資源簡介

2025-2026學年湖南省長沙市北雅中學八年級（上）入學數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.把無理數表示在數軸上，在這四個無理數中，被墨跡（如圖所示）覆蓋住的無理數是（　　）
A. B. C. D.
2.若a＜b,則下列不等式一定成立的是（　　）
A. a+b＜2b B. a-c＜b+c C. ac＜bc D.
3.下列等式正確的是（　　）
A. =-3 B. =±12 C. =-2 D. -=-5
4.每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎，為了解某校800名初三學生的睡眠時間，從17個班級中抽取100名學生進行調查，下列說法正確的是（　　）
A. 800名學生是總體 B. 100是樣本容量
C. 17個班級是抽取的一個樣本 D. 每名學生是個體
5.有4根長度分別為2、4、6、7的木條，從中任意選出三根，其中能構成三角形的有（　　）
A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種
6.如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別是E，F，且DE=BF，若利用“HL”證明△DEC=△BFA，則需添加的條件是（　　）
A. EC=FA
B. DC=BA
C. ∠D=∠B
D. ∠DCE=∠BAF
7.我國古代《算法統宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房，若設該店有客房x間，房客y人，則列出關于x，y的二元一次方程組正確的是（　　）
A. B. C. D.
8.俄羅斯方塊是一款經典休閑益智游戲，如圖是小宇玩俄羅斯方塊時某一時刻的截圖，若在以O為原點建立的平面直角坐標系中，小宇將上方的方塊先向左移動2個格子，再向下移動6個格子后，點A恰好落在點B（3，1）處，則上方的方塊移動前點A所在位置的坐標為（　　）
A. （4，7）
B. （5，6）
C. （5，7）
D. （7，5）
9.過一點畫已知直線的平行線（　　）
A. 有且只有一條 B. 不存在
C. 有兩條 D. 不存在或有且只有一條
10.已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，則下列結論：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE-S△BCE=S△ADC．其中正確結論的個數是（　　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.如圖，這是小明同學在體育課上跳遠測量的方法，其中蘊含的數學道理是 .
12.一個多邊形的內角和是它的外角和的3倍，則這個多邊形的邊數為 ．
13.如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于________．
14.一個零件的形狀如圖，按規定∠A=90°，∠B=∠D=25°，判斷這個零件是否合格，只要檢驗∠BCD的度數就可以了.量得∠BCD=140°，這個零件 （填“合格”或“不合格”）.
15.若關于x,y的方程組的解x與y互為相反數，則k的值為 .
16.已知關于x的不等式組的解集是-1＜x＜1，則（a+1）（b-1）= ______.
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題6分)
計算：.
18.(本小題6分)
求下列各式中x的值：
（1）1；
（2）（x-2）2=169.
19.(本小題6分)
如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）將△ABC平移得到△A1B1C1，其中A的對應點是A1（2，1）；
（1）寫出點B，C的對應點B1，C1的坐標：B1______，C1______；
（2）在圖中畫出△A1B1C1；
（3）設點P在x軸上，且△BCP的面積等于△ABC的面積，求出點P的坐標.
20.(本小題8分)
請將下列證明過程補充完整：如圖，已知CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2，求證：∠FEC+∠ECB=180°.
證明：∵CD⊥AB，GF⊥AB ；
∴∠CDF=∠GFB=90° ；
∴CD∥ （同位角相等，兩直線平行）；
∴∠FGB=∠2 ；
∵∠1=∠2（已知）；
∴∠1= ；
∴EF∥BC ；
∴∠FEC+∠ECB=180° ；
21.(本小題8分)
如圖，已知AB⊥CF于點B，DE⊥CF于點E，BH=EG，AH=DG，∠C=∠F．
（1）求證：△ABH≌△DEG；
（2）求證：CE=FB．
22.(本小題9分)
我國國產動畫電影“哪吒2魔童鬧海”票房突破了150億，商家推出A、B兩種類型的哪吒紀念娃娃，若用380元可購進A種娃娃7件，B種娃娃8件；用340元可購進A種娃娃11件，B種娃娃4件.
（1）求A、B兩種娃娃的進價分別為多少？
（2）若每件A種娃娃售價為25元，每件B種娃娃售價為37元，某商店準備用不超過900元購進A、B兩種娃娃40件，且這兩種娃娃全部售出后總獲利不低于216元，問共有幾種方案并求出利潤最大值？
23.(本小題9分)
（1）如圖1，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度數；
（2）如圖2，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=42°，
①求∠CAB的度數；
②求∠CAP的度數．
24.(本小題10分)
已知在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，2），點P是第一象限內一動點.
（1）如圖1，若動點P（a,b）滿足|3a-9|+（3-b）2=0，求點P的坐標；
（2）如圖2，在第（1）問的條件下，且PA⊥PB，
①求點B的坐標；
②當∠APB=∠CPD，求OD-OC的值.
（3）如圖3，若OA=OA′，且BM⊥PA′，若動點P滿足∠APA′=2∠OBA′，問：的值是否發生變化？若變化，請說明理由，若不變化，請求出其值.
25.(本小題10分)
我們約定：不等式組m＜x＜n,m＜x≤n,m≤x＜n,m≤x≤n的“長度”均為d=n-m,（m＜n），不等式組的整數解稱為不等式組的“整點”.例如：-2＜x≤2的“長度”d=2-（-2）=4，“整點”為x=-1，0，1，2.根據該約定，解答下列問題：
（1）不等式組的“長度”d= ______；“整點”為______；
（2）若不等式組的“長度”d=2，求a的取值范圍；
（3）若不等式組的“長度，此時是否存在實數m使得關于y的不等式組恰有4個“整點”，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】垂線段最短
12.【答案】8
13.【答案】5
14.【答案】合格
15.【答案】1
16.【答案】-6
17.【答案】．
18.【答案】x=±；
x=15或x=-11
19.【答案】（2，-4） （-1，-1）
20.【答案】解：已知；垂線的定義；GF；兩直線平行，同位角相等；∠FGB；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．
21.【答案】（1）證明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG=∠ABH=90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
∴AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴BC=EF，
∴CE=FB．
22.【答案】（1）設A、B進價分別為x元、y元．
，
∴；
答：A、B進價分別為20元、30元．
（2）設商店購進A種a件，
，
∴30≤a≤32；
當a=30，利潤：5×30+7×10=220（元），
當a=31，利潤：5×31+7×9=218元），
當a=32，利潤：5×32+7×8=216（元），
答：共有3種方案，當購進A種30件，B種10件時，獲得最大利潤220元．
23.【答案】解：（1）∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=80°，
∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，
∴∠FBC=∠ABC=20°，∠FCB=∠ACB=40°，
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=120°；
（2）①在△ABC中，∠ACD=∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，
∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，
∴∠PCD=∠BPC+∠PBC=42°+∠ABC，
∴∠ACD=∠ABC+42°，
∴∠ACD-∠ABC=84°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=84°，
即∠CAB=84°．
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∴PE=PG，PF=PG，
∴PE=PF，
∴AP平分∠CAE，
∴∠CAP=∠CAE=×（180°-84°）=48°．
24.【答案】P（3，3）； ①B（4，0）；②6； 的值不會不會，它的值為2
25.【答案】2；-1，0；
a的取值范圍為a≤；
存在，m的取值范圍是≤m＜．

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