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高三數學
一 選擇題:本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2－3x－10＜0}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z} ，則A∩B的子集的個數是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．復數z滿足(1＋i)z＝|－i|，則＝（ ）
A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i
3．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，x)，若(a＋b)∥(a－2b)，則a·b＝（ ）
A． B．10 C．8 D．2
4．函數f(x)＝(2－x－2x)cosx在[－2，2]上的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
5．函數f(x)＝在(0，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A．(－∞，0] B．(－∞，0)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
6．已知cosα－sin(α＋)＝，則sin(2α＋)＝（ ）
A．－ B． C． D．－
7. 已知函數f(x)＝ex＋e－x，若a＝log30.6，b＝30.01，c＝log53，則有（ ）
A. f(a)＞f(b)＞f(c) B. f(b)＞f(c)＞f(a)
C. f(b)＞f(a)＞f(c) D. f(c)＞f(a)＞f(b)
8．已知雙曲線C:－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F1，離心率為e，直線y＝kx(k≠0)分別與C的左 右兩支交于點M，N．若△MF1N的面積為，∠MF1N＝60°，則e2＋3a2的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
二 選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
A．若隨機變量X服從二項分布B(6，p)，且E(X)＝2，則D(X)＝
B．若P(AB)＝0.34，P(B)＝0.71，則P(B)＝0.37
C．設隨機變量ξ服從正態分布N(0，4)，若P(ξ＞2)＝p，則P(－2＜ξ＜0)＝－p
D．某人在10次射擊中，擊中目標的次數X服從二項分布B(10，0.8)，則當X＝8時概率最大
10．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A．若A＞B，則sinA＞sinB
B．若A＝30°b＝4，a＝5，則△ABC有兩解
C．若(＋)·＝0，且·＝，則△ABC為等邊三角形
D．若tanA＋tanB＋tanC＞0，則△ABC可以是鈍角三角形
11．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為1，側棱長為a，M是CC1的中點，則（ ）
A．對任意a＞0，都有A1M⊥BD
B．存在a＞0，使得直線A1C1與直線BM相交
C．平面A1BM與底面A1B1C1D1交線長為定值
D．當a＝2時，三棱錐B1－A1BM外接球的表面積為3π
三、填空題：本題共3小題，每小題4分，共12分．
12．已知數列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則an＝　 　．
13．某市抽調5位老師分赴3所山區學校支教，要求每位老師只能去一所學校，每所學校至少安排一位老師．由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學校，則不同的分派方法的種數是___________．
14．不等式(ea－b)2＋(a－b－1)2≥m2－m對任意實數a，b恒成立，則實數m的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5小題，共38分．
15．(本題12分)
如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝．
若AC＝，求△ABC的面積；
若∠ADC＝，CD＝4，求AD的長．
16．(本題13分)
已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且對任意正整數n≥3有an＝3an－1－2an－2，數列{bn}滿足b1＝1，bn＝an－an－1(n≥2)
(1)證明：數列{bn}是等比數列；
(2)設cn＝，數列{cn}的前n項和Sn；
①求Sn；
②若不等式(－1)nλ＜Sn＋對任意的正整數n恒成立，求實數λ的取值范圍．
17．(本題13分)
已知點C(x，y)與定點F(，0)的距離和它到直線l:x＝的距離的比是常數．
(1)求點C的軌跡；
(2)設A，B是軌跡C上的兩點，且直線OA與OB的斜率之積為－（O為坐標原點），D為射線OA上一點，且|OA|＝|AD|，線段DB與軌跡C交于點E，|BE|＝|ED|，求四邊形OAEB的面積．高三年級限時作業
數學
一 選擇題:本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2－3x－10＜0}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z} ，則A∩B的子集的個數是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
因為A＝{x|x2－3x－10＜0}＝(－2，5)，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，
所以A∩B＝{－1，1，3}，所以A∩B的子集的個數是23＝8 ,
故選:D．
2．復數z滿足(1＋i)z＝|－i|，則＝（ ）
A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i
【答案】A
【詳解】
∵(1＋i)z＝|－i|＝2，∴z＝＝1－i，∴＝1＋i，故選A.
3．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，x)，若(a＋b)∥(a－2b)，則a·b＝（ ）
A． B．10 C．8 D．2
【答案】B
【分析】根據平面向量平行的坐標表示結合數量積運算即可.
