資源簡介

河北省保定市高碑店市崇德實驗中學2023-2024學年高二下學期3月月考數(shù)學試題
一、 單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.
1．（2024高二下·高碑店月考）命題“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知識點】命題的否定
【解析】【解答】因為命題“，”為存在量詞命題，其否定為：，；
故答案為：A
【分析】利用全稱命題與特稱命題互為否定的關系，從而寫出命題 “，”的否定 。
2．（2024高二下·高碑店月考） 已知集合，集合，則集合為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】交集及其運算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由題意可知： 集合，
集合，
所以.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)題意先求集合A，B，進而求 .
3．（2024高二下·高碑店月考） “”是“”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；指、對數(shù)不等式的解法
【解析】【解答】解：由 可得，解得，
因為是的真子集，
所以“”是“”的 充分不必要條件 .
故選：A.
【分析】根據(jù)解得，結合包含判斷充分、必要條件.
4．（2024高二下·高碑店月考） 已知的取值如下表：
0 1 3 4
與線性相關，且線性回歸直線方程為，則=（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】線性回歸方程
【解析】【解答】解：由題意可知：，，
由題意可知：過樣本中心點，
則，解得.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)題意求，，結合線性回歸方程過樣本中心點分析求解.
5．（2024高二下·高碑店月考）盒中裝有10個乒乓球，其中7個新球，3個舊球，不放回地依次取出2個球使用，在第一次取到新球的條件下，第二次也取到新球的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】條件概率與獨立事件
【解析】【解答】設事件A表示“第一次摸出新球”，事件B表示“第二次摸出新球”，則P(A)＝ ，P(AB)＝ ，
故第一次取到新球的條件下，第二次也取到新球的概率P(B|A)＝ 。
故答案為：C．
【分析】利用已知條件結合條件概型求概率公式，進而得出在第一次取到新球的條件下，第二次也取到新球的概率。
6．（2024高二下·高碑店月考）銀行定期儲蓄存單的密碼由6個數(shù)字組成，每個數(shù)字均是0~9中的一個，小王去銀行取一筆到期的存款時，忘記了密碼中某一位上的數(shù)字，他決定不重復地隨機進行嘗試，則不超過2次就按對密碼的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率計算公式
【解析】【解答】依題意，忘記密碼中的那一位數(shù)字，第1次就按對的概率為，
第2次才按對的概率為，顯然第1次按對與第2次按對的事件是互斥事件，
所以不超過2次就按對密碼的概率為.
故答案為：D
【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式，結合古典概率計算作答.
7．（2024高二下·高碑店月考）已知隨機變量 服從正態(tài)分布 ，且 ，則 （　　）
A．0.0799 B．0.1587 C．0.3 D．0.3413
【答案】B
【知識點】正態(tài)密度曲線的特點；概率的應用
【解析】【解答】因為隨機變量 服從正態(tài)分布 ，
所以對稱軸為： ，
所以 ，所以 ，
所以 。
故答案為：B.
【分析】因為隨機變量 服從正態(tài)分布 ，再結合正態(tài)分布對應的函數(shù)的圖象的對稱性，得出對稱軸為： ，再結合已知條件 ， 從而求出P（X>4)的值。
8．（2024高二下·高碑店月考） 已知隨機變量服從二項分布，則（　　）.
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】D
【知識點】離散型隨機變量的期望與方差；二項分布
【解析】【解答】解：因為 隨機變量服從二項分布，
所以.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)期望的性質(zhì)結合二項分布的期望公式運算求解.
二、 多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）
9．（2024高二下·高碑店月考） 設集合，，且，則滿足條件的實數(shù)的值是（　　）
A．－2 B．3 C．1 D．0
【答案】A,D
【知識點】集合關系中的參數(shù)取值問題；子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換
【解析】【解答】解：因為，可知，
若，解得，檢驗可知均符合題意；
若，解得或，檢驗可知不符合題意，符合題意；
綜上所述： 滿足條件的實數(shù)的值是.
故答案為：AD.
【分析】由題意可知：，分和分析求解，并代入檢驗.
