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易錯專題培優
易錯點一　概念理解不清
1．(4分)若(m－2)x|m|＋3x－1＝0是關于x的一元二次方程，則實數m的值是(　B　)
A．2 B．－2
C．±2 D．1
2．(4分)已知關于x的方程(m－1)x|m+1|＋5x＝0是一元二次方程，則m的值為 －3 ．
易錯點二　整體思想和根與系數關系混淆
3．(4分)若x1，x2是方程x2－4x－2 020＝0的兩個實數根，則代數式－2x1＋2x2的值等于(　C　)
A．2 026 B．2 027
C．2 028 D．2 029
4．(4分)若一元二次方程x2＋2x－2 024＝0的兩個根分別為m，n，則代數式m2＋3m＋n的值為 2 022 ．
5．(4分)已知方程x2＋3x－1＝0的兩根是x1，x2，則x1x2＋x1＋x2的值為 －4 ．
易錯點三　動點定值類問題分辨不明確
6．(4分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，對角線AC，BD相交于點O，點P是線段AD上任意一點，且PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE＋PF等于(　C　)
A．6 B．5
C．
7．(4分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AB上不與A和B重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E，F，則PE＋PF＝ ．
易錯點四　數形結合思想運用不熟練
8．(4分)在同一平面直角坐標系中，函數y＝ax＋b與y＝(其中a，b是常數，ab≠0)的大致圖象是(　A　)
9．(4分)若點A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函數y＝－的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是(　B　)
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．(4分)如圖，正比例函數y＝x與反比例函數y＝的圖象交于A，B兩點，其中A(2，2)．當y＝x的函數值大于y＝的函數值時，x的取值范圍是 －2＜x＜0或x＞2 ．
易錯點五　忽略分類討論
11．(4分)在平面直角坐標系中，已知點E(－4，2)，F(－2，－2)，以原點O為位似中心，將△EFO放大為原來的2倍，則點E的對應點E1的坐標是(　C　)
A．(－2，1)
B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4)
D．(－2，1)或(2，－1)
12．(4分)如果＝＝＝k成立，那么k的值為(　C　)
A．1 B．－2
C．－2或1 D．1或2
13．(4分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AB＝10 cm，點P從點B出發沿BC向點C以2 cm/s的速度移動，點Q從點C出發沿CA向點A以1 cm/s的速度移動，P，Q兩點同時出發，同時停止，經過 或 s，以C，P，Q為頂點的三角形恰與△ABC相似．
14．(14分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm．P，Q分別為AB，BC上的動點，點P從點A出發，以1 cm/s的速度向點B運動，點Q從點B出發，以1 cm/s的速度向點C運動，設P，Q移動的時間為t s(0＜t≤4)．
(1)當t為何值時，△BPQ與△ABC相似？
(2)當t為何值時，△BPQ是等腰三角形？
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　備用圖
解：(1)根據勾股定理，得AB＝＝5，
當△PBQ∽△ABC時，＝，
即＝，解得t＝．
當△PBQ∽△CBA時，＝，
即＝，解得t＝．
綜上所述，當t的值為或時，△BPQ與△ABC相似．
(2)根據勾股定理，得AB＝＝5．
①當BP＝BQ時，5－t＝t，解得t＝．
②如圖1，當BQ＝PQ時，作QE⊥BP，垂足為E．
∵BQ＝PQ，QE⊥BP，
∴BE＝BP＝(5－t)．
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠QEB＝90°，
∴△BQE∽△BAC．
∴＝，即＝，
解得t＝．
圖1
　
圖2
③如圖2，當BP＝PQ時，作PF⊥BC，垂足為F．
∵BP＝PQ，PF⊥BC，
∴BF＝BQ＝t．
∵∠B＝∠B，∠PFB＝∠C＝90°，
∴△BPF∽△BAC．
∴＝，即＝，
解得t＝．
綜上所述，當t的值為或或時，△PBQ為等腰三角形．
易錯點六　特殊圖形的存在性問題探究
