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第四章成果展示
圖形的相似
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．如果2x＝5y(y≠0)，那么的值是(　C　)
A． C．
2．如圖，AB∥CD∥EF，若＝，BD＝9，則DF的長為(　C　)
A．4 B．5
C．6 D．7
第2題圖
3．已知△ABC的三邊長分別為1，，△DEF的三邊長分別為，則△ABC與△DEF(　A　)
A．一定相似
B．一定不相似
C．不一定相似
D．無法判定是否相似
4．在平面直角坐標系中，點E(－4，2)，F(－1，－1)，以原點O為位似中心，把△EFO縮小為△E′F′O，且△E′F′O與△EFO的相似比為1∶2，則點E的對應點E′的坐標為(　C　)
A．(2，－1)
B．(8，－4)
C．(2，－1)或(－2，1)
D．(8，－4)或(－8，4)
5．把一根鐵絲首尾相接圍成一個長為3 cm、寬為2 cm的矩形ABCD，要將它按如圖所示的方式向外擴張得到矩形A′B′C′D′，使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，則這根鐵絲需增加(　D　)
A．3.5 cm B．5 cm
C．7 cm D．10 cm
6．如圖，已知△ABC的邊BC上有兩點D，E，且△ADE是等邊三角形，則下列條件不一定能使△ABD與△AEC相似的是(　B　)
　　　　
第6題圖
A．∠BAC＝120°
B．AC2＝EC·EB
C．DE2＝BD·EC
D．∠EAC＋∠B＝60°
7．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，AE⊥EF，則S△ABE∶S△ECF等于(　B　)
A．1∶2 B．4∶1
C．2∶1 D．1∶4
第7題圖
8．如圖，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE于點G．若BG＝8，則△CEF的周長為(　A　)
A．16 B．17 C．24 D．25
　　　
第8題圖
9．如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點E，F分別在邊AB，AC上，AD交EF于點N，則AN的長為(　B　)
A．15 B．20 C．25 D．30
第9題圖
10．如圖，在正方形ABCD中，點P是邊AB上一動點(不與點A，B重合)，對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F，交AD，BC于點M，N．下列結論：
①△APE≌△AME；②PM＋PN＝AC；③PE2＋PF2＝PO2；④△POF∽△BNF．
其中正確的是(　B　)
　
第10題圖
A．①②③④ B．①②③
C．①②　 　 D．③④
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小得到△A′B′C′．若AA′＝2OA′，則△ABC與△A′B′C′的周長比為 3∶1 ．
12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是邊AB上的一點，AD＝1，E是邊AC上的一點(點E與端點不重合)．如果以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，那么AE的長是 或 ．
13．如圖，在 ABCD中，點E是邊AD上一點，AE∶ED＝1∶2，連接AC，BE，相交于點F．若S△AEF＝1，則S四邊形CDEF＝ 11 ．
第13題圖
14．亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓，兩人準備用測量影子的方法測算樓高，但恰逢陰天，于是兩人商定改用下面的方法：如圖(簡圖)所示，亮亮蹲在地上，穎穎站在亮亮和樓之間，兩人適當調整自己的位置，當樓的頂部M、穎穎的頭頂B及亮亮的眼睛A恰在一條直線上時，兩人分別標定自己的位置C，D，然后測出兩人之間的距離CD＝1.25 m，穎穎與樓之間的距離DN＝30 m(C，D，N在同一條直線上)，穎穎的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地觀測時眼睛到地面的距離AC＝0.8 m，則住宅樓的高度為 20.8 m．
第14題圖
15．如圖，在平面直角坐標系中，A(4，0)，B(0，3)，C是AB的中點，點M在折線AOB上，直線CM截△ABO所得三角形與△ABO相似，則點M的坐標是 或(2，0)或 ．
第15題圖
16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．在△ABC內并排放入(不重疊)邊長為1的小正方形紙片，第一層小紙片的一條邊都在AB上，首尾兩個正方形各有一個頂點分別在AC，BC上，依次這樣擺放上去，則最多能擺放 16 個小正方形紙片．
　
第16題圖
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(8分)如圖，a∥b∥c．直線m，n與a，b，c分別相交于點A，B，C和點D，E，F．
(1)若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的長；
(2)若AB∶BC＝2∶5，DF＝14，求EF的長．
解：(1)∵a∥b∥c，
∴＝．
∵AB＝3，BC＝5，DE＝4，
∴＝，
解得EF＝．
(2)∵a∥b∥c，
∴＝．
∵AB∶BC＝2∶5，DF＝14，
∴＝，
解得EF＝10．
18．(8分)如圖，在邊長均為1的正方形網格中，△ABC的頂點均在格點上，O為平面直角坐標系的坐標原點，△ABC三個頂點的坐標分別為A(1，2)，B(0，1)，C(2，0)．
