資源簡介

大慶市靚湖學(xué)校九年級(jí)學(xué)初測試
數(shù)學(xué)試題
答題時(shí)間：120分鐘 總分：120分
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．如圖所示的某濕地公園湖面上的浮漂，它的形狀是中間穿孔的球體，其俯視圖如圖，那么它的主視圖是（ ）
A． B． C． D．
3．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，朝上的一面可能會(huì)出現(xiàn)：①都是正面；②一正一反；③都是反面．則兩枚硬幣出現(xiàn)一正一反結(jié)果的概率為（ ）
A． B． C． D．1
4．已知反比例函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)圖象分別位于第二、第四象限 B．當(dāng)時(shí)，
C．在圖象的每一支上，隨的增大而減小 D．若，則
5．某市2022年底森林覆蓋率為，2024年底森林覆蓋率已達(dá)到．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，則符合題意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張明運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)瓶子中的豆子的數(shù)量．他先取出粒豆子，給這些豆子做上記號(hào)，然后放回瓶子中，充分搖勻之后再取出粒豆子，發(fā)現(xiàn)其中粒有剛才做的記號(hào)，利用得到的數(shù)據(jù)可以估計(jì)瓶子中豆子的數(shù)量約為（ ）粒．
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（a，b為常數(shù)，且）的圖象與二次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)在上，點(diǎn)分別在和邊上，且上的高，，則正方形的邊長為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，其中，下列四個(gè)結(jié)論，①；②當(dāng)時(shí)，隨自變量的增大而增大；③與的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；④當(dāng)時(shí)，．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如圖，將正方形紙片沿折疊，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊上，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，為交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H，連接．下列四個(gè)結(jié)論中：①；②；③平分；④，正確的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空題（每題3分，共30分）
11．若函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值為 ．
12．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正六邊形，則該幾何體的所有側(cè)面積之和為 ．
13．如圖，在一塊邊長為30cm的正方形飛鏢游戲板上，有一個(gè)半徑為10cm的圓形陰影區(qū)域，飛鏢投向正方形任何位置的機(jī)會(huì)均等，則飛鏢落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為 （結(jié)果保留π）．
14．若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則 ．
15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)O為位似中心，把縮小為，其相似比為3∶1，則點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
16．如圖，直線軸于點(diǎn)P，且與反比例函數(shù)及的圖象分別交于點(diǎn)A，B，連接，則的面積為 ．
17．矩形的短邊與長邊的比等于黃金比（即），則該矩形叫黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感．如圖，黃金矩形的長邊，則它的面積為 ．
18．如圖，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，當(dāng)拋物線與軸圍成的區(qū)域（陰影部分）面積最小時(shí)，的值為 ．
19．在平面直角坐標(biāo)系中，P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，把點(diǎn)P繞著坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在一次函數(shù)圖象上，則代數(shù)式的值是 ．
20．已知二次函數(shù)為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的最小值為，則m的值是 ．
第12題圖 第13題圖 第16題圖 第17題圖 第18題圖
三、解答題（共60分）
21．（6分）如圖，在中，，是中點(diǎn)，連接分別過點(diǎn)，點(diǎn)作，，交點(diǎn)為．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求四邊形的面積．
22．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)將直線向上平移后與反比例函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且的面積為，求直線的解析式．
23．（8分）哈爾濱冰雪大世界在網(wǎng)絡(luò)上爆火，吸引了國內(nèi)外許多游客前往游覽，冰雪大世界主要景點(diǎn)有夢幻冰雪館、四季游樂館、冰雪秀場、雪花摩天輪（依次用A、B、C、D表示）等．為了了解游客更喜歡哪個(gè)景點(diǎn)，工作人員隨機(jī)對(duì)現(xiàn)場的游客進(jìn)行采訪調(diào)查，要求只選擇一個(gè)自己最喜歡的景點(diǎn)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：
(1)本次統(tǒng)計(jì)共調(diào)查了________名游客，請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中喜歡“四季游樂館”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為________；
(3)景區(qū)工作人員準(zhǔn)備向受訪游客中的兩男兩女發(fā)放免費(fèi)游覽票2張，若要從4人中隨機(jī)抽取2人發(fā)放免費(fèi)游覽票，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求恰好抽到1男1女的概率．
24．（9分）2025年春節(jié)期間，我國國產(chǎn)動(dòng)畫電影《哪吒之魔童鬧海》刷新了中國電影票房的新紀(jì)錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀(jì)念品．已知購進(jìn)A款200個(gè)，B款300個(gè)，需花費(fèi)14000元；購進(jìn)A款100個(gè)，B款200個(gè)，需花費(fèi)8000元．
(1)求A、B兩款“哪吒”紀(jì)念品每個(gè)進(jìn)價(jià)分別為多少元？
(2)根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，如果該商家計(jì)劃用不超過12000元的資金購進(jìn)A、B兩款“哪吒”紀(jì)念品共400個(gè)，那么至少需要購進(jìn)B款紀(jì)念品多少個(gè)？
(3)在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個(gè)A款紀(jì)念品售價(jià)60元時(shí)，可售出200個(gè)，售價(jià)每增加1元，銷售量將減少5個(gè)．設(shè)每個(gè)A款紀(jì)念品售價(jià)元，W表示該商家銷售A款紀(jì)念品的利潤（單位：元），求W關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并求出W的最大值．
