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課時分層訓練(十六)　相似三角形判定定理的證明
知識點一　A型
1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝6，DB＝4，BC＝15，則DE的長度為(　B　)
A．6 B．9
C．10 D．12
知識點二　X型
2．如圖，AD，BC相交于點O，且AB∥CD．如果AO＝CO＝2，BO＝1，那么OD的值是(　B　)
A．3 B．4
C．5 D．6
知識點三　一線三等角
3．如圖，AB⊥BD于點B，ED⊥BD于點D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．點C為BD上一點，連接AC，CE．若AC⊥CE，則BC的值是(　B　)
A．3 B．2或4
C． D．2或3
4．如圖，A是直線MN上一點，∠BAC＝90°，過點B作BD⊥MN于點D，過點C作CE⊥MN于點E．
(1)求證：△ADB∽△CEA；
(2)若AB＝，AD＝AE＝2，求CE的長．
(1)證明：∵BD⊥MN于點D，CE⊥MN于點E，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠EAC＝90°－∠BAD．
∴△ADB∽△CEA．
(2)解：∵∠ADB＝90°，AB＝，AD＝AE＝2，
∴BD＝＝＝1．
∵△ADB∽△CEA．
∴＝．
∴CE＝＝＝4．
∴CE的長是4．
知識點四　雙垂直型
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是邊AC上一點，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D，則AD的長為(　D　)
A． B．6
C． D．4
知識點五　分類討論
6．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，點D由點A出發沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1 cm/s，連接DE，設運動時間為t s(0＜t＜10)，當△BDE與△ABC相似時，t的值為 或 ．
7．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列選項中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(　B　)
8．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于點D，過點D作BC的平行線交AC于點M．若BC＝3，AC＝2，則DM的長為(　B　)
A．
C．
9．如圖，H是 ABCD的邊AD上一點，且AH＝DH，BH與AC相交于點K，那么AK∶KC等于(　C　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝8，BD＝2，則CD的長為 4 ．
11．如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，CF⊥DF，垂足為F．
(1)求證：△DEA∽△CDF；
(2)若AD＝3，DC＝8，CF＝5，求DE的長．
(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴DC∥AB，∠A＝90°．
∴∠1＝∠2．
∵CF⊥DF，∴∠F＝90°．
∴∠F＝∠A．
∴△DEA∽△CDF．
(2)解：∵△DEA∽△CDF，
∴＝．
∵AD＝3，DC＝8，CF＝5，
∴＝．
∴DE＝．
【創新運用】
12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC∶AB＝3∶5，點P從點B出發沿BC向點C以2 cm/s的速度移動，點Q從點C出發沿CA向點A以1 cm/s的速度移動，如果點P，Q分別從點B，C同時出發．求：
(1)經過多少秒，△CPQ∽△CBA
(2)經過多少秒，△CPQ與△ABC相似？
解：(1)∵BC＝8 cm，AC∶AB＝3∶5，∠C＝90°，
∴AC＝6 cm，AB＝10 cm．
設經過t s時，△CPQ∽△CBA，
∴＝，
則＝，解得t＝2.4．
∴經過2.4 s時，△CPQ∽△CBA．
(2)設經過t s時，△CPQ與△ABC相似．分兩種情況：
①若△CPQ∽△CBA，
由(1)可知，經過2.4 s時，△CPQ∽△CBA．
②若△CPQ∽△CAB，
則＝，
即＝，解得t＝．
∴經過 s時，△CPQ∽△CAB．
綜上所述，經過2.4 s或 s時，△CPQ與△ABC相似．
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