均勻覆蓋著兩種不同的糖霜，其厚度相同. 如果用刀將其平均切分成7塊體積相等，且覆蓋有等量兩種糖霜的小蛋糕，那么該怎樣切 請在給出的平面圖(如圖右)上畫出你的切割示意圖，并做簡要說明分割的理由.
11．（2015·深圳競賽）在棋盤上滾動骰子，使骰子的一面和棋盤格的大小相等，然后將骰子以棱為軸，滾動到鄰近的棋盤格，每滾動一次，骰子朝上一面的數字就會變化. 如果骰子的初始位置如圖1，當骰子滾動六次到達對角頂點時(如圖2)，那么，第一步、第四步、第六步朝上的面分別是幾點 (說明：骰子的相對兩個面的點數之和為7)
12．（2015·深圳競賽） 鋼筋原材料每根長10米，每套鋼鋼筋架子用長2.4米、2米和1.5米的鋼筋各一段。現需要綁好鋼筋架子套，至少要用去原材料多少根 總共浪費多少米 請填寫下表以確定你的切割方案。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 總
1.5米 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
2 米 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
2.4米 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
答案解析部分
1．【答案】解：因為符號“▼”為選擇兩個數中較大的數的運算，符號“▲”為選擇兩個數中較小的數的運算
所以3▲2015=3， [(3▲2015)▼4=3▼4=4；
2014▼2015=2015，(2014▲2015)▲7=2015▲7=7；
(1/3) ▼0.333=1/3， (3.14/1.23) ▲ (1/4) =1/4，
原式=4×7÷（+）=4×7÷=48
答： [（3▲2015）▼4]×[（214▼2015）▲7]÷[（▼0.333）+（▲）]= 48
【知識點】定義新運算
【解析】【分析】 本題考查定義新運算， 重點要理解題意， 根據符號“▼”為選擇兩個數中較大的數的運算，符號“▲”為選擇兩個數中較小的數的運算，進行求解。
2．【答案】解：分別觀察數列的奇數項和偶數項，
奇數項1、 3、 5、 7...； 偶數項1、 4、 9、 16...
如下圖所示，可以看出數字n的值為：n（n為奇數）；（）2(n為偶數）。
當n=8時，數值為（）2=16
答：第8項是16
【知識點】數列中的規律
【解析】【分析】通過觀察前面給出的數，尋找它們之間的規律，從而推測出第 8 項的數值。
先仔細觀察前七項：1，1，3，4，5，9，7。 發現這些數沒有明顯的簡單運算規律，但是奇數項 1，3，5，7 是連續的奇數；偶數項 1，4，9 分別是 1 的平方，2 的平方，3 的平方。
因為第 8 項是偶數項，且前面的偶數項分別是 1 的平方，2 的平方，3 的平方，所以第 8 項應該是 4 的平方，即 16。
3．【答案】解：用a1、 a2、 a3、…、an分別表示第一次、第二次、第三次、…、第n次操作后，圓周上的數字和，根據操作規則 得到：
若 則 此等式左邊是奇數而等式右邊是偶數，故不可能。
答：不能出現圓周上所有數字之和2015。
【知識點】數列中的規律
【解析】【分析】 本題先求和，再找規律，即可得出結論。
第一次操作，圓周上所有數字之和為+=；
第二次操作，圓周上所有數字之和為：；
第三次操作，圓周上所有數字之和為：；
如此繼續這樣操作，每次操作，和為原來3倍，可得第n次操作，圓周上所有數字之和為
結果為偶數，所以不可能等于2015。
4．【答案】解：如下圖所示，連接圖中四朵花的中心，得一正方形，將正方形兩對對邊中點相連將正方形四等分，這四塊可以正好拼成左上角的正方形，其邊長為2，面積為4，所以一朵黃花的面積為4-1.2=2.8。
答： 一朵黃花的平面面積是2.8。
【知識點】組合圖形面積的巧算
【解析】【分析】 正方形的邊長是4，每朵黃花所在的正方形（圖中虛線）的邊長是2．四朵黃花所圍出的中間白色區域的面積同一朵黃花所在正方形（圖中虛線）中花形外面的面積相等，如下圖所示：
5．【答案】解：因為每一次標注數都是前兩個標注數之和，因此每一次標注數被5除的余數也是前兩個余數之和(和為5、6、7、8、9時視余數分別為0、1、2、3、4)。因此ABCDE； ABCDE； ...的余數規律為【1，2，3，0，3， 3，1，4，0，4， 4，3，2，0，2，2，4，1，0，1】； 1，2，3，0，3； ...， 每20個數循環一次。
A 點每4次循環一次，A的各次標注數被5除的余數規律是1、3、4、2、1、3、4、2。
因為2015=503×4+3， 所以第2015次標注數被5除的余數為4。
答： 對點進行第2015次標注的數被5除的余數是4。
【知識點】數列中的規律；其他余數問題
【解析】【分析】本題考查數字問題，考查周期的運用。 每一次標注數都是前兩個標注數之和，得出ABCDE的余數每20個數循環一次，所以A點，每4次循環一次，A的各次標注數被5除的余數規律是1，3，4，2，1，3，4，2，據此可求解。
6．【答案】解：由于 B 和 C 說的話含義相反，二者必定有一人撤謊，也就是有一人是罪犯；既然這樣A就不是殺人犯。
若B為假，則A是罪犯，與分析矛盾；
若C為假，則C為罪犯，符合分析。
所以 C 在撒謊，故C是殺人犯。
答：C是罪犯。
【知識點】邏輯推理
【解析】【分析】先找出相互矛盾的條件，找到突破口。本題根據“非犯罪不會撒謊，撒謊的一定是罪犯”和“BC所說互為矛盾”，推出“罪犯在B與C中，A一定不是”；之后再對B、C進行假設推理，即可得出答案。
7．【答案】解：對于每次這樣的操作，任意相鄰的兩個數，要么差不變．要么差3，任意兩數之差除以3的余數不會變。
