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課時(shí)分層訓(xùn)練(三)　正方形的性質(zhì)與判定
知識(shí)點(diǎn)一　正方形的性質(zhì)
1．正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(　D　)
A．對(duì)角線相等
B．軸對(duì)稱圖形
C．對(duì)角線互相平分
D．對(duì)角線平分每一組對(duì)角
2．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為邊AB上一點(diǎn)，CF與BD交于點(diǎn)E，連接AE．若∠BCF＝25°，則∠AEF＝(　B　)
A．35° B．40°
C．45° D．50°
第2題圖
為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．若AB＝2，AG＝，則EB＝ ．
　
第3題圖
3．如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD的對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG知識(shí)點(diǎn)二　正方形中的一線三等角模型
4．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－3，1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(　A　)
A．(1，3) B．(2，3)
C．(1，4) D．(3，1)
知識(shí)點(diǎn)三　過正方形中心的面積問題
5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上，且OE⊥OF，則四邊形AFOE的面積為 1 ．
知識(shí)點(diǎn)四　正方形的判定
6．下列說法正確的是(　C　)
A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形
C．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
D．對(duì)角線互相垂直的菱形是正方形
知識(shí)點(diǎn)五　正方形中的十字模型
7．如圖，在正方形ABCD中，BE⊥CF．若BE＝2，則CF的長(zhǎng)是 2 ．
知識(shí)點(diǎn)六　正方形中的半角模型
8．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，BE＝1，則DF的長(zhǎng)為 ．
9．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為AO，AD的中點(diǎn)．若EF＝3，則OD的長(zhǎng)是(　D　)
A．3 B．4
C．5 D．6
10．如圖，P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP，EF．給出下列結(jié)論：①PD＝EC；②C四邊形PECF＝2AB(C表示周長(zhǎng))；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤∠PFE＝∠BAP；⑥AP⊥EF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　C　)
A．3 B．4
C．5 D．6
11．如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處，折痕為BE，若沿EF剪下，則展開后折疊部分是一個(gè)正方形，其數(shù)學(xué)原理是 鄰邊相等的矩形是正方形 ．
【創(chuàng)新運(yùn)用】
12．(1)如圖1，在正方形ABCD中，E為邊AB上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，連接DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，求證：DE＝AF；
(2)如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD上的點(diǎn)(點(diǎn)E，F(xiàn)不與正方形的頂點(diǎn)重合)，連接EF，作EF的垂線分別交邊AD，BC于點(diǎn)G，H，垂足為O．若E為AB的中點(diǎn)，DF＝1，AB＝4，求GH的長(zhǎng)．
圖1
圖2
(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°．
∴∠DAF＋∠BAF＝90°．
∵AF⊥DE，
∴∠DAF＋∠ADE＝90°．
∴∠ADE＝∠BAF．
在△DAE和△ABF中，
∴△DAE≌△ABF(ASA)．
∴DE＝AF．
(2)解：如圖，分別過點(diǎn)A，D作AN∥GH，DM∥EF，分別交BC，AB于點(diǎn)N，M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠B＝90°．
∴四邊形DMEF是平行四邊形．
∴ME＝DF＝1，DM＝EF．
∵DM∥EF，GH⊥EF，
∴DM⊥GH．
同理，四邊形AGHN是平行四邊形，
∴GH＝AN．
∵AN∥GH，DM⊥GH，
∴AN⊥DM．
∴∠DAN＋∠ADM＝90°．
∵∠DAN＋∠BAN＝90°，
∴∠ADM＝∠BAN．
在△ADM和△BAN中，
∴△ADM≌△BAN(ASA)．
∴DM＝AN．
∴DM＝GH．
∵E為AB的中點(diǎn)，AB＝4，
∴AE＝AB＝2．
∴AM＝AE－ME＝2－1＝1．
在Rt△ADM中，AM＝1，AD＝4，
∴DM＝＝＝．
∴GH＝．
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