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內(nèi)蒙古烏海市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)教學(xué)質(zhì)量摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷
一、單選題
1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．將一元二次方程化成一般形式之后，若二次項(xiàng)的系數(shù)是，則一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是（ ）
A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)
5．對(duì)于函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法不正確的是（　　　）
A．開(kāi)口向下 B．時(shí)，隨增大而增大
C．最大值為0 D．與軸交點(diǎn)在軸下方
6．關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A． B．且 C．且 D．
7．如圖，中，．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
8．已知拋物線上有兩點(diǎn)，，且，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．不能確定
9．某種襯衣的價(jià)格經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，由每件150元降至96元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意可列方程（　　）
A．150（1﹣x）×2＝96 B．150（1﹣x）2＝96 C．150（x﹣1）×2＝96 D．150（1﹣x2）＝96
10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，是拋物線上兩點(diǎn)，則．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
二、填空題
11．已知函數(shù)是二次函數(shù)，則 ．
12．若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值為 ．
13．將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位得到的拋物線是 ．
14．已知二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的根是 ．
15．如圖，等邊中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，，則的最小值是
三、解答題
16．用合適的方法解方程
(1)
(2)
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為個(gè)單位長(zhǎng)度．
(1)畫出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形，
(2)寫出，的坐標(biāo)分別為 ， ；
(3)的面積為 ．
18．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，求m的值．
19．有一塊矩形鐵皮如圖所示，長(zhǎng)為，寬為，現(xiàn)打算從該鐵皮上裁出兩個(gè)完全相同的小矩形，每個(gè)小矩形的長(zhǎng)為，寬為，使得裁完后剩余鐵皮（圖中陰影部分）的面積為，請(qǐng)計(jì)算裁出的每個(gè)小矩形的周長(zhǎng)．
20．某商店在銷售旺季以20元/件的成本價(jià)購(gòu)進(jìn)一批甲商品，當(dāng)售價(jià)為40元時(shí)，可售出30件．為推廣宣傳，商家決定降價(jià)促銷，已知售價(jià)每降價(jià)1元，可多售出5件．
（1）當(dāng)降價(jià)4元時(shí)，該商店銷售甲商品的獲利是__________元．
（2）為使銷售該商品獲利765元，且盡快清空庫(kù)存，則應(yīng)將售價(jià)定為多少元？
（3）當(dāng)售價(jià)在30元元之間（包括30元和40元）時(shí)，甲商品的獲利能否達(dá)到最大？若能，請(qǐng)求出此時(shí)的售價(jià)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
21．【基礎(chǔ)回顧】（1）如圖1，是正方形中邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，若連接，則的形狀為 ；
【類比探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)與相交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
【聯(lián)想拓展】（3）如圖3，在中，，．點(diǎn)在上，求，，之間存在的數(shù)量關(guān)系．
22．如圖，某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行米跳臺(tái)跳水，水面邊緣點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員（可視為一點(diǎn)）在空中運(yùn)動(dòng)的路線為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線，運(yùn)動(dòng)員在空中最高處點(diǎn)．
(1)求運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)拋物線的解析式；
(2)求入水點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)若運(yùn)動(dòng)員在距水面高度米前完成規(guī)定的動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)為動(dòng)作成功，否則為失誤．若運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)后，恰好距點(diǎn)的水平距離為米，該運(yùn)動(dòng)員此次跳水是否失誤？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B B C D D B A
1．C
【詳解】解：A、圖形不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、圖形不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、圖形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
2．A
【詳解】解：方程含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故選項(xiàng)B不符合題意；
方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故選項(xiàng)C、D不符合題意；
符合題意一元二次方程的定義，是一元二次方程，故選項(xiàng)A符合題意；
故選：A．
3．B
【詳解】解：一元二次方程的一般式為：，
若二次項(xiàng)的系數(shù)是，則一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為，，
故選：B．
4．B
【詳解】解：如圖，連接，，分別作出，的垂直平分線，
，，的垂直平分線的交點(diǎn)為，
旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，
故選：B．
5．B
【詳解】解： ，
函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值0，故A，C不符合題意；
而函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：
當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，故B符合題意；
當(dāng)時(shí)，
所以與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，在軸下方，故D不符合題意；
故選：B
6．C
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴，
∴且，
故選：C．
7．D
【詳解】解：在中，，
∴∠CAB=50°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則
，，
∴，
∴；
故選：D．
8．D
【詳解】解∵拋物線的對(duì)稱軸是y軸，開(kāi)口向上
∴當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而減小，
∵由條件不能判斷出,是大于0還是小于0,
∴不能確定與的大小關(guān)系.
