資源簡介

專項突破提升(四)
反比例函數(shù)的綜合應用
類型一　反比例函數(shù)與一線三等角
1．(4分)如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，點A的坐標為(2，1)，BO＝2，反比例函數(shù)y＝的圖象經過點B，則k的值為 －8 ．
第1題圖
2．(4分)如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，∠OAB＝30°．若點A 在反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上，則經過點B的反比例函數(shù)表達式為 y＝－ ．
第2題圖
類型二　反比例函數(shù)與特殊圖形
3．(4分)如圖，在△AOB中，AO＝AB，點A在第一象限，點B在x軸上，△AOB的面積為4，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經過點A，則k的值為(　C　)
A．1 B．2
C．4 D．8
第3題圖
4．(4分)如圖，矩形OABC的面積為18，對角線OB與雙曲線y＝(k＞0，x＞0)相交于點D，且OB∶OD＝3∶2，則k的值為 8 ．
　
第4題圖
5．(4分)如圖，正方形ABCD的兩個頂點A，D分別在x軸和y軸上，CE⊥y軸于點E，OA＝2，∠ODA＝30°．若反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象過CE的中點F，則k的值為 2＋6 ．
6．(4分)如圖，等腰直角三角形ABC的斜邊BC在x軸上，頂點A在反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象上，連接OA，則OC2－OA2＝ 6 ．
7．(12分)如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)y＝(k＞0，x＞0)的圖象上，點D的坐標為(4，3)．
(1)求k的值；
(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當菱形的頂點D落在該反比例函數(shù)的圖象上時，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離．
解：(1)如圖，過點A作AM⊥y軸于點M，過點D作DN⊥y軸于點N．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝CD＝CB＝AD，AB∥CD．
∴∠ABM＝∠DCN．
在△ABM和△DCN中，
∴△ABM≌△DCN(AAS)．
∴BM＝CN，AM＝DN．
∵點D的坐標為(4，3)，
∴DN＝4，CN＝3，CD＝＝5．
∴AM＝4，BM＝3，CB＝5．
∴CM＝CB＋BM＝5＋3＝8．
∴點A的坐標為(4，8)．
∵點A在反比例函數(shù)y＝(k＞0，x＞0)的圖象上，
∴8＝．
∴k＝32．
(2)設菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離為d，則點D沿x軸正方向平移的距離也是d．
∴點D平移之后的坐標為(4＋d，3)．
∵點D平移之后落在此反比例函數(shù)圖象上，
∴3＝，
解得d＝．
∴菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離為．
類型三　反比例函數(shù)取值范圍類
8．(4分)如圖，△ABC的三個頂點分別為A(1，2)，B(4，2)，C(4，4)．若反比例函數(shù)y＝在第一象限內的圖象與△ABC有交點，則k的取值范圍是(　C　)
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8
C．2≤k≤16 D．9≤k≤16
9．(4分)如圖，若一次函數(shù)y＝－x＋b與反比例函數(shù)y＝的圖象有2個公共點，則b的取值范圍是(　C　)
A．b＞2 B．－2＜b＜2
C．b＞2或b＜－2 D．b＜－2
類型四　反比例函數(shù)在實際生活中的應用
10．(4分)某校對教室進行藥物噴灑消毒，藥物噴灑完成后，消毒藥物在教室內空氣中的濃度y(mg/m3)和時間t(min)滿足關系y＝，已知測得當t＝10 min時，藥物濃度y＝5 mg/m3，則k的值為(　A　)
A．50 B．－50
C．5 D．15
11．(4分)某種蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流I(A)與可變電阻R(Ω)之間的函數(shù)關系如圖所示，點P(9，4)是圖象上的點，若用電器的可變電阻范圍為4～18 Ω，則該用電器可通過的電流范圍為 2～9 A．
12．(12分)某學校對教室采用藥熏法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y(mg/m3)與藥物點燃后的時間x(min)成正比，藥物燃盡后，y與x成反比(如圖所示)．已知藥物點燃后4 min燃盡，此時室內每立方米空氣中含藥量為8 mg．
