資源簡介

2025～2026學年度第一學期階段性練習
九年級數學
一．選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）
1．（2分）如圖是“海上日出”圖片，圖中海平面與太陽可看成直線和圓的位置關系是（　　）
A．相切 B．相交 C．平行 D．相離
2．（2分）關于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的兩個根x1，x2滿足x1＝2x2+3，且x1＞x2，則m的值為（　　）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
3．（2分）如圖是某地下停車場的平面示意圖，停車場的長為40m，寬為22m．停車場內車道的寬都相等，若停車位的占地面積為520m2，求車道的寬度（單位：m）．設停車場內車道的寬度為x m，根據題意所列方程為（　　）
A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520
4．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，∠E＝30°，則∠BOD＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．110°
5．（2分）如圖一個扇形紙片的圓心角為90°，半徑為6．將這張扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，則陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）如圖，已知⊙O的直徑AB為10，將⊙O沿CD折疊，使弧CED與直徑AB相切于點E，則折痕CD的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）
7．（2分）關于x的一元二次方程（x﹣2）2﹣16＝0的解是　 　 ．
8．（2分）已知關于x的方程x2﹣（m+2）x+3m+3＝0，若方程的根都是整數，則滿足條件的正整數m的值為　 　 ．
9．（2分）以點P（1，2）為圓心，r為半徑畫圓，與坐標軸恰好有三個公共點，則r的值為　 　 ．
10．（2分）用一個圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐，若圓錐底面圓的半徑為2cm，則扇形的半徑為 　 　 cm．
11．（2分）已知同一個圓的內接正六邊形與內接正三角形的面積之差為，則該圓的半徑為　 　 cm．
12．（2分）如圖，△ABC內接于⊙O，若AC∥BO，∠OBC＝28°，則∠CBA的度數是　 　 ．
13．（2分）若x2﹣4x+y2+6y+13＝0，則x2+y2＝　 　 ．
14．（2分）如圖，在矩形ABCD中，點P在BC上，AB＝2BP，以P為圓心，PA為半徑的圓弧交AD于點E，交CD于點F．若E是的中點，AD＝16，則BP的長為　 　 ．
15．（2分）如果一元二次方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0有一個根為0，則m的值為 　 　 ．
16．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，AB＝5，AC＝4，D是上的一個動點，連接AD．過點C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是　 　 ．
三．解答題（共11小題，滿分88分，每小題8分）
17．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣5）2＝8（x﹣5）
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
18．（8分）已知關于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求證：k取任何實數值，方程總有實數根；
（2）若Rt△ABC斜邊長a＝3，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
19．（6分）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求證：．
20．（8分）有一個直徑為1m的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的圓心角為90°的扇形ABC，如圖所示．
（1）求被剪掉陰影部分的面積：
（2）用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少？
21．（6分）已知：如圖點A、B為⊙O定點．
求作：優(yōu)弧AB上點C使得AC﹣BC等于定長d．（保留作圖痕跡，并將你的構圖思維用簡要文字加以說明）
22．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．
（1）求證：∠1＝∠2；
（2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半徑長．
23．（8分）某單位于“三八”婦女節(jié)期間組織女職工到金寶樂園觀光旅游．下面是領隊與旅行社導游就收費標準的一段對話．
領隊：組團去金寶樂園旅游每人收費是多少？
導游：如果人數不超過25人，人均旅游費用為100元．
領隊：超過25人怎樣優(yōu)惠呢？
導游：如果超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低2元，但人均旅游費用不得低于70元．該單位按旅行社的收費標準組團游覽金寶樂園結束后，共支付給旅行社2700元．