25．（9分）如圖，在正方形中，延長到點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)交于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，連接交反比例函數(shù)于點(diǎn)，連接，若的面積為，求；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以、、、為頂點(diǎn)的四邊為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)寫出理由．
27．（11分）如圖，直線與拋物線相交于和，點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）求為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
參考答案
1．D
解：A．，故不符合題意；
B．，故不符合題意；
C．，故不符合題意；
D．，故符合題意．
故選：D．
2．B
解：由題意可得，它的主視圖是，
故選：．
3．C
解：共有都是正面；都是反面；一正一反；一反一正；四種情況，
其中兩枚硬幣出現(xiàn)一正一反結(jié)果的有一正一反；一反一正；兩種情況，
故出現(xiàn)一正一反的概率為，
故選：C．
4．C
解：A．在中， ，圖象位于第一、三象限，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B．當(dāng)時(shí)，，，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C．由， 在圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，故此選項(xiàng)正確，符合題意；
D、由， 在圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，若，則，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選C
5．D
解：根據(jù)題意得，
即，
故選：D．
6．B
【詳解】設(shè)瓶子中有豆子粒豆子，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，
答：估計(jì)瓶子中豆子的數(shù)量約為粒．
故選：．
7．B
解：A、由二次函數(shù)圖象可知：，由一次函數(shù)圖象可知：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
B、由二次函數(shù)圖象可知：，由一次函數(shù)圖象可知：，故選項(xiàng)B正確，符合題意；
C、由二次函數(shù)圖象可知：，由一次函數(shù)圖象可知：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
D、由二次函數(shù)圖象可知：，由一次函數(shù)圖象可知：，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
8．C
解：設(shè)正方形邊長為，則，
正方形內(nèi)接于，上的高，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，即，
解得：，
正方形的邊長為，
故選：C．
9．B
解：拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
把代入，得頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，
∵直線經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，
∴，
化簡得，即，故①正確，
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸直線為，
若，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，隨自變量的增大而增大，
若，拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，隨自變量的增大而減小，故②不一定正確．
令，
即，
∵，
∴，
∴
解得∶，，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)，
∴與的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故③正確．
，
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故④不一定正確．
故答案為：B
10．A
解：①∵四邊形是正方形，
∴．
由折疊可知：
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴．
故①正確；
②過點(diǎn)C作于M，
由折疊可得：，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴②不正確；
③由折疊可得：，
∵，
∴，
∴，
即平分．
∴③正確；
④連接，如圖，

∵，
∴
∴，
∵，
∴．
∴．
由折疊可得：，
∴．
∴．
由折疊可知：．
∴．
∵，
∴，
∴四點(diǎn)共圓，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵
∴
∵
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴④正確；
綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④．
故選：A．
11．1
解：∵函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，
∴，
∴，
故答案為；1．
12．48
【詳解】由三視圖知該幾何體是底面邊長為2、高為4的正六棱柱，∴其側(cè)面積之和為2×4×6=48．
故答案為48．
13．/
解：根據(jù)題意得：飛鏢落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為
故答案為：
14．
解：把點(diǎn)代入得：，
∴，
把點(diǎn)代入得：，
故答案為：．
15．（-2,1）或（2，-1）
解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，把縮小為，其相似比為3∶1
∴點(diǎn)，以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為
∴點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即（-2,1）或（2，-1）．
故答案是（-2,1）或（2，-1）．
16．4
解：∵直線軸于點(diǎn)P，且與反比例函數(shù)及的圖象分別交于點(diǎn)A，B，
∴，
∴，
故答案為：．
17．
解：∵矩形為黃金矩形，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面積為，
故答案為：．
18．/
解：當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∴，
∴，
當(dāng)取最小值時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)到的距離最小，此時(shí)陰影部分的面積最小，
∴，
∴，
故答案為：．
19．
解：如圖，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，
∴，，，
∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，
∴，即，
∴．
故答案為：．
20．或
解：∵二次函數(shù)（為常數(shù)），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x==m，
當(dāng)m＜-1時(shí)，-1＜x＜2表示的數(shù)在對(duì)稱軸的右側(cè)，
∵二次函數(shù)（為常數(shù)）中，a=1＞0,
∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)y取得最小值，即1+2m=-2，解得m=；
當(dāng)-1＜m＜2時(shí)，
∵二次函數(shù)（為常數(shù)）中，a=1＞0,函數(shù)有最小值，