10．（2024高二下·高碑店月考） 已知隨機變量滿足，則下列說法正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知識點】離散型隨機變量的期望與方差
【解析】【解答】解：由題意可知：，解得.
故答案為：AC.
【分析】根據(jù)期望和方差的性質(zhì)分析求解.
11．（2024高二下·高碑店月考） 下列判斷中正確是（　　）
A．一組從小到大排列的數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10，去掉x與不去掉x，它們的80%分位數(shù)都不變，則
B．兩組數(shù)據(jù)與，設它們的平均值分別為與，將它們合并在一起，則總體的平均值為
C．已知離散型隨機變量，則
D．線性回歸模型中，相關系數(shù)r的值越大，則這兩個變量線性相關性越強
【答案】A,B
【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；樣本相關系數(shù)r及其數(shù)字特征；離散型隨機變量的期望與方差；二項分布；用樣本估計總體的百分位數(shù)
【解析】【解答】解：對于A：因為，則原數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10的80%分位數(shù)為，
又因為，
則新數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，10，10的80%分位數(shù)為10，
則，解得，故A正確；
對于B：由平均數(shù)的公式，可得，，
則將它們合并在一起的平均數(shù) ，故B正確；
對于C：離散型隨機變量，可得，
所以，故C錯誤；
對于D：相關系數(shù)越大，兩個變量線性相關性越強，故D錯誤．
故答案為：AB.
【分析】對于A：根據(jù)百分位數(shù)的定義分析求解；對于B：根據(jù)平均數(shù)的公式分析求解；對于C：根據(jù)方差的公式結合二項分布的方差公式分析求解；對于D：根據(jù)相關系數(shù)的性質(zhì)分析求解.
12．（2024高二下·高碑店月考） 下列命題中，正確的命題是（　　）
A．已知隨機變量服從二項分布，若，，則
B．已知，則
C．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
D．某人在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為，，則當時概率最大.
【答案】B,C,D
【知識點】離散型隨機變量的期望與方差；二項分布；正態(tài)密度曲線的特點；排列及排列數(shù)公式；組合及組合數(shù)公式
【解析】【解答】解：對于A：因為隨機變量服從二項分布，
則，解得，故A錯誤；
對于B：因為，則，
整理得，解得，故B正確；
對于C：因為隨機變量服從正態(tài)分布，可知圖象關于軸對稱，
若，所以，故C正確；
對于D：由題意可知：，
當時，對應的概率，
當時，則，
令，解得，即，
因為，所以且，即時，概率最大，故D正確．
故答案為：BCD.
【分析】對于A：根據(jù)二項分布的期望和方差公式分析求解；對于B：根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)性質(zhì)分析求解；對于C：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性分析求解；對于D：根據(jù)二項分布的概率公式結合數(shù)列單調(diào)性分析求解.
三、 填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）.
13．（2024高二下·高碑店月考） 新高考模式下，“3+1+2”中“3”是數(shù)學、語文、外語三個必選的主科，“1”是物理、歷史二選一，“2”是在地理、生物、化學、政治中選兩科.已知某校高二學生中有的學生選擇物理，剩余的選擇歷史，選擇物理和歷史的學生中選擇地理的概率分別是和，則從該校高二學生中任選一人，這名學生選擇地理的概率為　 　.
【答案】
【知識點】全概率公式；條件概率
【解析】【解答】解：設選擇物理為事件，選擇地理為事件，
則
由全概率公式可得，
即從該校高二學生中任選一人，這名學生選擇地理的概率為.
故答案為：.
【分析】設選擇物理為事件，選擇地理為事件，根據(jù)題意結合全概率公式分析求解.
14．（2024高二下·高碑店月考） 已知實數(shù)，滿足且，則的取值范圍是　 　.
【答案】
【知識點】利用不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小
【解析】【解答】解：由題意可知：，
因為且， 則且，
可得，所以的取值范圍是.
故答案為：.
【分析】根據(jù)題意可知，結合不等式的性質(zhì)分析求解.