請你根據上述信息，求該單位這次到金寶樂園觀光旅游的共有多少人．
24．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，D為⊙O上一點，連接CD，∠ADC＝∠AOF，OF⊥AD于點E，交CD于點F．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC＝2OA，EF＝2，求BD的長．
25．（8分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，過點O作OD⊥AC于D，連接BC．
（1）求證：ODBC．
（2）若∠BAC＝40°，求∠AOC的度數．
26．（10分）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均為整數，則稱這個方程為“快樂方程”．通過計算發(fā)現，任何一個“快樂方程”的判別式Δ＝b2﹣4ac一定為完全平方數．現規(guī)定F（a，b，c）為該“快樂方程”的“快樂數”．例如：“快樂方程”x2﹣3x﹣4＝0的兩個根均為整數，其“快樂數”F（1，﹣3，﹣4），若有另一個“快樂方程”px2+qx+r＝0（p≠0）的“快樂數”為F（p，q，r），且滿足r F（a，b，c）＝c F（p，q，r），則稱F（a，b，c）與F（p，q，r）互為“開心數”．
（1）“快樂方程”x2﹣5x+6＝0的“快樂數”為 　 　 ；
（2）若關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+3m﹣6＝0（m為整數，且﹣1＜m＜2）是“快樂方程”，求m的值，并求該方程的“快樂數”；
（3）若關于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0與x2﹣（n+2）x+2n＝0（m，n均為正整數）都是“快樂方程”，且其“快樂數”互為“開心數”，直接寫出n的值．
27．（10分）綜合與實踐：數學活動課上，某數學興趣小組對圓中的變換進行了如下探究．
問題背景：
（1）如圖1，⊙O半徑為4，弦AB＝4，求圓心O到弦AB的距離；
問題遷移：
（2）如圖2，在以點O為圓心的兩個同心圓中，AB是大圓的弦，將AB平移一定的距離得到對應線段A′B′，若線段A′B′的兩個端點恰好在小圓上，連接AA′，BB′．
①求證：四邊形ABB′A′是矩形；
②已知大圓半徑為4，小圓半徑為3，AB＝4，若圓心O在四邊形ABB′A′的內部．求四邊形ABB′A′的邊AA′的長度；
問題拓展：
（3）如圖3，大圓半徑為4，小圓半徑為3，弦AB＝4，點M在小圓上，在平面上存在點N，將弦AB先關于直線ON翻折，再將翻折后的線段沿著直線ON所在方向平移ON個單位，得到線段CD，若CD恰好是小圓的弦，求MN的取值范圍．
2025～2026學年度第一學期階段性練習
九年級數學
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題）
題號 1 2 3 4 5 6
答案 D C B C A C
一．選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）
1．【解答】解：圖中太陽與海天交界處可看成圓與直線，它們的位置關系是相離，
故選：D．
2．【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故選：C．
3．【解答】解：根據題意可得（40﹣x）（22﹣x）＝520，
故選：B．
4．【解答】解：∵∠AOD＝2∠E，∠E＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠DOB＝180°﹣60′＝120°．
故選：C．
5．【解答】解：連接OD，如圖，
∵扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積＝S扇形AOD﹣S△COD3×36π，
∴陰影部分的面積為2×（6π）＝93π，
故選：A．
6．【解答】解：如圖，設AE＝x．CD＝y(tǒng)，設弧CED的圓心為O′，連接OO′交CD于F，連接O′E，OD，
由折疊得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半徑為5，
∴CF＝DF＝CD，
∴OF，
∴OO′＝2，
∵弧CE'D與AB相切于點E'，
∴O′E′⊥AB，
∴OO′2＝OE′2+O′E′2，
∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x，
∴（2）2＝（5﹣x）2+52，
∴（x﹣5）2+y2＝75，
當x＝5時，y的值最大，最大值為5，
當x＝10時，y的值最小，最小值為5，
∴5CD≤5．
故選：C．
二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）
7．【解答】解：原式為：（x﹣2）2﹣16＝0，
∴（x﹣2）2＝16，
∴解得：x1＝6，x2＝﹣2，
故答案為：x1＝6，x2＝﹣2．
8．【解答】解：已知方程x2﹣（m+2）x+3m+3＝0的根為整數，
設根為x1，x2，
由韋達定理得：x1+x2＝m+2，x1x2＝3m+3，
消去m得：x1x2＝3（x1+x2﹣2）+3，
整理為（x1﹣3）（x2﹣3）＝6，
枚舉整數解（x1﹣3，x2﹣3）的組合：
（1，6）：對應x1＝4，x2＝9，則m＝x1+x2﹣2＝11；
（2，3）：對應x1＝5，x2＝6，則m＝5+6﹣2＝9；
（﹣1，﹣6）：對應x1＝2，x2＝﹣3，則m＝2+（﹣3）﹣2＝﹣3（舍去，非正整數）；
（﹣2，﹣3）：對應x1＝1，x2＝0，則m＝1+0﹣2＝﹣1（舍去）．
綜上，滿足條件的正整數m為9和11．