(1)以原點O為位似中心，相似比為2∶1，將△ABC放大為△A1B1C1，請在網格中畫出△A1B1C1(其中點A1在第三象限內)；
(2)在(1)中，點A的對應點A1的坐標為 (－2，－4) ，點B的對應點B1的坐標為 (0，－2) ，點C的對應點C1的坐標為 (－4，0) ．
解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求作的三角形．
19．(8分)如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．求證：
(1)AB·AE＝AC·AD；
(2)△ABC∽△ADE．
證明：(1)∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE．
∴＝．
∴AB·AE＝AC·AD．
(2)∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，
即∠BAC＝∠DAE．
∵＝，
∴＝．∴△ABC∽△ADE．
20．(10分)周末，小華和小亮想用所學的數學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在點B處豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D，在點D處豎起標桿DE，使得點E與點C，A共線．CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝9 m．測量示意圖如圖所示．請根據相關測量信息，求河寬AB．
解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴BC∥DE．
∴∠ACB＝∠E，∠ABC＝∠D．
∴△ABC∽△ADE．
∴＝．
∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝9 m，
∴＝，
解得AB＝18．
∴河寬AB為18 m．
21．(10分)如圖，AB＝16 cm，AC＝12 cm，動點P，Q分別以2 cm/s和1 cm/s的速度同時開始運動，其中點P從點A出發，沿邊AC一直運動到點C為止，點Q從點B出發沿邊BA一直運動到點A為止(點P到達點C后，點Q繼續運動)．設運動時間為t s．
(1)請直接用含t的代數式表示AP的長和AQ的長，并寫出t的取值范圍；
(2)當t等于何值時，△APQ與△ABC相似？
解：(1)由題意，得AP＝2t cm(0≤t≤6)，
AQ＝(16－t)cm(0≤t≤16)．
(2)當0≤t≤6時，
①若QP∥BC，則有△AQP∽△ABC，
∴＝．
∵AB＝16 cm，AC＝12 cm，AP＝2t cm，
AQ＝(16－t)cm，
∴＝，解得t＝．
②∵∠A＝∠A，若∠AQP＝∠C，
則有△AQP∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得t＝6.4(不符合題意，舍去)．
當6≤t≤16時，點P與點C重合．
∵∠A＝∠A，
只有當∠AQP＝∠ACB時，
有△AQP∽△ACB，
∴＝，即＝，解得t＝7．
綜上所述，當t＝或t＝7時，△APQ與△ABC相似．
22．(12分)如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉，在旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．
(1)當點Q在線段CA上時，如圖1，求證：△BPE∽△CEQ；
(2)當點Q在線段CA的延長線上時，如圖2，△BPE和△CEQ是否相似？請說明理由．若BP＝1，CQ＝，求PQ的長．
圖1　　　　　　　圖2
(1)證明：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°．
∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，
即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，
∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°．
∴∠BEP＝∠EQC．
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ．
(2)解：△BPE∽△CEQ．理由如下：
∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°．
∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，
即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，
∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°．
∴∠BEP＝∠EQC．
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ．
∴＝．
∵△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合，∴BE＝CE．
∴＝，解得BE＝CE＝．
∴BC＝3．
∴在Rt△ABC中，AB＝AC＝3．
∴AQ＝CQ－AC＝－3＝，
AP＝AB－BP＝3－1＝2．
在Rt△APQ中，由勾股定理，得
PQ＝＝＝．
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