15．（2024高二下·高碑店月考） 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.3，0.5，0.6．飛機被一人擊中而落地的概率為0.2，被兩人擊中而落地的概率為0.8，若三人都擊中，飛機必定被擊落．則飛機被擊落的概率為　 　．
【答案】0.46
【知識點】相互獨立事件的概率乘法公式；全概率公式
【解析】【解答】解：記飛機被人擊中分別為事件，飛機被擊落為事件，
由題意可知：，，，
，
0.36，
，
由全概率公式得，
所以飛機被擊落的概率為．
故答案為：
【分析】記飛機被人擊中分別為事件，飛機被擊落為事件，根據(jù)獨立事件概率公式求，結合全概率公式運算求解.
16．（2024高二下·高碑店月考） 某次視力檢測中，甲班12個人視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1，方差為1；乙班8個人的視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.5，方差為0.25，則這20個人的視力的方差為　 　.
【答案】0.76
【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標準差
【解析】【解答】解：設 甲班12個人視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差為，
設 乙班8個人視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差為，
可知 這20個人的視力的平均數(shù)為
所以 這20個人的視力的方差為.
故答案為：0.76.
【分析】根據(jù)題意求這20個人的視力的平均數(shù)，結合分層抽樣的方差公式運算求解.
四、 解答題（本題共有六道小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
17．（2024高二下·高碑店月考） 已知集合.
（1）當時，求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）因為，所以.
由題意可得，
故.
（2）因為，所以.
當時，，解得，符合題意；
當時，則，解得，符合題意.
綜上，取值范圍為.
【知識點】集合關系中的參數(shù)取值問題；并集及其運算；交集及其運算；子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換
【解析】【分析】 (1) 根據(jù)題意先求集合A，B，進而可得；
(2) 由題意可得，分和兩種情況，結合包含關系分析求解即可.
18．（2024高二下·高碑店月考）設函數(shù) .
（1）若不等式 的解集是 ，求不等式 的解集；
（2）當 時，對任意的 都有 成立，求實數(shù) 的取值范圍.
【答案】（1）解：因為不等式 的解集是 ，
所以 是方程 的解
由韋達定理得： ，
故不等式 為 .
解不等式 得其解集為 .
（2）解： 時，
據(jù)題意 ， 恒成立，
則可轉(zhuǎn)化為
設 ，則 ，
關于 遞減，
所以 ，∴ .
【知識點】函數(shù)恒成立問題；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值問題中的應用
【解析】【分析】（1）利用已知條件結合一元二次不等式求解集的方法，從而利用韋達定理求出a，b的值，進而結合一元二次不等式求解集的方法，從而求出不等式 的解集。
（2） 時，據(jù)題意 ， 恒成立，再利用不等式恒成立問題的求解方法，將 恒成立轉(zhuǎn)化為 ，再利用換元法結合均值不等式求函數(shù)最值的方法，從而求出實數(shù) 的取值范圍。
19．（2024高二下·高碑店月考） 小強5次考試的數(shù)學與物理成績（滿分100分）如下表，由散點圖可知，小強的數(shù)學成績x與物理成績y之間線性相關.
數(shù)學成績x 67 68 70 72 73
物理成績y 64 63 66 65 67
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
（1）求y關于x的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，小強第6次考試數(shù)學成績是78分，請估計小強的物理分數(shù)．
【答案】（1）解：由題設，，，
，，
所以，則，故線性回歸方程為.
（2）解：由（1），令， 可得分，
估計小強的 物理分數(shù)為69分.
【知識點】最小二乘法；線性回歸方程
【解析】【分析】 (1) 根據(jù)題中公式和數(shù)據(jù)分析求解即可；
(2) 根據(jù)（1）中函數(shù)，令，即可得結果.
20．（2024高二下·高碑店月考） 某市隨機抽取名市民進行智能手機使用情況調(diào)查，使用5G手機（A類）和使用4G及以下或不使用手機（B類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例統(tǒng)計如下表：
A類 B類
大于或等于60歲
小于60歲
附：．
（1）若用樣本的頻率作為概率的估計值，在全體市民中任選3人，記為3人中小于60歲的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；
（2）若以60歲為年齡分界，討論當取不同值時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷使用手機類型與年齡有關？
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由表格可知，任取一人小于60歲的概率，
由題意可知：，的可能取值為0，1，2，3
所以，
，
，
所以的分布列為：
所以（或者）.
