資源簡介

創新考向集訓
創新考向一　數學文化
1．(4分)我國南宋數學家楊輝曾提出一個問題，其大意是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設寬為x步，根據題意列方程正確的是(　D　)
A．2x＋2(x＋12)＝864
B．x2＋(x＋12)2＝864
C．x(x－12)＝864
D．x(x＋12)＝864
2．(4分)歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程x2＋ax＝b2的方法，類似地，我們可以用折紙的方法求方程x2＋x－1＝0的一個正根．如圖，一張邊長為1的正方形的紙片ABCD，先折出AD，BC的中點E，F，再沿過點A的直線折疊使AD落在線段AF上，點D的對應點為點H，折痕為AG，點G在邊CD上，連接GH，GF，則長度恰好是方程x2＋x－1＝0的一個正根的線段為(　B　)
A．線段BF B．線段DG
C．線段CG D．線段GF
3．(4分)秦九韶在《數書九章》中記載了一個測量建筑物高的問題：如圖，AB表示建筑物的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面內，點A，C，E在同一條水平直線上．已知AC＝20 m，CE＝10 m，CD＝7 m，EF＝1.4 m，人從點F遠眺建筑物的頂端B，視線恰好經過竹竿的頂端D，可求出建筑物的高度．根據以上信息，建筑物的高度為 18.2 m．
創新考向二　規律探究
4．(4分)由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝1，則圖中與△OAB位似的三角形中，邊OA對應邊的長為 ．
創新考向三　推理論證
5．(12分)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P為BC上的動點，小慧拿含45°角的透明三角尺，使45°角的頂點落在點P處，三角尺可繞點P旋轉．
(1)如圖1，當三角尺的兩邊分別交AB，AC于點E，F時．求證：△BPE∽△CFP；
(2)將三角尺繞點P旋轉到圖2情形時，三角尺的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E，F．△BPE與△CFP還相似嗎？(只需寫出結論)
(3)在(2)的條件下，連接EF，△BPE與△PFE是否相似？若不相似，則動點P運動到什么位置時，△BPE與△PFE相似？請說明理由．
(1)證明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，
∴∠BPE＋∠BEP＝135°．
∵∠EPF＝45°，∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，
∴∠BPE＋∠CPF＝135°．
∴∠BEP＝∠CPF．
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP．
(2)△BPE∽△CFP．
(3)解：動點P運動到BC的中點位置時，△BPE與△PFE相似．理由如下：
同(1)，可證△BPE∽△CFP，
得＝．
∵CP＝PB，
∴＝．
∴＝．
又∵∠EBP＝∠EPF，
∴△BPE∽△PFE．
創新考向四　新定義
6．(12分)如圖，在菱形ABCD中，m，n，t分別是菱形ABCD的兩條對角線長和邊長，這時我們把關于x的形如mx2＋2tx＋n＝0的一元二次方程稱為“菱系一元二次方程”．請解決下列問題：
(1)填空：①當m＝4，n＝8時，t＝ 2 ；
②用含m，n的代數式表示t2＝ m2＋n2 ．
(2)求證：關于x的“菱系一元二次方程”mx2＋2tx＋n＝0必有實數根．
(1)解：①在菱形ABCD中，m，n，t分別是菱形ABCD的兩條對角線長和邊長，
當m＝4，n＝8時，t＝＝2．
故答案為2．
②由題意知t2＝＋＝m2＋n2．
故答案為m2＋n2．
(2)證明：mx2＋2tx＋n＝0，這里，a＝m，b＝2t，c＝n，
∴Δ＝(2t)2－4m·n＝4t2－2mn．
∵t2＝m2＋n2，
∴Δ＝m2＋n2－2mn＝(m－n)2≥0．
∴關于x的“菱系一元二次方程”mx2＋2tx＋n＝0必有實數根．
創新考向五　閱讀感悟
7．(12分)閱讀材料：材料1：若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數根分別為m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1．
根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝ ，x1x2＝ － ；
(2)類比應用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根分別為m，n，求的值；