故答案為：9和11．
9．【解答】解：以點P（1，2）為圓心，r為半徑畫圓，與坐標軸恰好有三個公共點，如圖，作PA⊥x軸，連結OP，
∵點P的坐標為（1，2），
∴OA＝1，PA＝2，
在直角三角形AOP中，由勾股定理得：OP，
∵以點P為圓心，r為半徑的圓P與坐標軸恰好有三個公共點，
∴⊙P過點O或者⊙P與x軸相切，
∴r或r＝2．
故答案為：2或．
10．【解答】解：設扇形的半徑為r cm，
∵圓錐底面圓的半徑為2cm，
∴圓錐底面圓的周長為4πcm，
∴扇形的弧長為4πcm，
則4π，
解得：r＝6，
∴扇形的半徑為6cm．
故答案為：6．
11．【解答】解：設該圓半徑為rcm，
如圖1，∵△ABC為等邊三角形，
∵OC＝r，
∴；，
∴內接正三角形的面積；
如圖2，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝AB＝r，
∴，
∴，
∴圓的內接正六邊形的面積，
由題意可得：，
∴r＝4（負值舍去），
故答案為：4．
12．【解答】解：連接OA，
∵AC∥BO，
∴∠OBC＝∠ACB＝28°，
∵OA＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝28°，
∴∠OCA＝∠OCB+∠ACB＝56°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA＝56°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝68°，
∴∠ABC∠AOC＝34°，
故答案為：34°．
13．【解答】解：原式可化為x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，即（x﹣2）2+（y+3）2＝0；
則x﹣2＝0，y+3＝0，
因此x＝2，y＝﹣3，
∴x2+y2＝22+32＝13，
故答案為：13．
14．
【解答】
解：如圖，連接AF、PE、EF，
∵E是的中點，點P是圓心，
∴PE⊥AF，AE＝EF（垂徑定理），
∴∠DAF+∠PEA＝90°，
作PH⊥AE于H，
∵四邊形矩形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAP＝∠AHP＝90°，
∴四邊形ABPH是矩形，
∴AH＝PB，AH∥PB，
∴∠PAE＝∠APB，
設BP＝x，則AH＝x，AB＝2x，
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA（等邊對等角），EF＝AE＝2AH＝2x（等腰三角形三線合一），
∴DE＝16﹣2x，∠APB＝∠PEA，
∵∠PAB+∠APB＝90°，∠DAF+∠PEA＝90°，
∴∠PAB＝∠DAF，
∵∠B＝∠ADF＝90°，
∴△ABP∽△ADF，
∴AD：DF＝AB：BP＝2，
∴DFAD＝8，
∴在Rt△DEF中，DE2+DF2＝EF2，
即（16﹣2x）2+64＝4x2，
解得x＝5，
故答案為：5．
15．【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0中得：m2﹣9＝0，
解得：m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m＝﹣3，
故答案為：﹣3．
16．【解答】解：如圖，取AC的中點O′，連接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC3，
在Rt△BCO′中，BO′，
∵O′E+BE≥O′B，
∴當O′、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E2，
故答案為：2．
三．解答題（共11小題，滿分88分，每小題8分）
17．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣8（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x﹣5﹣8）＝0，
x﹣5＝0或x﹣5﹣8＝0，
所以x1＝5，x2＝13；
（2）△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40，
x
所以x1，x2．
18．【解答】（1）證明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
則k取任何實數值，方程總有實數根；
（2）解：∵Rt△ABC斜邊長a＝3，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，
∴a2＝b2+c2，
則9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k，
由b+c＝2+k＝2（不可能取負數），
故△ABC的周長C＝5．
19．【解答】證明：∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴．
20．【解答】解：（1）如圖，連接BC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC為⊙O的直徑，即BC＝1m，
又∵AB＝AC，
∴．
∴（平方米）
（2）設底面圓的半徑為r，則，
∴．
圓錐的底面圓的半徑長為米．
21．【解答】解：如圖，作AB的垂直平分線OD交于點D，以點D為圓心AD為半徑作⊙D交OD于點F，以點A為圓心d為半徑作⊙A，⊙A與⊙D交于點E，連接AE并延長交⊙O于點C．根據軸對稱的性質，同理在另一側得到點C′．點C和C′即為所求．
思路：由于AE＝d，構造CE＝BC，在等腰△CBE中，
∠AEB＝180°﹣∠CEB＝180°﹣（）＝180°∠AFB．