（2）j解：因為使用5G手機（A類）和使用4G及以下或不使用手機（B類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例統(tǒng)計如下表：
所以可得列聯(lián)表
A類 B類 總計
大于或等于60歲
小于60歲
總計
因為，，，都是正整數(shù)，
且：：：=2：3：6：9
所以是20的正整數(shù)倍，
因為，
當時，，
當時，，
所以當且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為喜歡旅游與性別有關；
當且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為喜歡旅游與性別有無關.
【知識點】獨立性檢驗的應用；概率分布列；二項分布
【解析】【分析】 (1) 由題意分析可知，結合二項分布求分布列和期望；
(2) 根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析求解.
21．（2024高二下·高碑店月考）為監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取10件零件，度量其內(nèi)徑尺寸（單位： ）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑尺寸服從正態(tài)分布.
參考數(shù)據(jù)： ， ，， ， ，， ， .
（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示某一天內(nèi)抽取的10個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；
（2）某天正常工作的一條生產(chǎn)線數(shù)據(jù)記錄的莖葉圖如下圖所示：
①計算這一天平均值與標準差；
②一家公司引進了一條這種生產(chǎn)線，為了檢查這條生產(chǎn)線是否正常，用這條生產(chǎn)線試生產(chǎn)了5個零件，度量其內(nèi)徑分別為（單位： ）：85，95，103，109，119，試問此條生產(chǎn)線是否需要進一步調(diào)試，為什么？
【答案】（1）解：由題意知：或 ，，
∵，∴
（2）解：①
，所以
②結論：需要進一步調(diào)試．
理由如下：如果生產(chǎn)線正常工作，則服從正態(tài)分布，
，零件內(nèi)徑在之外的概率只有0.0026，而根據(jù)原則，知生產(chǎn)線異常，需要進一步調(diào)試．
【知識點】莖葉圖；離散型隨機變量的期望與方差；正態(tài)密度曲線的特點
【解析】【分析】（1）根據(jù)原則，可求得當和時的概率，結合對立事件的概率關系即可求得；由正態(tài)分布的期望公式即可求得X的數(shù)學期望.
（2）根據(jù)莖葉圖，列出數(shù)據(jù)即可求得平均值，由方差公式先求得，再求得標準差；由正態(tài)分布的原則，計算出 .觀測5個零件與該范圍關系，即可判斷是否需要進一步調(diào)試.
22．（2024高二下·高碑店月考）為增強學生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學參加限時投籃活動，記錄他們在規(guī)定時間內(nèi)的進球個數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：
（1）估計全班同學的平均進球個數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）
（2）現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數(shù)在，，內(nèi)的同學中抽取8人進行培訓，再從中抽取3人做進一步培訓．
（ⅰ）記這3人中進球個數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；
（ⅱ）已知抽取的這3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率．
【答案】（1）解：該班同學的平均進球個數(shù)
．
（2）解：由題意可知進球個數(shù)在，，內(nèi)的頻率分別為0.16，0.32，0.16，頻率比為，
所以抽取的8人中，進球個數(shù)在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2，4，2．
（ⅰ）由題意可知，，1，2，3，所以，，
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以．
（ⅱ）記事件“抽取的3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間”，事件“抽取的這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間”，
則，，所以，
即這3個人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率為
【知識點】頻率分布直方圖；超幾何分布；條件概率
【解析】【分析】(1)每一組的中點值乘以對應的頻率即可得到平均值；
(2)由頻率比得到各小組內(nèi)的人數(shù)，再利用超幾何分布得到X的分布列與數(shù)學期望，即可得到(i)的答案；又利用條件概率即可得到(ii)的答案.
1 / 1河北省保定市高碑店市崇德實驗中學2023-2024學年高二下學期3月月考數(shù)學試題
一、 單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.
