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四川省成都市邛崍市高埂中學2024—2025學年八年級上學期期中考試數學試卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．在實數，，（每兩個1之間依次增加一個0），，中，無理數有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．點到x軸的距離是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
3．在中，a、b、c分別是的對邊，在下列條件中，不能確定的形狀是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如圖，將一根長的筷子，置于一個底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度為，則的值最小為（ ）
A．7 B．8 C．16 D．17
5．下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．中國象棋是中華民族的文化瑰寶，它源遠流長，趣味性強，成為極其廣泛的棋藝活動．如圖，若在象棋盤上建立平面直角坐標系，使“帥”位于點，“馬”位于點，則“兵”位于點（ ）
A． B． C． D．
7．下列說法正確的個數有（ ）
①點關于x軸的對稱點的坐標是；②估計的值在1和2之間；③一定沒有平方根；④實數與數軸上的點是一一對應的
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
8．如圖，圓柱的高為8cm，底面半徑為cm，一只螞蟻從點沿圓柱外壁爬到點處吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
二、填空題
9．的算術平方根是 ．
10．要使式子 有意義，則x的取值范圍是 ．
11．平面直角坐標系中，若點在y軸上，則點A的坐標為 ．
12．直角三角形的兩邊長分別為8，15，第三邊邊長為，則 ．
13．如圖，長方形的邊長為2，長為1，點在數軸上對應的數是0，以點為圓心，對角線長為半徑畫弧，交數軸于點，則這個點表示的實數是 ．
14．已知：（a+6）2+=0，則2b2﹣4b﹣a的值為 ．
15．a是的整數部分，b是的小數部分，則的值是 ．
16．在平面直角坐標系xOy中，對于不同的兩點M，N，若點M到x軸，y軸的距離的較大值等于點N到x軸，y軸的距離的較大值，則稱點M，N互為“最距等點”．例如：點，互為“最距等點”；點，互為“最距等點”．已知點與點互為“最距等點”，則n的值為 ．
17．如圖，在直角坐標系中，點A在x軸上，，以為邊作等邊，延長到點，使；以為邊作等邊，延長至點，使；以為邊作等邊，延長至點，使；按照以上方式依次作，，…則點的坐標為 ．
18．如圖，在四邊形中，，，對角線與相交于點E，若，則 ．
三、解答題
19．計算：
(1)；
(2)．
20．如圖，中，點，，．在所給直角坐標系中解答下列問題：
(1)在圖中畫出關于y軸對稱的；
(2)在x軸上找一點P，使得的值最小，則的最小值為 ；
(3)求的面積；
21．消防云梯的作用主要是用于高層建筑火災等救援任務，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，縮短救援時間，減少救援難度和風險．如圖，已知云梯最多只能伸長到 （即），消防車車身高 （即點A到地面的距離為），救人時云梯伸長至最長，在完成從 （即）高的B處救人后，還要到點B的正上方（即）高的D處救人，這時消防車需要從A處向著火的樓房靠近的水平距離為多少米？（提示∶延長交于點O，則）．
22．已知，如圖，中，，，，以斜邊為底邊作等腰三角形，腰剛好滿足，并作腰上的高．

(1)求證：；
(2)求等腰三角形的腰長．
23．我們規定：三角形任意一條邊的“邊高差”等于這條邊與這條邊上高的長度之差．如圖1，中，為邊上高，邊的“邊高差”等于，記為．
(1)如圖2，若中，，，，則 ；
(2)若中，，，求的值；
(3)若中，，邊上的高為15，求的值．
24．（1）如圖1，分別把兩個邊長為的小正方形沿一條對角線裁開，得到4個小三角形，然后拼成一個大正方形，則大正方形的邊長為______cm．
（2）如圖2，小逸同學打算將一塊面積為的正方形木板，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形，使該長方形的長和寬之比為，你認為小逸能裁出符合條件的長方形嗎？若能，計算出長方形的長和寬；若不能，請說明理由．
25．已知：如圖①，直線MN⊥直線PQ，垂足為O，點A在射線OP上，點B在射線OQ上（A、B不與O點重合），點C在射線ON上且OC=2，過點C作直線l//PQ，點D在點C的左邊且CD=3．
（1）直接寫出△BCD的面積．
（2）如圖②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分線交OC于E，交AC于F，求證：∠CEF=∠CFE．
（3）如圖③，若∠ADC=∠DAC，點B在射線OQ上運動，∠ACB的平分線交DA的延長線于點H，在點B運動過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，求出變化范圍．
26．平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點，交y軸于點，a、b滿足．
(1)求A、B兩點的坐標；
(2)如圖1，D為上一點，連接，過點O作交于E，若，求點D的坐標；
(3)如圖2，點B、Q關于x軸對稱，M為x軸上A點右側一點，過點M作交直線于點N，是否存在點M，使，若存在，求點M的坐標，若不存在，請說明理由．
考答案
1．D
解：是分數，是有理數；是無理數；（每兩個之間依次多一個）是無理數；是有理數，是無理數；
故有個無理數；
故選：D
2．B
點的縱坐標為4，
因此到軸的距離為．
故選：B．
3．A
解：A、由不能確定的形狀是直角三角形，故此選項符合題意；
B、∵，
∴可設，
∴，
∴能確定的形狀是直角三角形，故此選項不符合題意；
C、∵，，
∴，
∴，
∴能確定的形狀是直角三角形，故此選項不符合題意；
D、∵，，
∴，∴能確定的形狀是直角三角形，故此選項不符合題意；
故選：A．
4．A
解：如圖所示，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短，

