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思想方法集錦
方法一　整體法
1．(4分)已知a是方程x2－2x－2 024＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2a2－4a－2的值為(　A　)
A．4 046 B．－4 046
C．2 024 D．－2 024
2．(4分)若x＝m是一元二次方程x2＋x－1＝0的一個(gè)根，則2m2＋2m＋2 025的值為 2 027 ．
3．(4分)若a，b是一元二次方程x2－3x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a＋b－ab的值為 2 ．
方法二　換元法
4．(12分)問題：已知方程x2＋x－1＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設(shè)所求方程的根為y，則y＝2x，所以x＝．
把x＝代入已知方程，得＋－1＝0，
化簡(jiǎn)，得y2＋2y－4＝0．故所求方程為y2＋2y－4＝0．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程．(要求：把所求方程化為一般形式)
(1)已知方程x2＋3x－2＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)；
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．
解：(1)設(shè)所求方程的根為y，則y＝－x，所以x＝－y．
把x＝－y代入方程x2＋3x－2＝0，得y2－3y－2＝0，
即所求方程為y2－3y－2＝0．
(2)設(shè)所求方程的根為y，則y＝，
所以x＝．
把x＝代入方程ax2－bx＋c＝0，得a·－b·＋c＝0，
整理，得cy2－by＋a＝0，即所求方程為cy2－by＋a＝0．
方法三　分類討論法
5．(4分)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE＝ 或 時(shí)，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
6．(12分)如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4 cm，BC＝8 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿著邊AB向點(diǎn)B以1 cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿著邊BC向點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動(dòng)．若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q也隨之停止．運(yùn)動(dòng)過程中，若以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
解：設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，則AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∴BP＝(4－t)cm．
∵∠B＝∠B，
∴當(dāng)∠BPQ＝∠C時(shí)，△QBP∽△ABC．
∴＝，即＝，
解得t＝．
∵∠B＝∠B，
∴當(dāng)∠BPQ＝∠A時(shí)，△PBQ∽△ABC．
∴＝，即＝，
解得t＝2．
綜上，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s或2 s．
方法四　構(gòu)造法
7．(4分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14為例說明．構(gòu)造如圖所示的大正方形，其面積是(x＋x＋5)2，同時(shí)它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14＋52，因此x＝2．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2＋mx－n＝0時(shí)，構(gòu)造出類似的圖形，已知大正方形的面積為14，小正方形的面積為4，則(　D　)
A．m＝2，n＝3 B．m＝，n＝2
C．m＝，n＝2 D．m＝2，n＝
方法五　建模思想
8．(8分)一張小茶幾的桌面長(zhǎng)為6 dm，寬為4 dm，長(zhǎng)方形桌布的面積為桌面面積的2倍．將桌布鋪在桌子上，四邊垂下的長(zhǎng)度相同(四個(gè)角除外)，求桌布的長(zhǎng)和寬．
解：設(shè)桌布垂下的長(zhǎng)度為x dm，
由題意，得(6＋2x)(4＋2x)＝2×4×6．
整理，得4x2＋20x－24＝0，
即x2＋5x－6＝0，
解得x1＝－6(不合題意，舍去)，x2＝1．
當(dāng)x＝1時(shí)，桌布的長(zhǎng)為6＋2＝8(dm)，
桌布的寬為4＋2＝6(dm)．
答：桌布的長(zhǎng)和寬分別為8 dm和6 dm．
方法六　方程思想
9．(12分)如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
(1)求證：四邊形AECF是矩形；
(2)若四邊形ABCD為菱形，AC＝2，EC＝2，求四邊形ABCD的面積．
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∵BE＝DF，
∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC．
∵AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
又∵AC＝EF，
∴四邊形AECF是矩形．
(2)解：∵四邊形AECF是矩形，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°．
∵AC＝2，EC＝2，
∴AE＝＝＝4．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴設(shè)AB＝BC＝x．
∴BE＝BC－EC＝x－2．
在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋BE2，
即x2＝16＋(x－2)2，解得x＝5．
∴BC＝5．
∴S四邊形ABCD＝BC·AE＝5×4＝20．