1．（2024高二下·高碑店月考）命題“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024高二下·高碑店月考） 已知集合，集合，則集合為（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·高碑店月考） “”是“”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024高二下·高碑店月考） 已知的取值如下表：
0 1 3 4
與線性相關，且線性回歸直線方程為，則=（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·高碑店月考）盒中裝有10個乒乓球，其中7個新球，3個舊球，不放回地依次取出2個球使用，在第一次取到新球的條件下，第二次也取到新球的概率為（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·高碑店月考）銀行定期儲蓄存單的密碼由6個數(shù)字組成，每個數(shù)字均是0~9中的一個，小王去銀行取一筆到期的存款時，忘記了密碼中某一位上的數(shù)字，他決定不重復地隨機進行嘗試，則不超過2次就按對密碼的概率為（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·高碑店月考）已知隨機變量 服從正態(tài)分布 ，且 ，則 （　　）
A．0.0799 B．0.1587 C．0.3 D．0.3413
8．（2024高二下·高碑店月考） 已知隨機變量服從二項分布，則（　　）.
A．3 B．4 C．6 D．7
二、 多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）
9．（2024高二下·高碑店月考） 設集合，，且，則滿足條件的實數(shù)的值是（　　）
A．－2 B．3 C．1 D．0
10．（2024高二下·高碑店月考） 已知隨機變量滿足，則下列說法正確的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·高碑店月考） 下列判斷中正確是（　　）
A．一組從小到大排列的數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10，去掉x與不去掉x，它們的80%分位數(shù)都不變，則
B．兩組數(shù)據(jù)與，設它們的平均值分別為與，將它們合并在一起，則總體的平均值為
C．已知離散型隨機變量，則
D．線性回歸模型中，相關系數(shù)r的值越大，則這兩個變量線性相關性越強
12．（2024高二下·高碑店月考） 下列命題中，正確的命題是（　　）
A．已知隨機變量服從二項分布，若，，則
B．已知，則
C．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
D．某人在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為，，則當時概率最大.
三、 填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）.
13．（2024高二下·高碑店月考） 新高考模式下，“3+1+2”中“3”是數(shù)學、語文、外語三個必選的主科，“1”是物理、歷史二選一，“2”是在地理、生物、化學、政治中選兩科.已知某校高二學生中有的學生選擇物理，剩余的選擇歷史，選擇物理和歷史的學生中選擇地理的概率分別是和，則從該校高二學生中任選一人，這名學生選擇地理的概率為　 　.
14．（2024高二下·高碑店月考） 已知實數(shù)，滿足且，則的取值范圍是　 　.
15．（2024高二下·高碑店月考） 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.3，0.5，0.6．飛機被一人擊中而落地的概率為0.2，被兩人擊中而落地的概率為0.8，若三人都擊中，飛機必定被擊落．則飛機被擊落的概率為　 　．
16．（2024高二下·高碑店月考） 某次視力檢測中，甲班12個人視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1，方差為1；乙班8個人的視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.5，方差為0.25，則這20個人的視力的方差為　 　.
四、 解答題（本題共有六道小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
17．（2024高二下·高碑店月考） 已知集合.
（1）當時，求；
（2）若，求的取值范圍.
18．（2024高二下·高碑店月考）設函數(shù) .
（1）若不等式 的解集是 ，求不等式 的解集；
（2）當 時，對任意的 都有 成立，求實數(shù) 的取值范圍.
19．（2024高二下·高碑店月考） 小強5次考試的數(shù)學與物理成績（滿分100分）如下表，由散點圖可知，小強的數(shù)學成績x與物理成績y之間線性相關.
數(shù)學成績x 67 68 70 72 73
物理成績y 64 63 66 65 67
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
（1）求y關于x的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，小強第6次考試數(shù)學成績是78分，請估計小強的物理分數(shù)．
20．（2024高二下·高碑店月考） 某市隨機抽取名市民進行智能手機使用情況調(diào)查，使用5G手機（A類）和使用4G及以下或不使用手機（B類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例統(tǒng)計如下表：
A類 B類
大于或等于60歲
小于60歲
附：．
（1）若用樣本的頻率作為概率的估計值，在全體市民中任選3人，記為3人中小于60歲的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；
（2）若以60歲為年齡分界，討論當取不同值時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷使用手機類型與年齡有關？
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
21．（2024高二下·高碑店月考）為監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取10件零件，度量其內(nèi)徑尺寸（單位： ）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑尺寸服從正態(tài)分布.
