資源簡介

山東省青島市昌樂二中2025-2026學年高二上學期開學模擬監測
數學試題及答案解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.復數（其中為虛數單位），則（ ）
. . . .
2.在四邊形中，若，則“”是“四邊形是菱形”的（ ）
.充分不必要條件 .必要不充分條件
.既不充分也不必要條件 .充要條件
3.已知向量，.若，則（ ）
. . . .
4.已知函數，則（ ）
.在定義域內是增函數 .是奇函數
.的最小正周期為 .圖象的一個對稱中心是
5.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示，軸， 軸，，，則的原圖形的面積為（ ）
. .
. .
6.已知函數為偶函數，則的值為（ ）
. . . .
7.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四個面稱為鱉臑.已知在鱉臑中，，平面，則它的外接球半徑和內切球半徑的比值為（ ）
. . . .
8.如圖，誒圓錐的底面圓的直徑，點是圓上異于的動點，，則下列結論正確的是（ ）
.圓錐的側面積為
.三棱錐的體積的最大值為
.的取值范圍是
.若，為線段上的動點，則的最小值為
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
.若，，，則
.若，，則
.若，，則
.若，，則
10.在中，內角的對邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
.若，，，則只有一解
.若，則為鈍角三角形
.若的外心為，，，則
.若，則的形狀是直角三角形
11.如圖，已知圓臺形水杯盛有牛奶（不計厚度），杯口的直徑為4，杯底的直徑為2，杯高為4，當杯底水平放置時，牛奶面的高度為水杯高度的一半，若加入37顆大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充滿水杯，則（ ）
.該水杯側面積為
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT .該水杯里牛奶的體積為
.放入的椰果半徑為
.該水杯外接球的表面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知點在半徑為2的同一球面上，且，，則三棱錐體積的最大值為 .
13.如圖，在正方體中，，分別是棱的中點，則正方體被平面所截得的截面周長是 .
14.如圖所示的是某城市的一座紀念碑，一位學生為測量該紀念碑的高度，選取與碑基在同一水平面內的兩個測量點.現測得，，米，在點處測得碑頂的仰角為30°，則該同學通過測量計算出紀念碑高為
米.（保留根號）
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知復數，，是虛數單位.
（1）若是實系數一元二次方程的一個根，求實數和的值；
（2）當為何值時，關于的二次方程有一個實根.
16.（15分）高一年級舉辦立體幾何模型制作大賽，某同學想制作一個頂部是正四棱錐、底面是正四棱柱的模型，并畫出了如圖所示的直觀圖.其中正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.
（1）若，；
（?。┣笤撃Ｐ偷捏w積；
（ⅱ）求頂部正四棱錐的側面積；
（2）若頂部正四棱錐的側棱長為6，當為多少時，底部正四棱柱的側面積最大？并求出的最大值.
17.（15分）已知函數，將函數圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象.
（1）求的單調遞增區間；
（2）在中，若，，求面積的最大值.
18.（17分）銳角的三個內角所對的邊分別為，滿足.
（1）求角的大小及角的取值范圍；
（2）若，求的周長的取值范圍；
（3）若的外接圓的圓心為，且，求的取值范圍.
19.（17分）任意一個復數的代數形式都可寫成三角形式，即，其中為虛數單位，，，，.棣莫弗定理由法國數學家棣莫弗成立，指的是設兩個復數用三角函數形式表示為：，，
則，，且.
若令，則能導出復數乘方公式：.
請用以上知識解決以下問題：
（1）試將寫成三角形式；
（2）已知，，，求的值；
（3）設，當時，求的最大值和最小值.
答案解析
一、選擇題
1.B 解析：已知，則.
