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廣西梧州市蒙山縣2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．二次函數(shù)y=－2x2的圖像開(kāi)口方向是（）
A．向下 B．向左 C．向上 D．向右
2．反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的值為（ ）
A．6 B． C．3 D．2
3．六堡茶是廣西梧州的特產(chǎn)．如圖是梧州六堡茶茶葉的包裝盒，它的主視圖是（ ）
A． B．
C． D．
4．工人師傅用直角曲尺檢查驗(yàn)收半圓形工件，下列為合格的“半圓形工件”的是（ ）
A． B．
C． D．
5．關(guān)于反比例函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．隨增大而增大 B．隨增大而減小
C．函數(shù)圖象位于第一，二象限 D．函數(shù)圖象位于第二，四象限
6．如圖，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間距離，在點(diǎn)設(shè)樁，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，測(cè)得，則的距離為（ ）
A．12m B．8m C．6m D．4m
7．如圖，在中，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，，分別為的半徑，點(diǎn)在圓上，連接，．若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
9．若兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為和，則另一個(gè)三角形最小的角為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且．若表示以為邊的正方形的面積，表示長(zhǎng)為、寬為的矩形的面積，則與的大小關(guān)系為（　　）
A． B． C． D．無(wú)法確定
11．如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線
B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2
C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3
12．“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來(lái)倍受人們的喜愛(ài)．小華在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接．若正方形與正方形的邊長(zhǎng)之比為，則等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
14．拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是 ．
15．如圖①所示，在小孔成像的實(shí)踐探究活動(dòng)中，隨著物距和像距的調(diào)節(jié)可得到蠟燭火焰的放大或縮小倒立的實(shí)像．圖形的位似變換也具有放大或縮小的性質(zhì)，圖②為有一實(shí)物高度分別表示物距和像距，當(dāng)時(shí)，此時(shí)實(shí)物的像的高度為 m．
16．已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則的值為 ．
17．如圖，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)的六角形螺帽，扳手張開(kāi)的口至少要 ．
18．如圖，是的直徑，半徑的長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)的弦，將沿翻折交直線于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為正整數(shù)時(shí)，線段的長(zhǎng)為 ．
三、解答題
19．某水箱的容量一定，注入水的流量與注滿(mǎn)水箱的時(shí)間成反比例關(guān)系，當(dāng)時(shí)，．
(1)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，求水流量的值．
20．如圖，在中，，為上一點(diǎn)，連接．

(1)求的長(zhǎng)度．
(2)若，則的長(zhǎng)度是多少？（）
21．如圖，在四邊形中，已知．
(1)尺規(guī)作圖：作的平分線交于點(diǎn)．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）條件下，連接交于，證明：．
22．如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，．
(1)求證：是半圓的切線；
(2)若，，則的長(zhǎng)．
23．如圖，折疊矩形的一邊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．已知折痕．且．
(1)求證：
(2)求陰影部分面積．
24．綜合與實(shí)踐
【實(shí)踐探索】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為了測(cè)量樹(shù)的高度，經(jīng)過(guò)實(shí)地測(cè)量，得到三個(gè)解決方案：
方案一：如圖①，測(cè)得地與樹(shù)相距10米，小明眼睛到地面距離為1.6米，從他的眼睛處觀測(cè)樹(shù)的頂端的仰角為；
方案二：如圖②，測(cè)得地與樹(shù)相距10米，在處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)，小明的眼睛在鏡子中距離地面1.6米，且恰好看到樹(shù)的頂端．
方案三：如圖③，在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，測(cè)得樹(shù)的影長(zhǎng)為10米，測(cè)得高為2米的標(biāo)桿的影長(zhǎng)是2.5米．
【問(wèn)題解決】
(1)試選擇一個(gè)方案求出樹(shù)的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，）
(2)在方案三條件下，如圖③所示判斷和是否成為位似圖形，若成立請(qǐng)作出它們的位似中心，并求出點(diǎn)到點(diǎn)的長(zhǎng)度．若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．已知中，為的弦，直線與相切于點(diǎn)．
(1)如圖①，若，直徑交于點(diǎn)，求和的度數(shù)；
(2)如圖②，若，垂足為與相交于點(diǎn)的半徑為6，求線段的值．
26．如圖，已知拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線的上方，試求面積的最大值．
(3)點(diǎn)是線段上異于的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
參考答案
1．A
【詳解】∵中a=－2<0，
∴圖象的開(kāi)口向下，
故答案為A.