由于∠AFB＝∠AFD+∠BFD＝2∠AFD，180°180°﹣∠ADO＝∠FAD+∠AFD，則∠FAD＝∠AFD，AD＝DF＝DB，
由于∠C為定角，則∠AEB也為定角，點E的軌跡為以點D為圓心，AD為半徑的圓．
因點E又在以點A為圓心d為半徑的圓上．
故兩圓交點即為點E，連接AE并延長，即可找到點C．
22．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴，
∴∠A＝∠2，
又∵OA＝OC，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD＝6，
∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3，
設⊙O的半徑是R，EB＝2，則OE＝R﹣2，
在Rt△OEC中，R2＝（R﹣2）2+32，
解得：，
∴⊙O的半徑是．
23．【解答】解：設該單位這次參加旅游的共有x人，
∵100×25＜2700，
∴x＞25．
依題意得[100﹣2（x﹣25）]x＝2700，
整理得x2﹣75x+1350＝0，
解得x1＝30，x2＝45．
當x＝30時，100﹣2（x﹣25）＝90＞70，符合題意．
當x＝45時，100﹣2（x﹣25）＝60＜70，不符合題意，舍去．
∴x＝30．
答：該單位這次參加旅游的共有30人．
24．【解答】（1）證明：連接OD，
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠OAD+∠AOF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC+∠ODA＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）在Rt△ODC中，AC＝2OA，
∴設OD＝OA＝r，OC＝3r，
∴BC＝OC+OB＝4r，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵OF⊥AD，
∴AE＝DE，OE∥BD，
∵AO＝BO，
∴OE是△ABD的中位線，
∴OEBD，
∴BD＝2OE，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴OFBD，
∴BDOF，
∴2OEOF（EF+OE）（2+OE），
∴OE＝4，
∴BD＝8．
25．【解答】（1）證明：
證法一：∵AB是⊙O的直徑，
∴OA＝OB．
又∵OD⊥AC，
∴AD＝CD．
∴ODBC．
證法二：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，OAAB．
∵OD⊥AC即∠ADO＝90°，
∴∠C＝∠ADO．
又∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB．
∴．
∴ODBC；
（2）解：連接OC．
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
26．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6＝0的“快樂數F（1，﹣5，6），
故答案為：；
（2）∵方程x2﹣（2m+1）x+m2+3m﹣6＝0（m為整數，且﹣1＜m＜2）是“快樂方程”，Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m2+3m﹣6）＝﹣8m+25，
∵﹣1＜m＜2，
∴9＜﹣8m+25＜33，
∴﹣8m+25＝16或﹣8m+25＝25．
∴m＝0或 （舍去），
∴方程為x2﹣x﹣6＝0．
∴ ．
∴方程 x2﹣x﹣6＝0 的“快樂數”是 ．
（3）n的值為3；理由如下：
∵x2﹣mx+m+1＝0，Δ＝（﹣m）2﹣4（m+1）＝（m﹣2）2﹣8，
設Δ＝a2，
則（m﹣2+a）（m﹣2﹣a）＝8，
（m﹣2+a）＝4或2或﹣4或﹣2，
（m﹣2﹣a）＝2或4或﹣2或﹣4，
解得m＝5或﹣1，
方程變?yōu)椋簒2﹣5x+6＝0或x2+x＝0；
x2﹣（n+2）x+2n＝0，
Δ＝（n﹣2）2，
F[1，﹣（n+2），2n]，
當m＝5時，2n×（）＝6×[]，
解得：n＝3或n（不合題意），
當m＝﹣1時，2n×（﹣1）＝0，
解得n＝0（不合題意，舍去），
綜上，n的值為3．
27．【解答】（1）解：如圖，連接OA，過點O作ON⊥AB于點N，
∴，
在Rt△ANO中，，
∴圓心O到弦AB的距離；
（2）①證明：過點O作OG⊥AB于點G，延長GO交A′B′于點H，則∠BGH＝90°，如圖：
由平移的性質可得：AB∥A′B′，AB＝A′B′，
∴四邊形ABB′A′是平行四邊形，
∵OG⊥AB，AB∥A′B′，
∴，GH⊥A′B′，
∴，
∴BG＝B′H，
又∵AB∥A′B′，
∴四邊形GHB′B是平行四邊形，
∴∠BGH＝90°，
∴四邊形GHB′B是矩形，
∴∠GBB'＝90°，
∴四邊形ABB′A′是矩形；
②解：連接OA，OA′，過點O分別作OE⊥AB于點E，OF⊥AA′于點F，則∠OFA＝∠OEA＝90°，如圖，
由（1）知，，
由（2）同理可得∠BAA'＝90°，
∴四邊形AFOE是矩形，
∵OE⊥AB，
∴，
∴，
在Rt△OEA中，，
∴，
在Rt△OFA'中，，
∴；
（3）解：由題意，對稱軸ON經過圓心，
∴翻折后的線段對應點A′B′仍然在大圓⊙O上，再將A′B′沿ON方向平移ON個單位，所得圖形如圖1和圖2，
由（2）同理可得：A′B′DC為矩形，且B′D＝ON，
∴或，
∴點N在以O為圓心，或為半徑的圓上，如圖3和圖4，
當時，，
當時，，
綜上，．

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