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課時分層訓練(十八)　相似三角形的性質
知識點一　對應中線、高線、角平分線的比等于相似比
1．如圖，它是物理學中小孔成像的原理示意圖，已知物體AB＝30，根據圖中尺寸(AB∥CD)，則CD的長應是(　D　)
A．15 B．30
C．20 D．10
2．如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分別是△ABC的高和中線，A′D′，B′E′分別是△A′B′C′的高和中線，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，則B′E′的長為(　D　)
A． C．
3．如圖，AD是△ABC的高，AD＝h，點R在邊AC上，點S在邊AB上，SR⊥AD，垂足為E．當SR＝BC時，則DE＝ h ．(用含h的代數式表示)
知識點二　周長比等于相似比
4．若兩個相似三角形的對應中線比是1∶3，則它們的周長比是(　B　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶6 D．1∶9
5．已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的周長為5，則△A1B1C1的周長是(　C　)
A．4 B．8
C．15 D．18
知識點三　面積比等于相似比的平方
6．如果兩個相似三角形的周長之比為5∶7，那么這兩個三角形的面積之比為(　C　)
A．5∶7 B．7∶5
C．25∶49 D．49∶25
7．將△ABC放大到2倍，得到△A′B′C′，則△ABC與△A′B′C′的面積比是(　C　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
8．若兩個相似三角形的面積比是1∶9，則它們對應邊的中線之比為(　C　)
A．1∶9 B．3∶1
C．1∶3 D．1∶81
9．如圖，在 ABCD中，E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則＝(　C　)
A．
C．
10．若兩個相似三角形的對應高的比是1∶4，則它們的周長比是(　B　)
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
11．若兩個相似三角形的面積之比為4∶9，則它們對應角的平分線之比為(　A　)
A．2∶3 B．3∶2
C．∶3 D．∶2
12．用一個2倍放大鏡照△ABC，則△ABC放大后，不發生改變的是(　A　)
A．各內角的度數 B．各邊長
C．周長 D．面積
13．若兩個相似三角形的面積比是9∶4，則它們對應邊上的高之比為(　C　)
A．4∶9 B．9∶4
C．3∶2 D．2∶3
14．利用復印機的縮放功能放大一個三角形，將原圖中邊長分別為3，5，6的三角形的最長邊放大到8，那么放大后的那個三角形的周長為 ．
15．如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四邊形BDEC＝2∶3，其中CB＝，DE＝ ．
第15題圖
16．如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D為邊BC上的一點，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面積為1，則△ABD的面積為 3 ．
　
第16題圖
17．如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD交于點O．M為邊AD的中點，連接CM交BD于點N，且ON＝1．
(1)求BD的長；
(2)若△DCN的面積為2，求四邊形ABCM的面積．
解：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD．
∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC．
∴△MND∽△CNB．∴＝．
∵M為邊AD的中點，
∴＝．∴BN＝2DN．
設OB＝OD＝x，則有BD＝2x，BN＝OB＋ON＝x＋1，DN＝x－1，
∴x＋1＝2(x－1)，解得x＝3．
∴BD＝2x＝6．
(2)∵△MND∽△CNB，
且相似比為1∶2，
∴MN∶CN＝1∶2．
∴S△MND∶S△CND＝1∶2．
∵△DCN的面積為2，
∴△MND的面積為1．
∴△MCD的面積為3．
設 ABCD的邊AD上的高為h，
∵S ABCD＝AD·h，
S△MCD＝MD·h＝AD·h，
∴S ABCD＝4S△MCD＝4×3＝12．
∴四邊形ABCM的面積為S ABCD－S△MCD＝9．
【創新運用】
18．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB，AC上．
(1)當P恰好為邊AB的中點時，PQ＝ 60 mm ；
(2)當PQ＝40 mm，求PN的長度；
(3)若這個矩形的邊PN∶PQ＝1∶2．則這個矩形的長、寬各是多少？
解：(1)∵四邊形PQMN為矩形，
∴PQ∥MN，即PQ∥BC．
∵P恰好為邊AB的中點，
∴AP＝BP．
∴AQ＝CQ．
∴PQ＝BC＝×120＝60(mm)．
故答案為60 mm．
(2)由題意，得AD⊥BC，
∵PQ∥BC，
∴PQ⊥AD，△APQ∽△ABC．
∴＝．
∴＝．
∴AH＝．
∴PN＝HD＝AD－AH＝80－＝(mm)．
(3)設矩形的寬PN為x mm，則長PQ為2x mm，
∵四邊形PQMN為矩形，AD⊥BC，
∴AH＝(80－x)cm．
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC．
∴＝．
∴＝，解得x＝．
∴2x＝．
答：矩形的長為 mm，寬為 mm．
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