在中，，，
，
此時，
的值最小為是．
故選：A．
5．C
解；A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算正確，符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選：C．
6．C
【詳解】如圖所示，根據題意可建立如圖所示平面直角坐標系，
則“兵”位于點.
故選：C．
7．D
解：①點關于x軸的對稱點的坐標是，原說法錯誤；
②，則的值在2和3之間，原說法錯誤；
③當a為負數時，為正數，有平方根，原說法錯誤；
④實數與數軸上的點是一一對應的，正確．
綜上，只有④正確，正確個數為1．
故選：D．
8．C
【詳解】
底面圓周長為cm，底面半圓弧長為6cm，
展開圖如圖所示，連接AB，
∵BC=8cm，AC=6cm，
∴
故選C．
9．2
解：，
∵4的算術平方根是2，
∴的算術平方根是2．
故答案為：2．
10．
解：要使式子有意義，則
，
解得：．
故答案為：．
11．
解：∵點在y軸上，
∴，
解得：，
∴，
∴點A的坐標為．
故答案為：．
12．289或161
解：①當第三邊為斜邊時，
由勾股定理得，；
②當第三邊為直角邊時，
由勾股定理得，；
綜上，的值為289或161，
故答案為：289或161．
13．
解：根據勾股定理可得：，
∵點在數軸上對應的數是0，
∴點表示的實數是，
故答案為：．
14．12．
【詳解】∵（a+6）2+=0，
∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，
解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，
可得2b2﹣4b=6，
則2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，
故答案為：12．
15．
解：，
，
∵a是的整數部分，b是的小數部分，
，，
．
故答案為：．
16．2
【詳解】與點互為“最距等點”，
或或或，
當時，
或，
，
，
∴點的坐標為，點的坐標為，，不符合題意，舍去；
，
∴此方程無解；
當時，
，
，
，
∴點的坐標為，點的坐標為(，不符合題意，舍去；
∵，
∴，
∴點的坐標為，點的坐標為，不符合題意，舍去；
當時，
∴，
∵，
∴，
∴點的坐標為，點的坐標為，不符合題意，舍去；
∵，
∴，
∴點的坐標為，點的坐標為，
∴點與點互為“最距等點”；
當時，
，
，
，
∴點的坐標為，點的坐標為，不符合題意，舍去；
，
∴此方程無解；
綜上所述：，
答案為：2．
17．
解：由于構造的都是等邊三角形，所以點每運動6次繞原點旋轉一周，
根據題意得，
，
，
，
，
……
∴，
根據周期性可得，，
∴點在第二象限，
此時，由等腰三角形的三線合一及含角的直角三角形的性質得，，
由勾股定理得，
∴，，
∴點的坐標為，
故答案為：．
18．
解：過點作于點，過點作于點，連接.
，
．
，根據同高，
，
將看作兩個三角形的同底，且，則等于的高，
．
，，
為等邊三角形，
．
，
．
∴，
，
，
，點為中點，
∴，
．
．
故答案為：．
19．(1)
(2)
【詳解】（1）
；
（2）
．
20．(1)見解析
(2)
(3)4
（1）解：如圖所示，
（2）解：如圖所示，
由對稱得，，
∴，
∴當點，P，三點共線時，的值最小，即的長度，
∴，
∴的最小值為；
（3）解：的面積是．
21．為
解：，
四邊形是矩形，
，，
在中，，，
，
在中，，，，
，
，
答：為．
22．(1)見解析
(2)
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，，
設，則，
在中,由勾股定理得,
，
即，
解得：，
即．
23．(1)1
(2)
(3)13或
（1）解：∵，
∴為等腰三角形，
∵，
根據等腰三角形的三線合一，
∴，，
∴為底邊上的高，
∴，
故答案為：1；
（2）解：如圖所示，是邊上的高，
由勾股定理得，
利用等面積法可得，
∴；
（3）解：①如圖所示，是邊上的高，
由勾股定理得，，
，
∴，
∴；
②如圖所示，是邊上的高，
同①可得，此時，
∴．
綜上，的值為13或．
24．（1）；（2）不能，見解析
解：（1）由題意得，
即大正方形的邊長為，
故答案為：；
（2）設長方形的長、寬分別為，寬為，
由題意可得，
解得（負值舍去），
所以．
由正方形木板的面積為，得該正方形木板的邊長為．
因為，
所以小逸不能裁出符合條件的長方形．
25．（1）3；（2）見解析；（3）不變，值為．
解：（1）根據平行線間的距離處處相等，得到底邊上的高為2，
∴．
（2）如圖②，
∵，∴
∴
∵直線直線
∴
∵
∴
∵是的平分線，
∴
∴；
（3）不變，值為
如圖③
∵直線，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴．
26．(1)
(2)
(3)存在點，使
（1）解：∵
∴且，
∴，
當時，，
∴；
（2）解：如圖，作的角平分線交于點G，設交于點F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即點；
（3）解：存在，理由：
過點N作軸于點P，設交于點G，
∵，
∴，
由對稱性知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點．
即存在點，使．

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