2．A
解：把，，代入得：，
故選：A．
3．A
解：主視圖從前往后看（即從正面看）時(shí)，能看得見(jiàn)的棱，則主視圖中對(duì)應(yīng)為實(shí)線，且圖形為矩形，左右兩邊各有一個(gè)小矩形；
故選：A．
4．B
解：因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角，
∴只有B選項(xiàng)正確，其他均不正確．
故選：B．
5．D
解：∵反比例函數(shù)中，
∴圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，在每一個(gè)象限中y隨著x的增大而增大，
∴A、B、C錯(cuò)誤，D正確，故D選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
6．B
解：∵取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
故選：B．
7．D
解：∵，
∴，
∴，
故選：D．
8．B
解：∵，
∴．
故選：B．
9．B
解：∵一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為，
∴這個(gè)三角形的第三個(gè)角是，
∵兩個(gè)三角形相似，已知三角形的最小角是，
∴另一個(gè)三角形的最小的內(nèi)角為．
故選：B．
10．A
解：∵點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，
∴，
∵表示以為邊的正方形的面積，表示長(zhǎng)為、寬為的矩形的面積，
∴，
∴．
故選：A．
11．D
解∶ ∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線，
∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
∵拋物線開(kāi)口向下， 對(duì)稱(chēng)軸是直線，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
設(shè)二次函數(shù)解析式為，
把代入，得，
解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，故選項(xiàng)D正確，
故選D．
12．D
解：設(shè)的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為x，
即，，
由題意得，，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
故選：D．
13．
解：∵頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)為，
∴的頂點(diǎn)為，
故答案為：．
14．
解：∵，
∴拋物線開(kāi)口向上，
∵拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
∴當(dāng)時(shí)，．
故答案為：．
15．
解：由題意得：，即，
則，
故答案為：3．
16．
解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
∴，
∴反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，
∴，
∴，
故答案為：．
17．
解：設(shè)正六邊形的中心是，其一邊是，連接、、、，交于，如圖所示：
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
18．或或2
解：為直徑，為弦，
，
當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為正整數(shù)時(shí)，或2，
當(dāng)時(shí)，即為直徑，
將沿翻折交直線于點(diǎn)F，此時(shí)與點(diǎn)重合，
故；
當(dāng)時(shí)，且在點(diǎn)在線段之間，
如圖，連接，
此時(shí)，
，
，
，
，
；
當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)在線段之間，連接，
同理可得，
，
綜上，可得線段的長(zhǎng)為或或2，
故答案為：或或2．
19．(1)
(2)
（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，，
則，
解得：，
∴與之間的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）解：將代入，
則．
20．(1)
(2)
（1）解：∵在中，，，
∴；
（2）解：∵在中，，，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
21．(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
（1）解：如圖所示即為所求：
（2）證明：如圖，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)見(jiàn)解析
(2)．
（1）證明：是半圓O的直徑，
，
，
，
是半圓O的切線；
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
23．(1)見(jiàn)解析
(2)
（1）證明：折疊矩形的一邊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，
，
，，
，
∴；
（2）解：，
設(shè)，，
，
．
，
即，
，
．
在中，由勾股定理，得，即，
，（不合題意，舍去），
∴，
∴陰影部分面積為．
24．(1)8米，過(guò)程見(jiàn)解析
(2)是位似圖形，位似中心見(jiàn)解析，
（1）解：方案一：過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴.
在中，，
解得，
∴；
方案二：
∵，
∴，
∴，
即，
解得；
方案三：∵在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，
∴，
即，
解得；
（2）解：如圖所示，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求作.
∵，，
∴，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，
∴和是位似圖形，且位似比為，
∴，
即，
解得．
25．(1)，
(2)
（1）解：為的弦，
，
∴，
，，
；
直線與相切于點(diǎn)為的直徑，
．即．
又，
．
在中，．
，
；
（2）解：如圖，連接．
∵，
∴，
∵ 直線 與 相切于點(diǎn) ，
∴，
∵，
∴，
，得，
在中，，
∴，
，
在中，，，
，
∴，
在中，，
，
∴．
26．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，
得，
解得，
∴拋物線的關(guān)系式為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)．　
設(shè)直線的關(guān)系為
∵點(diǎn)，，
∴
解得，
∴．
過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為M，交于點(diǎn)D，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則，則，
∴，
．
∵，
∴拋物線開(kāi)口向下，
當(dāng)時(shí)，的最大值為；
（3）解：．
如圖，當(dāng)時(shí)，軸，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)；
如圖所示，當(dāng)，過(guò)點(diǎn)M作軸，垂足為F，
∵，
∴，
∴，，
∴．
設(shè)，則點(diǎn)，
∴，
解得（舍去），，
∴點(diǎn)．
故答案為：點(diǎn)或．

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