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課時(shí)分層訓(xùn)練(十九)　圖形的位似
知識(shí)點(diǎn)一　圖形的位似
1．如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，△ABC的位似圖形可以是(　C　)
A．△DEF B．△DHF
C．△GEH D．△GDH
2．如圖，已知△ABC，任取一點(diǎn)O，連接AO，BO，CO，分別在OA，OB，OC上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得△DEF，有下列說(shuō)法：
①△ABC與△DEF是位似圖形；
②△ABC與△DEF是相似圖形；
③△DEF與△ABC的周長(zhǎng)比為1∶3；
④△DEF與△ABC的面積比為1∶9．
其中正確的個(gè)數(shù)是(　D　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．下列關(guān)于位似圖形的表述：
①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；
②位似圖形一定有位似中心；
③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形；
④位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于相似比．
其中，正確命題的序號(hào)是 ② ．
4．如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點(diǎn)O，且＝，則＝ ，＝ ．
知識(shí)點(diǎn)二　位似圖形變換
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB與△COD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若A(3，0)，B(2，－1)，C(6，0)，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　A　)
A．(4，－2)
B．(6，－3)
C．(4，2)
D．(6，3)
6．已知點(diǎn)A(0，3)，B(－4，8)，以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB縮短為原來(lái)的，點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　C　)
A．(－1，2)
B．(1，－2)
C．(－1，2)或(1，－2)
D．(2，－1)或(－2，1)
7．如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA∶AD＝2∶3，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比是(　C　)
A．2∶3 B．3∶2
C．2∶5 D．5∶2
第7題圖
8．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，其中OE＝2OB，則△DEF與△ABC的面積之比是(　D　)
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
第8題圖
9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－4，2)，B(－6，－4)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(　D　)
A．(－3，－2)
B．(－3，－2)或(3，2)
C．(－12，－8)
D．(－12，－8)或(12，8)
10．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積之比為 1∶9 ．
第10題圖
11．如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，相似比為1∶，則這兩個(gè)正方形每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比是 1∶ ．
　
第11題圖
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0，2)，B(1，3)，C(2，1)．
(1)在坐標(biāo)系中原點(diǎn)O的異側(cè)，畫出以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形△A′B′C′，使得△A′B′C′與△ABC的相似比為2，則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為 (－4，－2) ；
(2)△A′B′C′的面積為 6 ；
(3)在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
解：(1)如圖，△A′B′C′即為所求，點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(－4，－2)．
故答案為(－4，－2)．
(2)S△A′B′C′＝4×4－×2×4－×2×2－×2×4＝6．故答案為6．
(3)如圖，點(diǎn)P即為所求，P．
故答案為．
【創(chuàng)新運(yùn)用】
13．如圖1，△ABC為等邊三角形，△ADE是△ABC的位似圖形，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上．
(1)求證：DE∥BC；
(2)如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α至△AMN的位置，當(dāng)AM⊥BC時(shí)，請(qǐng)你判斷AC與MN的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
圖1
　
圖2
(1)證明：∵△ADE是△ABC的位似圖形，
∴△ADE∽△ABC．
∴∠ADE＝∠B．
∴DE∥BC．
(2)解：AC⊥MN．理由如下：
如圖，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∵AM⊥BC，
∴∠DAC＝30°．
又∵∠AMN＝60°，
∴∠AFM＝90°，即AC⊥MN．
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