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課時分層訓練(十五)　探索三角形相似的條件
知識點一　兩角分別相等的兩個三角形相似
1．如圖所示的3個三角形，相似的是(　A　)
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．①和②和③
2．如圖，AB∥EF，AE∥BC，EF與AC交于點G，則圖中相似三角形共有 3 對．
知識點二　兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似
3．如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是(　D　)
A．∠B＝∠D B．＝
C．∠C＝∠AED D．＝
第3題圖
4．如圖，AB，CD交于點O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，當OA＝ 54或 時，△AOC與△BOD相似．
第4題圖
5．如圖，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34．求證：△ABC∽△AED．
證明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，
∴＝＝．∴＝．
又∵∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
知識點三　三邊成比例的兩個三角形相似
6．已知△ABC的三邊長是，2，與△ABC相似的三角形的三邊長可能是(　A　)
A．1， B．1，
C．1， D．1，
7．如圖，O為△ABC內一點，D，E，F分別為OA，OB，OC的中點．求證：△DEF∽△ABC．
證明：∵D，E，F分別為OA，OB，OC的中點，
∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，
即＝＝．
∴△DEF∽△ABC．
知識點四　黃金分割
8．若點C是線段AB的黃金分割點(AC＞BC)，則下列比例式正確的是(　A　)
A．＝ ＝
C．＝ ＝
9．如圖，樂器上的一根弦AB＝80 cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為 (80－160) cm．(結果保留根號)
10．如圖，點A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8的方格紙中的格點，為使△DEM∽△ABC，則點M應是F，G，H，K四點中的(　C　)
A．F B．G
C．H D．K
11．如圖，已知零件的外徑是25 mm，現用一個交叉卡鉗(兩條尺長AC和BD相等，OC＝OD)測量零件的內孔直徑AB．若OC∶AC＝1∶3，量得CD＝10 mm，則零件的厚度為(　B　)
A．2 mm B．2.5 mm
C．3 mm D．3.5 mm
12．據有關實驗測定，當氣溫處于人體正常體溫(37 ℃)的黃金比值時，人體感到最舒適．這個氣溫約為 23 ℃．(結果精確到1 ℃)
13．如圖，在矩形ABCD中，E是AD上的一點，連接BE，CF⊥BE于點F．求證：△ABE∽△FCB．
證明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠EBC．
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°．
∴∠CFB＝∠A＝90°．
∴△ABE∽△FCB．
14．如圖，在等邊三角形ABC中，點E，D分別在邊BC，AB上，且∠AED＝60°．求證：△AEC∽△EDB．
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴∠EDB＋∠BED＝120°，∠CAE＋∠AEC＝120°．
∵∠AED＝60°，
∴∠BED＋∠AEC＝180°－60°＝120°．
∴∠BED＝∠CAE．
∴△AEC∽△EDB．
15．如圖，已知AB∥DC，點E，F在線段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．求證：△ABE∽△CDF．
證明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D．
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB∶DC＝BE∶DF＝2．
∴△ABE∽△CDF．
【創新運用】
16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm．動點M從點C出發，以1 cm/s的速度沿CA向終點A移動，同時動點P從點A出發，以2 cm/s 的速度沿AB向終點B移動，連接PM，設移動時間為t s(0＜t＜2.5)．
(1)AM＝ (4－t) cm，AP＝ 2t cm．(均用含t的代數式表示)
(2)當AP＝AM時，求t的值．
(3)是否存在某一時刻t，使以M，P，A為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出相應t的值；若不存在，說明理由．
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm．
∴根據勾股定理，得AB＝＝＝5(cm)．
∵動點M從點C出發，以1 cm/s的速度沿CA向終點A移動，同時動點P從點A出發，以2 cm/s的速度沿AB向終點B移動，
∴AM＝(4－t)cm，AP＝2t cm．
故答案為(4－t)；2t．
(2)當AP＝AM時，則2t＝4－t，
解得t＝．
∴當AP＝AM時，t＝．
(3)存在．分兩種情況：
①當△AMP∽△ABC時，＝，
即＝，解得t＝．
②當△APM∽△ABC時，＝，
即＝，解得t＝．
綜上所述，當t＝或時，以M，P，A為頂點的三角形與△ABC相似．
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