(1)求藥物燃燒時，y與x之間函數(shù)的表達式；
(2)求藥物燃盡后，y與x之間函數(shù)的表達式；
(3)研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于2 mg時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒有效時間有多長？
解：(1)藥物燃燒時，設y＝kx．
將(4，8)代入，得8＝4k，
解得k＝2．所以y＝2x．
(2)藥物燃盡后，設y＝．
將(4，8)代入，得8＝，
解得m＝32．
所以y＝．
(3)在y＝2x中，當y＝2時，2x＝2，
解得x＝1．
在y＝中，當y＝2時，＝2，
解得x＝16．
16－1＝15(min)．
答：此次消毒有效時間為15 min．
類型五　反比例函數(shù)綜合類
13．(12分)如圖，反比例函數(shù)y＝(k為常數(shù)，且k≠0)的圖象經過點A(1，3)，B(3，m)．
(1)求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標．
(2)在x軸上找一點P，使PA＋PB的值最?。?br/>①求滿足條件的點P的坐標；②求△PAB的面積．
解：(1)把A(1，3)代入y＝，得k＝3，
∴反比例函數(shù)的表達式為y＝．
把B(3，m)代入y＝，
得m＝1，
∴點B的坐標為(3，1)．
(2)①如圖，作點B關于x軸的對稱點B′，則B′(3，－1)，連接BB′交x軸于點N，連接AB′交x軸于點P，此時PA＋PB的值最小．
設直線AB′的表達式為y＝kx＋b．
把A(1，3)，B′(3，－1)代入，得
解得
∴直線AB′的表達式為y＝－2x＋5．
當y＝0時，x＝，
即點P的坐標為．
②由①得OP＝，∴S△PAB＝S梯形ABNM－S△AMP－S△BPN＝×(1＋3)×2－×3－×1＝．
14．(12分)如圖，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，D是邊AB的中點，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經過點D，與邊BC交于點E．
(1)求反比例函數(shù)的表達式及點E的坐標；
(2)若點P在y軸上，當△PDE的周長最小時，求出此時點P的坐標．
解：(1)∵D是邊AB的中點，AB＝2，
∴AD＝1．
∵四邊形OABC是矩形，BC＝4，
∴D(1，4)．
∵反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經過點D，
∴k＝4．
∴反比例函數(shù)的表達式為y＝(x＞0)．
當x＝2時，y＝2，
∴E(2，2)．
(2)如圖，作點D關于y軸的對稱點D′，連接D′E交y軸于點P，連接PD，DE．
∵DE為定值，
∴當PD＋PE的值最小時，△PDE的周長最小．
∵點D與點D′關于y軸對稱，
∴PD＝PD′．
∴PD＋PE＝PD′＋PE＝D′E．
此時，△PDE的周長最小．
∵點D的坐標為(1，4)，
∴點D′的坐標為(－1，4)．
設直線D′E的函數(shù)表達式為y＝ax＋b，
把點D′(－1，4)，E(2，2)代入y＝ax＋b，得
解得
∴直線D′E的函數(shù)表達式為y＝－x＋．
令x＝0，得y＝，
∴點P的坐標為．
15．(12分)如圖，直線y＝ax＋1與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，與雙曲線y＝(x＞0)相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC＝2，點A的坐標為(－2，0)．
(1)求一次函數(shù)的表達式；
(2)求雙曲線的表達式；
(3)若點Q為雙曲線上點P右側的一點，且QH⊥x軸于點H，當以點Q，C，H為頂點的三角形與△AOB相似時，求點Q的坐標．
解：(1)把A(－2，0)代入y＝ax＋1中，求得a＝，故一次函數(shù)的表達式為y＝x＋1．
(2)由PC＝2，把y＝2代入y＝x＋1中，求得x＝2，即P(2，2)．
把P(2，2)代入y＝，得k＝4．
所以雙曲線的表達式為y＝(x>0)．
(3)如圖，設Q(a，b)，作QH⊥x軸于點H，連接CQ．
∵Q(a，b)在y＝上，
∴b＝．
由題意，得OB＝1，OC＝2，CH＝a－2．
當△QCH∽△BAO時，可得＝，
即＝，
∴a－2＝2b，即a－2＝，
解得a＝4或a＝－2(舍去)．
∴Q(4，1)．
當△QCH∽△ABO時，可得＝，即＝，整理，得2a－4＝，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)．
∴Q(1＋，2－2)．
綜上所述，點Q的坐標為(4，1)或(1＋，2－2)．
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