（2015-2010）÷3=1…2，（2020-2015）÷3=1…2，（2020-2010）÷3=3…1。
而若所有都成同一動物，則其中必有兩個0，除以3余0，與分析矛盾，因此不能。
答： 如此下去，它們不可能到某種時刻全部變成同一種怪物。
【知識點】邏輯推理；其他余數問題
【解析】【分析】 本題需要判斷三種怪物的數量是否可能通過相遇操作全部變為同一種。關鍵在于分析每次操作對數量差的影響，并尋找不變量。通過分析各數量之間的差值是否保持余數不變，從而推導出矛盾。
在變成同一種怪物之前，必有兩種怪物的數量相同．但由于每一次變化，都是其中兩種怪物的數量減1，一種怪物數量加2，任何兩種數量之差要么為0，要么為3，而一開始時兩兩數量相差均不為3的倍數，所以永遠不會所有怪物都相同．
8．【答案】解：要使火柴用量最少，需要盡可能多的公用一條邊。整個圖形占用面積最小時，用的火柴也最少，因此最接近正方形時用量最少。
用4140根火柴可以擺出45×45=2025個正方形， (橫著45×46 =2070根， 豎著45×46 =2070根)， 從邊上去掉 10個正方形，每去掉1個正方形，最多可以減掉兩根火柴，一共減掉20根火柴。
所以最少需要4120根。
答： 擺出2015個這樣的正方形最少需要4120根火柴。
【知識點】數形結合規律
【解析】【分析】 本題構造正方形，需要查找規律， 可以考慮讓正方形盡可能多地共用邊，這樣就能節省火柴棒。構造正方形：452=2025，最接近2015，再減掉20根火柴，即可減掉10個正方形。
9．【答案】解：全部 52 張牌的點數總和為（1+2+3+…+13）×4=91×4=364
由于每次的操作都是去掉若干個10。
364÷10=36…4
所以最后剩下的為“4”。
答：最后剩下的這張牌的點數為4
【知識點】數字和問題；數列周期規律
【解析】【分析】 本題考查周期性問題，考查數字求和。
因為 全部 52 張牌的點數總和為(1+2+3+…+12+13)×4=91×4=364其個位數是4。
每一輪置換結果對個位數的影響情況分析：去掉若干張撲克牌之后，算出這些撲克牌點數之和的個位數，補進一張以個位數為點數的撲克牌，因此，暗箱內撲克牌的點數之和在置換前后只相差10的倍數，其個位數保持不變，個位數依然是4。
每一輪置換都不改變剩余撲克牌的點數之和的個位數，開始時為4，結束時依然為4。所以最后一張撲克牌的點數是4。
10．【答案】解： 如圖所示：在平面圖（俯視圖為正方形）上，沿同一方向（如垂直方向）均勻切割6刀，將正方形分為7個等寬的豎直長條，每個長條的寬度為 28 ÷ 7 = 4 厘米。每個長條的上表面糖霜面積為 4 × 28 = 112 平方厘米，四周側面積總和為 448 平方厘米，滿足均分條件。

【知識點】立方體的切拼
【解析】【分析】如圖，因為正方形的中心點到正方形的四邊距離相等，又因為正方形蛋糕的厚度均勻，因此，只需要保證每塊蛋糕的側面(非切面) 的周長相等且切面過中心，即可保證每塊蛋糕的體積相等，且覆蓋有等量的兩種糖霜。
切分時先確定兩條對角線的交點為中心，再把每邊均分成七等分，切分時保證切痕過正方形的中心且正方形邊上的一側保留4等分(4厘米)長的單位即可。
11．【答案】解：如下圖所示：第一步、第四步、第六步朝上的面分別是3，2，5點。
答：第一步、第四步、第六步朝上的面分別是3，2，5點。
【知識點】數字和問題；邏輯推理
【解析】【分析】由于骰子左側點數為4，所以第一步往左滾動后朝上的點數是3，
往下滾動三步朝上的點數分別是5，4，2，往下滾動的每一步，骰子左側面一直是1點，所以，第四步的結果是左側數字1， 上面數字2，
故第五步、第六部朝上面的數字分別是6與5 點，即第一步、第四步、第六步朝上的面分別是3，2， 5點。
12．【答案】解： （2.4+2+1.5）×20=118（米），
理論上用原材料：118÷10=11.8（根），至少要12根，
根據10÷2.4=4（根）……0.6（米），10÷2=5（根），
10÷1.5=6（根）……1（米），10÷（2.4+1.5）=2（套）……2.1（米），
可以發現前10根原材料截成1.5米兩根、2米1根、2.4米兩根最省材料，剩下的兩根截成2米一根，剛好數量為20套。
浪費的長度為：12×10-118=2（米）
答：至少要用去原材料12根，總共浪費2米。切割方案如下圖所示：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 總
1.5米 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 　 　 　 　 　
2 米 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 　 　 　
2.4米 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 　 　 　 　 　
【知識點】最大與最小
【解析】【分析】 本題主要考查了最大與最小，合理的分割是本題解題的關鍵。
總長度為：（2.4+2+1.5）×20=118（米），
理論上用原材料：118÷10=11.8（根），至少要12根，
根據10÷2.4=4（根）……0.6（米），10÷2=5（根），10÷1.5=6（根）……1（米），10÷（2.4+1.5）=2（套）……2.1（米），可以發現前10根原材料截成1.5米兩根、2米1根、2.4米兩根最省材料，剩下的兩根截成2米一根，剛好數量為20套。
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