(3)思維拓展：已知實數s，t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
解：(2)∵一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根分別為m，n，
∴m＋n＝，mn＝－．
∴＝ ＝ ＝＝－．
(3)∵實數s，t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，
∴s與t是方程2x2－3x－1＝0的兩個實數根．
∴s＋t＝，st＝－．
∴(s－t)2＝(s＋t)2－4st．
∴(s－t)2＝－4×．
∴(s－t)2＝．
∴s－t＝±．
∴＝＝ ＝ ＝±．
創新考向六　方案設計
8．(15分)某超市銷售甲、乙兩種品牌的洗衣液，市場上甲種品牌洗衣液的進價比乙種品牌洗衣液的進價每瓶便宜10元，該超市用3 000元購進的甲種品牌洗衣液與用4 000 元購進的乙種品牌洗衣液的瓶數相同．
(1)求甲、乙兩種品牌的洗衣液的進價；
(2)在銷售中，該超市決定將甲種品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶．調查發現，乙種品牌的洗衣液每瓶售價50元時，每天可售出140瓶，并且當乙種品牌的洗衣液每瓶售價每提高1元時，乙種品牌的洗衣液每天就會少售出2瓶．請你設計一種方案，使兩種品牌的洗衣液每天的利潤之和達到4 700元．
解：(1)設甲種品牌的洗衣液的進價為x元，則乙種品牌的洗衣液的進價為(x＋10)元，
根據題意，得＝，解得x＝30．
經檢驗，x＝30是所列方程的解，且符合題意．
∴x＋10＝30＋10＝40．
答：甲種品牌的洗衣液的進價為30元，乙種品牌的洗衣液的進價為40元．
(2)設乙種品牌的洗衣液每瓶的售價為y元，則乙種品牌的洗衣液每瓶的銷售利潤為(y－40)元，每天的銷售量為140－2(y－50)＝(240－2y)瓶，
根據題意，得(45－30)×100＋(y－40)(240－2y)＝4 700，
整理，得y2－160y＋6 400＝0，
解得y1＝y2＝80．
答：當乙種品牌的洗衣液每瓶的售價為80元時，兩種品牌的洗衣液每天的利潤之和可達到4 700元．
創新考向七　探究開放
9．(12分)如圖，點E，F分別在 ABCD的邊AB，BC上，AE＝CF，連接DE，DF．請從以下三個條件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，選擇一個合適的作為已知條件，使 ABCD為菱形．
(1)你添加的條件是 ①或③ ；(填序號)
(2)添加了條件后，請證明 ABCD為菱形．
(2)證明：添加①，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C．
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(AAS)．
∴AD＝CD．
∴ ABCD為菱形．
添加③，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C．
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(ASA)．
∴AD＝CD．
∴ ABCD為菱形．
創新考向八　跨學科
10．(4分)二進制是計算技術中廣泛采用的一種數制，二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數，如01，10分別表示不同的二進制數，在由一個0，兩個1組成的二進制數中，兩個1相鄰的概率是(　A　)
A． C．
11．(15分)【背景】在一次物理實驗中，小冉同學用一固定電壓為12 V的蓄電池，通過調節滑動變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡L(燈絲的阻值RL＝2 Ω) 亮度的實驗(如圖)，已知串聯電路中，電流與電阻R，RL之間的關系為I＝，通過實驗得出如下數據：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1)a＝ 2 ，b＝ 1.5 ．
(2)【探究】根據以上實驗，構建出函數y＝(x≥0)，結合表格信息，探究函數y＝(x≥0)的圖象與性質．
①在平面直角坐標系中畫出對應函數y＝(x≥0)的圖象；
②隨著自變量x的不斷增大，函數值y的變化趨勢是 不斷減小 ．
(3)【拓展】結合(2)中函數圖象分析，當x≥0時，≥－x＋6的解集為 x≥2或x＝0 ．
解：(2)①根據表格數據描點，在平面直角坐標系中畫出對應函數y＝(x≥0)的圖象如圖．
(3)如圖．
由函數圖象知，當x≥2或x＝0時，≥－x＋6，
即當x≥0時，≥－x＋6的解集為 x≥2或x＝0．
故答案為x≥2或x＝0．
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