【詳解】由題意可知：a＋b＝(3，4＋x)，a－2b＝(0，4－2x)，
因為(a＋b)∥(a－2b)，故3×(4－2x)＝0×(4＋x) x＝2.
所以a·b＝4x＋2＝10.
故選：B
4．函數f(x)＝(2－x－2x)cosx在[－2，2]上的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據奇偶性排除B、D，再取特值x＝1排除C.
【詳解】因為f(x)＋f(－x)＝(2－x－2x)cosx＋(2x－2－x)cos(－x)＝(2－x－2x)cosx－(2－x－2x)cosx＝0，
所以函數f(x)為奇函數，故B、D錯誤；
又因為1∈(0，)，則f(1)＝(2－1－2)cos1＝－cos1＜0，故C錯誤；
故選：A.
5．函數f(x)＝在(0，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A．(－∞，0] B．(－∞，0)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】C
【分析】對函數求導，根據單調性列出不等式，進而求出結果.
【詳解】f(x)＝ax－，求導得f'(x)＝a＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，
則a≥－，因為－＜0，所以要使得不等式恒成立，
則a≥0.
故選：C．
6．已知cosα－sin(α＋)＝，則sin(2α＋)＝（ ）
A．－ B． C． D．－
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用和角的正弦公式、輔助角公式及二倍角公式求解.
【詳解】依題意，cosα－(sinα＋cosα)＝cosα－sinα＝cos(α＋)＝，
所以sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝－cos2(α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×()2＝.
故選：B
7. 已知函數f(x)＝ex＋e－x，若a＝log30.6，b＝30.01，c＝log53，則有（ ）
A. f(a)＞f(b)＞f(c) B. f(b)＞f(c)＞f(a)
C. f(b)＞f(a)＞f(c) D. f(c)＞f(a)＞f(b)
【答案】B
【詳解】因為函數f(x)＝ex＋e－x且定義域為R，則f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)為偶函數， 因a＝log30.6＝log3＜0，
則f(log30．6)＝f(－log30.6)＝f(－log3)＝f(log3)，
又log3＜log3＝，log3＞log31＝0，b＝30．01＞30＝1，
c＝log53＞log5＝，c＝log53＜log55＝1，
則＜c＜1，所以30．01＞log53＞log3，
當x＞0時，因為f'(x)＝ex－e－x＞0，所以f(x)為單調遞增函數，
所以f(b)＞f(c)＞f(a).
故選：B.
8．已知雙曲線C:－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F1，離心率為e，直線y＝kx(k≠0)分別與C的左 右兩支交于點M，N．若△MF1N的面積為，∠MF1N＝60°，則e2＋3a2的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】D
連接NF2，MF2，有對稱性可知：四邊形MF1NF2為平行四邊形，故|NF2|＝|MF1|，|NF1|＝|MF2|，∠F1NF2＝120°，S＝S＝，
由面積公式得：|NF1|·|NF2|sin120°＝，解得：|NF1|·|NF2|＝4，
由雙曲線定義可知：|F1N|－|F2N|＝2a，
在三角形F1NF2中，由余弦定理得：cos120°＝＝
＝＝－，
解得：|F1N|·|F2N|＝，
所以＝4，解得：b2＝3，
故e2＋3a2＝1＋＋3a2≥1＋2＝7，
當且僅當＝3a2，即a2＝1時，等號成立.
故選：D
二 選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
A．若隨機變量X服從二項分布B(6，p)，且E(X)＝2，則D(X)＝
B．若P(AB)＝0.34，P(B)＝0.71，則P(B)＝0.37
C．設隨機變量ξ服從正態分布N(0，4)，若P(ξ＞2)＝p，則P(－2＜ξ＜0)＝－p
D．某人在10次射擊中，擊中目標的次數X服從二項分布B(10，0.8)，則當X＝8時概率最大
答案：BCD
10．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A．若A＞B，則sinA＞sinB
B．若A＝30°，b＝4，a＝5，則△ABC有兩解
C．若(＋)·＝0，且·＝，則△ABC為等邊三角形
D．若tanA＋tanB＋tanC＞0，則△ABC可以是鈍角三角形
【答案】AC
【詳解】A選項，在△ABC中，由A＞B得a＞b，即2RsinA＞2RsinB，所以sinA＞sinB，A正確；
B選項，由正弦定理得＝即＝，解得sinB＝，
又因為a＞b，所以A＞B，所以B只能是銳角，所以△ABC只有一解，B錯誤；
C選項，和分別表示與和同方向的單位向量，
以這兩個單位向量為鄰邊的平行四邊形是菱形，
又由(＋)·＝0結合菱形性質知∠BAC的角平分線與BC垂直，
所以△ABC是等腰三角形且AB＝AC，
又因為cos∠BAC＝cos<，>＝＝，且∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝，
所以△ABC是等邊三角形，C正確；
D選項，因為(A＋B)＋C＝π，
所以tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝，
所以tanAtanBtanC－tanC＝tanA＋tanB，即tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC，
因為tanA＋tanB＋tanC＞0，所以tanAtanBtanC＞0，
又因為A，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π，
所以tanA，tanB，tanC＞0，所以△ABC是銳角三角形，D錯誤；
故選：AC.