2.D 解析：在四邊形中，由，可得四邊形為平行四邊形，
若，則平行四邊形對角線垂直，∴ 為菱形，反之也成立，故“”是“四邊形是菱形”的充要條件.
3.B 解析：∵，∴，得，∴.
4.D 解析：對于A，∵，故A錯誤；
對于B，∵在處有定義，但，故B錯誤；
對于C，的最小正周期為，故C錯誤；
對于D，，故是圖象的一個對稱中心，故D正確.
5.B 解析：∵軸，∴直觀圖的面積為，
原圖形面積為直觀圖面積的倍，∴原圖面積為.
6.B 解析：∵誒偶函數，∴，
將函數化簡：，
由偶函數性質：，
即，
利用正弦函數的性質，可得：，，
解得，結合，∴.
7.A 解析：根據已知條件可以將三棱錐放在正方體中，如圖，
∴三棱錐的外接球即為正方體的外接球，
設三棱錐的外接球的半徑為，內切球的半徑為，
則，解得，
∴，
∵，∴，∴三棱錐的表面積為：
，
又∵，∴，
則它的外接球半徑和內切球半徑的比值為.
8.D 解析：在中，，則圓錐的母線長，半徑.
對于A，圓錐的側面積為，故A錯誤；
對于B，當時，的面積最大，此時，
則三棱錐體積的最大值為,故B錯誤；
對于C，在中，，又，則，
當點與點重合時，為最小值，當點與點重合時，，達到最大值，
又與不重合，則，又，得，故C錯誤；
對于D，由，，，得,又，
則為等邊三角形，則，將以i軸旋轉到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖如，
由，，
得，
∴，故D正確.
二、選擇題
9.AD 解析：對于A，若，，，則，故A正確；
對于B，若，，則或相交或是異面直線，故B錯誤；
對于C，若，，則或，故C錯誤；
對于D，由于，則內存在直線，于是，，故D正確.
10.AB 解析：對于A，∵，∴只有一解，故A正確；
對于B，∵，∴，
又，∴，則為鈍角三角形，故B正確；
對于C，的外心為，∴為垂直平分線的交點，
，
故C錯誤；
對于D，由正弦定理得，
，
即，
∴，即或，即，
∴德行形狀是直角三角形或等腰三角形，故D錯誤.
11.BCD 解析：由題意知圓臺的上底面圓半徑，下底面圓半徑，圓臺高，
設圓臺的母線為，則，
故圓臺的側面積為，故A錯誤；
牛奶棉所在的圓的半徑為，
故水杯中牛奶的體積為，
故B正確；
水杯的體積為，
故37個小球的體積為，
設小球的半徑為，進而，解得，故C正確；
設水杯的外接球的球心到上底面的距離為，
則，解得，
故外接球的半徑為，
∴其表面積為，故D正確.
三、填空題
12. 解析：如圖所示，
設的外接圓圓心為，
三棱錐的外接球球心為，
由，，
則，
即，
且，∴外接圓半徑為，
則，
∴當點在的延長線上時，三棱錐的體積最大，
此時三棱錐的高為，
即三棱錐體積.
13. 解析：取的中點，的中點，
連接，
由是的中點，
得，，
則四邊形為平行四邊形，，，
由是的中點，得，，
梯形是正方體被平面所截得的截面，
，，，
∴所求截面的周長是.
14. 解析：∵，，，
在中，，
由正弦定理得，即，截得，
在中，，
即紀念碑高為米.
四、解答題
15.解：（1）若是實系數一元二次方程的一個根，
則也是實系數一元二次方程的一個根，
根據韋達定理得，，
解得.
（2）由有，
∴，∴，解得，
∴，當時，原方程有一個實根為.
16.解：（1）（?。┯?，得，又，
因此正四棱錐的體積，
正四棱柱的體積，
∴模型的體積.
（ⅱ）取的中點，連接，由，得，
∴正四棱錐的側面積
.
（2）設，正四棱柱的側面積為，
則，，，
于是，
而，∴當，即時，，
∴當時，下部分正四棱柱的側面積最大，最大面積是.
17.解：（1），
將向左平移個單位長度，得到，
則當，單調遞增，
故的單調遞增區間為.
（2），∵，∴，
由余弦定理得，
當且僅當時取等號，∴，
故面積的最大值為.
18.解：（1）∵，
由正弦定理可得，∴，
故，∵為銳角，∴，
∵為銳角三角形，則，解得，
∴角的取值范圍是.
（2）∵，由正弦定理得，
∴
，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴周長的取值范圍為.
（3）設的外接圓半徑為，∴，，
∴，
設，則，則，
∴
，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴的取值范圍為.
19.解：（1）運用復數的三角形式得到
.
（2）如圖，設復數對應向量為，設復數對應向量為，
則在，運用余弦定理，
，∴，
又，∴.
（3）∵，設，
則，
∵，∴，∴，
∴，.

展開更多......

收起↑