參考數(shù)據(jù)： ， ，， ， ，， ， .
（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示某一天內(nèi)抽取的10個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；
（2）某天正常工作的一條生產(chǎn)線數(shù)據(jù)記錄的莖葉圖如下圖所示：
①計算這一天平均值與標準差；
②一家公司引進了一條這種生產(chǎn)線，為了檢查這條生產(chǎn)線是否正常，用這條生產(chǎn)線試生產(chǎn)了5個零件，度量其內(nèi)徑分別為（單位： ）：85，95，103，109，119，試問此條生產(chǎn)線是否需要進一步調(diào)試，為什么？
22．（2024高二下·高碑店月考）為增強學生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學參加限時投籃活動，記錄他們在規(guī)定時間內(nèi)的進球個數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：
（1）估計全班同學的平均進球個數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）
（2）現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數(shù)在，，內(nèi)的同學中抽取8人進行培訓，再從中抽取3人做進一步培訓．
（ⅰ）記這3人中進球個數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；
（ⅱ）已知抽取的這3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】命題的否定
【解析】【解答】因為命題“，”為存在量詞命題，其否定為：，；
故答案為：A
【分析】利用全稱命題與特稱命題互為否定的關系，從而寫出命題 “，”的否定 。
2．【答案】B
【知識點】交集及其運算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由題意可知： 集合，
集合，
所以.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)題意先求集合A，B，進而求 .
3．【答案】A
【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；指、對數(shù)不等式的解法
【解析】【解答】解：由 可得，解得，
因為是的真子集，
所以“”是“”的 充分不必要條件 .
故選：A.
【分析】根據(jù)解得，結合包含判斷充分、必要條件.
4．【答案】B
【知識點】線性回歸方程
【解析】【解答】解：由題意可知：，，
由題意可知：過樣本中心點，
則，解得.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)題意求，，結合線性回歸方程過樣本中心點分析求解.
5．【答案】C
【知識點】條件概率與獨立事件
【解析】【解答】設事件A表示“第一次摸出新球”，事件B表示“第二次摸出新球”，則P(A)＝ ，P(AB)＝ ，
故第一次取到新球的條件下，第二次也取到新球的概率P(B|A)＝ 。
故答案為：C．
【分析】利用已知條件結合條件概型求概率公式，進而得出在第一次取到新球的條件下，第二次也取到新球的概率。
6．【答案】D
【知識點】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率計算公式
【解析】【解答】依題意，忘記密碼中的那一位數(shù)字，第1次就按對的概率為，
第2次才按對的概率為，顯然第1次按對與第2次按對的事件是互斥事件，
所以不超過2次就按對密碼的概率為.
故答案為：D
【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式，結合古典概率計算作答.
7．【答案】B
【知識點】正態(tài)密度曲線的特點；概率的應用
【解析】【解答】因為隨機變量 服從正態(tài)分布 ，
所以對稱軸為： ，
所以 ，所以 ，
所以 。
故答案為：B.
【分析】因為隨機變量 服從正態(tài)分布 ，再結合正態(tài)分布對應的函數(shù)的圖象的對稱性，得出對稱軸為： ，再結合已知條件 ， 從而求出P（X>4)的值。
8．【答案】D
【知識點】離散型隨機變量的期望與方差；二項分布
【解析】【解答】解：因為 隨機變量服從二項分布，
所以.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)期望的性質(zhì)結合二項分布的期望公式運算求解.
9．【答案】A,D
【知識點】集合關系中的參數(shù)取值問題；子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換
【解析】【解答】解：因為，可知，
若，解得，檢驗可知均符合題意；
若，解得或，檢驗可知不符合題意，符合題意；
綜上所述： 滿足條件的實數(shù)的值是.