11．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為1，側棱長為a，M是CC1的中點，則（ ）
A．對任意a＞0，都有A1M⊥BD
B．存在a＞0，使得直線A1C1與直線BM相交
C．平面A1BM與底面A1B1C1D1交線長為定值
D．當a＝2時，三棱錐B1－A1BM外接球的表面積為3π
【答案】AC
對于選項A，BD⊥AC，BD⊥AA1，AA1∩AC，AA1，AC平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1，A1M 平面ACC1A1，∴BD⊥A1M，A對；
對于B：B∈平面A1BC1，M∈平面A1BC1，∴BM∈平面A1BC1，∴BM、A1C1異面，B錯；
對于選項C，延長BM，B1C1交于N點，M為CC1中點，△NC1M△BCM，
∴C1N＝BC，∴B1N＝2，A1B1＝1，∴A1N＝，
平面 A1BM∩平面A1B1C1D1＝A1N，平面A1BM與底面A1B1C1D1交線為A1P，
其中P為C1D1中點，A1P＝，C對；
對于選項D，a＝2，△AB1B是直角三角形，外接圓是以A1B為直徑的圓，
半徑＝，此時三棱錐B1－A1BM外接球的半徑R≥，
可知外接球表面積應大于等于5π≠3π，可知D錯；
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題4分，共12分．
12．已知數列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則an＝　 　．
【解析】解：（1） Sn＝3n2－2n＋1，∴n＝1時，a1＝S1＝2；
時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5．
由n＝1時，6n－5＝1≠2，．
13．某市抽調5位老師分赴3所山區學校支教，要求每位老師只能去一所學校，每所學校至少安排一位老師．由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學校，則不同的分派方法的種數是___________
【詳解】設學校為A，B，C，先把甲乙兩人安排到不同學校，有A＝6種，
不妨設甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，
利用間接法計算，有33－23＝19種不同安排方法，
根據分步乘法計數原理可知，共有6×19＝114種不同安排方法.
14．不等式(ea－b)2＋(a－b－1)2≥m2－m對任意實數a，b恒成立，則實數m的取值范圍是 .
【答案】[－1，2]
【分析】設P(a，ea)，Q(b＋1，b)，則可得|PQ|2≥m2－m，而P，Q分別在曲線f(x)＝ex和直線y＝x－1上，將直線y＝x－1平移恰好與曲線f(x)＝ex相切時，可求出|PQ|的最小值，從而可解關于m的不等式可得答案.
【詳解】由題意設P(a，ea)，Q(b＋1，b)，則|PQ|2＝(ea－b)2＋(a－b－1)2，所以|PQ|2≥m2－m，
因為P，Q分別在曲線f(x)＝ex和直線y＝x－1上，
所以將直線y＝x－1平移恰好與曲線f(x)＝ex相切時，切點到直線y＝x－1的距離最小，此時|PQ|最小，
設切線為y＝x＋m，切點為(x0，y0)，則f(x)＝ex，得f'(x)＝ex，
所以e＝1，得x0＝0，則y0＝1，
所以|PQ|的最小值為點(0，1)到直線y＝x－1的距離d，d＝＝，
即|PQ|的最小值為，
所以2≥m2－m，即m2－m－2≤0，解得－1≤m≤2，
所以實數m的取值范圍是[－1，2]，
故答案為：[－1，2]
四、解答題：本題共5小題，共38分．
15．(本題12分)
如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝．
若AC＝，求△ABC的面積；
若∠ADC＝，CD＝4，求AD的長．
【詳解】（1）因為∠ABC＝π，AB＝，AC＝，
所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即BC2＋2BC－3＝0，
所以BC＝1 ………………………3分
所以S△ABC＝×1××＝. ………………………5分
（2）設∠BAC＝θ(0＜θ＜)，AC＝x，則∠CAD＝－θ，
在ΔABC中，由正弦定理得：＝，
所以x＝；
在ΔACD中，＝，所以x＝.
