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課時分層訓練(二)　矩形的性質與判定
知識點一　矩形的性質
1．下列說法正確的是(　C　)
A．有兩條邊和一個角對應相等的兩個三角形全等
B．矩形的對角線互相垂直平分
C．菱形的對角線平分一組對角
D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
知識點二　矩形中的翻折問題
2．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點D落在點E處，AE與邊BC的交點為M．若AB＝1，BC＝2，則BM的長等于(　B　)
A．
C．
知識點三　動點定值問題
3．如圖，點M在矩形ABCD的邊CD上，過點M作ME⊥AC于點E，作MF⊥BD于點F．若AB＝12，BC＝16，則ME＋MF等于 9.6 ．
知識點四　直角三角形斜邊中線定理
4．如圖，木桿AB斜靠在墻壁上，P是AB的中點，當木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時，木桿的底端B也隨之沿著射線OM的方向滑動，則下滑過程中OP的長度變化情況是(　C　)
A．逐漸變大 B．不斷變小
C．不變 D．先變大再變小
知識點五　矩形的判定
5．要檢驗一個四邊形畫框是否為矩形，可行的測量方法是(　B　)
A．測量四邊形畫框的兩個角是否為90°
B．測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分
C．測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等
D．測量四邊形畫框的四邊是否相等
6．如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA＝OD．
(1)求證：四邊形ABCD是矩形；
(2)若AB＝3，∠AOD＝120°，求BC的長．
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝OC，BO＝OD．
∵OA＝OD，∴OA＝OB＝OC＝OD．
∴AC＝BD．
∴四邊形ABCD是矩形．
(2)解：∵∠AOD＝120°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∵AB＝3，∴BD＝2AB＝6．
∴AD＝＝＝3．
∴BC＝AD＝3．
7．兩個矩形的位置如圖所示，若∠1＝α，則∠2＝(　C　)
A．α－90° B．α－45°
C．180°－α D．270°－α
第7題圖
8．如圖，AC，BD是 ABCD的對角線，要使 ABCD成為矩形，需添加一個條件： ∠ABC＝90°(答案不唯一) ．
　
第8題圖
9．如圖，在矩形ABCD中，點E在邊DC上，連接AE，將△AED沿折痕AE翻折，使點D落在邊BC上的D1處．若∠DEA＝76°，則∠D1EC＝ 28° ．(填度數)
10．已知Rt△ABC的兩邊長為5和12，則其斜邊上的中線長為 6.5或6 ．
11．如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線AC與BD相交于點O，AB＝6，OA＝5，求AD與BD的長．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝2OA＝10，AC＝BD，∠BAD＝90°，AB＝CD＝6．
∴BD＝10．
∴AD＝＝＝8．
∴AD的長為8，BD的長為10．
12．如圖，在 ABCD中，E，F分別是邊AB，DC上的點，且AE＝CF，∠DEB＝90°．求證：
(1)△ADE≌△CBF；
(2)四邊形DEBF是矩形．
證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵AE＝CF，
∴BE＝DF．
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
∵∠DEB＝90°，
∴四邊形DEBF是矩形．
【創新運用】
13．如圖，在△ABC中，點O是邊AC上的一個動點，過點O作直線MN平行于BC，設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角的平分線于點F．
(1)求證：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的長；
(3)當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？請說明理由．
(1)證明：如圖，
∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角的平分線于點F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6．
∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴EO＝CO，FO＝CO．
∴OE＝OF．
(2)解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°．
∵CE＝12，CF＝5，∠ECF＝90°，
∴EF＝＝＝13．
由(1)知EO＝FO＝CO，
∴OC＝EF＝．
(3)解：當點O在邊AC上運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：
當O為AC的中點時，AO＝CO．
∵EO＝FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵∠ECF＝90°，
∴ AECF是矩形．
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