故答案為：AD.
【分析】由題意可知：，分和分析求解，并代入檢驗.
10．【答案】A,C
【知識點】離散型隨機變量的期望與方差
【解析】【解答】解：由題意可知：，解得.
故答案為：AC.
【分析】根據(jù)期望和方差的性質(zhì)分析求解.
11．【答案】A,B
【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；樣本相關系數(shù)r及其數(shù)字特征；離散型隨機變量的期望與方差；二項分布；用樣本估計總體的百分位數(shù)
【解析】【解答】解：對于A：因為，則原數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10的80%分位數(shù)為，
又因為，
則新數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，10，10的80%分位數(shù)為10，
則，解得，故A正確；
對于B：由平均數(shù)的公式，可得，，
則將它們合并在一起的平均數(shù) ，故B正確；
對于C：離散型隨機變量，可得，
所以，故C錯誤；
對于D：相關系數(shù)越大，兩個變量線性相關性越強，故D錯誤．
故答案為：AB.
【分析】對于A：根據(jù)百分位數(shù)的定義分析求解；對于B：根據(jù)平均數(shù)的公式分析求解；對于C：根據(jù)方差的公式結合二項分布的方差公式分析求解；對于D：根據(jù)相關系數(shù)的性質(zhì)分析求解.
12．【答案】B,C,D
【知識點】離散型隨機變量的期望與方差；二項分布；正態(tài)密度曲線的特點；排列及排列數(shù)公式；組合及組合數(shù)公式
【解析】【解答】解：對于A：因為隨機變量服從二項分布，
則，解得，故A錯誤；
對于B：因為，則，
整理得，解得，故B正確；
對于C：因為隨機變量服從正態(tài)分布，可知圖象關于軸對稱，
若，所以，故C正確；
對于D：由題意可知：，
當時，對應的概率，
當時，則，
令，解得，即，
因為，所以且，即時，概率最大，故D正確．
故答案為：BCD.
【分析】對于A：根據(jù)二項分布的期望和方差公式分析求解；對于B：根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)性質(zhì)分析求解；對于C：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性分析求解；對于D：根據(jù)二項分布的概率公式結合數(shù)列單調(diào)性分析求解.
13．【答案】
【知識點】全概率公式；條件概率
【解析】【解答】解：設選擇物理為事件，選擇地理為事件，
則
由全概率公式可得，
即從該校高二學生中任選一人，這名學生選擇地理的概率為.
故答案為：.
【分析】設選擇物理為事件，選擇地理為事件，根據(jù)題意結合全概率公式分析求解.
14．【答案】
【知識點】利用不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小
【解析】【解答】解：由題意可知：，
因為且， 則且，
可得，所以的取值范圍是.
故答案為：.
【分析】根據(jù)題意可知，結合不等式的性質(zhì)分析求解.
15．【答案】0.46
【知識點】相互獨立事件的概率乘法公式；全概率公式
【解析】【解答】解：記飛機被人擊中分別為事件，飛機被擊落為事件，
由題意可知：，，，
，
0.36，
，
由全概率公式得，
所以飛機被擊落的概率為．
故答案為：
【分析】記飛機被人擊中分別為事件，飛機被擊落為事件，根據(jù)獨立事件概率公式求，結合全概率公式運算求解.
16．【答案】0.76
【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標準差
【解析】【解答】解：設 甲班12個人視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差為，
設 乙班8個人視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差為，
可知 這20個人的視力的平均數(shù)為
所以 這20個人的視力的方差為.
故答案為：0.76.
【分析】根據(jù)題意求這20個人的視力的平均數(shù)，結合分層抽樣的方差公式運算求解.
17．【答案】（1）因為，所以.
由題意可得，
故.
（2）因為，所以.
當時，，解得，符合題意；
當時，則，解得，符合題意.
綜上，取值范圍為.
【知識點】集合關系中的參數(shù)取值問題；并集及其運算；交集及其運算；子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換
【解析】【分析】 (1) 根據(jù)題意先求集合A，B，進而可得；
(2) 由題意可得，分和兩種情況，結合包含關系分析求解即可.