10．(12分)如圖，在 ABCD中，BC＝9 cm，CD＝3 cm，∠B＝45°，點(diǎn)M，N分別以A，C為起點(diǎn)，1 cm/s的速度沿邊AD，CB運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s(0≤t≤6)．
(1)求邊BC上的高AE的長(zhǎng)度；
(2)連接AN，CM，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AMCN是菱形？
解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝3 cm．
∵AE是邊BC上的高，∴∠AEB＝90°．
∵∠B＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形．
∴BE＝AE＝AB＝×3＝3(cm)，
即邊BC上的高AE的長(zhǎng)度為3 cm．
(2)由題意可知，AM＝CN＝t cm．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AM∥CN．
∴四邊形AMCN為平行四邊形．
當(dāng)AN＝AM時(shí)，四邊形AMCN為菱形．
∵BE＝AE＝3 cm，
∴EN＝BC－BE－CN＝9－3－t＝(6－t)cm．
在Rt△AEN中，由勾股定理，得AE2＋EN2＝AN2，
即32＋(6－t)2＝t2，
解得t＝．
∴當(dāng)t為時(shí)，四邊形AMCN為菱形．
方法七　轉(zhuǎn)化思想
11．(4分)對(duì)于實(shí)數(shù)p，q，我們用符號(hào)min{p，q}表示p，q兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{1，2}＝1，若min{(x－1)2，x2}＝1，則x＝ 2或－1 ．
方法八　從特殊到一般的思想
12．(12分)(1)用公式法解下列方程：①x2－2x－2＝0；②2x2＋3x－1＝0；③2x2－4x＋1＝0；④x2＋6x＋3＝0．
(2)上面的四個(gè)方程中，有三個(gè)方程的一次項(xiàng)系數(shù)有共同特點(diǎn)，請(qǐng)你用代數(shù)式表示這個(gè)特點(diǎn)，并推導(dǎo)出具有這個(gè)特點(diǎn)的一元二次方程的求根公式．
解：(1)①x2－2x－2＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－2，
∴x＝＝＝1±，
即x1＝1＋，x2＝1－．
②2x2＋3x－1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝－1，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝．
③2x2－4x＋1＝0，
∵a＝2，b＝－4，c＝1，
∴x＝＝＝，
即x1＝，x2＝．
④x2＋6x＋3＝0，
∵a＝1，b＝6，c＝3，
∴x＝＝＝－3±，
即x1＝－3＋，x2＝－3－．
(2)方程①③④的一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)2n(n是整數(shù))，
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中b2－4ac≥0，b＝2n，n為整數(shù)．
∵b2－4ac≥0，即(2n)2－4ac≥0，
∴n2－ac≥0．
∴x＝＝
＝＝．
∴一元二次方程ax2＋2nx＋c＝0(n2－ac≥0)的求根公式為．
方法九　猜想驗(yàn)證法
13．(14分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿AB的方向平移得到△DEF，連接CD，F(xiàn)B，CF．
(1)當(dāng)點(diǎn)D移至什么位置時(shí)，四邊形CDBF是菱形？并加以證明．
(2)在(1)的條件下，四邊形CDBF能否為正方形？若能，請(qǐng)說明理由；若不能，請(qǐng)給△ABC添加一個(gè)條件，使四邊形CDBF為正方形，并加以證明．
解：(1)當(dāng)點(diǎn)D移至AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDBF是菱形．證明如下：
由平移得CF∥AD，CF＝AD．
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴AD＝BD．∴CF＝BD．
又∵CF∥AD，∴CF∥BD．
∴四邊形CDBF是平行四邊形．
在Rt△ACB中，CD為中線，
∴CD＝BD．
∴四邊形CDBF是菱形．
(2)不能為正方形，添加條件：AC＝BC時(shí)，四邊形CDBF為正方形．證明如下：
∵AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)．
∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°．
∵四邊形CDBF為菱形，
∴四邊形CDBF是正方形．
14．(14分)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4 cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2 cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t s(0＜t≤15)．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．
(1)求證：AE＝DF；
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說明理由．
(1)證明：由題意，得∠C＝30°，AE＝2t cm，CD＝4t cm．
∵DF⊥BC，∴∠CFD＝90°．
∵∠C＝30°，
∴DF＝CD＝×4t＝2t(cm)．
∴AE＝DF．
(2)解：四邊形AEFD能夠成為菱形．
由(1)，得AE＝DF．
∵∠DFC＝∠B＝90°，∴AE∥DF．
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
若 AEFD為菱形，則AE＝AD．
∵AC＝60 cm，CD＝4t cm，
∴AD＝(60－4t)cm．
∴2t＝60－4t，解得t＝10．
∴當(dāng)t＝10時(shí)，四邊形AEFD為菱形．
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