即＝，化簡得：tanθ＝， ……………………………………………..8分
所以sin∠CAD＝cosθ＝，
所以AC＝x＝＝，cos∠CAD＝， …………………………………….10分
所以在ΔACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD.
即AD2－2AD－22＝0，解得AD＝＋2或AD＝－2（舍）………………..12分
16．(本題13分)
已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且對任意正整數n≥3有an＝3an－1－2an－2，數列{bn}滿足b1＝1，bn＝an－an－1(n≥2)
(1)證明：數列{bn}是等比數列；
(2)設cn＝，數列{cn}的前n項和Sn；
①求Sn；
②若不等式(－1)nλ＜Sn＋對任意的正整數n恒成立，求實數λ的取值范圍．
【詳解】（1）證明：因為an＝3an－1－2an－2(n≥3)，bn＝an－an－1(n≥2)，
∴an－an－1＝2(an－1－an－2)
∴bn＝2bn－1(n≥2)
因為a1＝1，a2＝3，所以b2＝a2－a1＝2．
所以＝＝＝2(n≥3)．………………….2分
又b1＝1，所以＝2，………………….3分
即證得{bn}是首項為1，公比為2的等比數列．………………….4分
（2）①由（1）可得，則cn＝＝，
Sn＝＋＋＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋＋…＋＋，
兩式相減得：Sn＝＋＋＋＋…＋＋－，
即Sn＝1＋1＋＋＋…＋＋－，
所以Sn＝1＋－，則Sn＝6－．………………….8分
②因為不等式(－1)nλ＜Sn＋對任意的正整數n恒成立，
即(－1)nλ＜6－對任意的正整數n恒成立，
當n為偶數時，因為f(n)＝6－在[1，＋∞為增函數，
所以λ＜f(2)＝； ……………….10分
當n為奇數時，－λ＜6－對任意的正整數n恒成立，
所以－λ＜f(1)＝3，解得λ＞－3． ………………….12分
綜上，實數λ的取值范圍為(－3，)． ………………….13分
17．(本題13分)
已知點C(x，y)與定點F(，0)的距離和它到直線l:x＝的距離的比是常數．
(1)求點C的軌跡．
(2)設A，B是軌跡C上的兩點，且直線OA與OB的斜率之積為－（O為坐標原點），D為射線OA上一點，且|OA|＝|AD|，線段DB與軌跡C交于點E，|BE|＝|ED|，求四邊形OAEB的面積．
【詳解】（1）設點C(x，y)到直線l的距離為d，依題意，＝，
于是＝，化簡得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1．…………………………3分
所以點C的軌跡是長軸長為4，短軸長為2，焦點在x軸上的橢圓．…………………4分
（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又kOA·kOB＝－，則＝－ x1x2＋4y1y2＝0．
由|BE|＝|ED|，|OA|＝|AD|，可得S△ABE＝S△ABD＝S△OAB，
則四邊形OAEB面積為S△OAB．………………………………………………………5分
當直線AB斜率為0時，易知kOA＝－kOB，又kOA·kOB＝－，則kOA＝±．
根據對稱性不妨取kOA＝，y1＞0，由得
則A(，)，B(－，)，得此時S△OAB＝×2×＝1；………………….7分
當直線斜率不為0時，設AB的方程為x＝my＋t，
將直線方程與橢圓方程聯立有：
消去x得：(m2＋4)y2＋2mty＋t2－4＝0．
Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)＞0，
由韋達定理，y1＋y2＝，y1y2＝．………………………………….8分
所以x1x2＋4y1y2＝(my1＋t)(my2＋t)＋4y1y2＝0
(m2＋4)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0 (m2＋4)－＋t2＝0
2t2－m2－4＝0 2t2＝m2＋4，m2＝2t2－4，…………………………………..10分
代入Δ＞0可得4(2t2－4)t2－4×2t2(t2－4)＞0，解得t≠0，
|AB|＝·＝
＝＝，
又原點到直線AB距離為，則此時S△OAB＝××＝1．………….12分
綜上可得，S△OAB＝1，四邊形OAEB面積為. ………….13分

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