故答案是：D.
9．B
【詳解】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x．由題意，得
150（1﹣x）2＝96，
故選B．
10．A
【詳解】解：對(duì)稱軸，，故①正確；
拋物線開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，即，故 ②錯(cuò)誤；
拋物線開(kāi)口向下，且交軸于正半軸，
，
對(duì)稱軸，即，
，
，故③正確；
當(dāng)時(shí)，，，故④錯(cuò)誤；
拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線，，
，故⑤錯(cuò)誤；
故選：A．
11．
【詳解】解：依題意得：且，
解得．
故答案為：．
12．
【詳解】解：把代入得，
∴，
∴，
故答案為：．
13．
【詳解】解：將拋物線向上平移個(gè)單位，再向右平移個(gè)單位得到的拋物線是
故答案為：．
14．或
【詳解】解：將代入中得，，
解得，
，
或，
或．
故答案為：或．
15．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，
∵為等邊三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
∴，，，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)可得，
設(shè)，
∵，，
∴，，
則，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值27，
∴最小值，
∴的最小值，
故答案為：．
16．(1)，
(2)，
【詳解】（1）解：
解得：，；
（2）
，，，
，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，．
17．(1)見(jiàn)解析
(2)，
(3)3.5
【詳解】（1）即為所作；
（2）如圖，點(diǎn) ；
故答案為：，；
（3）解：．
18．(1)見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）證明：∵
，
∴不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵，是一元二次方程的兩根，
∴，，
又∵，
∴，
解得．
19．裁出的每個(gè)小矩形的周長(zhǎng)為．
【詳解】解：由每個(gè)小矩形的長(zhǎng)為，寬為，
∴，整理得：，
解得：，（舍去），
∴裁出的每個(gè)小矩形的周長(zhǎng)為，
答：裁出的每個(gè)小矩形的周長(zhǎng)為．
20．（1）800；（2）29元；（3）甲商品的獲利能達(dá)到最大，此時(shí)的售價(jià)為33元
【詳解】解：（1）y=（40-4-20）（30+5×4）=800（元），
故答案為：800；
（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，
由題意得：（40-x-20）（5x+30）=765，
解得x1=3，x2=11．
要盡快清空庫(kù)存，則x=11，
應(yīng)將售價(jià)定為：40-11=29（元）．
答：應(yīng)將售價(jià)定為29元；
（3）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，利潤(rùn)為y元，
由題意得：y=（40-x-20）（30+5x）
=-5x2+70x+600
=-5（ x-7）2+845，
∴當(dāng)x=7時(shí)，y取得最大值845，
售價(jià)為：40-7=33（元），
答：甲商品的獲利能達(dá)到最大，此時(shí)的售價(jià)為33元．
21．（1）等腰直角三角形；（2）證明見(jiàn)解析；（3）
【詳解】解：（1）四邊形為正方形，
，，，
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，
，，
為等腰直角三角形；
故答案為：等腰直角三角形；
（2）．
證明：將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，
，，
，
．
（3）．
將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，連接，則是等腰直角三角形，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
，
，
，
，
，
．
22．(1)
(2)
(3)運(yùn)動(dòng)員此次跳水失誤
【詳解】（1）由題意, ∵拋物線的頂點(diǎn),
∴可設(shè)拋物線的解析式為,
把代入解析式得,
,
∴拋物線的解析式為；
（2）令，則，
解得：，（舍），
∴入水點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）解：由題意，當(dāng)距點(diǎn)水平距離為時(shí)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，
將代入解析式，
，
，
∴該運(yùn)動(dòng)員此次跳水失誤了．

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