∴當(dāng)x=m時(shí)，y取得最小值，即=-2，
解得m= 或m=-（不在范圍內(nèi)，舍去）；
當(dāng)m＞2時(shí)，
∵二次函數(shù)（為常數(shù)）中，a=1＞0,
∴在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y取得最小值，即4-4m=-2，解得m=，（不在范圍內(nèi)，舍去）
綜上所述，m的值為或，
21．
（1）解：證明：，，
四邊形是平行四邊形，
在中，，是中點(diǎn)，
，
四邊形是菱形；---------------------------------------2
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，如圖：
，
，
，
在中，，
根據(jù)勾股定理可得，，
在中，，，，，
，
是的中點(diǎn)，
，
．---------------------------------------4
22．
（1）解：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
將點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，，
所以反比例函數(shù)的解析式為．--------------------------------------2
（2）連接，
由平移可知，，
所以，
所以，
解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
令直線的解析式為，
將點(diǎn)C坐標(biāo)代入得，，
所以直線的函數(shù)解析式為．---------------------------------------5
23．
（1）解：本次統(tǒng)計(jì)共調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：(名)，--------------------------1
喜歡C冰雪秀場的人數(shù)為：(名)，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：
---------------------------------------1
（2）解：，
答：扇形統(tǒng)計(jì)圖中喜歡“四季游樂館”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為，---------------------------2
（3）解：畫樹狀圖為：
由圖可知，所有可能結(jié)果共有12種，恰好1男1女被選到的8種，所以恰好甲和丙被選到的概率為，
答：恰好1男1女被選到的概率為．---------------------------------------4
24．
（1）解：設(shè)A款“哪吒”紀(jì)念品每個(gè)進(jìn)價(jià)為x元，B款“哪吒”紀(jì)念品每個(gè)進(jìn)價(jià)為y元，
由題意得，，解得，
答：A款“哪吒”紀(jì)念品每個(gè)進(jìn)價(jià)為40元，B款“哪吒”紀(jì)念品每個(gè)進(jìn)價(jià)為20元；-------------------2
（2）解：設(shè)需要購進(jìn)B款紀(jì)念品m個(gè)，則需要購進(jìn)A款紀(jì)念品個(gè)，
由題意得，，
解得，
∴m的最小值為200，
答：至少需要購進(jìn)B款紀(jì)念品200個(gè)；---------------------------------------3
（3）解：由題意得，
，
∵，
∴當(dāng)，即時(shí)，W最大，最大值為4500．---------------------------------------4
25．
（1）證明：于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，
四邊形是正方形，點(diǎn)在的延長線上，
，，
，
在和中，
，
，
．---------------------------------------3
（2）解：由（1）得，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的值是．--------------------------------------6
26．
（1）解：∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式得：，
解得：，，
∵，
∴；---------------------------------------2
（2）解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于，過作軸于，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，
∵，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∵，
∴點(diǎn)和點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，
當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∵的面積為，
∴，即，
整理得：，
解得：，，
由題可得：，
∴，
∴，直線的解析式為：，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；---------------------------------------4
（3）解：存在，理由如下：
假設(shè)存在以、、、為頂點(diǎn)的四邊為平行四邊形，
∵點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)，，
∵，，
當(dāng)平行四邊形以為對(duì)角線時(shí)，
得，
解得：，
∴；
當(dāng)平行四邊形以為對(duì)角線時(shí)，
得，
解得：，
∴；
當(dāng)平行四邊形以為對(duì)角線時(shí)，
得，
解得：，
∴；
綜上所述，存在以、、、為頂點(diǎn)的四邊為平行四邊形，或.---------------------------------------4
27．
【詳解】（1）∵在直線上，
∴，
∴，
∵、在拋物線上，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為．---------------------------------------3
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P得坐標(biāo)為，則C點(diǎn)得坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，線段PC最大且為．---------------------------------------4
（3）∵為直角三角形，
①若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，．由題意易知，，，因?yàn)榇朔N情形不存在；
②若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則．
如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，則，．過點(diǎn)A作，交x軸于點(diǎn)M，則由題意易知，為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
設(shè)直線AM得解析式為，則：，解得，所以直線AM得解析式為：
又拋物線得解析式為：②
聯(lián)立①②式，解得：或（與點(diǎn)A重合，舍去）
∴，即點(diǎn)C、M點(diǎn)重合．當(dāng)時(shí)，，
∴；
③若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則．
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線．
如圖2，作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸得對(duì)稱點(diǎn)C，則點(diǎn)C在拋物線上，且，當(dāng)時(shí)，．
∵點(diǎn)、均在線段AB上，
∴綜上所述，為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P得坐標(biāo)為或．------------------------4

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