資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)項(xiàng)突破提升(二)
相似三角形的常見(jiàn)模型
類(lèi)型一　平行線A型
1．(4分)如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，增加下列哪個(gè)條件不能使△ADE與△ABC相似(　A　)
A．＝ ＝
C．∠AED＝∠B D．∠AED＝∠C
2．(8分)如圖，在△ABC中，已知D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)．求證：△ADE∽△ACB．
證明：∵D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，
∴DE∥CB．
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC．
∴△ADE∽△ACB．
類(lèi)型二　平行線X型
3．(4分)如圖，點(diǎn)P是 ABCD邊AB上的一點(diǎn)，射線CP交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有(　D　)
A．0對(duì) B．1對(duì)
C．2對(duì) D．3對(duì)
4．(12分)如圖，AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．
(1)求CD的長(zhǎng)；
(2)求證：△CDE∽△BDC．
(1)解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，
∴AC＝＝12．
∴AE＝AC－CE＝9．
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE．
∴＝．
∴CD＝＝＝2．
(2)證明：∵在Rt△ECB中，∠ECB＝90°，CE＝3，BC＝6，
∴BE＝＝3．
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE．
∴＝＝．
∴DE＝．
∴BD＝4．
∵＝＝＝＝，
∴＝．
又∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△BDC．
類(lèi)型三　相交線型
5．(4分)如圖，添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是(　D　)
A．∠C＝∠AED
B．∠B＝∠ADE
C．AE·AB＝AD·AC
D．AE·BC＝ED·AB
6．(12分)如圖，P是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)．
(1)如果∠ACP＝∠B，△ACP與△ABC是否相似？為什么？
(2)如果＝，△ACP與△ABC是否相似？為什么？如果＝呢？
解：(1)△ACP∽△ABC．理由如下：
∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC．
(2)如果＝，△ACP與△ABC相似．理由如下：
∵＝，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC．
如果＝，△ACP與△ABC不一定相似．理由如下：
∵＝，但∠ACB≠∠ACP，
∴△ACP與△ABC不一定相似．
類(lèi)型四　旋轉(zhuǎn)型
7．(4分)如圖，在△ABC與△ADE中，點(diǎn)D在邊BC上，∠1＝∠2＝∠3．若AB＝4，AD＝2，AC＝3，則AE的長(zhǎng)為(　B　)
A．
C．2 D．
8．(8分)如圖，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求證：△ABC∽△AED．
證明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD．
∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，
∴＝＝．
∴△ABC∽△AED．
9．(10分)如圖，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B．求證：△ABC∽△ADE．
證明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC＋∠CAD＝∠DAB＋∠CAD，
即∠DAE＝∠BAC．
又∵∠D＝∠B，
∴△ABC∽△ADE．
類(lèi)型五　雙垂直型
10．(4分)如圖，BD，CE是△ABC的兩條高，BD，CE交于點(diǎn)O，則圖中與△BOE相似的三角形有(　C　)
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
11．(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E．
(1)求證：△ABC∽△ADE；
(2)如果AC＝8，BC＝6，CD＝3，求BE的長(zhǎng)．
(1)證明：∵DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠AED＝∠C＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE．
(2)解：∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，
∴由勾股定理，得AB＝10．
∵AC＝8，CD＝3，∴AD＝5．
∵△ABC∽△ADE，
∴＝．
∴＝．∴AE＝4．
∴BE＝10－4＝6．
類(lèi)型六　一線三等角型
12．(4分)如圖，在邊長(zhǎng)為8的等邊三角形ABC中，BD＝2，∠ADE＝60°，則AE的長(zhǎng)為 ．
13．(10分)如圖，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1＋∠2＝90°．求證：△ABC∽△CDE．
證明：∵AB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠B＝∠D＝90°．
∴∠A＋∠1＝90°．
又∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠A＝∠2．
∴△ABC∽△CDE．
類(lèi)型七　分類(lèi)討論型
14．(12分)如圖，已知AB⊥DB于點(diǎn)B，CD⊥DB于點(diǎn)D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，問(wèn)：在DB上是否存在點(diǎn)P，使以C，D，P為頂點(diǎn)的三角形與以P，B，A為頂點(diǎn)的三角形相似？如果存在，求DP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：存在．
①若△PCD∽△APB，則＝，
即＝，
解得DP＝2或12．
②若△PCD∽△PAB，則＝，
即＝，
解得DP＝5.6．
∴當(dāng)DP的長(zhǎng)為2或12或5.6時(shí)，以C，D，P為頂點(diǎn)的三角形與以P，B，A為頂點(diǎn)的三角形相似．
15．(12分)如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝13 cm，AC＝12 cm，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，在邊CA上以2 cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，在邊AB上以1 cm/s的速度移動(dòng)．若點(diǎn)E，D分別同時(shí)從點(diǎn)C，A出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)．經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
解：設(shè)經(jīng)過(guò)t s，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
則AD＝t cm，CE＝2t cm．
∴AE＝(12－2t)cm．
∵∠A＝90°，BC＝13 cm，AC＝12 cm，
∴AB＝＝＝5(cm)．
若△ADE∽△ABC，則＝，
∴＝．
∴t＝．
若△ADE∽△ACB，
則＝，
∴＝．
∴t＝．
綜上所述，經(jīng)過(guò) s或 s，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
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