18．【答案】（1）解：因為不等式 的解集是 ，
所以 是方程 的解
由韋達定理得： ，
故不等式 為 .
解不等式 得其解集為 .
（2）解： 時，
據(jù)題意 ， 恒成立，
則可轉(zhuǎn)化為
設 ，則 ，
關于 遞減，
所以 ，∴ .
【知識點】函數(shù)恒成立問題；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值問題中的應用
【解析】【分析】（1）利用已知條件結合一元二次不等式求解集的方法，從而利用韋達定理求出a，b的值，進而結合一元二次不等式求解集的方法，從而求出不等式 的解集。
（2） 時，據(jù)題意 ， 恒成立，再利用不等式恒成立問題的求解方法，將 恒成立轉(zhuǎn)化為 ，再利用換元法結合均值不等式求函數(shù)最值的方法，從而求出實數(shù) 的取值范圍。
19．【答案】（1）解：由題設，，，
，，
所以，則，故線性回歸方程為.
（2）解：由（1），令， 可得分，
估計小強的 物理分數(shù)為69分.
【知識點】最小二乘法；線性回歸方程
【解析】【分析】 (1) 根據(jù)題中公式和數(shù)據(jù)分析求解即可；
(2) 根據(jù)（1）中函數(shù)，令，即可得結果.
20．【答案】（1）解：由表格可知，任取一人小于60歲的概率，
由題意可知：，的可能取值為0，1，2，3
所以，
，
，
所以的分布列為：
所以（或者）.
（2）j解：因為使用5G手機（A類）和使用4G及以下或不使用手機（B類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例統(tǒng)計如下表：
所以可得列聯(lián)表
A類 B類 總計
大于或等于60歲
小于60歲
總計
因為，，，都是正整數(shù)，
且：：：=2：3：6：9
所以是20的正整數(shù)倍，
因為，
當時，，
當時，，
所以當且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為喜歡旅游與性別有關；
當且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為喜歡旅游與性別有無關.
【知識點】獨立性檢驗的應用；概率分布列；二項分布
【解析】【分析】 (1) 由題意分析可知，結合二項分布求分布列和期望；
(2) 根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析求解.
21．【答案】（1）解：由題意知：或 ，，
∵，∴
（2）解：①
，所以
②結論：需要進一步調(diào)試．
理由如下：如果生產(chǎn)線正常工作，則服從正態(tài)分布，
，零件內(nèi)徑在之外的概率只有0.0026，而根據(jù)原則，知生產(chǎn)線異常，需要進一步調(diào)試．
【知識點】莖葉圖；離散型隨機變量的期望與方差；正態(tài)密度曲線的特點
【解析】【分析】（1）根據(jù)原則，可求得當和時的概率，結合對立事件的概率關系即可求得；由正態(tài)分布的期望公式即可求得X的數(shù)學期望.
（2）根據(jù)莖葉圖，列出數(shù)據(jù)即可求得平均值，由方差公式先求得，再求得標準差；由正態(tài)分布的原則，計算出 .觀測5個零件與該范圍關系，即可判斷是否需要進一步調(diào)試.
22．【答案】（1）解：該班同學的平均進球個數(shù)
．
（2）解：由題意可知進球個數(shù)在，，內(nèi)的頻率分別為0.16，0.32，0.16，頻率比為，
所以抽取的8人中，進球個數(shù)在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2，4，2．
（ⅰ）由題意可知，，1，2，3，所以，，
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以．
（ⅱ）記事件“抽取的3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間”，事件“抽取的這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間”，
則，，所以，
即這3個人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率為
【知識點】頻率分布直方圖；超幾何分布；條件概率
【解析】【分析】(1)每一組的中點值乘以對應的頻率即可得到平均值；
(2)由頻率比得到各小組內(nèi)的人數(shù)，再利用超幾何分布得到X的分布列與數(shù)學期望，即可得到(i)的答案；又利用條件概率即可得到(ii)的答案.
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