15．(15分)如圖，一次函數y＝kx＋b與反比例函數y＝的圖象相交于A(2，3)，B(－3，n)兩點．
(1)求一次函數與反比例函數的表達式．
(2)根據所給條件，請直接寫出不等式kx＋b>的解集．
(3)在x軸上是否存在一點P，使得△ABP的面積為10？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
解：(1)∵點A(2，3)在反比例函數y＝的圖象上，
∴3＝，解得m＝6，即y＝．
把點B(－3，n)代入y＝，得n＝＝－2，
∴B(－3，－2)．
把點A(2，3)，點B(－3，－2)代入y＝kx＋b，
得 解得
∴一次函數的表達式為y＝x＋1，反比例函數的表達式為y＝．
(2)不等式kx＋b>的解集是－3＜x＜0或x＞2．
(3)存在．如圖，設直線AB與x軸交于點C．
把y＝0代入y＝x＋1，得x＝－1，
即C(－1，0)．
設點P的坐標為(a，0)，則PC＝|a－(－1)|＝|a＋1|．
∴S△ABP＝S△ACP＋S△BCP＝×3×|a＋1|＋×|－2|×|a＋1|＝10，
解得a＝3或a＝－5．
∴P(3，0)或P(－5，0)．
∴存在點P，使得△ABP的面積為10，點P的坐標為(3，0)或(－5，0)．
16．(14分)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x＋的圖象與反比例函數y＝(x＞0)的圖象相交于點A(a，3)，與x軸相交于點B．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)設D為x軸正半軸上一點，當△ABD是以BD為底的等腰三角形時，求直線AD的函數表達式．
解：(1)∵一次函數y＝x＋的圖象經過點A(a，3)，
∴a＋＝3，
解得a＝2．
∴A(2，3)．
將A(2，3)代入y＝(x＞0)，
得3＝，
解得k＝6．
∴反比例函數的表達式為y＝．
(2)如圖，過點A作AE⊥x軸于點E．
在y＝x＋中，令y＝0，得x＋＝0，
解得x＝－2．
∴B(－2，0)．
∵E(2，0)，
∴BE＝2－(－2)＝4．
∵△ABD是以BD為底邊的等腰三角形，
∴AB＝AD．
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4．
∴D(6，0)．
設直線AD的函數表達式為y＝mx＋n．
∵A(2，3)，D(6，0)，
∴
解得
∴直線AD的函數表達式為y＝－x＋．
17．(15分)如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝4，OC＝3．反比例函數y＝的圖象經過BC的中點E，交邊AB于點F，連接EF．
(1)求k的值與點F的坐標．
(2)x軸上是否存在一點P，使△PEF為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)點Q是x軸上的一點，以點Q，E，F為頂點的三角形是直角三角形，請求出點Q的坐標．
解：(1)∵OA＝4，OC＝3，四邊形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝3，BC＝AO＝4．
∴B(4，3)．
∵E是BC的中點，
∴E(2，3)．
∵反比例函數y＝的圖象經過點E，
∴k＝2×3＝6．
∴反比例函數的表達式為y＝．
∵反比例函數y＝的圖象經過點F，點F的橫坐標為4，
∴y＝＝．
∴點F的坐標為．
(2)存在．設P(m，0)．
∵E(2，3)，F，
∴PE2＝(m－2)2＋32＝m2－4m＋13，PF2＝(m－4)2＋＝m2－8m＋，EF2＝(4－2)2＋＝4＋＝．
設直線EF的表達式為y＝kx＋b．
代入E(2，3)，F，
則解得
∴y＝－x＋．
①當PE＝PF時，m2－4m＋13＝m2－8m＋，解得m＝．
∴P．
②當PE＝EF時，m2－4m＋13＝，Δ＝(－4)2－4×1×＝16－27＝－11<0，
此方程無解．
③當PF＝EF時，m2－8m＋＝，
解得m＝2或m＝6．
∵直線EF的表達式為y＝－x＋，
當x＝6時，y＝－×6＋＝0，
∴P(6，0)在直線EF上，不合題意．
∴P(2，0)
綜上所述，點P的坐標為(2，0)或．
(3)Q是x軸上的一點，設Q(n，0)，則QE2＝(n－2)2＋32＝n2－4n＋13，QF2＝(n－4)2＋＝n2－8n＋，EF2＝．
①當E為直角頂點時，EQ2＋EF2＝FQ2，即n2－4n＋13＋＝n2－8n＋，
解得n＝－．
∴Q．
②當F為直角頂點時，FQ2＋EF2＝EQ2，即n2－8n＋＝n2－4n＋13，
解得n＝．
∴Q．
③當Q為直角頂點時，EQ2＋FQ2＝EF2，即n2－4n＋13＋n2－8n＋＝，
此方程無解．
綜上所述，點Q的坐標為或．
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